Conocido el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz Adjunta para poder calcular la inversa:

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1 TEMA : MATRICES: Resumen de Teoría

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4 CÁLCULO DE LA INVERSA MEDIANTE EL DETERMINANTE Y LA ADJUNTA: Existe otro método para calcular la inversa y que sólo usaremos para matrices cuadradas de orden 3. Para ello es necesario conocer estos dos conceptos: Conocido el concepto de determinante, necesitamos conocer el concepto de Matriz Adjunta para poder calcular la inversa: 4

5 No debemos olvidar la paridad, a la hora de calcular el adjunto de cada elemento, teniendo en cuenta la siguiente tabla: Conocida la Adjunta sólo falta aplicar la siguiente fórmula: 5

6 ACTIVIDADES Sean las matrices A = y B = a) Calcula el resultado de las siguientes operaciones. A B B A A + B B + A b) Qué conclusión obtienes? c) Qué condición tiene que cumplir una matriz C para poder efectuar el producto A C? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada. d) Qué condición tiene que cumplir una matriz D para poder efectuar el producto D A? Pon un ejemplo de una matriz que no sea cuadrada. 2. Sean las matrices : A =, B =, C = y D = a) Averigua que dos matrices se pueden sumar y calcula el resultado. b) Averigua que dos matrices se pueden multiplicar y calcula el resultado. c) Realiza las siguientes operaciones: 2A A 2 A 3 C 2 B t C t 3C + 2I 3 B t A A B t d) Realiza las siguientes operaciones si es posible y en caso contrario indica por qué: A - B - C - D - 3. Halla la inversa de las matrices: A = y B = Sean A, B y C matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices A B C es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices. a b 3 5. Sean las matrices A =, B = y C = a) Halle los valores de a y b para que se verifique A - B + A B t = C. b) Existe algún valor de b para que el producto B B t se igual a la matriz nula? 6. Cuánto deben valer a, b, c y d para que P 2Q = R Sean las matrices: 2 5 c d 6 P =, Q = y R = a b a) Calcule, si es posible, P Q y Q P, razonando la respuesta. b) Cuánto deben valer a, b, c y d para que P 2Q = R? 6

7 7. Halla todas las matrices cuadradas A de orden 2 que verifiquen: A 0 0 = A 8. Sean las matrices A =, B = y 2 0 a) Calcule (A I 2 ) B b) Obtenga la matriz B t y calcule, si es posible, B t A c) Calcule la matriz X que verifica A X + B = C d) Calcule la matriz X que verifica X A + B = C C = Sean las matrices A = 0, B = y C = a) Calcule la matriz P que verifica B P A = C t b) Determine las dimensiones de la matriz M para que pueda efectuarsee el producto A M C c) Determine las dimensiones de la matriz N para que C t N sea una matriz cuadrada. 0. De una matriz A se sabe que su segunda fila es (- 2) y su segunda columna es 0 0 Halle los restantes elementos de A sabiendo que A = Sean las matrices A = y B = a) Calcule la matriz C = B A A t B t 4 b) Halle la matriz X que verifique A B X = Resuelva la ecuación matricial 2X C D = (I + D) C siendo C y D las siguientes matrices: C = 0 y D = Sean las matrices A = 2 a) Calcule B B t A A t , B = 0 5 b) Halle la matriz X que verifica (A A t ) X = B 7

8 4. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales: a) Dadas las matrices A = y B, 2 4 = 3 resuelva la ecuación matricial A X + B t = B, donde X es una matriz cuadrada de orden 2. 0 b) Sea la matriz B =. b Calcule el valor de b para que B 2 = I 2 5. Sean las matrices 2 x 0 A =, B = y C = x 0 2 a) Encuentre el valor o valores de x de forma que B 2 = A b) Igualmente para que B + C = A - c) Determine x para que A + B + C = 3 I 2 x 0 6. Sean las matrices A = y B = x + a) Encuentre el valor o valores de x de forma que A I 2 = B - b) Igualmente para que A B = I 2 7. Despeja la X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) A X - B X + C = I b) A X B - D C = C c) A X + X = D d) A X A = D 8. Sean los grafos siguientes: a) Escriba la matriz de adyacencia asociada a los grafos A y B de la figura anterior. b) Si las matrices C y D unen los nodos numerados con las etiquetas, 2, 3, represente los grafos asociados a dichas matrices de adyacencia C = 0 y D = c) Realice la siguiente operación matricial: D C C D Nota: Es muy importante la interpretación de los resultados en los ejercicios 8 al 4. 8

9 9. En un instituto I hay alumnos de tres pueblos, A, B y C. La distanciaa entre A y B es 6 km la de B a C es 7 km, la de A a C es 0 km y la de A a I es 8km. Una empresa de transporte escolar hace dos rutas: la ruta parte de B y recorre sucesivamente C, A e I; la ruta 2 parte de C y recorre sucesivamente B, A e I. a) Determine la matriz M, 2x3, que expresa los kilómetros que recorren los alumnos de cada pueblo por cada ruta. b) El número de alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo es: o o o Pueblo A: 0 alumnos la ruta y 9 alumnos la ruta 2. Pueblo B: 5 alumnos la ruta y 8 alumnos la ruta 2. Pueblo C: 5 alumnos la ruta y 9 alumnos la ruta 2. Determine la matriz N 3x2, que indique los alumnos que siguen cada ruta de cada pueblo. c) Si la empresa cobra 2 interpreta cada uno de Ruta M = Ruta 2 céntimos por Km a cada persona, determina la matriz F = 0.2 M N, e sus elementos. A B C Ruta Ruta 2 y Alumnos A N = Alumnos B Alumnos C 20. En una empresa de fabricación de móviles hay 3 categorías de empleados: A, B y C y se fabrican dos tipos de móviles: M y P. Diariamente cada empleado de la categoría A fabrica 4 móviles del tipo M y 3 del tipo P, mientras que cada uno de la categoría B fabrica 5 móviles del tipo M y 5 del tipo P y los de la categoría C fabrican 6 móviles del tipo M y 4 del tipo P. Para fabricar cada móvil del tipo M se necesitan 2 chips y 4 conexiones y para fabricar cada móvil del tipo P se necesitan 4 chips y 6 conexiones. a) Escriba una matriz X, 3x2, que describa el número de móviles de cada tipo y otra matriz Y. de orden 2, que expresee el número de chips y conexiones de cada tipo de móvil. b) Realice el producto de matrices X Ye indique qué expresa dicho producto. 2. Un proveedor que suministra materia prima a 3 fábricas, F, G y H, transporta una parte de sus envíos a cada fábrica por carretera y la otra parte por tren, según se indica en la matriz T, cuyos elementos son las toneladas de materia prima que recibe cada fábrica por cada vía de transporte. F G H T Carretera = Tren Los precios del transporte de cada tonelada de materia prima son 200 por carretera y 80 por tren, como indica la matriz C = (200, 80). Explique qué operación debe efectuarse con estas matrices para determinar una nueva matriz cuyos elementos sean los costes de llevar este material a la fábrica. 9

10 22. Una persona tiene que comprar 2 kg de manzanas, kg de ciruelas y,5 kg de plátanos y otra necesita 0,5 kg de manzanas, 2,5 kg de ciruelas y 3 kg de plátanos. En la frutería A, los precios de las manzanas son.8 /kg, los de las ciruelas 2, /kg y los de los plátanos,9 /kg y en la frutería B son,7 /kg, 2,3 /kg y,75 /kg respectivamente. Se escriben las matrices,8, 7 2,5 M = y N = 2, 2,3 0,5 2,5 3, 9, 75 a) Determine M N e indique qué representa cada uno de los elementos de la matriz producto. b) En qué frutería le conviene a cada persona hacer la compra? 23. Un fabricante de productos lácteos, que vende 3 tipos de productos, leche, queso y nata, a dos supermercados, S y H, ha anotado en la matriz A los pesos en kg de cada producto que vende a cada supermercado y, en la matriz B, las ganancias que obtiene en cada supermercado por cada kg de esos productos. leche queso nata leche queso nata S 0,20 4 S A = B = H 0,25 3, 60,20 H Efectúe el producto A y explique el significado económico elementos de la diagonal principal de la matriz resultante. B t de cada uno de los 24. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 00 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminaciónn S. La terminación N lleva 25 horas de taller y hora de administración. La terminación n L lleva 30 horas de taller y.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y.3 horas de administración. a) Representar la información en dos matrices. b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. 0

11 Actividades resueltas de Matrices 25. Sean las matrices 3 A = x, B = y C = x 0 Encuentre el valor o valoress de x de forma que C 2 + B = A x x = x 0 x x = 3 x = ± x x x + 2 = x = 3 + = 2 x x x + 3 = 0 x = x x x = 9 x = ± 3 = 2 x + 3 x 0 9 Solución : x = Dadas las matrices 3 A = y B = 4-3 Resuelve la ecuación matricial siguiente A X + B t = B A X + B t = B A - A X = A - (B - B t ) Solución: X = A - (B - B t ) A X = B - B t I 2 X = A - (B - B t ) Cálculos: A = F 3 F F F F / F / A = t 2 3 B = 5 X = = = Sean las matrices A = a b y B = 0 6 a) Calcule los valores de a y b para que A B = B A 2=3b 0 2 a b a b b 2a 2=2a = = a 3b 3 2 3a=3 3b=2 b=4 a= a= a= b=4 b=4 b) Para los valores a = y b = 0, resuelva la ecuación matricial X B A = I 2 X B A = I 2 X B B - = ( I 2 + A) B -

12 X B = I 2 + A X I = (I 2 + A) B - X = ( 2 B 2 + I 2 ) B - B = F 6 F B = 6 0 X = = = Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 6 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 2 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. a) Representar esta información en dos matrices. G P T S A G 6 6 B P C b) Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. Interpreta cada uno de los resultados. G P T S T S A A G 6 6 B = B C P 2 4 C Interpretación: 2000 son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B son los tornillos que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo A son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo B son los soportes que se utilizan en total para fabricar todas las estanterías del tipo C 2

13 EJERCICIOS SELECTIVIDAD ÚLTIMAS CONVOCATORIAS RESUELTOS JUNIO 203 3

14 JUNIO 202 4

15 ACTIVIDADES RESUELTAS DE SELECTIVIDAD OTRAS CONVOCATORIAS 5

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