Introducción. Observa la animación de la introducción y tenla en cuenta para responder las preguntas de la actividad 1.

Transcripción

1 LA RECTA NUMÉRICA, UN CAMINO AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS REALES Descripción del conjunto de números enteros Observa la animación de la introducción y tenla en cuenta para responder las preguntas de la actividad 1. Figura 1. El trampolín Introducción Hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bambú o de madera para representar los números y realizar en especial cálculos comerciales de una manera práctica, pero también para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos y disminuciones de magnitudes o con distancias recorridas en sentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos y representaban cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en Figura 2. Ascensor el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de 1

2 esos números en la contabilidad y otros contextos, ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. (Profesor en línea, (s.f)) La historia de los números ha sido determinante para la invención de algunos artefactos que utilizan los números enteros como parte de su estructura. Algunos artefactos en los que se puede ver el uso de los números enteros son los ascensores, los cuales se mueven de manera vertical hacia arriba y hacia abajo. Aumentando hacia arriba los números de los pisos y disminuyendo hacia abajo, y en algunos sótanos o parqueaderos se usan los números enteros negativos para denominar que se encuentran debajo del primer piso. Otro de estos artefactos es el termómetro, el cual nos permite medir la temperatura por encima y por debajo de cero, siendo las cantidades por debajo del cero las más frías. F C Figura 3. Termómetro Objetivos de aprendizaje Reconocer el conjunto de los números enteros a partir de sus propiedades Determinar las características de los números enteros Resolver operaciones en el conjunto de números enteros Actividad 1 Definición del conjunto de los números enteros y descripción de sus características De acuerdo a la animación de la introducción, y a la siguiente imagen, define que es el conjunto de los números enteros y cuáles son sus características Figura 4. Ascensor en edificio 2

3 Definición del conjunto de los números enteros: Características: Actividad 2 Reconocimiento de los conjuntos del conjunto de los números enteros 1. Observa el siguiente diagrama del conjunto de los números enteros y luego completa la siguiente frase, para ello usa las palabras que te dan como opciones: Conjunto de los números enteros Figura 5. Conjunto de los números enteros Entre otros, el conjunto de los números enteros contiene el de los principal conjunto números elementos naturales Como pudiste darte cuenta, en el diagrama del ejercicio anterior se presentó el conjunto de los números enteros, señalando cada uno de los conjuntos de dicho conjunto (el conjunto de los números naturales o positivos y el conjunto de los números enteros negativos o también llamados opuestos), lo cual se puede denotar por Z= {N U (0) U Z - }. 3

4 2. Ahora escribe los números que están en el círculo de la izquierda y que pertenecen al conjunto de los números enteros en el círculo de la derecha. Figura 6. Diagramas de Venn Actividad 3 Reconociendo el opuesto de un número Partiendo de tus saberes previos sobre el concepto de número opuesto, realiza el siguiente apareamiento: lee las situaciones de las columnas A y B y luego relaciona cada cifra que aparece en las situaciones de la Columna A, con la cifra que se le opone en la columna B. Para ello, escribe el número de la columna Número situación, hasta la columna Número situación con cifra opuesta que corresponda. Luego escribe en las columnas Cifra, la cifra que representa la misma. Número situación Columna A Un avión se encuentra a una altura de 250km. El polo sur presenta una temperatura de 35 C bajo cero Juan se ha ganado una lotería por $ El fílosofo Sócrates nació en el año 470 antes de Cristo Cifra Número situación son cifras opuestas Columna B Martina ha perdido una apuesta $ Un submarino se encuentra a una profundidad de 250km Un gran Volcán Exploto en el año 470 después de Cristo La costa atlántica presenta una temperatura de 35 C Cifra 4

5 Actividad 4 Valor absoluto de un número De acuerdo a tus saberes previos sobre Valor absoluto, resuelve los siguientes ejercicios. Para ello, haz clic en los botones de ejercicio. 1. Encuentra y señala en la sopa de números los valores absolutos de los números listados en la tabla de la izquierda. Mira las instrucciones. Instrucciones: Primero, elige el número de la tabla de la izquierda al que le buscarás el valor absoluto, y coloréalo con el color que desees. Luego, señala en la tabla de la derecha el valor absoluto, y coloréalo del mismo color que elegiste en la columna de la izquierda. Para señalar los valores absolutos que tengan más de un dígito, debes de colorear cada uno de los dígitos que conforman dicho número, con el mismo color que pintaste el número que elegiste en el primer paso. Se pueden señalar números con varios dígitos de forma horizontal o vertical (no diagonal). Sopa de Números Números Figura 7. Sopa de números 5

6 2. Si dos automóviles parten de un mismo punto cero a dos ciudades en sentido contrario, y cada ciudad está a 2250 km del punto de partida, y asociamos la imagen con la recta numérica, responde las siguientes preguntas: km 2250 km Figura 8. Distancia Preguntas: a. El carro negro va hacia el lado y este se representa con el signo b. El carro amarillo va hacia el lado y este se representa con el signo. c. Con cuál o cuáles signos puedes representar la distancia a la que se encuentran las ciudades? Por qué?: 3. Responde las siguientes preguntas: Qué es el valor absoluto de un número? Cómo se representa el valor absoluto de un número? 6

7 Escribe tres ejemplos de valor absoluto: Como definición de valor absoluto podemos decir: Si tienes un número negativo, por ejemplo -5, su valor absoluto es su opuesto, es decir: -5 = 5, y si tienes un número positivo por ejemplo 8, el valor absoluto del número es el mismo número positivo, es decir 8 = 8 Actividad 5 Ubicando números enteros sobre la recta numérica Ubica el número dado sobre la recta y escribe el antecesor y el sucesor de dicho número señalándolos con A o S, según corresponda. -5 Figura 9. Recta

8 -11 Actividad 6 Ordenando y comparando números enteros Ubica los números de la siguiente lista hasta el lugar correcto sobre la recta numérica, luego escríbelos de mayor a menor, y de menor a mayor en los recuadros, de tal forma que se cumplan las relaciones planteadas. Luego escribe algunas conclusiones sobre las relaciones de los números ordenados según los signos < y > y socialízalas en la clase es > es > es > es > es > es > es > es > < es < es < es < es < es < es < es < es 8

9 Actividad 7 Las leyes de los signos En esta actividad recordaremos las leyes de los signos, necesarias para resolver operaciones de suma, resta y multiplicación con enteros. Observa la tabla con atención, en la cual se incluyeron números al azar, y luego resuelve los ejercicios: Entonces, cuál es el resultado de multiplicar dos factores con signos iguales o hacerlo con factores de signos contrarios? Socializa tus respuestas en la clase. Figura 10. Leyes de los signos Ejercicio 1 Realiza las siguientes multiplicaciones con números enteros teniendo en cuenta las leyes de los signos. Copia en el espacio el factor o el producto que corresponda. a) 4 5 (-20) 6 = 20 6 = 6 = b) (-3) (-4) (-5) (-6) -2 = 30 (- 2) = (- 2) = c) 8 (-6) (-4) 5 (-6) 3 = (-48) (-4) 5 = (-48) -18 = (-48) = Ejercicio 2 Ahora completa las frases y responde las preguntas 1. Multiplicar cuatro factores con signos iguales dan resultados. 2. Multiplicar cuatro factores, tres con signos iguales y uno con signo contrario, dan resultados. 3. Multiplicar cinco factores con signos iguales dan resultados o. 4. El producto entre dos números enteros es y uno de los factores es -26 cuál es el valor del otro factor? 9

10 Actividad 8 Suma, resta y multiplicación de números enteros En esta actividad resolveremos sumas, restas y multiplicaciones teniendo en cuenta los signos de agrupación. Para ello resolveremos un ejemplo. Ejemplo: {50+[25-38]-25+[35-(45+20)]} = Para resolverlo seguiremos los siguientes pasos Elimina los signos de agrupación efectuando las operaciones de los signos de agrupación más internos, hasta efectuar las operaciones de los más externos. Recuerda que si un signo de agrupación esta precedido de un signo menos, esto implica utilizar la ley de los signos. Suma números positivos entre sí y negativos entre sí. Efectúa la operación sumando los dos resultados. 1. Realizar las operaciones intenas y eliminar signos de agrupación. {50+[-13]-25+[35-(65)]}, después {50+[-13]-25+[-30]} Cambiar los signos de resultados de las operaciones, si están precedidos del signo menos: { } Sumar números positivos entre si y negativos entre sí. Efectuar la suma de los dos números enteros resultantes. -13+(-25)+(-30)= =-18 hora resuelve los siguientes ejercicios: {35+(54-(-37-35).(-25)+82)} 10

11 -{52-[36-58-(24+82)+36]+32+(-42)} {-[27-3 (120+(-170))+25]+5 (34-49)} 11

12 Ahora observa la animación de la actividad, y compara lo que hiciste con lo que plantea esta. Se cumplen los casos presentados?, socializa tus conclusiones con los compañeros. Figura 11. Operaciones con numeros enteros Aquí te presentamos un resumen Suma de enteros Signos de 1er sumando Operación Signos de 2do sumario Signo del resultado Positivo (+) (+) Positivo (+) Positivo (+) Negativo (-) (+) Negativo (-) Negativo (-) Positivo (+) (+) Negativo (-) Signo del mayor Negativo (-) (+) Positivo (+) Signo del mayor Ejemplo 5+7=+12 (se suman los valores absolutos de los números) -5+(-7)=-12 (se suman los valores absolutos de los números) -5+(-7)=-2 (se restan los valores absolutos de los números) -5+7=12 (se restan los valores absolutos de los números) Resta: Recuerda que la resta en los números enteros se puede definir como la suma de un número con el opuesto del sustraendo En la multiplicación de dos factores: si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo, por ejemplo: (+4) (+3)= +12 (-4) (+3)= -12 (-4) (-3)= +12 (+4) (-3)=

13 El conjunto de los números enteros Puede realizar operaciones como Contiene Tiene características como La multiplicación Igual, dan un producto positivo Donde factores con signos Igual, dan un producto positivo La resta Donde se pueden restar, de número Signos positivos La suma Donde todos los sumandos pueden presentar Signos contrarios Al conjunto de los números naturales y sus opuestos Signos negativos Todos tienen un antecesor y un sucesor Entre dos números negativos, el mayor es el que esté mas cercano al cero Se pueden representar por medio de la recta númerica Son infinitos Entre dos números positivos, el mayor es que esté mas alejado al cero Positivo un negativo Positivo otro positivo Negativo un postivo Negativo otro negativo 13

14 Actividad 1 A partir de los valores que aparecen en las columnas a, b y c, resuelve las operaciones que se indican en las siguientes tres columnas: a b c a+(b + c) b [c-(a + b)] - [a + b (- c)] Realiza aquí los respectivos desarrollos: 14

15 Actividad 2 Lee la siguiente situación y después responde: Un termómetro marca a las 7 a.m., una temperatura de 8 C, y durante el día tiene los siguientes movimientos: A las 10:00 a.m. la temperatura sube 25 C. A la 1:00 p.m. baja 17 C. A las 4:00 p.m. el termómetro está marcando 22 C A las 7:00 p.m. la temperatura baja a 15 C. Figura 12. Termómetro 7:00 AM 8.0 C Responde: Qué temperatura marca el termómetro a las 10:00 a.m.? Cuál es la temperatura a la 1:00 p.m.? Cuál es la diferencia de temperatura entre la 1:00.pm. y las 4:00 p.m.? Cuántos grados marca a las 7:00 p.m.? Qué diferencia hay entre la temperatura de las 7:00 a.m. y las 7:00 p.m.? Actividad 3 A partir de la siguiente situación resuelve: En un tanque hay 200 L de agua. Si se abre una llave en la parte superior para que deposite 23 litros del líquido por minuto, y al mismo momento se abre otra llave que se encuentra en la parte inferior del depósito para que riegue externamente 14 L de agua por minuto, si se dejan abiertas las dos llaves por 12 minutos a. Cuántos litros de agua quedan en el tanque al cerrar las llaves? b. Cuántos litros de agua hay a los 8 minutos de haber abierto las llaves? Figura 13. Caneca 15

16 Figura 1. El trampolín Lista de figuras Figura 2. El ascensor Figura 3. Termómetro Figura 4. Ascensor en edificio Figura 5. Conjunto de los números enteros Figura 6. Diagramas de Venn Figura 7. Sopa de números Figura 8. Distancia Figura 9. Recta Figura 10. Leyes de los signos Figura 11. Libro Figura 12. Termómetro Figura 13. Caneca Hipertextos 7. (2010). Santillana. Referencias C. Boyer. (1987). Historia de la matemática. Alianza Universidad. Sánchez, L. E., & Restrepo, M. (2011). Matemáticas para pensar 7. Norma. Profesor en línea (Sf) Números enteros(z) Recuperado de matica/numerosenterosz.htm 16