Mecanismos Planos de Cuatro Barras, Rotabilidad y Criterio de Grashoff.

Transcripción

1 Mecanismos Planos de Cuatro Barras, Rotabilidad y Criterio de Grashoff. Alejandro Espíndola Á., Baltazar Hernández C. y José M.RicoM. Instituto Tecnológico de Celaya Departamento de Ingeniería Mecánica Celaya, Gto , México mrico@itc.mx 1 Abstracto. En este documento, se presentan los análisis necesarios para determinar las características de rotabilidad de los mecanismos planos de cuatro barras mediante dos diferentes métodos, las condiciones de rotabilidad y el criterio de Grashoff. Además, como un resultado adicional, se determinarán las posibles posiciones límite y posiciones de puntos muertos. 2 Mecanismos formados por pares inferiores. Hasta aquí, hemos analizado algunos aspectos comunes a todas las clases de mecanismos: Grados de libertad, análisis cinemático mediante metodos analíticos y gráficos. Sin embargo, a fín de profundizar nuestros conocimientos a- cerca de los mecanismos mas usuales, es necesario particularizar los análisis de acuerdo a la clase de mecanismos a tratar. No obstante, se mantendrá vigente la restricción de tratar exclusivamente mecanismos planos y se clasificarán como: 1. Mecanismos formados por pares inferiores. 2. Mecanismos que incluyen un par superior: Mecanismos de leva. Engranes y trenes de engranes. Obviamente, el par superior que incluyen los mecanismos de leva y engranes, es precisamente un par de leva. 1

2 3 Mecanismos Formados por Pares Inferiores. Dentro de esta clase mecanismos se encuentra el mostrado en la figura 1; en realidad estos mecanismos pueden, en algunos casos, construirse empleando pares superiores. La verdadera razón detrás de esta clasificación consiste en la relativa facilidad para realizar el análisis cinemático posición, velocidad y aceleración de esta clase de mecanismos mediante las ecuaciones de clausura del mecanismo y sus derivadas. Estos mecanismos tienen gran empleo por su capacidad de producir movimientos no uniformes y transmitir fuerzas considerables a velocidades elevadas. Figure 1: Mecanismo formado por pares inferiores. Aun cuando los métodos que se estudiarán a continuación son aplicables a mecanismos relativamente complicados como el de la figura 1, haremos referencia a mecanismos más simples como el mecanismo plano de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, figura 2 o el mecanismo de biela, manivela y corredera, figura 3. Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras. 2

3 Figure 3: Mecanismo de biela manivela corredera. 4 Mecanismos Planos de Cuatro Barras. Uno de los mecanismos más simples, estudiados y poderosos, es el mecanismo plano de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, a menudo conocido simplemente como mecanismo de cuatro barras, figura 2. La nomenclatura se indica a continuación: 1. El eslabón 1, MN, cuya longitud es a 1, se conoce como bastidor, marco oeslabón fijo. 2. El eslabón 2, MA, cuya longitud es a 2,sesuponeelmotrizyseconoce como manivela, eslabón de entrada, motriz o conductor. 3. El eslabón 3, AB, cuya longitud es a 3, se conoce como eslabón acoplador. 4. El eslabón 4, NB, cuya longitud es a 4,seconocecomoseguidor, eslabón de salida o conducido. Debe tenerse en cuenta, que el término manivela se emplea, en algunas ocasiones, con la connotación de un eslabón unido al bastidor que es capaz de rotar completamente alrededor de su eje. 5 Clasificación de los Mecanismos Planos de Cuatro Barras. Posiciones Críticas. Dependiendo de la capacidad de rotar de los eslabones motriz y conducido respecto a su eje de rotación, rotabilidad, los mecanismos de cuatro barras se clasifican en: 1. Doble oscilatorio double rocker cuando ambos eslabones unicamente pueden oscilar, obviamente, el ángulo de oscilación es menor a

4 2. Rotatorio oscilatorio crank rocker cuando uno de los eslabones motriz o conducido puede rotar, mientras que el otro solamente puede oscilar. 3. Doble rotatorio double crank cuando ambos eslabones pueden rotar. La rotabilidad de los eslabones de entrada y salida de un mecanismo, está intimamente ligada a la aparición de ciertas posiciones conocidas como posiciones críticas. Existen dos diferentes tipos de posiciones críticas. 1. Posición límite. Unaposición límite para el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de entrada es de 180 o 360 ; es decir, las revolutas M, A y B están en línea, vea la figura Posición de puntos muertos. Unaposición de puntos muertos para el eslabón de salida, en un mecanismo de cuatro barras, ocurre cuando el ángulo interior entre el eslabón acoplador y el de salida es de 180 o 360, las revolutas A, B y N están en línea, vea la figura 5. Es interesante notar que la clasificación es dependiente de cual eslabón se considere el motriz. Figure 4: Posición límite en un mecanismo plano de cuatro barras. Figure 5: Posición de puntos muertos en un mecanismo de cuatro barras. Puede probarse que, salvo una excepción 1, cuando en un mecanismo de cuatro barras se presenta una posición límite, el eslabón de salida estará imposibi- 1 La excepción está constituido por el mecanismo paralelogramo, en el que a 1 = a 3 y a 2 = a 4. 4

5 litado de rotar. Similarmente, si se presenta una posición de puntos muertos, el eslabón de entrada no podrá rotar. 6 Análisis de rotabilidad de un mecanismo de cuatro barras. El objetivo de este análisis consiste en determinar las relaciones que deben satisfacer las longitudes de los eslabones de un mecanismo plano de cuatro barras a fín de que el mecanismo sea doble rotatorio; como un subproducto se mostrarán las posiciones críticas que se producen cuando los eslabones de entrada o salida sólo oscilan. 6.1 Excepción del Criterio de Grübler. La primera condición que un mecanismo plano de cuatro barras debe satisfacer es que el mecanismo pueda realmente formarse y moverse, la condición viene dada por 4 2 a m < a i, (1) Donde, a m es la longitud del eslabón más grande y a i es la longitud del i-ésimo eslabón. Si la relación es una igualdad, el eslabonamiento constituye una estructura. Si, por el contrario, la relación es una desigualdad del tipo >, lacadenano puede cerrarse. 6.2 Primeras Condiciones. Intituivamente debe reconocerse 2 que las situaciónes más comprometidas ocurren cuando los eslabones de entrada y salida se alinean con el eslabón fijo; primero se analizarán las condiciones que aparecen cuando los eslabones de entrada y salida tratan de extenderse hacia el exterior. i=1 Eslabón de entrada. La primera situación crítica para el eslabón de entrada se muestra en la figura 6. De la desigualdad del triángulo, se tiene a 1 + a 2 a 3 + a 4, (2) si se satisface esta condición, el eslabón dos podrá tomar la posición θ 2 = Un análisis más riguroso puede encontrarse en Condiciones de Rotabilidad, una Alternativa al Criterio de Grashoff, Rico J.M., Memorias del IX Congreso de la Academia Nacional de Ingeniería, León Guanajuato,

6 Figure 6: Primera condición crítica en el eslabón de entrada. Si, por el contrario, se satisface que a 1 + a 2 a 3 + a 4, (3) Se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de esa posición semuestraenlafigura7.elángulo para el cual ocurre esta posición está dada por θ 2D1 = Cos 1 a2 1 + a2 2 (a 3 + a 4 ) 2 2 a 1 a 2. (4) Figure 7: Primera posición de puntos muertos del eslabón de entrada. Como puede observarse, las condiciones (2 y 3) no son excluyentes y cuando se satisfacen ambas se obtiene que a 1 + a 2 = a 3 + a 4 (5) El eslabón de entrada puede tomar la posicion θ 2 = 180 ;más sin embargo, se presenta una posición de puntos muertos que al mismo tiempo constituye una posición límite. Esta posibilidad se muestra en la figura 8. Esta situación se repetirá en los otros análisis pero en aras de una mayor fluidez, no se volverá a mencionar. 6

7 Figure 8: Posición límite y de puntos muertos. Eslabón de salida. La primera situación crítica para el eslabón de salida se muestra en la figura 9. De la desigualdad del triángulo se tiene a 1 + a 4 a 2 + a 3, (6) si se satisface está condición,eleslabón 4 podrá tomar la posición θ 4 =0. Figure 9: Primera posición crítica para el eslabón de salida. Si, por el contrario, se satisface que a 1 + a 4 a 2 + a 3, (7) Se presenta una posición límite tal como la mostrada en la figura 10. El ángulo para el cual ocurre, esta posición límite viene dado, por θ 4L1 = 180 α. (8) Donde α = Cos 1 a2 1 + a2 4 (a 2 + a 3 ) 2 2 a 1 a 4. (9) 7

8 A partir de identidades trigonométricas puede probarse que Cosθ 4L1 = Cosα (10) Por lo tanto, θ 4L1 = Cos 1 (a 2 + a 3 ) 2 a 2 1 a2 4 2 a 1 a 4 (11) Figure 10: Primera posición límite. 6.3 Segundas Condiciones. Las segundas condiciones más comprometidas ocurren cuando los eslabones de entrada y salida tratan de extenderse hacia el interior del mecanismo. Es decir, cuando los eslabones de entrada y salida tratan de obtener las posiciones asociadas con θ 2 =0 y θ 4 = 180 respectivamente. Figure 11: Segunda posición crítica para el eslabón de entrada, caso a 2 >a 1. 8

9 1. Eslabón de entrada. Deben distinguirse dos diferentes situaciones: a 2 >a 1. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 11. La desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 3y4conducena a 4 a 3 +(a 2 a 1 ) ó a 4 a 3 a 2 a 1. (12) a 3 a 4 +(a 2 a 1 ) ó a 3 a 4 a 2 a 1. (13) Figure 12: Segunda posición crítica para el eslabón de entrada, caso a 2 <a 1. a 1 >a 2 Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 12. La desigualdad del triángulo aplicada a los eslabones 3 y 4 conducen a a 3 a 4 +(a 1 a 2 ) ó a 3 a 4 a 1 a 2. (14) a 4 a 3 +(a 1 a 2 ) ó a 4 a 3 a 1 a 2. (15) Las cuatro ecuaciones (12, 13, 14 y 15) pueden resumirse en Si por el contrario, se tiene que a 2 a 1 a 4 a 3. (16) a 2 a 1 a 4 a 3, (17) se presenta una posición de puntos muertos, un ejemplo de la cual, cuando a 4 >a 3, se muestra en la figura 13. El ángulo para el cual ocurre está posición es θ 2D2 = Cos 1 a2 1 + a2 2 (a 4 a 3 ) 2 2 a 1 a 2 (18) 9

10 Figure 13: Segunda posición de puntos muertos. 2. Eslabón de salida. Deben distinguirse dos diferentes situaciones: a 1 >a 4. Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 14. La desigualdad del triángulo aplicado a los eslabones 2y3conducena a 2 a 3 +(a 1 a 4 ) ó a 2 a 3 a 1 a 4. (19) a 3 a 2 +(a 1 a 4 ) ó a 3 a 2 a 1 a 4. (20) Figure 14: Segunda posición crítica para el eslabón de salida, caso a 1 <a 4. a 4 >a 1 Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 15. La desigualdad del triángulo aplicada a los eslabones 2 y 3 conducen a 10

11 Figure 15: Segunda posición crítica para el eslabón de salida, caso a 4 <a 1. a 2 a 3 +(a 4 a 1 ) ó a 2 a 3 a 4 a 1. (21) a 3 a 2 +(a 4 a 1 ) ó a 3 a 2 a 4 a 1. (22) Las cuatro ecuaciones (19, 20, 21 y 22) pueden resumirse en Si por el contrario, se tiene que a 4 a 1 a 3 a 2. (23) a 4 a 1 a 3 a 2, (24) se produce una posición límite, semejante a la mostrada en la figura 16, esta posición límite ilustra la situación que ocurre cuando a 3 >a 2. De manera similar al desarrollo de la ecuación (18), puede mostrarse que θ 4L2 = Cos 1 (a 3 a 2 ) 2 a 2 1 a a 1 a 4 (25) Es importante recalcar que los cálculos que se han realizado para determinar los ángulos asociados a las posiciones de puntos muertos y de posiciones límites no son exhaustivos, pues seria tardado dibujar todas las posibles variantes; en casos generales lo más conveniente consiste en realizar un dibujo en base a la colinealidad de las revolutas, NAB y MAB respectivamente, y de allí calcular los ángulos. Resumiendo, las condiciones a 1 + a 2 a 3 + a 4 a 2 a 1 a 4 a 3 11

12 Figure 16: Segunda posición límite del eslabón de salida. aseguran la rotabilidad del eslabón 2, que se ha supuesto es el motriz. El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición de puntos muertos por cada condición. Similarmente las condiciones a 1 + a 4 a 2 + a 3 a 4 a 1 a 3 a 2 aseguran la rotabilidad del eslabón 4. El incumplimiento de estas condiciones o su cumplimiento en igualdad, conduce a una posición límite por cada relación. Bajo estas condiciones el mecanismo será: 1. Doble oscilatorio. Cuando sus longitudes no satisfagan alguna o ambas de las condiciones de rotabilidad del eslabón 2 y del eslabón Oscilatorio rotatorio. Cuando sus longitudes satisfagan ambas condiciones del eslabón 2 y no satisfagan alguna o ambas de las condiciones del eslabón 4 o viceversa. En el primer caso el eslabón capaz de rotar será el 2 y se presentará al menos una posición limite. En el segundo caso el eslabón capaz de rotar será el4ysepresentará al menos una posición de puntos muertos. 3. Doble rotatorio. Cuando las cuatro condiciones anteriores se satisfagan. Con relación a eslabones que sólo pueden oscilar, es posible definir el ángulo de oscilación, comoelángulo que el eslabón puede rotar sin que se presente posiciones críticas. Las ecuaciones (2, 6, 16 y 19) permiten conocer de manera rápida y eficiente la clase de mecanismo de cuatro barras así como detectar el nmero de posiciones criticas. 12

13 7 Criterio de Grashoff. Las condiciones de rotabilidad, deducidas en la sección anterior, son posteriores, cronologicamente hablando, al criterio de Grashoff que igualmente permite clasificar a los mecanismos de cuatro barras, aun cuando no especifica en su caso, el número u clase de posiciones críticas. De acuerdo con el criterio de Grashoff, los mecanismos de cuatro barras se dividen en dos clases: 1. Mecanismos de la Clase I. Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satisfacen la condición L + s p + q (26) Donde, L es la longitud del eslabón más largo, longest, s es la longitud del eslabón más corto, shortest, p, q son las longitudes de los eslabones intermedios. Dentro de esta clase, I, los mecanismos se subclasifican en Si el eslabón más corto, s, es el conductor o el conducido el mecanismo es rotatorio oscilatorio, donde es eslabón capaz de rotar es el mas corto. Si el eslabón más corto es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio. En cualquier otra situación el mecanismo es doble-oscilatorio, pero el eslabón acoplador puede rotar 360 respecto a ambos, el eslaboón de entrada y el eslabón de salida. 2. Mecanismos de la clase II. Pertenecen a esta clase, todos los mecanismos de cuatro barras que satisfacen la condición L + s>p+ q. (27) Todos los mecanismos de la clase II son doble oscilatorios, ninguno de los eslabones puede rotar Comprobación del criterio de Grashoff a partir de las condiciones de rotabilidad. El criterio de Grashoff puede probarse a partir de las condiciones de rotabilidad de los eslabones de entrada y salida; sin embargo, el desarrollo es tan laborioso que es imposible presentarlo en su totalidad. Como ejemplo se probará que un mecanismo de la clase I, en la que el eslabón máscortoeselfijo,esdoble rotatorio. Es decir, se supondrá que el mecanismo satisface las condiciones L + s p + q, a 1 = s. 13

14 Para probarlo, es necesario generar todas las posibles combinaciones en que pueden seleccionarse los eslabones de entrada y de salida; existen 3 eslabones, L, p, q, para dos posibilidades, a 2,a 4, asi pues, el número de combinaciones será 3! C 3,2 = 2! (3 2)! = 3! 2! 1! =3. Esas tres posibles combinaciones son: 1. a 2 = p y a 4 = q. Por lo tanto, a 3 = L. 2. a 2 = p y a 4 = L. Por lo tanto, a 3 = q. 3. a 2 = q y a 4 = L. Por lo tanto, a 3 = p. A continuación se analiza cada una de esas combinaciones. 1. a 2 = s, a 2 = p, a 3 = L, a 4 = q. (a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2. a 1 + a 2 a 3 + a 4 o s + p L + q rearreglando la ecuación se tiene que p q L s la satisfacción de esta ecuación es obvia. a 2 a 1 a 4 a 3 o p s q L rearreglando la ecuación se tiene que p s L q o finalmente, p + q L + s esta última ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I. (b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4. a 1 + a 4 a 2 + a 3 o s + q p + L rearreglando la ecuación se tiene que q p L s la satisfacción de esta ecuación es obvia. a 4 a 1 a 3 a 2 o q s L p. rearreglando la ecuación q s L p, o q + p L + s, esta ecuación se satisface pues el mecanismo es de la clase I. 14

15 2. a 1 = s, a 2 = p, a 3 = q, a 4 = L. (a). Condiciones de rotabilidad del eslabón 2. a 1 + a 2 a 3 + a 4 o s + p q + L rearreglando la ecuación p q L s la satisfacción de esta ecuación es obvia. a 2 a 1 a 4 a 3 p s L q rearreglando la ecuación p s L q o finalmente, p + q L + s esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I. (b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4. a 1 + a 4 a 2 + a 3 o s + L p + q esta ecuación se satisface puesto que el mecanismo es de la clase I. a 4 a 1 a 3 a 2 o L s q p. rearreglando la ecuación L s q p la satisfacción de esta ecuación es obvia. 3. a 1 = s, a 2 = q, a 3 = p, a 4 = L. (a) Condiciones de rotabilidad del eslabón 2. a 1 + a 2 a 3 + a 4 o s + q p + L. rearreglando la ecuación q p L s la satisfacción de esta ecuación es obvia. a 2 a 1 a 4 a 3 o q s L p rearreglando la ecaución q + p L + s Se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I. 15

16 (b) Condiciones de rotabilidad del eslabón 4. a 1 + a 4 a 2 + a 3 o s + L q + p. Esta ecuación se cumple puesto que el mecanismo es de la clase I. a 4 a 1 a 3 a 2 o L s p q. rearreglando la ecuación L s p q la satisfacción de esta ecuación es obvia. Todas estas comprobaciones muestran que cuando en un mecanismo de la clase I, el eslabón mas chico es el fijo, el mecanismo es doble rotatorio, sin importar cuales sean los restantes eslabones. 9 Rotabilidad y Posiciones Críticas en el Mecanismo de Biela Manivela Corredera. En esta sección, se mostrará como las condiciones de rotabilidad deducidas para el mecanismo plano de cuatro barras pueden emplearse para determinar la rotabilidad del mecanismo de biela manivela corredera y sus posiciones críticas. Considere el mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la figura 17. Debe recordarse que un par prismático es equivalente a un par de revoluta localizado en el infinito en una dirección perpendicular a la dirección de movimiento relativo del par prismático. Por lo tanto, la longitud de los eslabones 1 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera estará dada por a 1 = + e y a 4 = (28) donde e>0. Con estos datos, es posible analizar la rotabilidad de los eslabones 2 y 4 del mecanismo de biela manivela corredera. 9.1 Rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera. En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 2 del mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la Figura 17. De la primera condición de rotabilidad se tiene que a 1 + a 2 a 3 + a 4, (29) sustituyendo los valores a 1 = + e y a 4 =, setieneque + e + a 2 a 3 +. (30) 16

17 Figure 17: Mecanismo de biela manivela corredera, con los eslabones equivalentes a un mecanismo plano de cuatro barras. Porlotanto,lacondición se reduce a De la segunda condición de rotabilidad se tiene que a 2 a 3 e. (31) a 2 a 1 a 4 a 3. (32) sustituyendo los valores a 1 = + e y a 4 =, setieneque o, notando que + e>a 2 yque >a 3, a 2 ( + e) a 3. (33) + e a 2 a 3 (34) o e a 2 a 3 o a 3 + e a 2 o a 2 a 3 + e. (35) Las ecuaciones 31 y 35 son las ecuaciones que determinan si el eslabón 2 puede rotar. En particular, si la excentricidad del mecanismo de biela manivela 17

18 corredera es nula, un caso muy común, ambas condiciones de rotabilidad del eslabón 2, la biela, se reducen a Si la ecuación 31 no se satisface, es decir si a 2 a 3. (36) a 2 >a 3 e o a 2 + e>a 3, (37) el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de puntos muertoscomolaquesemuestraenlafigura18 Figure 18: Mecanismo de biela manivela corredera en la primera posición de puntos muertos. Si la ecuación 35 no se satisface, es decir si a 2 >a 3 + e o a 2 e>a 3, (38) el eslabón 2, la biela, es incapaz de rotar y se presenta una posición de puntos muertoscomolaquesemuestraenlafigura19 Figure 19: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición de puntos muertos. 18

19 9.2 Rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera. En esta sección se analizará la rotabilidad del eslabón 4 del mecanismo de biela manivela corredera mostrado en la Figura 17. De la primera condición de rotabilidad se tiene que a 1 + a 4 a 2 + a 3, (39) sustituyendo los valores a 1 = + e y a 4 =, setieneque + e + a 2 + a 3, o 2 + e a 2 + a 3. (40) Es evidente, que esta condición no puede satisfacerse y se presenta la posición límite indicada en la Figura 20. El valor máximo de la carrera de la corredera está dadopor s 1 = (a 2 + a 3 ) 2 e 2. (41) Figure 20: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición límite. De la segunda condición de rotabilidad se tiene que a 4 a 1 a 3 a 2, (42) sustituyendo los valores a 1 = + e y a 4 =, setieneque ( + e) a 3 a 2, o e a 3 a 2. (43) Si esta condición no se satisface, es decir si e< a 3 a 2 (44) se presenta la posición límite indicada en la Figura 21, en la que se supone que a 3 a 2. El valor mínimo de la carrera de la corredera está dadopor s 2 = (a 3 a 2 ) 2 e 2. (45) 19

20 Figure 21: Mecanismo de biela manivela corredera en la segunda posición límite. 20