FUNCIONES VECTORIALES
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- Santiago Hernández Peralta
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1 FUNCIONES VECTORIALES Sergio Stive Solano Sabié 1 Enero de Visita
2 FUNCIONES VECTORIALES Sergio Stive Solano Sabié 1 Enero de Visita
3 Funciones vectoriales Definición 1.1 Una función con valor vectorial o función vectorial, es una función cuyo dominio es un conjunto de numeros reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Una función vectorial r cuyos valores son vectores tridimensional denotados por r(t) para cada número t en el dominio de r podemos escribirla como r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k f, g y h son funciones reales llamadas funciones componentes de r. Ejemplo 1.1 Si r(t) = t 3, ln(3 t), t las funciones componentes son f(t) = t 3, g(t) = ln(3 t), h(t) = t.
4 Funciones vectoriales Definición 1.1 Una función con valor vectorial o función vectorial, es una función cuyo dominio es un conjunto de numeros reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Una función vectorial r cuyos valores son vectores tridimensional denotados por r(t) para cada número t en el dominio de r podemos escribirla como r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k f, g y h son funciones reales llamadas funciones componentes de r. Ejemplo 1.1 Si r(t) = t 3, ln(3 t), t las funciones componentes son f(t) = t 3, g(t) = ln(3 t), h(t) = t.
5 Funciones vectoriales Definición 1.2 Si r(t) = f(t), g(t), h(t), entonces lím r(t) = límf(t), límg(t), lím h(t) t a t a t a t a en caso que existan los límites de las funciones componentes. Ejemplo 1.2 Encuentre el límr(t) donde r(t) = (1 + t 3 )i + te t + sen t t 0 t k Definición 1.3 Una función vectorial r es continua en a si lím t a r(t) = r(a)
6 Funciones vectoriales Definición 1.2 Si r(t) = f(t), g(t), h(t), entonces lím r(t) = límf(t), límg(t), lím h(t) t a t a t a t a en caso que existan los límites de las funciones componentes. Ejemplo 1.2 Encuentre el límr(t) donde r(t) = (1 + t 3 )i + te t + sen t t 0 t k Definición 1.3 Una función vectorial r es continua en a si lím t a r(t) = r(a)
7 Curvas en el espacio Definición 1.4 Suponga que f, g y h son funciones reales en un intervalo I. Entonces, el conjunto C de todos los puntos (x, y, z) en el espacio en que x = f(t) y = g(t) z = h(t) (1.1) y t varía en todo el intervalo I, se llama curva en el espacio. Las ecuaciones de 1.1 se denominan ecuaciones paramétricas de C y t se llama parámetro. Ejemplo 1.3 Dibuje la curva (hélice) cuya ecuación vectorial es r(t) = cos ti + sen tj + tk.
8 Curvas en el espacio Definición 1.4 Suponga que f, g y h son funciones reales en un intervalo I. Entonces, el conjunto C de todos los puntos (x, y, z) en el espacio en que x = f(t) y = g(t) z = h(t) (1.1) y t varía en todo el intervalo I, se llama curva en el espacio. Las ecuaciones de 1.1 se denominan ecuaciones paramétricas de C y t se llama parámetro. Ejemplo 1.3 Dibuje la curva (hélice) cuya ecuación vectorial es r(t) = cos ti + sen tj + tk.
9 Derivadas Definición 1.5 Si r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, donde f, g y h son funciones derivables, entonces r (t) = f (t), g (t), h (t) = f (t)i + g (t)j + h (t)k Ejemplo 1.4 Encuentre la derivada de r(t) = (1 + t 3 )i + te t j + sen 2tk
10 Derivadas Definición 1.5 Si r(t) = f(t), g(t), h(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, donde f, g y h son funciones derivables, entonces r (t) = f (t), g (t), h (t) = f (t)i + g (t)j + h (t)k Ejemplo 1.4 Encuentre la derivada de r(t) = (1 + t 3 )i + te t j + sen 2tk
11 Reglas de derivación Teorema 1.1 Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, que c es un escalar y que f es una función real. Entonces 1 d dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2 d dt [cu(t)] = cu (t) 3 d dt [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) 4 d dt [u(t) v(t)] = u (t)v(t) + u(t)v (t) 5 d dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6 d dt [u(f(t))] = f (t)u (f(t))
12 Reglas de derivación Teorema 1.1 Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, que c es un escalar y que f es una función real. Entonces 1 d dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2 d dt [cu(t)] = cu (t) 3 d dt [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) 4 d dt [u(t) v(t)] = u (t)v(t) + u(t)v (t) 5 d dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6 d dt [u(f(t))] = f (t)u (f(t))
13 Reglas de derivación Teorema 1.1 Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, que c es un escalar y que f es una función real. Entonces 1 d dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2 d dt [cu(t)] = cu (t) 3 d dt [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) 4 d dt [u(t) v(t)] = u (t)v(t) + u(t)v (t) 5 d dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6 d dt [u(f(t))] = f (t)u (f(t))
14 Reglas de derivación Teorema 1.1 Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, que c es un escalar y que f es una función real. Entonces 1 d dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2 d dt [cu(t)] = cu (t) 3 d dt [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) 4 d dt [u(t) v(t)] = u (t)v(t) + u(t)v (t) 5 d dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6 d dt [u(f(t))] = f (t)u (f(t))
15 Reglas de derivación Teorema 1.1 Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, que c es un escalar y que f es una función real. Entonces 1 d dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2 d dt [cu(t)] = cu (t) 3 d dt [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) 4 d dt [u(t) v(t)] = u (t)v(t) + u(t)v (t) 5 d dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6 d dt [u(f(t))] = f (t)u (f(t))
16 Reglas de derivación Teorema 1.1 Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, que c es un escalar y que f es una función real. Entonces 1 d dt [u(t) + v(t)] = u (t) + v (t) 2 d dt [cu(t)] = cu (t) 3 d dt [f(t)u(t)] = f (t)u(t) + f(t)u (t) 4 d dt [u(t) v(t)] = u (t)v(t) + u(t)v (t) 5 d dt [u(t) v(t)] = u (t) v(t) + u(t) v (t) 6 d dt [u(f(t))] = f (t)u (f(t))
17 Integrales La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede expresar en términos de sus funciones componentes f, g y h, como sigue b a ( b r(t)dt = a ) ( b ) ( b ) f(t)dt i + g(t)dt j + h(t)dt k a a Ejemplo 1.5 Si r(t) = 2 cos ti + sen tj + 2tk, entonces π/2 0 r(t)dt = [ 2 sen ti cos tj + t 2 k ] π/2 0 = 2i + j + π2 4 k
18 Integrales La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede expresar en términos de sus funciones componentes f, g y h, como sigue b a ( b r(t)dt = a ) ( b ) ( b ) f(t)dt i + g(t)dt j + h(t)dt k a a Ejemplo 1.5 Si r(t) = 2 cos ti + sen tj + 2tk, entonces π/2 0 r(t)dt = [ 2 sen ti cos tj + t 2 k ] π/2 0 = 2i + j + π2 4 k
19 Longitud de arco Suponga que una curva en el espacio tiene la ecuación vectorial r(t) = f(t), g(t), h(t), a t b, donde f, g y h son continuas. Si la curva es atrevesada una sola vez conforme t se incrementa de a a b, entonces su longitud es L = b a [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)] 2 dt Ejemplo 1.6 Halle la longitud de arco de la hélice circular con ecuación vectorial r(t) = cos ti + sen tj + tk, desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 2π).
20 Longitud de arco Suponga que una curva en el espacio tiene la ecuación vectorial r(t) = f(t), g(t), h(t), a t b, donde f, g y h son continuas. Si la curva es atrevesada una sola vez conforme t se incrementa de a a b, entonces su longitud es L = b a [f (t)] 2 + [g (t)] 2 + [h (t)] 2 dt Ejemplo 1.6 Halle la longitud de arco de la hélice circular con ecuación vectorial r(t) = cos ti + sen tj + tk, desde el punto (1, 0, 0) hasta el punto (1, 0, 2π).
21 Campos vectoriales Definición 1.6 Sea D un conjunto en R 2 (una región plana). Un campo vectorial sobre R 2 es una función F que asigna a cada punto (x, y) D un vector bidimensional F (x, y). Definición 1.7 Sea E un conjunto en R 3 (una región plana). Un campo vectorial en R 3 es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) E un vector tridimensional F (x, y, z). Ejemplo 1.7 Un campo vectorial sobre R 2 está definido por F (x, y) = yi + xj Desecriba F representando algunos vectores F (x, y).
22 Campos vectoriales Definición 1.6 Sea D un conjunto en R 2 (una región plana). Un campo vectorial sobre R 2 es una función F que asigna a cada punto (x, y) D un vector bidimensional F (x, y). Definición 1.7 Sea E un conjunto en R 3 (una región plana). Un campo vectorial en R 3 es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) E un vector tridimensional F (x, y, z). Ejemplo 1.7 Un campo vectorial sobre R 2 está definido por F (x, y) = yi + xj Desecriba F representando algunos vectores F (x, y).
23 Campos vectoriales Definición 1.6 Sea D un conjunto en R 2 (una región plana). Un campo vectorial sobre R 2 es una función F que asigna a cada punto (x, y) D un vector bidimensional F (x, y). Definición 1.7 Sea E un conjunto en R 3 (una región plana). Un campo vectorial en R 3 es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) E un vector tridimensional F (x, y, z). Ejemplo 1.7 Un campo vectorial sobre R 2 está definido por F (x, y) = yi + xj Desecriba F representando algunos vectores F (x, y).
24 Campos vectoriales
25 GRACIAS POR SU ATENCIÓN
Funciones vectoriales 831
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