ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano 1 Abril de Visita

2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano 1 Abril de Visita

3 Ecuaciones Definición 1.1 Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de la función desconocida. Un ejemplo de una ecuación diferencial es la ley de Newton: m d2 u(t) dt 2 = F ( t, u(t), du(t) ) dt (1.1) para la posición u(t) de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F, que puede ser una función del tiempo t, de la posición u(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el movimiento de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F es necesario hallar una función u que satisface la ecuación 1.1.

4 Ecuaciones Definición 1.1 Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene una o más derivadas de la función desconocida. Un ejemplo de una ecuación diferencial es la ley de Newton: m d2 u(t) dt 2 = F ( t, u(t), du(t) ) dt (1.1) para la posición u(t) de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F, que puede ser una función del tiempo t, de la posición u(t) y de la velocidad du(t)/dt. Para determinar el movimiento de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F es necesario hallar una función u que satisface la ecuación 1.1.

5 Ecuaciones ordinarias y parciales Definición 1.2 Si la función desconocida depende de una sola variable independiente, en la ecuación diferencial sólo aparecen derivadas ordinarias, por lo que se dice que es una ecuación ordinaria. Definición 1.3 Si la función desconocida depende de varias variables independientes, las derivadas son derivadas parciales, por lo que la ecuación se denomina ecuación diferencial parcial.

6 Ecuaciones ordinarias y parciales Ejemplo 1.1 Las siguientes son ejemplos de ordinarias. 1 La ecuación diferencial de la ley de Newton: m d2 u(t) dt 2 = F ( t, u(t), du(t) ) dt para la posición u(t) de una partícula sobre la cual actúa una fuerza F. 2 La ecuación que rige el decaimiento con el tiempo de una cantidad R(t) de una sustancia radiactiva (como el radio), dr(t) = kr(t) (1.2) dt en donde k es una constante conocida.

7 Ecuaciones ordinarias y parciales Ejemplo 1.2 Las siguientes son ejemplos de parciales. 1 La Ecuación del Potencial: 2 u(x, y) x u(x, y) y 2 = 0 2 La Ecuación de la Difusión o Conducción de Calor: α 2 2 u(x, t) x 2 = en donde α es cierta constante. u(x, t). t Estas surgen de diversos problemas en los campos de la electricidad y del magnetismo, elasticidad y mecánica de fluidos.

8 Sistema de Si hay que determinar una sola función, entonces basta una ecuación. Si existen dos o más funciones desconocidas, entonces se requiere un sistema de. Ejemplo 1.3 El siguiente sistema de de Lotka-Volterra, o del depredador-presa, es importante en la creación de modelos ecológicos: dh = ah αhp dt dp = cp + γhp dt en donde H(t) y P (t) son las poblaciones respectivas de las especies presa y depredadora. Las constantes a, α, c y γ se basan en observaciones empíricas y dependen especies en estudio.

9 Orden Definición 1.4 El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparece en ella. Ejemplo 1.4 Las 1.1 es una ecuación ordinarias de segundo orden y la 1.2 es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. De manera más general, la ecuación F [x, u(x), u (x),..., u n (x)] = 0 (1.3) es una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden. Ejemplo 1.5 La ecuación y + 2e x y + yy = x 4 es una ecuación diferencial ordinaria de tercer orden para y = u(x).

10 Orden En ocasiones, dependiendo del contexto se usan otras letras en lugar de y. Se supone que siempre es posible despejar la derivada de orden más alto en una ecuación diferencial ordinaria dada y obtener y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1) ) (1.4) Sólo se estudiarán las de la forma 1.4. Lo anterios se hace principalmente para evitar la ambigüedad que pudiera surgir debido a que una sola ecuación de la forma 1.3 puede corresponder a varias de la forma 1.4. Por ejemplo, la ecuación (y ) 2 + xy + 4y = 0 da las dos y = x+ x 2 16y 2 o x x 2 16y 2.

11 Solución Definición 1.5 Una solución de la ecuación diferencial 1.4 sobre un intervalo α < x < β es una función φ tal que existen φ, φ,..., φ (n) y se satisface φ (n) = f(x, φ, φ, φ,..., φ (n 1) ) para toda x en α < x < β. A menos que se diga otra cosa, se supone que la función f de la ecuación 1.4 es una función de valores reales, y se tiene interés en obtener las soluciones y = φ(x) de valores reales.

12 Solución Ejemplo 1.6 Es fácil comprobar por sustitución directa que la ecuación 1.2 de primer orden tiene la solución R = φ(t) = ce kt, < t <, en donde c es una constante arbitraria. Ejemplo 1.7 Las funciones y 1 (x) = cosx y y 2 (x) = senx son soluciones de y + y = 0 para toda x. Ejemplo 1.8 Se comprueba que φ(x) = x 2 ln x es una solución de x 2 y 3xy + 4y = 0, x > 0 :

13 GRACIAS POR SU ATENCIÓN