PROBLEMAS - DENSIDAD. Ejercicio 1 flotación RESOLUCIÓN

Transcripción

1 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA ROBLMAS - DNSIDAD jercicio 1 flotación Dadas las siguientes situaciones, en las que el iso se encuentra suergido en tres líquidos diferentes y en estado de reposo: A B C a- Indique cóo es el eso respecto del puje en cada una de las situaciones. b- Copare las densidades de los líquidos entre sí y con la del sólido. c- Copare los epujes entre sí. d- Indique que sucederá con un del iso aterial pero del doble de asa que en el usado en las situaciones anteriores, al colocarlo en el líquido C. squeatice las fuerzas que actúan en esta situación. e- Cóo será el epuje de un areóetro suergido en líquidos de distintas densidades? Tiene alguna analogía con lo planteado anteriorente? por qué flota un areóetro de vidrio en agua y no una varilla aciza hecha con el iso aterial? RSOLUCIÓN Al leer el enunciado de este problea, es posible que se nos presenten uchos interrogantes, incluso antes de intentar responder alguno de los ítes planteados. or ejeplo: por qué el flota en los recipientes B y C? qué es lo que hace que el peranezca inóvil en las tres situaciones? por qué al coparar las situaciones B y C se ve que el flota con distintos volúenes suergidos? por qué en la situación A el no flota? Cátedra de Física-FFYB-UBA [1]

2 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA ara encarar este problea teneos que tener presente algunos conceptos fundaentales: i- la priera Ley de Newton ii- el significado de puje (qué tipo de agnitud es, cuál es su origen y dónde se aplica). La rier Ley o rincipio de INRCIA dice todo persevera en su estado de reposo o oviiento unifore y rectilíneo ientras no actúe sobre dicho una FURZA NTA que perturbe ese estado. n este caso en particular debeos prestar especial atención a la inercia que presentan los s en reposo. l MUJ es una agnitud vectorial, ás específicaente es una FURZA que surge en virtud de la diferencia de presiones que hay entre las caras inferior y superior de un cuando éste se encuentra suergido en un fluido (ya sea líquido o gas), tiene la isa dirección que la fuerza eso pero sentido opuesto y su valor es igual al peso del líquido desalojado por el (ver rincipio de Arquíedes en algún libro de Física). Teniendo esto en ente, podeos plantear las ecuaciones siguientes recordando que el MÓDULO del puje es equivalente al SO DL FLUIDO DSLAZADO (ecuación 1) y que el SO DL FLUIDO DSLAZADO depende de la aceleración de la gravedad y de la asa de fluido (ecuación 2), la cual puede ser expresada coo el producto entre su densidad y voluen (ecuación 3). fluidodesplazado fluidodesplazado fluidodesplazado fluidodesplazado (1) fluidodesplazado fluidodesplazado suergido (4) g (2) fluidodesplazado (3) Sabiendo adeás que el voluen de fluido desplazado es igual al OLUMN D CURO SUMRGIDO, (ecuación 4), si cobinaos las ecuaciones anteriores podeos expresar el Cátedra de Física-FFYB-UBA [2]

3 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA MUJ coo el producto entre el voluen suergido del y el peso específico del líquido. (ecuación 6). = suergido d líquido g (5) = suergido r líquido (6) Ahora sí, intenteos abordar la priera pregunta que surge: por qué el flota en las situaciones B y C?. peceos a aplicar los conceptos vistos. odeos observar que el en la situación B está en ROSO flotando en el seno de líquido, por lo cual, si toaos en cuenta la priera Ley de Newton, concluios que la SUMATORIA D FURZAS ACTUANTS sobre el es NULA. Acto seguido debeos plantear un DIAGRAMA D CURO LIBR en el cual se evidencien las fuerzas actuantes en el bloque. Sabeos que cuando un está suergido en un fluido, recibe una fuerza llaada MUJ y tabién sabeos que al estar en el capo gravitatorio terrestre, el bloque es atraído a la Tierra con una fuerza llaada SO. ntonces ya podeos ir encadenando los conceptos: el no se ueve por lo que decios que la suatoria de fuerzas actuantes es cero, pero a su vez sabeos que solo las fuerzas peso y epuje están aplicadas sobre él. Sabiendo que las fuerzas peso y epuje tienen isa dirección pero sentido opuesto, podeos concluir que abas tienen el iso ódulo, razón por la cual estas fuerzas se contrarrestan haciendo que el peranezca en reposo. Diagraa de Cuerpo Libre suergido líquido suergido líquido Cátedra de Física-FFYB-UBA [3]

4 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA De la isa anera, en la situación C, al encontrarse el quieto y flotando en la superficie, las fuerzas que intervienen son las isas que en el caso B, y por lo tanto se cuple aquí tabién que el peso es igual al epuje. l diagraa será exactaente igual al de la situación B porque, aunque el se encuentre enos suergido, el equilibrio de fuerzas es el iso. Diagraa de Cuerpo Libre ntonces, por qué si las fuerzas actuantes son las isas, el flota a distintas alturas en cada situación? Coo priera respuesta, sin siquiera pensarla unos segundos, uno tiende a decir que en la situación C el flota parcialente suergido en el líquido porque en este caso el MUJ es ayor que el epuje que recibe el en la situación B. ero esto es INCORRCTO. Coo dijios anteriorente en abas situaciones el está en equilibrio de fuerzas. Tanto para B coo para C se cuple que = y si el es el iso, la fuerza eso en abos casos es la isa, por lo cual por el MUJ N AMBOS CASOS S L MISMO ntonces, qué es lo que cabia? B B C C ara coprender ejor esto debeos identificar qué es lo que peranece igual en las dos situaciones y que cabia. Las agnitudes que peranecen iguales son: la asa del Cátedra de Física-FFYB-UBA [4]

5 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA, el voluen del y el peso específico del. Las que cabian son: el voluen suergido del y la densidad del fluido (es un fluido distinto). Coo podeos observar hay sólo dos variables que cabian, y se podría pensar que estos cabios están de alguna anera relacionados. Sabeos que el epuje que recibe un en el seno del líquido es igual al producto del voluen suergido del por el peso específico del líquido y que en abos casos los epujes son iguales, por lo tanto al cabiar el peso específico del líquido variará en consecuencia el voluen suergido, de anera tal que el producto de abos (esto es el puje) peranezca constante. Si la densidad del líquido auenta el voluen suergido será enor y viceversa. suergido suergido B liq B líquido suergido C liq C Coo suergido B suergido C suergido B suergido C Concluios que, liquido B liquido C Coo la densidad del líquido C es ayor que la densidad del liquido B el flota en C con un voluen suergido enor que B Ahora analiceos coo es la densidad de con respecto a la densidad de los líquidos en los casos B y C. n las dos situaciones anteriores heos planteado que coo el Cátedra de Física-FFYB-UBA [5]

6 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA está flotando en equilibrio (en el seno o en la superficie de líquido) el peso del es igual al epuje que recibe en el líquido. n la situación B podeos escribir: c c B sub liq B Coo suergido B ntonces, concluios que liquido B Lo iso podeos plantear para la situación C c c C suc liq C n este caso suergido C ntonces, para que la igualdad se cupla liquido C ayaos ahora a la situación A. A diferencia de lo que ocurría en las situaciones B y C, el en la situación A se encuentra apoyado en el fondo del recipiente. l se fue al fondo del recipiente porque al depositar el en el seno del líquido, el peso del iso resultó ser ayor que el epuje, las fuerzas no se equilibraron y el se desplazó hacia el fondo. Cuando el toca la base del recipiente se detiene. Aparece aquí otra fuerza, llaada Noral, producto de la interacción con la base (tercera Ley de Newton: acción y reacción) que contrarresta la diferencia entre el peso y el epuje (peso Cátedra de Física-FFYB-UBA [6]

7 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA aparente). Coo en la situación final el se encuentra en reposo, la suatoria de fuerzas es igual a cero y podeos plantear A N 0 Teniendo en cuenta esto, se puede proceder a la confección del diagraa de libre para visualizar cóo son las fuerzas involucradas en lo que respecta a ódulo, dirección y sentido. La Noral tiene la isa dirección y el iso sentido que el epuje, y la sua de estas dos fuerzas equipara al peso N N A N N Diagraa de Cuerpo Libre aparente suergido líquido N Sabeos que c c A sua liq A Y coo suergido A ntonces podeos deducir que liquidoa Cátedra de Física-FFYB-UBA [7]

8 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA Heos resuelto el prier y el segundo íte del problea. Ya sabeos cuál es la relación de eso y puje en cada situación y cuál es la relación de densidades de los líquidos entre sí y con el. Las respuestas finales serían: Íte a.- n la situación A A y en la situación B y C Íte b.- La relación de densidades entre los líquidos y el son: liquido C liquido B liquido A Íte c.- Ahora respondaos Cuál es la relación de los epujes entre sí? Si observaos la relación entre peso del y epuje en cada caso (respuesta del íte a) podeos deducir que coo son los epujes entre sí. Coo eso es igual puje en las situaciones B y C y el epuje en A es enor que el peso del, y el peso es el iso en todos los casos, entonces liquido C liquido B liquido A Íte d.- Iagineos que teneos una situación coo la C, pero en lugar de un flotante teneos dos. Si los uniéraos con un adhesivo cóo sería la situación? Tendríaos un del iso aterial con el doble asa, y obviaente el doble de voluen. Cátedra de Física-FFYB-UBA [8]

9 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA l en esta situación, es ás grande de taaño, pero su densidad es la isa. l líquido C tabién es el iso, por lo que en esta nueva situación tabién se cuplirá que liquidoc or lo tanto el flotará parcialente suergido. c c C suc liq C Si reordenaos la esta últia ecuación liquido suergido odeos deducir que la relación entre las densidades del y del líquido es igual a la relación entre el voluen suergido y el voluen total del. Dicho en otras palabras la fracción de voluen suergido depende de la relación entre las densidades del y del líquido. or ejeplo si la densidad del es la itad de la densidad del líquido, el flotará con la itad de su voluen suergido. NOTA: hablar de densidad o de peso específico es equivalente porque el capo gravitatorio es el iso y por lo tanto la aceleración de la gravedad es la isa para el peso que para el epuje. n conclusión, en esta nueva situación ( doble en el líquido C), en la que se tiene un del iso aterial que el esqueatizado en la situación C original, pero con el doble de asa, la densidad de este doble será igual a la del original, y por lo tanto, la relación entre y líquido será la isa que en la situación original. n consecuencia, la relación total suergida tabién debe peranecer igual, con lo que, si total se duplica, el total tabién se duplica y el suergido tabién deberá duplicarse para antener la relación constante. Cátedra de Física-FFYB-UBA [9]

10 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA Íte e.- Un areóetro que flota en distintos líquidos, no es ás que un iso suergido en líquidos de distintas densidades, lo cual es precisaente lo que estuvios analizando hasta ahora. Iagineos un densíetro que flota en un líquido X con la itad de su voluen suergido. Si lo cabiaos de líquido a uno Y con enor densidad, pero en el cual todavía el densíetro flota, el voluen suergido cabiará. n este líquido de enor densidad el voluen suergido será ayor X Y su X liq X su X X liq X liq Y Y suy suy liq Y Coo el peso es el iso en abos casos porque es el iso densíetro, los epujes en abos líquidos son iguales, por lo que si cabia la densidad del líquido el voluen suergido cabiará para antener constante el producto entre abos, esto es el epuje. Si al contrario, colocaos un densíetro en un líquido ás denso, el voluen suergido será enor (usando el iso razonaiento). Cátedra de Física-FFYB-UBA [10]

11 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA Los densíetros tienen un áxio y un ínio de densidades que se pueden edir con ellos. La ínia densidad es aquella en la cual el densíetro flota totalente suergido. Si la densidad del líquido fuera enor que esta últia el densíetro se iría al fondo. La áxia densidad a edir es aquella en la cual el densíetro flota con el bulbo copletaente suergido y el vástago copletaente fuera del líquido. s de aplio conociiento que el vidrio es ás denso que el agua, por lo tanto sería coherente que un trozo de este aterial se hunda totalente en agua. Sin ebargo, al trabajar con el areóetro notaos que este flota a pesar de ser de vidrio. sto se debe a que en realidad un areóetro no es un acizo, está copuesto, no solo por vidrio, sino tabién por un lastre y por AIR! en su interior. sto hace que su densidad no sea la del vidrio, ni la del aire, ni la del lastre que contiene, sino que estará dada por la asa total del aréoetro divido su voluen total. l densíetro para que pueda ser utilizado debe flotar, y por lo tanto tener una densidad siepre enor que el líquido a edir. Si tuviéraos un densíetro de igual diseño que el densíetro convencional, pero hecho de vidrio acizo, su asa sería ucho ayor por lo cual al ser suergido en el seno de un líquido convencional, siepre su peso vencería al epuje recibido y se iría al fondo del recipiente. Solo serviría para edir densidades de líquido ayores que la densidad del vidrio. Cátedra de Física-FFYB-UBA [11]

12 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA jercicio 2 L ROBLMA D LA CORONA DL RY l rey Hierón II le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue el peso de la corona terinada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata oculta en el interior de la corona. Le encoendó entonces a Arquíedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo deterinar que al onarca le habían robado casi un kilo de oro. eaos cóo lo hizo. I- n prier lugar, Arquíedes suergió la corona real y idió que el voluen de agua desplazado era de 166 c 3 II- A continuación, suergió en agua una barra de edio kilo de oro puro y coprobó que desplazaba 25,9 c 3 del fluido III- or últio, Arquíedes repitió la priera experiencia suergiendo una barra de un kilo de plata pura y el voluen de agua desplazado resultó 95,2 c 3. Sabeos que el peso total de la corona es 2500 gr (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) Cuánto oro fue reeplazado por plata? Rta: Arquíedes pudo coprobar que al rey le habían cabiado 840 g de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro al habido RSOLUCIÓN eaos cóo hizo Arquíedes para deterinar si el rey había sido ebaucado por el joyero Al principio Arquíedes no sabía qué hacer. La plata es ás ligera que el oro. Si el orfebre hubiese añadido plata a la corona, ocuparían un espacio ayor que el de un peso equivalente de oro. Conociendo el espacio ocupado por la corona (es decir, su voluen) podría contestar a Hierón si el orfebre lo había estafado o no. Lo que no sabía Arquíides era cóo averiguar el voluen de la corona. Arquíedes siguió dando vueltas al problea en los baños públicos.de pronto se puso en pie coo ipulsado por un resorte: se había dado cuenta de que su desplazaba Cátedra de Física-FFYB-UBA [12]

13 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA agua fuera de la bañera. l voluen de agua desplazado tenía que ser igual al voluen de su. ara averiguar el voluen de cualquier cosa bastaba con edir el voluen de agua que desplazaba (principio de Arquíedes). Arquíedes corrió a casa, gritando una y otra vez: " Lo encontré, lo encontré!". Llenó de agua un recipiente, etió la corona y idió el voluen de agua desplazada. Luego hizo lo propio con un peso igual de oro puro; el voluen desplazado era enor. Finalente idió el voluen desplazado por un lingote de plata. Luego se dispuso a analizar los datos que poseía, y observó que podía calcular las densidades del oro, de la corona y de la plata relacionando las asas suergidas en agua con la cantidad de líquido que desplazaban las isas. RCORDMOS: Arquíedes postuló que, si la corona fuera de oro puro, la densidad de la isa debería ser igual a la densidad de la barra de oro, puesto que la densidad es una propiedad intensiva (es decir, que no depende de la cantidad de ateria). or lo tanto realizó los cálculos para deterinar la densidad del oro y de la corona (ver experiencias I y II): 2500g 166L 500g 25,9L 15,1 g / L 19,3g / L URKA!!! l rey estaba en lo cierto, había sido ebaucado por el joyero, la corona real no era de oro puro debido a que ero Arquíedes no se contentó sólo con coprobar que el rey tenía razón. Se propuso llegar al punto de poder deterinar cuánta asa de oro había sido cabiada por plata. Cátedra de Física-FFYB-UBA [13]

14 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA ara ello partió de la base de que si la corona estaba copuesta por oro y plata, la asa total de la corona sería una cierta asa de oro ás una cierta asa de plata y lo enunció del siguiente odo: cuación 1 Del iso odo, razonó que el voluen de la corona era equivalente a la sua de los volúenes de las asas de oro y de plata que foraban parte de esa corona. scribió en su cuaderno de notas: cuación 2 l problea hasta aquí es que Arquíedes tenía cuatro incógnitas y dos ecuaciones. Se sentó a pensar alguna fora de relacionarlas y se dio cuenta de que, conociendo las densidades de la plata y del oro, podía establecer una relación entre las asas de cada etal con su voluen correspondiente, puesto que: * cuación 3 * cuación 4 Reeplazando c. 3 y c. 4 en c. 1 pudo deterinar la siguiente ecuación: * * cuación 5 n este punto Arquíedes se dio cuenta que podía calcular la densidad de la plata (ver experiencia III): 1000g 95,2L 10,5g / L Si bien sabía todo esto, aún no conocía los volúenes de líquido desalojados exclusivaente por el oro y la plata. ero lo que sí sabía era que la sua de abos correspondía al voluen total de la corona. ntonces expresó el voluen de oro en función del voluen de plata. Reordenando c. 2 cuación 6 Cátedra de Física-FFYB-UBA [14]

15 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA Ahora ya podía deterinar el voluen correspondiente a la plata (Replazando c. 6 en c. 5): * * cuación 7 Reordenando c. 7 * cuación 8 Qué sabía Arquíedes hasta entonces? 19,3g / L 10,5g / L 15,1g / L 2500g 166L Con los datos que tenía, Arquíedes reeplazó en la ecuación 8 y recién en ese oento pudo deterinar el voluen de plata de la corona. eaos coo lo hizo: 704,6g g 8,8 L g L g L 2500g 19,3 *166L 10,5 19,3 g L Aclaración: si bien en la ecuación se observan valores de asa y densidad negativos, nótese que esto se debe a que son valores de diferencias de asa y densidad, y no valores absolutos (valores de asa o 80,1L ero todavía no estaba todo resuelto: faltaba saber a cuánta asa era equivalente ese voluen. Nuestro querido Arquíedes ya había escrito anteriorente que: * cuación 4 Cátedra de Física-FFYB-UBA [15]

16 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA Y de allí por fin pudo calcular la asa de oro que había sido cabiada por plata: g 10,5 *80, 1L L 841, 0g eaos otra fora de abordar este problea: Arquíedes sabía que la asa de la corona era la suatoria de las asas de sus coponentes. sto tabién se aplica a los volúenes, por lo que: (A) y (B) Adeás conocía el significado de densidad y había calculado su valor para el oro, la plata y la corona: (C) * * * ara ir un poco ás lejos, si se reeplazaran las ecuaciones de (C) en la ecuación (A), quedaría coo sigue: (D) * * * Reordenando: () * * Densidad de ezclas ale aclarar que esta es la isa ecuación que se utiliza en el trabajo práctico para deterinar la densidad de la solución salina. or otro lado reordenando (B): Cátedra de Física-FFYB-UBA [16]

17 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA (F) Y reeplazando (F) en (): * * Así se conocen todos los valores con excepción del voluen de plata, pudiéndose despejar este últio. ara terinar se calcula la asa de plata según (C): * AHORA T ROONMOS UNOS ROBLMAS ARA QU RSULAS SOLO. T DAMOS LAS RSUSTAS D CADA UNO D LLOS RO NO UNA XLICACIÓN DTALLADA jercicio 3 Si se tienen dos soluciones acuosas de cloruro de sodio A (1 % /) y B (5 % /), a- odrá edir sus densidades con un densíetro que posee una escala cuyos valores líites son: 0,900 g/l y 1,200 g/l. Copare los epujes que recibirá. b- Se dejan caer dos esferas de etal (densidad= 9,3 g/l) iguales en abas soluciones A y B, realice los esqueas de todas las fuerzas que intervienen cuando alcanza la áxia velocidad en cada una de las soluciones. será igual la velocidad áxia que alcancen las esferas en abos líquidos? Nota: considere que la viscosidad de abas soluciones es la isa. c- Grafique Densidad de la solución acuosa de cloruro de sodio en función de Cantidad de cloruro de sodio agregado, desde agregado cero y hasta el agregado para alcanzar la concentración de la solución B. Considere que para estas concentraciones, el soluto que se agrega no aporta voluen a la solución resultante e indique en los ejes todos los valores que sean posibles. Cátedra de Física-FFYB-UBA [17]

18 Densidad (g/l) ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA Respuestas a) Si, se podrán edir abas soluciones que ese densíetro, dado que la densidad de la solución A es 1,01 g/l y la densidad de la solución B es 1,05 g/l, por lo cual se cuple que 0,900 < A < B < 1,200. Los epujes recibidos por los densíetros serán iguales ya que el iso flota en abos casos y por ende = para abas soluciones). b) eso en A = eso en B pues las esferas son iguales. Coo la densidad de la sol A es enor que la densidad de la solución B, el puje en A < puje en B dado que el voluen suergido es el iso y al tener las soluciones distintas densidades los epujes que reciben las esferas tabién serán distintos. La fuerza Resistiva en el equilibrio será ayor para la esfera A que para la esfera B. n esta situación final (cuando la esfera alcanza la velocidad lìite la Fuerza Resistiva iguala a la diferencia entre peso y epuje. Coo la diferencia entre peso y epuje es ayor en A, la fuerza resistiva en A > Fza Resistiva en B. Consecuenteente la velocidad alcanzada será ayor en A que en B (Consideraos que las viscosidades de abas soluciones son iguales) c) densidad de la solución = 0,01 L-1 x + 1,000 g L-1 1,07 1,06 1,05 1,04 1,03 1,02 1,01 1 0,99 y = 0,01x Masa de sal agregado (g) Cátedra de Física-FFYB-UBA [18]

19 ROBLMAS DNSIDAD 1.0/ M2 / FISICA jercicio 4 Al intentar deterinar la densidad de una uestra de orina, un técnico encuentra que el voluen de la isa, para el étodo que utiliza, no es suficiente. ntonces la diluye con agua destilada: pipetea 10 l de orina, lo coloca en un atraz de 50 l y enrasa con agua destilada. De esta anera obtiene un voluen suficiente para la etodología epleada. l valor obtenido al edir la uestra diluida fue 1,006 g/c3. Calcular la densidad de la uestra original. Nota: considere volúenes aditivos al realizar la ezcla y que la densidad del agua = 1,00 g/c3 Rta: la densidad de la uestra original es 1,030 g/c3 jercicio 5 ara los siguientes esqueas de s de igual voluen suergidos en líquidos distintos, indique si los ítes a-d son verdaderos o falsos, justifique: I II III I A A B X B X X+Y Y a) densidad (x+y) < densidad x b) I > II c) densidad de A > densidad de B d) II = III Rta: todos los ítes son falsos Cátedra de Física-FFYB-UBA [19]