ALGEBRA. Ricardo F. Vila Freyer CIMAT

Transcripción

1 ALGEBRA Ricardo F. Vila Freyer CIMAT 1. Algebra como Aritmética Generalizada La Historia nos dice que el Algebra fue desarrollada por los antiguos árabes. El primer texto de Algebra fué el libro de Al Juarizmi, cuyo título en árabe significa algo aproximado a Principios sobre despejes y simplificaciones. El Algebra es fundamental para poder comprender la formulación matemática de casi cualquier otra disciplina, por lo que es de suma importancia que nuestros jóvenes adquieran la habilidad necesaria para hacer operaciones con ella. Nuestro punto de vista es que hay reglas muy sencillas, todas basadas en las propiedades fundamentales de los números que hacen posible comprender los principios básicos y a partir de estos se pueden ir desarrollando las habilidades necesarias para operar y para comprender las operaciones necesarias. Todo lo que se enseña en un curso elemental de Algebra es aprender a operar siguiendo estos principios básicos así como adquirir habilidad para traducir del lenguaje ordinario al lenguaje matemático. Comenzaremos por decir que en Algebra se hacen representationes de números de forma general sin determinar con precisión los números de los que se trata. Por esto se representa al número o a la cantidad desconocida por una literal a, b, x, etc. Tenemos dos operaciones básicas de las cuales derivamos todas las demás: la suma (+) que escribimos como a + b y la multiplicación que representamos como a b o bien como ab, para dos números a y b. Por ejemplo a+b, 3a+5b, 5a 2 bx. En todos estos casos las letras a, b, x representan números en los que se están efectuando las operaciones descritas. Propiedades fundamentales. I. Suma (+) 1. Cerradura. La suma es una operación cerrada, es decir la suma de dos números reales es un número real. Por lo que si a y b representan dos números, el resultado de la operación a + b es un número. 2. Asociatividad. La suma se hace tomando los números de dos en dos, por lo que cuando hay que sumar tres números, primero se suman dos y luego el tercero. La Asociatividad nos dice que no importa el orden en el vamos sumando de dos en dos números, por lo que a + (b + c) = (a + b) + c 1 Typeset by AMS-TEX

2 2 ALGEBRA 3. Conmutatividad. a + b = b + a 4. Existencia del neutro aditivo. Siempre existe un número 0 que llamamos cero que sumado con cualquier otro número, no hace nada: a + 0 = a = 0 + a 5. Existencia de inversos aditivos. Para cada número real a existe otro número real que denotaremos a, de tal manera que cuando los sumamos, nos dan el neutro. a + ( a) = 0 = ( a) + a II. Multiplicación 6. Cerradura. La operación es cerrada, es decir la multiplicación o el producto de dos números es un número. Como antes, si a y b representan dos números y representamos la multiplicacin por un punto entre ellos: a b este último es un número. 7. Asociatividad. La multiplicación se hace entre dos números, por lo que cuando hay que multiplicar tres números, primero se multiplican dos y luego el tercero. Esta propiedad nos dice que no importa el orden en el que se efectúa la secuencia, asi que a (b c) = (a b) c 8. Conmutatividad. a b = b a 9. Existencia del neutro multiplicativo. Siempre existe un número que llamamos uno 1 que multiplicado con cualquier otro número, no hace nada: a 1 = a = 1 a 10. Existencia de inversos multiplicativos. Para cada número real a distinto del cero, existe otro número real que denotaremos 1 a ó a 1 de tal manera que cuando los multiplicamos, nos dan el neutro. a 1 a = a a 1 = 1 11: Distributividad. Esta propiedad lo que nos dice es que la multiplicación distribuye a la suma, es decir a (b + c) = a b + a c. Usualmente no es necesario poner el punto para indicar la multiplicación, cuando cuando no hay riesgo de confusión no pondremos el punto y se entiende que ab denota que los números a y b se están multiplicando, de forma análoga 3ab denota que 3 multiplica a ab (la asociatividad se está utilizando y ya no agrupamos la operación). Por supuesto que los exponentes enteros positivos indican que el número en cuestión se está multiplicando por sí mismo tantas veces como el exponente lo indique. Por ejemplo a 3 indica a a a.

3 1. ALGEBRA COMO ARITMÉTICA GENERALIZADA 3 Hay que observar que no todas las operaciones que existen cumplen estas propiedades. Por ejemplo la operación matrimonio entre dos seres humanos no es cerrada, porque su resultado es una pareja, y no un ser humano. En Física, la multiplicación de un vector por un escalar produce un vector, y no hay multiplicación entre dos vectores. Más adelante veremos otros ejemplos. Observemos que la definición de estas propiedades fundamentales implica que el neutro para la suma y el neutro multiplicativo son los únicos números posibles. Así como el inverso aditivo de cada número es único también. De igual manera, el inverso multiplicativo de cada número es único. Podemos demostrar esto: Si el número a tuviese dos inverso aditivos: a y b, entonces cada uno de ellos tiene que satisfacer que a + ( a) = 0 y a + b = 0. Tomemos esta última igualdad, y sumemos por la izquierda a: (a+b)+( a) = a, por lo que utilizando la propiedad conmutativa y luego la asociativa en el lado izquierdo nos queda: a = (a+b)+( a) = (b+a)+( a) = b+[a+( a)] = b+0 = b. De forma similar, podemos verificar que para todo número diferente de cero su inverso multiplicativo, también llamado recíproco, es único. Debemos decir que el uso de los paréntesis solo sirve para indicar como estamos agrupando el orden de las operaciones. Esto es importante un poco mas adelante, cuando hablemos de simplificar expresiones algebraicas. Otras operaciones: La resta está definida como la suma del inverso aditivo: a b es a + ( b). En palabras, a menos b está definido como la suma de a con el inverso aditivo de b. La resta no es una operacin conmutativa ni asociativa. Tenemos también la división de dos números que denotamos indistintamente de dos formas a b o bien a b. Ambas operaciones indican que el primer número se multiplica por el inverso multiplicativo del segundo. Es decir a b = a (1 b ) = a (b 1 ) La división es una operación que tampoco es conmutativa ni asociativa. Simbolos de agrupación. Debido a las propiedades asociativas para la suma y para la multiplicación, normalmente no utilizamos signos de agrupación cuando estamos operando con mas de dos números, sin embargo cuando hacemos operaciones algebraicas, con mucha frecuencia nos aparecen estas agrupadas de distintas maneras. Usualmente agrupamos las operaciones utilizando paréntesis o bien la barra de la división. En ocasiones es necesario utilizar distintos tipos de paréntesis para poder saber cuál grupo corresponde a cada cual. Por ejemplo: 3{[a 2b(a 2 1) + 5a] 3b 2 } {a 2 b 2 } b Toda esta simbología indica que las operaciones están agrupadas y se deberán efectuar en cierto orden. Se debe hacer primero lo que está sobre la barra y bajo la barra. A su vez es siempre mas conveniente operar desde los paréntesis mas internos a los paréntesis mas externos para escribir la expresión de forma mas sencilla. Al llevar a cabo este proceso usualmente decimos que estamos simplificando la expresión algebraica.

4 4 ALGEBRA Simplificando la expresión de arriba, paso por paso, nos queda 3{[a 2b(a 2 1) + 5a] 3b 2 } {a 2 b 2 }b = 3{[a 2a2 b + 2b + 5a] 3b 2 } {a 2 b b 3 } = 3{6a 2a2 b + 2b 3b 2 } a 2 + b 3 = 18a + 6a2 b 6b + 9b 2 a 2 + b 3 Tarea. Conviene que en este punto se tome algún líbro de Algebra y el lector haga muchos ejercicios de simplificación de expresiones algebraicas hasta que sienta facilidad para llevar a cabo las operaciones. La meta es que se debe tener mucha habilidad operativa en este tipo de ejercicios. Comentarios sobre la nomenclatura. Utilizamos las siguientes definiciones para describir los objetos que forman parte de expresiones algebraicas. Término es la expresión algebraica que forman parte de cada sumando. Factor es la expresión algebraica que forman parte de cada producto o de cada multiplicación. Monomio es la expresión algebraica que solo tiene un término, por lo tanto un sumando. Binomio consta exactamente de dos términos o dos sumandos, trinomio de tres y polinomio de muchos términos respectivamente. Por ejemplo: la expresión algebraica 3x 2 (x + y) 2xy es un polinomio, en particular es un binomio porque tiene solamente dos términos, el primer término es 3x 2 (x + y) que a su vez tiene tres factores, el coeficiente 3 y los dos factores x 2 y (x + y). Este último factor a su vez consta de dos términos x, y. El segundo término del binomio es 2xy. Finalmente, una expresión algebraica que está formada por todas las operaciones, incluyendo divisiones se llama una expresión racional. El ejemplo mas sencillo de una expresión racional es el cociente de dos polinomios. Por ejemplo 5x 4 3x 3 + 3x 2 2x 1 3y 6 + 5y 3 2y 2 y + 7 es una expresión racional. Regla de los signos. Las reglas de los signos son abreviaciones de las operaciones aritméticas que tenemos definidas y son consecuencia de los once propiedades de las operaciones. As decimos que (+)(+) = + pero en realidad esto significa que la multiplicación de un número positivo por otro número positivo da como resultado un número positivo. Las cuatro opciones son: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = +

5 1. ALGEBRA COMO ARITMÉTICA GENERALIZADA 5 Reglas de los exponentes. Cuando se trate de exponentes, como a n significa multiplicar a... a n-veces cuando n es un número natural, y a n es su inverso multiplicativo es decir, a n = (a n ) 1, y esto da lugar a tener que: a n+m = a n a m a n m = an a m Ejercicios y Problemas. 1. Un señor que tiene una camioneta cuyo rendimiento de gasolina es elevado tiene por costumbre anotar el kilometraje recorrido por su auto cada vez que carga gasolina. Los datos que tiene registrados son que cuando recorre en autopistas, en general el vehículo le da un rendimiento aproximado de 9.25 km por litro, mientras que cuando solamente utiliza su vehículo en ciudad, el rendimiento disminuye considerablemente dando un rendimiento de 7.45 km por litro. Cierto día acude a cargar gasolina habiendo recorrido km. Durante ese lapso el señor utilizó su vehículo en ciudad y en autopista, sin que estuviera al tanto de cuántos kilómetros utilizó en cada caso. En total le llenan el tanque con litros. El señor piensa que hay algo que no está bien, y solicita tu asesora para saber si en esa estación están dando litros completos o si debe poner una queja por irregularidades. Explicar qué debería hacer este señor y argumentar las razones por las que le das esa recomendación. 2. Verificar que las operaciones de resta y división no son operaciones conmutativas ni asociativas. 3. Determina cómo se debe calcular 3 33 y verifica que la operación elevar a una potencia no es una operación asociativa. 4. Resuelve el siguiente sistema: 6.751x y = , 249x y = Simplifica la siguiente expresión racional para que sea posible escribir la siguiente expresión racional como un polinomio dividido entre otro polinomio a b 6. Será posible simplificar o reducir una expresión racional para que siempre sea un polinomio dividido entre otro polinomio, es decir, que solo veamos una raya de quebrado en la expresión reducida? 7. Justificar con detalle las reglas de los signos para multiplicación a partir de propiedades básicas de la suma y el producto. 8. En el México de 1936 un amigo le dice al otro: Tus lápices, cuadernos y hojas de colores costaron $1.70 El otro amigo responde, Compré 2 lápices a 2 centavos cada uno, cinco lápices mas a 5 centavos cada uno, mas ocho cuadernos y ocho hojas de color pero no recuerdos sus precios. Sin embargo no pagué $1.70 Explicar por qué no es posible que haya pagado $1.70