Ejemulo 2: s(s+lxs+5)+kp. Considere el sistema mostrado a continuación: .1(" + IX" + S) PID. Haciendo Ti = 00 y. Td = O, se obtiene la FTLC :

Transcripción

1 Ejemulo 2: Considere el sistema mostrado a continuación: t 1(" + IX" + S) C(s) PID Como la planta tiene un integrador, se emplea el siguiente método Haciendo Ti = 00 y Td = O, se obtiene la FTLC : -= C(s) R(s) Kp s(s+lxs+5)+kp Fig 21 Respuesta temporal del sistema con Kp=1 ante un escalón unitario

2 Cálculo de Kcr - criterio de Routh La ecuac SJ+6S2+5s+Kp=O SJ 1 52 Si Kp 6 Kcr JD SO Kp , 1 08 oe O" 02 O O tiempo Fig 22 Respuesta temporal del sistema con Kp=30 ante un escalónunitario Sistema Críticamente estable Cálculo de la frecuencia de oscilación sostenida Se reemplaza s = jw en la ecuación característica (jw)j + 6(jW)2 + S(jw) + 30 = O 6(5-w2) + jw(5-w2) = o de donde: W2= 5 ~ w =,f5 Pcr =-- 2/r - 21r " s = - 2,81 W"" :J

3 Cálculo de Kp,Ti, Td(Ziegler Kp Ti Td - 0,6 Kcr 0,5 Pcr O, 125Pcr - Nichols) ,405 0,35124 : Gc = 1 ~1+ 1,~5S +0,35124,5) Cálculo de la FfLC y respuesta temporal e % ,811 R = ,32238% ,111 1~ ~ ~ r(t) O O tiempo Fig 23 Respuesta temporal del sistema controlado con un PID ante un escalón unitario

4 Representación en variables de estado(facilita la respuesta temporal computacional) Xt=C X4=X3 '+ 19t9338 X2= XI XJ = X2-6,3223u,, u=r t ~ y = e = Xl = o o o o XI O Xl 1 x3-6 x + o 6, ,9338 u 60,8308 XI Y = [1 O O O X2 X3 x

5 [ emulo 3 : Considere al sistema mostrado en la figura 1, donde un motor DC mueve una válvula de control lo cual suple un flujo a una máquina hidráulica, corriente abajo de la válvula Figura 1 : Control de flujo En estado estacionario VR=6mA para un requerimiento de 20 gavrninf: 5% Cuando el requerimiento es de 100 gal/min ::t 2%, VR=14mA El escalón de 6-14 ma es muy rápido, lo que implica una respuesta rápida del sistema Las características de la válvula pueden asumirse lineales en la medida que la rata de flujo a través de ella varía directamente con el desplazamiento del vastago 100% abierta ~ 150 gpm La carrera del vástago es de 1,5" Para el amolificador/controlador: Este maneja señales estandar en un rango de 4- la salida del controlador VSC = +48V, y Medidor de nuio: es un transductor e Este produce: 4 ma si el flujo es de O ~ valor nunca se alcanza porque el máximo Válvula de Control: La válvula abre vástago a una velocidad de 1 pulglseg ~v Cuando VM l1enta a 20 ma VSC = -48V raíz r moviendose el

6 ltesljuesta de la velocidad del motor de la válvla La respuesla respuesta eu en lier1f)o tiejd4i>o c6d - conjunto ptolor-válvula, obtenida de las especificaciones ~ del equipo es de tr = 5S! 5500 niseg v OK - tr= tiempo tomado por el vástago para tr= tiempo tomado por el vástago pa pasar del 10% - 90% de su máx velocidad =55Omseg =550mseg 11M O t;;z t figura :2 Velocidad del vástago Velocidad del vástago 550 mies -tr- Esuecificaciones de control I-Se desea que el sistema pase de 20gpm a loogpm, (80gpl11=8mA) La válvula deberá permitir a lo más tardar de I sebo un nujo de 100 gpm,lo que implica que t es llteiior o igual que 1 seb 2- t,:s 7oomreg 3- Mp(%):S 10% 4- fj :S 200mfeg 5- A1F ~ 60 Donde tcl: tiempo para alcanzar el 50% del valor en estado estacionario t If*,~ t : lien~po para alcanzar el 100% de1' valor en estado estacionario t t\~ \~ ts: tiempo de estaljlecimielllo - 11 / /1 /' 10 I J : 41 1 ' / I 20 / ' f I I 10 / İ I 00 :01 i U ~td :~ -,r ~ t t U! *'~ c,tu~ e~ (" ~t4nto

7 SOLUC~ Figura 3: Diagrama de bloques de control de flujo Los pasos siguientes se avocan al cálculo de cada una de las funciones de transferencia del diagrama de bloques de la figura 3 Ganancia KcKl del amplificador- controlador (s pan) E\~fI'plificador/controlador se representa por el producto de ganancias KcKI La ganada del amplificador Kc, se calcula según la ecuación que se muestra a continuación: 48 Kc = 48V - V/ 16mA - 3 /ma o 4 La ganancia del controlador K 1, se deja igual a K 1 = 1 por los momentos Parámetros del motor Ganancia del motor Kmv - lpulgl ses o pulg/ 48V' l/v 7V seg Cálculo de Tm : se obtiene a partir de la fig ura 2 donde tr = 550 mseg En h la respuesta del sistema es : para 90% -11/ 1 - e /T En tila respuesta del sistema es: para 10% -11;' 1- e i'r

8 Relacionando a ambas 1/9= e-(11-11) I Tm O 111 = e ~UsITm, Parámetros de la válvula Cálculo de Kr : se relaciona el desplazamiento del vastago con la rata de flujo de salida 150gpm Kr= =100 1,5 plllg entonces gpm/pulg Parámetros del transductor diferencial de presión Cálculo de KT : ganancia del medidor de flujo 16mA = 0,1 ma/gpm KT= 160gpm Tm=O,25 seg Sustituyendo todos los parámetrso encontrados, se construye el diagrama de bloques de control mostrado en la figura 4 Q(I) Figura 4 Diagrama de bloques de control Función de transferencia de lazo abierto (FILA) 0,624 FTLA: G(jw) H(jw)= jw(o,25jw + 1) (1)

9 Función de transferencia de lazo cerrado (FfLC) FTLC: Q(s) 25 (2) Respuesta temporal a lazo cerrado R(s) =8/s por)o que Q(s)= 200 = 200 S(S2 +4s+2,5) ~~s+o,775)(s+3,225) q (t)= 80+25,31e-3,22St-lO5,3eo77s q(t)= q (t)+ 20gpm (3) (4) (5) Step Auto-Scale Graph Figura 6 : Respuesta temporal del sistema a lazo cerrado con KI = 1

10 Situación de los parámetros, obtenidos de las figuras 5 y 6 DISEÑO DE CONTROLADORES Se debe decidir qué tipo de controlador se empleará de manera de alcanzar las especificaciones: P? PI? PD? PID? Análisis: - Eliminamos PI porque el sistema en estudio es del Tipo 1 y excitamos con un escalón, por lo que ess=o - Empezamos con control Proporcional (P) De los datos anteriores se deduce que tenemos a un sistema lento, por lo tanto aumentando la ganancia aumentamos la velocidad de respuesta del sistema Retornando las ecuaciones del sistema en estudio: R(s)=8/s O,(;z,tpK, FTLC= o S + O,624K, 200K : Q(s) = s(s2 +4s+2,SK), w = J2,SK rarseg y 4 ~ = JlOKt -Debemos evaluar K : para varios valores de KI calculamos Wn y -Sabemos que ~ optimos están en el rango 0,4< ~ <0,8 ~

11 Figura 7 Respuesta temporal para varios valores de Kl De la figura 7 se extrae que si aumenta Kl disminuye tr yaumenta Mp -ts se excede del valor especificado Si se construye el Bode de la FTLA= MF == 42 lo cual 6~S jw(o,2sjw + 1) control adicional al P para alcanzar especificaciones se encuentra que el incumple con las especificaciones, entonces necesitamos un

12 Se selecciona el P+D Se deja a K,=10 ya que el efecto derivativo D tiende a estabilizar el sistema Figura 9: Diagrama de bloques de control con PD Recalculando las correspondientes funciones de transferencia de lazo abierto y cerrado correspondientes, se obtiene:

13 (6) FTLA GHc= O,832k](s+ 3kt / k) s(5+4) (7) FfLC= 1 8,32k) (S + 3k1 / k]) s + (4 + 8,32k3 )5+ 2,5k, (8) Wn= j23k-5 (9) ~ = 4 + O,833K) 2~2,5k1 Queremos calcular kj=t, / / Para ello decimos que el cero de FTLA es s=a donde a= -3kdk3 => a=-30/k] : ~= 4-2,5k,/a - 4-2Sk,/a "2~2Sk, - JlOO :O4-2,5/a (11) Si suponemos ~=O,704 e igualamos a (11) encontramos que a ~ -8,14 Y kj ~ 3,7 Si graficamos la respuesta en tiempo con estos resultados encontramos: una escalón de magnitud8 Y Kl=lO

14 De la figura 10 se extraen los parámetros : t~o,2seg tr<o,7seg Mp<lO% ts>lseg Se intenta mejorar la respuesta temporal, de manera de ajustarse a las especificaciones, de manera que los parámetros quedan como: Td=K3=55 td = 012 seg tr= 059 seg ts = 1 seg Mp = a = rad/seg ~ = p Ē O-,960 :Su 40 Sistema Original 20 O O Tiempo Fig 11 Comparación del sistema sin compensar, con controlador P y controladorpd