Algunas sucesiones definidas recursivamente y valores propios

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Víctor Manuel Aguirre Cáceres
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1 Revista INTEGRACIÓN Universidad Industrial de Santander Escuela de Matemáticas Vol 8 No p 9 7 enero junio de 000 Algunas sucesiones definidas recursivamente y valores propios Rafael Isaacs G * Resumen Se pueden descurir las fórmulas de las sucesiones definidas por la fórmula de recurrencia s n as n +s n analizando los valores propios de cierta matriz Sucesión de Fionacci Muy conocida antigua y fascinante es la suceción de Fionacci f n donde f 0 0 f y f n+ f n + f n+ Los primeros términos son: Un ejercicio clásico de inducción da una fórmula calcular directamente el n-ésimo término de la sucesión de Fionacci: Sea α Proar que f n α n β n / para todo entero positivo n + y β Pero cómo se llega a esta curiosa fórmula? Es sorprendente que al aplicar la fórmula para cualquier n se otenga siempre un número entero Asociada a la fórmula recursiva de f n tenemos la matriz A 0 que nos permite ver la sucesión de Fionacci como un caso particular de un sistema dinámico discreto idimensional: 0 an an + n n a n an+ n+ * Escuela de Matemáticas Universidad Industrial de Santander AA 678 Bucaramanga Colomia risaacs@uiseduco 9

2 0 Rafael F Isaacs Cuando damos valores iniciales a 0 y 0 0 o ien a 0 0 y 0 las sucesiones a n y n definidas recursivamente determinan la sucesión de Fionacci Podríamos pensar en cualquier valor inicial V 0 R y definir recursivamente V n+ AV n Es claro que V n A n V 0 Curiosamente los valores α y β son los valores propios de la matriz A Estos cálculos y los posteriores los podemos hacer con MAPLE de Scientific Work Place Es fácil ver que si se escogiera como valor inicial precisamente un vector propio W con valor propio λ es decir haciendo V 0 W tendríamos V n λ n W Vectores propios de A son: + para α + y para β Tomemos la sucesión con la misma fórmula recursiva de fn pero partiendo de y α : etc: representan las potencias del valor propio α + α α α 3 α 4 Una forma de expresar potencias solamente sumando! Por otra parte A y sus potencias actúan como transformaciones lineales Por tanto el comportamiento del sistema V n A n V 0 se puede determinar para cualquier valor inicial si conocemos el valor para dos vectores linealmente independientes Como tenemos dos vectores propios linealmente independientes y en ellos es fácil descriir el sistema sean W α W β vectores propios asociados a α y a β es decir W α + y W β ; y como se puede 0 expresar como cominación lineal de W α W β tenemos 0 W α W β Entonces

3 Algunas Sucesiones Definidas Recursivamente A n 0 A n W α W β A n W α A n W β αn W α β n W β α n α α n+ α n β n+ β n β n β α n+ β n+ α n β n y por otra parte por tanto A n 0 fn+ f n f n α n β n ; y oh! hemos encontrado sin inducción la fórmula acerca de la sucesión de Fionacci Otras sucesiones Consideremos la sucesión s n definida así: s 0 ; s a y s n+ s n + s n+ Un uen ejercicio de análisis elemental es demostrar que s n converge pero no es tan fácil encontrar su límite El método empleado para la sucesión de Fionacci nos da una fórmula no recursiva para s n de la cual se deduce su límite Veamos: Hagamos A 0 y tenemos que s n+ s n A n a Es decir el valor inicial del sistema dinámico es a Los valores propios de A son: α β Como vectores propios podemos considerar W α y W β Entonces expresamos a como cominación lineal de los vectores propios: y aplicando A n 3 a a + 3 A n + 3 a a 3 An a A n a

4 Rafael F Isaacs Como A n 3 a + 3 y A n n tenemos + 3 a 3 n A n a es decir s n+ 3 a a 3 n y por tanto límn s n+ 3 a + 3 Para a 0 los valores de s n son: que en efecto se acerca a Pequeña generalización Consideremos la sucesión s n definida así: s 0 ; s a y s n+ rs n + r s n+ Buscamos una fórmula no recursiva para s n de la cual se pueda deducir su límite Veamos: r r Hagamos A y s n+ 0 s n A n a Es decir el valor inicial del a sistema dinámico es Los valores propios de A son: α r β Como

5 Algunas Sucesiones Definidas Recursivamente 3 r vectores propios podemos considerar W α y W β a expresamos como cominación lineal de los vectores propios: r + a + r r + y aplicando A n + r + a + r r + Entonces a 3 a + 3 A n Como A n y A n r + 3 a 3 A n r n r tenemos A n a r + a + r + r n r + r + a + r r + A n a es decir y por tanto tenemos el siguiente este caso su límite es constante y si r > 0 es oscilante s n a + r + a r n r + Teorema Sean a número reales; la sucesión s n definida así: s 0 ; s a y s n+ rs n + r s n+ es convergente si y sólo si r < y en Si r < 0 la sucesión es monótona; si r 0 es a+r r+ El lector puede darse cuenta de que el resultado puede ampliarse para a y vectores de cualquier espacio vectorial normado Ejemplo La sucesión s n definida así: s 0 ; s a y s n+ 3 s n + 3 s n+ es convergente a 3 4 a + 4 Ejemplo La sucesión s n definida así: s 0 ; s y s n+ 4 3 s n+ 3 s n es creciente y converge a

6 4 Rafael F Isaacs 3 Convergencia En general podemos preguntarnos: si se definen la sucesiones s n y recursivamente sn+ + sn A donde A es una matriz cuál es su comportamiento dados valores iniciales s0? El anterior análisis suguiere que el estudio de los valores propios de A t 0 nos puede dar importante información Supongamos que A tiene dos valores propios reales o complejos α y β diferentes y que los vectores propios asociados son W α y W β Como estos deen ser linealmente independientes entonces s0 podemos expresar como cominación lineal de los vectores propios t 0 s0 t 0 pw α + qw β y aplicando A n A n s0 pa n W t α + qa n W β pα n W α + qβ n W β 0 sn sn y por tanto la convergencia de depende de α y β En realidad la longitud de los valores propios de A determina la convergencia de la sucesión como lo indican los siguientes resultados Teorema 3 Sean las sucesiones s n y definidas recursivamente por sn+ sn A + Si A tiene dos valores propios diferentes de longitud menor que entonces las sucesiones tienden a 0 para cualquier valor inicial dado Teorema 3 Sean las sucesiones s n y definidas recursivamente por sn+ sn A + Las sucesiones s n y son convergentes para cualquier valor inicial dado si un valor propio de A es y el otro tiene longitud menor que

7 Algunas Sucesiones Definidas Recursivamente Teorema 33 Sean las sucesiones s n y definidas recursivamente por sn+ sn A + Las sucesiones s n y son acotadas si las longitudes de los valores propios de A son menores o iguales a Teorema 34 Sean las sucesiones s n y definidas recursivamente por sn+ sn A + Las sucesiones s n y divergen para algún valor inicial alguna de los valores propio de A es mayor que s0 t 0 si la longitud de Como el estudio detallado de estos hechos no es nuestro interés por ahora omitimos las demostraciones 4 Fórmulas no recursivas Finalmente nos interesa decidir cuándo una sucesión definida recursivamente admite una fórmula no recursiva tal y como en el caso de la sucesión de Fionacci Consideremos la sucesión x n definida así: x 0 ; x a y x n+ sx n +rx n+ donde r y s son dos valores reales Hagamos A r 0 s y x n+ x n A n a Es decir el valor inicial del sistema dinámico es a Los valores propios de A son: α r + r + 4s β r r + 4s Como vectores propios consideremos V β s y W α s ; puesto que det β s α s s r + 4s y β s α s a tenemos que s r +4s aα+s aβ+s s r + 4s aα + s V a s aβ + s W r + 4s y por tanto s r + 4s aα + s An V s r + 4s aβ + s An W A n a

8 6 Rafael F Isaacs y s r + 4s aα + s αn V s r + 4s aβ + s xn+ βn W x n ; por tanto x n α n aα + s β n aβ s r + 4s Hemos otenido así el siguiente resultado: Teorema 4 Consideremos la sucesión x n definida así: x 0 ; x a y x n+ sx n +rx n+ Si r y s son dos valores reales tales que s 0 y r 4s entonces para todo n x n α n aα + s β n aβ s r + 4s donde α y β son valores propios de la matriz r s 0 A manera de aplicación se presentan los siguientes ejercicios que se pueden comproar por inducción pero donde la fórmula propuesta se ha encontrado aplicando el anterior resultado Ejercicio 4 Demostrar que si x 0 0 x y x n+ x n+ +x n entonces para todo n se tiene x n n + n 8 Ejercicio 4 Demostrar que si x 0 0 x y x n+ x n+ +x n entonces para todo n se tiene x n 3 n n Ejercicio 43 Demostrar que si x 0 x y x n+ x n+ +x n entonces para todo n se tiene x n n n

9 Algunas Sucesiones Definidas Recursivamente 7 Ejercicio 44 Demostrar que si x 0 0 x y x n+ x n+ + x n entonces para todo n se tiene x n n n 7 4 Ejercicio 4 Demostrar que si x 0 0 x y x n+ x n+ + x n entonces para todo n se tiene x n 3 + n 3 n 3 Agradecimientos Este tema fue desarrollado en el Seminario Docente de Álgera de la Escuela de Matemáticas er semestre de 00 El autor agradece a los participantes en el Seminario sus sugerencias y comentarios Referencias [] S I Grossman Álgera Lineal a edición Mc Graw Hill 996 [] Rosen Elementary Numer Theory and its Applications nd edition Addison Wesley 988 [3] G Strang Álgera Lineal y sus Aplicaciones Fondo Educativo Interamericano 98

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