Auxiliar N 11. Problema 1. Problema 2

Transcripción

1 Auxiliar N 11 Curso : IN4302 Semestre : Primavera 2010 Profesor : Arturo Cifuentes O. Auxiliares: Sebastián Gutiérrez L. Daniel Torres S. Problema 1 Suponga que el DowJones, y el S&P500 son dos índices accionarios de la bolsa de Nueva York que pueden modelarse de acuerdo a movimientos brownianos geométricos: con medias y volatilidades anuales dados por el cuadro que sigue: Además, la correlación entre ambos índices es de 0,85. Los valores hoy de los índices son: DowJones = ,67 S&P500 = Suponiendo que la estructura de tasas es plana, con la tasa libre de riesgo anual (composición anual) igual a 5%, se pide: a) Construya un árbol Binomial mensual por 3 meses, y determine las probabilidades neutras al riesgo para el índice S&P500. b) Evalúe el valor de mercado hoy de un contrato que paga la rentabilidad del índice S&P500 en tres meses más, asegurando el capital invertido. Es decir al final de tres meses paga: N * Indice_3meses/Indice_Hoy,, siempre y cuando Indice_3meses > Indice_Hoy, de lo contrario paga N. c) Explique (no calcule) cómo evaluaría un contrato que paga en 3 meses más la rentabilidad asociada a una canasta de índices definida como N*[0,5* IndiceS&P500_3meses/IndiceS&P500_Hoy + 0,5* IndiceDowJones_3meses/IndiceDowJones_Hoy] si es mayor que N, de lo contrario paga N. Sea explícito. Problema 2 Considere una put europea a 2 años con un precio de ejercicio de $52 sobre una acción cuyo valor actual es $50. El objetivo es valorizar esta opción usando un árbol binomial suponiendo que cada período es un año. Suponga que se ha estimado que la volatilidad de la acción es de un 15%. Además, suponemos la tasa libre de riesgo igual a 5%. a) Valorice la put b) Valorice la put suponiéndola una put americana c) Valorice la put usando la fórmula de Black-Sholes d) Comente los resultados

2 Problema 3 El precio de la acción de la clásica empresa ABC es $40. No se pagarán dividendos en los próximos tres meses. La tasa esperada de retorno compuesta continuamente de la acciòn de ABC es 16 por ciento anual y su volatilidad anual es de 35 por ciento. La tasa de interés compuesta anualmente es de un 8 por ciento. Construya el árbol binomial del precio de la acción, donde cada período es de 1 mes. a) Si la opción put es europea con precio de ejercicio $45. Encuentre su precio mediante árboles binomiales de tres períodos. b) Ahora utilice la fórmula de Black and Scholes.

3 Pauta Auxiliar N 10 Problema 1 a) Construya un árbol Binomial mensual por 3 meses, y determine las probabilidades neutras al riesgo para el índice S&P500. u=exp(48%/raiz(12))=1,1486 d= 1/u= 0,8706 R = (1+5%)^(1/12) = 1, Probabilidades neutras al riesgo se despeja de: q= (R-d)/(u-d) q= b) Evalúe el valor de mercado hoy de un contrato que paga la rentabilidad del índice S&P500 en tres meses más, asegurando el capital invertido. Es decir al final de tres meses paga N * Indice_3meses/Indice_Hoy,, siempre y cuando Indice_3meses > Indice_Hoy, de lo contrario paga N. Para N=1 en cada nodo final se evalua Max(1, Indice_3meses/Indice_Hoy) y luego se trae a valor presente del valor esperado por las probabilidades q. El arbol que queda es: por lo que el contrato renta 9,699% en tres meses, es decir anualizado 44,8% O bien por cada 100 USD invertido la ganancia es de 9,7 USD.

4 c) Explique (no calcule) cómo evaluaría un contrato que paga en 3 meses más la rentabilidad asociada a una canasta de índices definida como N*[0,5* IndiceS&P500_3meses/IndiceS&P500_Hoy + 0,5* IndiceDowJones_3meses/IndiceDowJones_Hoy] si es mayor que N, de lo contrario paga N. Sea explícito. En este caso hay que repetir el calculo pero con una volatilidad distinta, recalculando u, d y q. La volatilidad a usar es raiz([0.5*52%]^2 + [0.5*48%]^2 + 2*0,85*[0.5*52%]*[0.5*48%]) = 48.1%, por lo que el resultado no debiera cambiar mucho. (El valor es 1,0972) Problema 2 a) Paso 1: Primero, se calcula las probabilidades libres de riesgo: La probabilidad de que la acción suba es:, luego la probabilidad de que baje: Paso 2: Construir el árbol:

5 Paso 3: Valorizar la put Recordar que esta put es europea, por ende esta solo puede ejercer o no en t=2. Por ende, para valorizar la put, nos interesan los flujos relevantes llevados a valor presente. Además recordando que el valor de una put en un nodo particular es: P=max{0, 52-S}. Se tiene que: Por ende el valor de la put europea es: b) Paso 1: probabilidades libres de riesgo: ya calculadas. Paso 2: construcción del árbol: ya construido Paso 3: valorizar la put Recordando que esta put es americana, esta puede ser ejercida en cualquier nodo. Por ende, para valorizar la put, nos interesan los flujos relevantes llevados a valor presente para cada nodo.

6 Valorizando la put americana nodo a nodo: Por ende el valor de la put americana es: c) La fórmula de Black-Sholes para valorizar una put es:

7 Luego, d) Claramente, el valor de la Put para Black-Sholes y para la opción europea son muy parecidos, ya que la fórmula analítica considera la opción como europea. Por otro lado, es fácil ver que la put americana vale más que la europea ya que esta ofrece mayores oportunidades de ejercicio. Problema 3 a) S(t)=40 u=exp(0,35*raiz(1/12)))=1,106, la raiz de 1/12 es la conversión de unidades de tiempo. La volatilidad del enunciado está en base anual y las ramas del árbol que vamos a construir están en meses. En 1 mes hay 1/12 años. d=u-1=0,904 r*=(1+8%)^(1/12)=1,0064 p=(1,0064-0,904)/(1,106-0,904)=0,5069

8 La put vale 5,31 b) S=40 K=45 R=exp(8%)=8,3%, se convierte a tasa continua Kexp(-rT)=45exp(-8,3%*3/12)=44,0727 S/Kexp(-rT)=0,90759 Ln(S/Kexp(-rT))=-0, sraiz(t)=35%*raiz(3/12)=17,5% Ln(S/Kexp(-rT))/ sraiz(t)=-0,55406 Ln(S/Kexp(-rT))/ sraiz(t)+ sraiz(t)/2= =d1 F(d1)= (Viéndolo en una tabla normal estándar) d2= F(d2)= (Viéndolo en una tabla normal estándar) Entonces, C= 40*0, ,0727*0, = 1, Pero se buscaba valorar una put y no una call, entonces usamos la relación put-call P=1, ,0727=5,404