Capítulo 10c: Número neperiano. 1. Objeto de estudio. Diseño de las cargas en edificios - Jorge Bernal. Capítulo 09: Neperiano.

Transcripción

1 Capítulo 10c: Número neperiano. 1. Objeto de estudio. En este capítulo se analiza desde la matemática al número neperiano e, el motivo de su estudio es la necesidad de medir la conducta de los técnicos; aquellos que son los responsables de las tareas de proyecto, cálculo y ejecución de los edificios. Existen diferentes formas de medir según el objeto de investigación, desde la física la medición se realiza con las herramientas elementales (cinta métrica) y con las operaciones elementales de la 1

2 aritmética porque sus leyes se consideran precisas, exactas y repetitivas. Pero cuando se trata de medir la conducta humana, sea de manera individual o colectiva la tarea se complica mucho. Si bien ahora estamos dentro del campo de las ciencias de las físicas (ciencias duras), el diseño de las cargas es un trabajo muy difícil porque debe ser pronosticado a futuros desde los antecedentes del pasado; el factor humano en los reglamentos o normativas se lo presenta como el Coeficiente de Seguridad. Ese coeficiente deberá ser más elevado cuanto menos fiable es la comunidad técnica que participará en la ejecución del edificio. Por ello la psicofísica emplea ecuaciones que determinan ese coeficiente de seguridad según los datos que tenga del colectivo técnico responsable de la obra; allí aparece el número neperiano. Este número irracional puede interpretar la conducta futura. Kant: nada estrictamente recto puede hacerse del torcido leño del que están hecho los humanos Thorndike: cuando medimos algo, bien sea en el campo de la física, de la biología o de las ciencias sociales, esa medición contiene una cierta cantidad de errores aleatorios. La cantidad de error puede ser grande o pequeña, pero siempre estará presente Con la interpretación de las frases anteriores las ciencias de la construcción nos plantea dos tipos de errores: a) el cometido en alguna de las fases de ejecución de la obra y b) el de medición de la conducta del colectivo de técnicos que participan. 2. Número neperiano. Historia y análisis. El número e neperiano, fue descubierto a principios del por John Napier y luego perfeccionado por otros, en especial por Euler en Es un número irracional no expresable por relación de enteros. Tampoco es posible establecerlo con un número finito de cifras o con decimales periódicos. Se obtiene de una función límite: ( ) Su resultado: e = 2, Cuando este número se lo usa como base de un exponente o en la forma de logaritmo, presenta notables cualidades para interpretar fenómenos de la teoría de complejidad o del azar. Las cargas tienen esa característica aleatoria, por otro lado el hombre que las calcula o predice también lo tiene. Se lo usa para el diseño de los coeficientes de seguridad y los de reducción en cargas combinadas. Los logaritmos más comunes son el vulgar de base 10 y el natural o neperiano de base e. Este último se lo puede definir como: El de base 10: El de base e : 2

3 Ejemplos: Coeficiente de seguridad. Esta última expresión de exponencial de base neperiana lo analizamos. Entre sus cualidades, el neperiano toma el valor 1 (uno) cuando la variable de potencia es 0 (cero). Este fenómeno se puede interpretar de la siguiente manera: el factor de potencia se compone de variables que resultan de calificar las tareas que realiza la comunidad técnica. Citamos un ejemplo ideal: cuando la incertidumbre no existe, cuando las dudas son nulas, los controles de obra son exactos, los materiales son perfectos y otras variables sin ninguna desviación; en ese caso ideal el factor de potencia es cero y el neperiano adopta el valor uno. En este caso ideal imaginario, la resistencia de la estructura (R) es igual a las cargas que la solicitan (S). Recordemos una vez más; cuando la incertidumbre es nula, el coeficiente de seguridad es uno. γ: Coeficiente de seguridad. R: Resistencia de la estructura. S: Cargas que actúan. En esta situación teórica ideal con un coeficiente de seguridad igual a uno significa que no es necesario mayorar las cargas o reducir las resistencias, porque estamos en la utopía de una comunidad técnica perfecta. Como la realidad es otra, veremos más adelante la determinación de los coeficientes de seguridad γ (Cirsoc 106) y de los factores de superposición ψ (Cirsoc 105). 3. Coeficiente de seguridad según Cirsoc 106. Coeficiente de seguridad. Ya lo dijimos. Depende de la incertidumbre y del valor de falla, con esas variables y el neperiano es posible establecer el coeficiente de seguridad a emplear en el diseño y cálculo de un edificio: El β se denomina índice de seguridad, es función de la vida útil del edificio, de la probabilidad de falla y de la cantidad de personas en riesgo, está establecido en el R106. Un estadio cubier- 3

4 to que alberga miles de espectadores posee un β muy superior al de un depósito de granos. El δ es la dispersión que presenta una determinada población o comunidad técnica de una región. Una sociedad técnica ideal, imaginaria, de una extraordinaria capacidad de control, donde no existieran errores, olvidos o incertidumbres, donde sus miembros tuvieran esa virtud absoluta y magnífica, en esas circunstancias el δ se aproxima a cero; esta situación la expresamos en párrafos anteriores. También puede existir un colectivo técnico real que efectúe una riguroso y repetido control en cada una de las fases del edificio, pero sin separarse de su condición humana del error, esa comunidad excelente podría tener un δ = 0,05. Por último si la comunidad es distraída y negligente el valor de los δ alcanza valores de 0,30 y también superiores. Caso uno: situación ideal teórica. Resolvamos la ecuación anterior. La aplicamos a un edificio de elevado índice de seguridad (teatro, estadio) con un beta = 5. β = 5 δ = 0,00 γ = 1,0 El proyecto (ideal) se realiza sobre la hipótesis de resistencia de los materiales R y cargas actuantes S invariables y precisas Caso dos: situación real de control riguroso. Beta = 5 y delta 0,05 Gama = 1,28 β = 5 δ = 0,05 γ = 1,28 Para el proyecto se supone un control riguroso de los materiales R y también un cuidadoso cálculo de las solicitaciones S : Por esos reducidos deslices del colectivo técnico (factor humano) la resistencia de la estructura deberá ser un 28 % de las cargas que actúan. Caso tres: Situación ideal de control pobre: Beta = 5 y delta 0,30 Gama = 4,48 β = 5 δ = 0,30 γ = 4,48 4

5 Existe inseguridad en la calidad de los materiales, en la ejecución de los cálculos y en el control de obra, en ese caso el proyecto debe realizarse con coeficientes de seguridad altos. En este caso la resistencia deberá estar en un 348 % por arriba de las acciones. Por ejemplo si la carga real es de 100 kn por los antecedentes de la región (gestión pobre), la carga de diseño deberá ser 448 kn, casi cinco veces más. En resumen: el coeficiente de seguridad depende de la categoría o importancia del edificio y de la capacidad de control que posea la comunidad técnica que trabaje en ese edificio, desde el proyecto, hasta su finalización y uso. Lo interesante de este asunto es que pueda ser expresado mediante el exponencial del neperiano. 4. Otras aplicaciones. A continuación desarrollamos algunos notables ejemplos de su aplicación: Catenaria: La forma que adopta un cable suspendido por sus extremos: Edad: La antigüedad de un objeto que contiene materia orgánica se puede establecer en función de la reducción del carbono 14. Los seres vivos lo poseen de manera constante. Luego de la muerte esa cantidad disminuye. La función que establece la desintegración: Biología: Q: cantidad de carbono final. Q 0 : carbono inicial. Δt: tiempo transcurrido. El crecimiento es exponencial. Se lo estudia en especies que por vez primera llegan a una determinada región. También luego de un incendio de un bosque. N 0 : población inicial. t: tiempo. Permite predecir la población N, desde una población inicial en un tiempo t. 5