EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

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1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES Nombre: Curso: Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción. La razón entre a y b es y se lee: a es a b. Los números a y b pueden ser decimales. Si en la clase 2º ESO A hay 18 chicas y 12 chicos, la razón entre chicas y chicos es (por cada 3 chicas hay 2 chicos) Calcula la razón en las siguientes situaciones: Si en 2º ESO B hay 15 chicas y 10 chicos, la razón entre chicas y chicos es Juan pesa 66 kg, y María, 55 kg, la razón entre el peso de Juan y María es Una habitación mide 24,8 m 2, y otra, 12,4 m 2, la razón de las superficies es Una proporción es una igualdad entre dos razones: a y d son los extremos y b y c son los medios. Se lee a es a b como c es a d. En toda proporción se cumple que el producto de extremos es igual al producto de medios. Si en 2º ESO C se mantiene la razón de proporcionalidad entre chicas y chicos que hay en 2º ESO A y hay 9 chicas, cuántos chicos hay? Hay 6 chicos. Calcula el término que falta en las siguientes proporciones: Juan piensa hacer un bizcocho para una fiesta. Para ello, utiliza 1 taza de agua por tres tazas de mezcla. El paquete contiene 14,5 tazas. Cuántas tazas de agua debería usar?

2 La razón de las edades de Ana y Andrés es 3/5. Si Ana tiene 18 años, cuántos tiene Andrés? Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente: distancia, tiempo. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. La razón entre dos cantidades es siempre la misma y se llama constante de proporcionalidad. Por ejemplo el número de personas que van en el autobús y la recaudación del autobús son magnitudes directamente proporcionales ya que si van el triple de personas en el autobús la recaudación también se triplicará. La constante de proporcionalidad de recaudación y número de viajeros representa el precio de un billete. Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número. El producto de dos cantidades es siempre el mismo y se llama constante de proporcionalidad inversa. Por ejemplo el número de obreros y el tiempo empleado en realizar un trabajo son magnitudes inversamente proporcionales ya que si trabajan el doble de obreros el tiempo que se necesitará para terminar el trabajo será la mitad. La constante de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad inversa representa el número de horas que emplearía un solo obrero en realizar el trabajo. Di cuáles de los siguientes pares de magnitudes son directamente proporcionales (DP), inversamente proporcionales (IP) o no tienen ninguna relación de proporcionalidad (NP): La edad de una persona y su altura.. El peso de una sandía y su precio. El número de operarios que descargan un camión y el tiempo que tardan en descargarlo. La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades. El precio de un libro y su número de páginas... El tiempo que caminas a velocidad constante y la distancia que recorres El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja Las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm2 de área... La estatura de una persona y el número de hermanos... El lado de cuadrado y su área La talla de un pantalón y su precio El precio de las manzanas y los kilos que puedo comprar con el dinero que llevo.. El lado de un cuadrado y su perímetro. Las horas dedicadas a estudiar matemáticas y la nota obtenida en esa asignatura... El tiempo transcurrido desde la compra de un coche y el valor de dicho coche.. La capacidad de un vaso y el número de vasos necesarios para llenar una determinada jarra..

3 Completa las siguientes tablas de magnitudes directa e inversamente proporcionales, calcula la constante de proporcionalidad directa e inversa y describe lo que representa dicha constante: Andrea ha comprado 6 Kg de naranjas por 2 euros Kg de naranjas Coste de las naranjas en Un grifo que aporta un caudal de 3 litros por minuto llena un depósito en 12 minutos Caudal en l/min min que tarda en llenar Luisa y Ana tienen que pintar durante el verano la valla de la casa de sus abuelos. La valla tiene una longitud de 30 metros y su abuelo les ha dicho que por cada 6 metros que pinten les dará 5 a) Forma la tabla de valores con las magnitudes correspondientes. b) Forma proporciones y halla la constante de proporcionalidad. c) Si la valla tuviera 42 metros, cuánto dinero ganarían Luisa y Ana? Un grifo vierte 3 litros de agua cada minuto, tardando 15 minutos en llenar un tonel. Si aumentamos el caudal a 6 litros por minuto, cuántos minutos tardará en llenarlo? Y si lo aumentamos a 9 litros por minuto? Y a 12 litros por minuto? a) Forma la tabla de valores con las magnitudes correspondientes. b) Calcula la constante de proporcionalidad, qué representa?

4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Magnitudes directamente proporcionales: a) Regla de tres simple directa: En la proporcionalidad directa, la razón de dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón de las cantidades correspondientes en la otra magnitud. Un coche consume 5,5 litros de gasolina cada 100 kilómetros. Cuántos kilómetros podrá recorrer con 110 litros? Litros Distancia(km) 5, x Se podrán recorrer 2000km b) Reducción a la unidad: Consiste en calcular previamente el valor de una de las magnitudes correspondiente a una unidad de la otra magnitud, luego bastará con multiplicarlo por los valores adecuados. Si ayer pagué 60 céntimos por 5 chicles. Cuánto me hubieran costado 8 chicles? Nº de chicles Precio: céntimos 8 chicles hubieran costado : 5 = 1 60 : 5 = 12 96céntimos. 1 8 = = 96 Magnitudes inversamente proporcionales: a. Regla de tres simple inversa: En la proporcionalidad inversa, la razón de dos cantidades de una magnitud forma proporción con la razón inversa de las cantidades correspondientes en la otra magnitud. El agua de un depósito se puede extraer en 200 veces con un bidón de 15 litros. Calcula cuántas veces se extraería con un bidón de 25 litros. Capacidad(l) Nº de veces x Con un bidón de 25 litros se extraerían en 120 veces. b. Reducción a la unidad: Consiste en calcular previamente el valor de una de las magnitudes correspondiente a una unidad de la otra magnitud, luego bastará con dividirlo por los valores adecuados. Tres niños se comen un pastel en 16 minutos. En cuánto tiempo se lo comerían cuatro niños? Nº de niños Tiempo(min) : 3 = = = 4 48 : 4 = 12 Cuatro niños se lo comerán en 12 minutos.

5 Para resolver un problema de proporcionalidad debes seguir los siguientes pasos: 1º.- Determinar si la proporcionalidad entre las magnitudes es directa o inversa. 2º.- Plantear la regla de tres señalando si es directa o inversa. Expresa las cantidades de cada magnitud en la misma unidad. 3º.- Escribir la proporción correspondiente. 4º.- Hallar x. De cada tonelada de trigo se obtienen 800kg de harina. Cuántos kg de trigo necesitamos para obtener 13 toneladas de harina? Una nave espacial almacena alimentos para 8 astronautas y para 15 días. Si en la nave viajan 6 astronautas, para cuántos días tienen alimentos? Una cuadrilla de 20 obreros hace un trabajo en 30 días. De cuántos obreros se compondrá la cuadrilla que haga el mismo trabajo en 24 días? Una bomba tarda 40 minutos en sacar los 2000 litros de agua que contiene un depósito. Cuánto tiempo tardará en extraer los 40m 3 de agua que contiene una piscina? Expresa el resultado en horas y minutos.

6 Por empapelar una habitación, cuya superficie de las paredes es de 45m 2, nos cobran 229,95. Cuánto nos cobrarán por empapelar el salón si la superficie de las paredes es de 95m 2? Juan tarda 25 minutos desde su casa a la casa de un amigo en bicicleta, con una velocidad de 21km/h. Qué tiempo tardará andando si recorre 1km en 10 minutos? Expresa el resultado en horas, minutos y segundos. Luis y Carlos cambian divisas. Luis cambia soles del Perú y le dan euros. A Carlos le dan euros. a) Cuántos soles ha cambiado Carlos? b) Cuál es el cambio euro-sol?

7 En 50 litros de agua de mar hay gramos de sal. Cuántos litros de agua de mar contendrán gramos de sal? Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? Un automóvil gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil? En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se taran 6 días en servir un pedido. Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias? Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. Cuántos viajes necesitará para transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas?

8 Un porcentaje o tanto por ciento es la cantidad que hay en cada 100 unidades. Se expresa mediante el símbolo %. Un porcentaje es equivalente a una razón de denominador 100 y también al número decimal correspondiente. Porcentaje Fracción-razón Nº decimal 35% 0,35 7% 0,07 Para calcular el porcentaje: Fracción: t% de C = 20% de 350 = Nº decimal: 20% de 350 = Para hacer cálculos con porcentajes se puede aplicar la regla de tres y usarlos como proporciones con uno de sus términos 100. t% de C = P Total Parte 100 t C P Completa la siguiente tabla: Porcentaje Fracción-razón Nº decimal 5% 0,62 Calcula el valor de los siguientes porcentajes: 20 % de 650 = 0,80 % de 2005 = 25 % de 300 = 2 % de = Escribe las siguientes expresiones en forma de razón, número decimal y tanto por ciento: Razón Nº decimal Porcentaje 4 de cada 5 personas practican el senderismo. 9 de cada 10 dentistas recomiendan 5 de cada 8 personas tienen gafas. 3 de cada 4 personas sonríen.

9 PROBLEMAS DE PORCENTAJES 1. Cálculo del tanto por ciento: El tanto por ciento se calcula dividiendo la cantidad parcial entre la cantidad total y multiplicarlo por 100 o mediante la regla de tres: Total Parte 100 t C Un jugador de baloncesto ha conseguido 15 encestes de 20 lanzamientos. Cuál es su porcentaje de aciertos? P El 60% de los alumnos de la clase son chicas. 2. Cálculo de la cantidad parcial, conocidas la cantidad total y el tanto por ciento. La cantidad parcial se calcula hallando el porcentaje por uno de los métodos vistos anteriormente. Un pantano tiene una capacidad total de 5 millones de metros cúbicos de agua. Actualmente está lleno al 75 % de su capacidad. Calcula los metros cúbicos de agua que contiene. 15% de = Contiene m 3 de agua. 3. Cálculo de la cantidad total, conocidas la cantidad parcial y el tanto por ciento. Podemos aplicar la regla de tres: Total Parte 100 t C P De la nueva autopista en construcción, ya se han completado 63 km, lo que supone un 35% del total proyectado. Cuál será la longitud de la carretera, una vez finalizada? Total Parte C 63 La longitud total de la carretera será de 180km.. 4. Problemas de aumentos porcentuales. Aumentar una cantidad "x" en un t% equivale a calcular el (100+t)% de dicha cantidad "x", o también podemos calcular el t% de la cantidad y sumársela. Un viticultor recogió en la campaña pasada 180 toneladas de uva, pero este año espera un 20% más. Cuántas toneladas espera cosechar este año? 20% de 180 = = 216 Este año espera recoger 216 toneladas de uva.

10 5. Problemas de disminuciones porcentuales. Disminuir una cantidad "x" en un t% equivale a calcular el (100 t)% de dicha cantidad "x", o también podemos calcular el t% de la cantidad y restársela. Compro una radio por 48, y me hacen un descuento del 17% Cuánto tengo que pagar? 17% de 48 = 48 8,16 = Tengo que pagar 39,84. Una agencia inmobiliaria cobra, sobre el precio del piso, un 2% al comprador y un 3,5% al vendedor. En un piso de , cuánto recibe la agencia? El 26 % de los libros de una biblioteca son novelas, el 18 % son libros de poesía, el 10 % son libros de historia, el 22 % son libros de ciencias y el 24 % son enciclopedias y diccionarios. En la biblioteca hay libros. Cuántos libros hay de cada tipo? En un centro escolar, de los 210 alumnos de 3.º de ESO se inscriben en una actividad extraescolar 170. Mientras que de los 160 alumnos de 4.º de ESO se apuntan 130. Qué curso, 3.º o 4.º, ha mostrado más interés por la actividad? En el campeonato escolar el equipo de 3.º de ESO del colegio jugó 50 partidos de los que ganó 20, perdió el 40 % y empató los restantes. Ganó o perdió la mayoría de los partidos?

11 A fecha actual, el agua embalsada en Córdoba es de 2000 hm 3, lo que supone un 70% de la capacidad total. Cuál es la capacidad total de los embalses de Córdoba? Un teléfono móvil cuesta 85 euros. Halla su nuevo precio si: a) Se rebaja un 6 %. b) Se encarece un 4 %. Una calculadora cuesta 15, y tiene un descuento del 15%, y otra de 18 es rebajada a 13. Cuál es la más barata? Una guitarra de 800 sube el 50%. Después, baja el 50%. Queda como estaba? El 65% de los vecinos de un pueblo costero viven de la pesca. Cuántos vecinos tiene el pueblo, sabiendo que hay 975 pescadores?

12 Por un videojuego que costaba 60 he pagado 48. Qué porcentaje me han rebajado? Juan ha anotado la gente que ha ido a comprar a su tienda a lo largo del año. De cada 100 personas que entran a la tienda, 30 no compran nada, 15 compran solo un artículo y el resto se lleva más de uno. Expresa estas cantidades como porcentajes. Si a la tienda de Juan han entrado durante el año 9000 personas, calcula el número de los que no han comprado nada, los que han comprado un artículo y los que han comprado más de uno. El valor de un ordenador en una tienda es de 450,5 pero si nos lo tienen que llevar a casa e instalarlo su valor se incrementa el 6%. Calcula el incremento del coste inicial y cuanto tendremos que pagar si queremos que lo lleven e instalen en casa. Un balón cuesta 21, 75. Cuánto pagaremos por el si nos descuentan el 15%? Recuperación de Matemáticas 2º ESO por Francisco Javier García, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercialCompartirIgual 3.0. Elaborado durante el curso