Fase. Una respuesta (6ta parte) Contenidos

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1 Fase Una respuesta (6ta parte) Contenidos Prolegómeno de las elucubraciones sobre la lógica de la respuesta de fase La hipótesis...6 El retraso y el desfase...17 Valga la redundancia KB más

2 Prolegómeno de las elucubraciones sobre la lógica de la respuesta de fase La lógica de la respuesta de fase. Você se pergunta: Por qué? Por qué un retraso de tiempo hace que la fase se caiga y adopte valores negativos y luego positivos y de nuevo negativos y así sucesivamente? Esto pasa en la visualización estándar. En la pantalla desenrollada, en cambio, un retraso provoca valores negativos de fase (un retraso en el canal de medición). Podría preguntar entonces: por qué un retraso de tiempo produce desviaciones negativas de fase? Porqueeee... Sí...? Por convención? Lo cierto, es que en la pantalla estándar el signo de la fase alterna. Quizás no sea tan importante el sentido. Por otra parte, la lógica de la respuesta de amplitud es, comparativamente, más simple. La interpretación física de los datos parece más palpable. Su definición, digamos, justifica lo que muestra la pantalla. La respuesta de amplitud representa la ganancia del sistema frecuencia por frecuencia (lo que entiendo como un fenómeno físico). Asimismo, en este gráfico es evidente que la escala vertical limita la visualización de los datos. Es decir, si la escala vertical comprende, por ejemplo, +-30 db, entonces, un valor de ganancia que exceda estos márgenes no será visualizado. Fig. 0 Respuesta de amplitud. Escala vertical +-30 db En aquellas frecuencias donde la ganancia sea mayor a +30 db o menor a -30 db, no se verán los datos en pantalla. La respuesta de fase, extraordinariamente, muestra los datos de todas las frecuencias aunque estos excedan los límites impuestos por la escala vertical. 2

3 Hace como dos años se formularon las siguientes preguntas: Cómo se representa una diferencia de tiempo? Cuáles son las frecuencias retrasadas? Por qué hay grados positivos y negativos? Por qué un HPF va para un lado y LPF va para el otro? Você está preocupado por la conducta de las curvas (como para no estarlo). Preocupado por las formas que adopta la gráfica de fase según la señal pase, o bien por un sistema que simplemente la demora, o bien por uno que tiene filtros. Son varias las preguntas casi sin respuesta (o mis casi preguntas cuyas respuestas las tienen otros). Por ahora le damos duro y parejo al asunto del delay. Los efectos de los filtros serán abordados cuando estemos a la altura de las circunstancias. Hace como dos años que estamos observando y tratando de comprender las desviaciones de fase producidas por el delay de propagación (digo estamos porque mal de muchos...) Qué le sucede a la línea de ángulos cuando el canal de medición llega más tarde que el canal de referencia? Decrece a medida que aumenta la frecuencia. Adquiere una pendiente negativa. El trazo cae a tal punto que el analizador se ve obligado dibujar todos los valores de fase simultáneamente en su reducido cubículo de trescientos sesenta grados. Recuerde el delay de 20 µs. Cómo se movía la fase? Fig. 1 Respuesta de fase para un retardo de 20 µs Para este delay toda la información cabe entre 0º y -180º. Pero, qué pasó cuando se midieron 93 µs? 3

4 Fig. 2 Respuesta de fase para un retardo de 93 µs Hay tres segmentos fasoriales. Cerca de 5 khz el segmento más largo alcanza -180º y por encima de esta frecuencia aparecen dos pedazos nuevos de fase. Cuando se colorearon las curvas y se compararon la fase estándar y la desenrollada, quedó mas o menos claro que estos pedazos vienen a ser la continuación del trazo principal. Fig. 3 Respuesta de fase estándar para un retardo de 93 µs. Segmentos coloreados 4

5 Fig. 4 Respuesta de fase desenrollada para un retardo de 93 µs. Segmentos coloreados Nuevamente, estas imágenes parecen ser lo suficientemente convincentes como para agregar cualquier otro tipo de explicación. Sin embargo, el autor necesita, aunque sea, algún tipo de explicación en cuanto a la lógica de la pantalla estándar, dado que en la misma se pueden leer grados positivos y grados negativos. Entóns, cuál es la definición de respuesta de fase que justifica lo que sucede en pantalla? Por un lado, la pantalla desenrollada pareciera compartir la lógica de la respuesta de amplitud, o sea, si los datos exceden los límites impuestos por la escala vertical, no se ven. Pero, en la pantalla estándar sí. (Nos informan que el autor se está acercando peligrosamente a una tangente obsesivo-compulsiva. Es inminente la colisión pero, haga de cuenta que no pasa nada y sígale la corriente que ahora va a presentar su hipótesis ) 5

6 La hipótesis Los colores valen más que mil palabras pero, de todas maneras, yo hago esta pregunta: cómo se relacionan los valores de fase de la pantalla estándar y la desenrollada? Por qué, por ejemplo, un valor desenrollado de - 270º se lee como + 90º en la pantalla estándar? Observe, si cree que lo estoy bicicleteando, el valor de fase de 8 khz en las figuras 3 y 4 de hace un rato. Yo, he de suponer todo lo que viene a continuación. En el capítulo de trigonometría de un libro de matématica 1 se puede encontrar lo siguiente. Fig. 5 Posición estándar de un ángulo Los ángulos positivos se miden en sentido antihorario, partiendo de un lado inicial l 1 hasta un lado terminal l 2. En sentido horario, el ángulo se considera negativo. En la figura 5, a (Alfa) y b (Beta) son ángulos positivos, mientras que g (Gamma) es negativo. 1 Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 12a. edición. Cengage Learning. Página

7 Fig. 6 Ejemplos de ángulos positivos y negativos Se acuerda del movimiento armónico simple, la circunferencia y las fases de los sinusoides? Si no se acuerda y tiene mucho tiempo libre, péguele una repasada al texto referido a este tema en la segunda parte de Una respuesta. En la figura 6 hay unos sistemas de coordenadas (x, y). Si toma el origen de los mismos como vértices y, a su vez, como centros de circunferencia, esta última podría dividirse e identificarse de dos maneras, al menos, según el sentido de giro. Fig. 7 Ángulos en sentido antihorario Fig. 8 Ángulos en sentido horario 7

8 Fig. 9 Ambos sentidos de giro El arco 0º +180º coincide con el arco -180º -360º. La parte superior de la circunferencia (figura 10). La parte inferior corresponde con los arcos +180º +360º y 0º -180º (figura 11). Fig. 10 Parte superior del círculo Fig. 11 Parte inferior Recorra una segunda vuelta y observe los ángulos. Fig. 12 Parte superior. Segunda vuelta Fig. 13 Parte inferior. Segunda vuelta Estamos girando estamos. Los valores de fase, cada vez más grandes, se ubicarán siempre en uno de los dos semicírculos, el de arriba o el de abajo. 8

9 La figura 9 mostraba una vuelta completa en ambos sentidos. Fig. 9 de nuevo Ambos sentidos de giro Ahora corte el círculo en el punto formado por +180º y -180º y, enderece los arcos superior e inferior. Fig. 14 Corte y destuerza (no le robes a Bob McCarthy) 9

10 Si usted, por ejemplo, recorre dos vueltas en sentido horario contará -720º y se detendrá en la posición 0º del redondel. Si recorre en el mismo sentido dos vueltas y un cuarto, contará -810º. La posición -810º coincide con la posición -90º. Fig. 15 Tres vueltas en sentido horario Si recorre dos vueltas y tres cuartos contará -990º. -990º coincide con el punto -270º, que a su vez corresponde con +90º. Cualquier valor, positivo o negativo, puede ser localizado en uno de los dos semicírculos. Luego, estos semicírculos se pueden transformar en una línea vertical cuyo centro será identificado como 0º, su extremo inferior -180º y su extremo superior +180º : la pantalla de fase estándar. Los analizadores FFT de dos canales, como el Smaart, el SATlive o el SIM (hay más pero yo conozco estos tres), parece que aplican esta lógica. Estos software encuentran la manera de acomodar los datos de fase en una pantalla como la siguiente. Fig. 16 Pantalla de fase estándar Smaart 6 Un delay de propagación producirá una desviación del trazo de fase. Los analizadores hacen que estas desviaciones permanezcan dentro del dominio de los 360º. 180º para un lado y 180º para el otro. 10

11 Propóngole un ejercicio. Tome como ejemplo un retardo de 2.5 ms (recuerde, el canal de medición llega más tarde que el canal de referencia). La consola M7CL de Yamaha tiene esta latencia. El delay de propagación del sistema medido vale 2.5 ms. Cuáles son los valores de fase que se observarán en la pantalla desenrollada? Para la siguientes frecuencias, por ejemplo: 100 Hz 200 Hz 400 Hz 800 Hz 1000 Hz Calcule el período de 100 Hz. 1 / 100 Hz = 10 ms Divida la latencia por el período de 100 Hz. 2.5 ms / 10 ms = 0.25 Este número indica la relación entre el retardo y el período de la frecuencia en cuestión. La latencia de la consola representa la cuarta parte del período de 100 Hz. Cuál es el valor de fase para esta frecuencia? º = 90º Hacemos las cuentas para todas las frecuencias de la lista. Frecuencia Período Relación entre latencia y período Fase Valor de fase desenrollada 100 Hz 10 ms º -90º 200 Hz 5 ms º -180º 400 Hz 2.5 ms 1 360º -360º 800 Hz 1.25 ms 2 720º -720º 1000 Hz 1 ms º -900º En la siguiente imagen se muestra la respuesta de fase desenrollada para el retardo de 2.5 ms. 11

12 Fig. 17 Desviación de fase para un retardo de 2.5 ms. Pantalla desenrollada En la figura 18 se localizan los valores de la tabla sobre la curva. 12

13 Fig. 18 Desviación de fase para un retardo de 2.5 ms. Pantalla desenrollada. Pares ordenados Ahora vemos la versión estándar para este delay de propagación. Fig. 19 Desviación de fase para un retardo de 2.5 ms. Pantalla estándar 13

14 Con la ayuda de la figura 15, puede convertir los valores desenrollados en valores estándar. Valor de fase desenrollado Valor de fase estándar -90º -90º -180º -180º -360º 0º -720º 0º -900º -180º Fig. 15 Tres vueltas en sentido horario Fig. 20 Desviación de fase para un retardo de 2.5 ms. Pantalla estándar versus valores desenrollados Todo valor de fase termina dentro del rectángulo de 360º, parece. Hágame un favor; pruebe con la frecuencia 700 Hz. Cuál es el período de esta frecuencia? 1 / 700 Hz ms Cuál es la relación entre la latencia de la consola y este período? 2.5 ms / ms 1.75 Esto significa que 2.5 ms equivalen a 1.75 ciclos para la frecuencia 700 Hz ciclos... dicho de otra forma, un ciclo y tres cuartos. Cuánto vale la fase? 14

15 º = 630º Váyase hasta la figura 18, observe este valor de fase y vuelva. Ahora bien, a 1.75 le vamos sacar un ciclo. Nos queda 0.75, o sea, ¾. En la pantalla estándar el valor de fase debe ubicarse entre 0º y +180º o entre 0º y -180º equivale a tres cuartos de la circunferencia. Como si esto fuera poco, en la pantalla desenrollada un retardo implica valores negativos de fase. De aquí que ¾ de retraso serán -270º. Fig. 21 Delay de tres cuartos de círculo Ahora bien, - ¾ coincide con + ¼ no? Dónde va a dibujar el analizador este valor de fase en la pantalla estándar? Fig. 22 Desviación de fase para un retardo de 2.5 ms. Pantalla estándar. +90º en 700 Hz Recapitulando: un retardo de 2.5 ms provoca en 700 Hz una desviación de -630º en la pantalla desenrollada. Este valor se corresponde con -270º si se reduce el desfase al 15

16 contexto de un solo ciclo. Finalmente, este valor se convertirá en +90º en la pantalla estándar ya que -270º y +90º ocupan el mismo lugar de la circunferencia. Si funcionó para 700 Hz debería funcionar para todas las demás. Los valores de fase que se ubiquen en la parte superior del círculo, ocuparán la parte superior de la pantalla de fase estándar. Fig. 23 Correspondencia entre valores desenrollados y la pantalla de fase estándar Hay cosas peores. Déjemele decir, que toooodo lo precedente ha logrado sosegar los pensamientos del usuario desorientado estándar que escribe este artículo inclasificable. No se vea usted en el compromiso de seguir soportando taaaanto rodeo angular. Ahora, si no sabe para donde agarrar, hay más explicaciones en la página siguiente. 16

17 El retraso y el desfase Por qué un retraso de tiempo provoca un desfase negativo? La gente que sabe electrónica sabe todo, parece. La siguiente imagen fue extraída de un texto llamado Lessons In Electric Circuits 2, disponible en Internet en la página 2 Kuphaldt, Tony R. (2007). Lessons In Electric Circuits, Sixth Edition. Design Science License. Volume II AC, página

18 Me tomo el atrevimiento de versionar en el idioma de nosotros: Lo que quisiera señalar, es que si el eje horizontal representa tiempo, lo que está ubicado más a la derecha está retrasado y, lo que se ubica más hacia la izquierda está adelantado. Perdóneme, es medio zonzo esto pero... es. 18

19 Agarre un software de edición de audio y retrase una señal respecto de otra. Yo lo hice y me imaginé las dos señales que entran al Smaart. En estas imágenes el eje horizontal se mide en minutos y segundos. La señal del canal de medición llega 25 ms más tarde que la del canal de referencia. Nos preguntábamos, hace dos páginas, acerca del retraso de tiempo y el signo del ángulo de fase. Este retraso inducirá en el trazo de fase una inclinación descendente de izquierda a derecha. En la visualización desenrollada todos los valores de fase serán negativos. Volvemos al libro de Kuphaldt. 19

20 La señal A del segundo dibujito empezó antes que la señal B. En el tercer dibujito la señal A empieza después que la B. Los vectores que están a la derecha muestran el desfase entre las senoides. Recuerda la animación de la flechita y la senoidal? Cada punto del sinusoide se corresponde con un ángulo del vector giratorio. En mi lamentable intento de rigurosidad voy a hacer uso de unas imágenes de otro libro de un señor que se llama Robert Boylestad 3. 3 Boylestad, Robert L. (2002). Introductory Circuit Analysis. Tenth Edition. Pearson Education. 20

21 Introductory Circuit Analysis. Tenth Edition, página 535 El texto del gráfico dice algo así: Definición del desfase de una función senoidal que cruza el eje horizontal, con pendiente positiva, antes de 0º. El eje horizontal está medido en radianes pero, podemos pensarlo como tiempo que aumenta de izquierda a derecha. El origen del sistema de ejes representa 0 grados (o cero radianes) y para nosotros podría ser 0 segundos. La señal graficada empieza antes del origen. En la figura se mide un ángulo, sobre el eje horizontal, desde el inicio de la señal hasta el origen del sistema de ejes: el ángulo Theta θ. Este ángulo, que se corresponde con una cantidad de tiempo, indica que tan adelantada está la señal con respecto al origen (punto de referencia). En el libro de Robert dice que, matemáticamente, la señal senoidal se expresa así A m sen(ωt ± θ) 21

22 Fíjese que Theta puede ser positivo o negativo ( ± θ ). Theta es el desfase. El retraso o el adelanto. Theta puede ser positivo o negativo, según como se ubique el instante inicial de la onda con respecto al origen. En la figura 13.23, Theta es positivo porque la onda empieza antes del tiempo 0 (cero). Referido a esto, escribe Robert: Si la onda cruza el eje horizontal con pendiente positiva (esto es, la función se incrementa con el tiempo) antes de 0º, como se muestra en la figura 13.23, la expresión es A m sen(ωt + θ) Parecería, entonces, que una señal que empieza a la izquierda de otra se considera adelantada y el desfase positivo (mi raciocinio no tiene comparación). Ahora bien, para una señal retrasada debería ser al revés. Observe la siguiente ilustración. Introductory Circuit Analysis. Tenth Edition, página 535 El texto dice: Definición del desfase de una función senoidal que cruza el eje horizontal, con pendiente positiva, después de 0º. 22

23 Boylestad escribe: Si la onda cruza el eje horizontal con pendiente positiva después de 0º, como se muestra en la figura 13.24, la expresión es A m sen(ωt - θ) Theta es negativo. 23

24 Valga la redundancia Esta clarísimo que lo de Theta me oscurece un poco. Yo confío en que usted sabrá bieninterpretar estas puntas que le tiro por la cabeza. Por lo pronto, para seguir dando vueltas alrededor de lo mismo (usted podría ir cerrando este pdf ya), le invito a ver una página de Internet llamada Learn About Electronics que tiene otra animación que está bien chingona: En esta animación aparece un amiguito nuevo: el fasor ( phasor ). También aparecía en el libro de Kuphaldt, solo que él le llama vector. Yo no sabía pero, un vector viene a ser, más o menos, la representación de una variable física. El vector contiene información sobre la magnitud de dicha variable y su dirección (sentido). Un fasor es la representación vectorial de una señal senoidal. La longitud del fasor (magnitud) es igual al valor pico de la onda. El ángulo del fasor corresponde con la fase. En la imagen de recién, el fasor A forma un ángulo de -90º con respecto al fasor B y ambos tienen la misma longitud. Esto equivale a dos senoidales A y B de igual amplitud, donde la señal A está retrasada 90º. En la animación de la flechita y la senoidal (página 20), veíamos como se dibuja la señal a partir de la proyección del vector giratorio sobre el eje vertical. Las distintas fases del sinusoide se corresponden con una posición del vector. 24

25 Si tomamos como referencia el instante inicial (la fase 0º o 360º) de la señal B, el fasor B tendrá un ángulo de 0 grados. En este punto, la señal A está en su pico negativo, por lo tanto, al proyectarla sobre el eje vertical, el ángulo del fasor A corresponde con -90º. 25

26 20.0 KB más Me avisa el señor director que con esta sexta parte estaríamos concluyendo nuestro extraño aporte al saber de los efectos del retardo de propagación en la respuesta de fase. Nuestras próximas víctimas son los filtros y el retraso grupal. Se sabe que los filtros introducen retrasos. (Yo cada vez sé menos cosas) 26