F x. 4.Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Transcripción

1 l. Demuestre que la perpendicular a la recta AE en el punto E, la perpendicular a la recta AF en el punto F, la bisectriz del ángulo EAF y la perpendicular a la diagonal BD por el vértice C son todas concurrentes en un punto G. 2. Se ha medido la longitud máxima de la huella, que corresponde a la dirección anteroposterior, y la anchura máxima, que se encuentra definida casi siempre por la perpendicular a la longitud en el punto geométrico medio. 3.Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes en el punto P a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. 4.Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente. 5.Si existe la tangente a la curva en un punto A, se define la recta normal a la curva en el punto A como la recta perpendicular a la tangente en dicho punto. 6. Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=O, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación: F F F ( x x0 ) + ( y y0 ) + ( z z0 ) = 0 x p y z p p

2 7. Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación z en el punto P( 1,2,3) ; z = x 2 + y 2-2xy + 2y -2 8.Dada la función y = x2-4x+3, encuentra un punto de su gráfica en el cual la recta tangente a ella sea paralela a la secante a la curva en los puntos de abscisas x = 1 x = Observa que el eje radial es una recta secante a las dos circunferencias en los puntos de corte de ambas y perpendicular al segmento que une los dos centros si una circunferencia no es interior a la otra. 10.La cotangente es la medida del segmento que une el punto donde la recta tangente a la circunferencia perpendicular al eje Y corta el lado del ángulo β, y el punto donde dicha tangente corta al eje Y (siendo positiva hacia la derecha del eje Y y negativa hacia la izquierda). (OHARRA: FE zuzenkiaren neurria) β 11.Suponga que se coloca un pequeño dipolo ( + q y - q) en algún punto de la recta, perpendicular a y mediatriz a otro dipolo fijo ( + Q y - Q), como se ve en figura q +Q -Q -q

3 12. Demostración La figura adjunta muestra los trazos adecuados que indica el procedimiento siguiente: Por B se traza una recta paralela al lado AC. Se prolonga AP de modo que corte a dicha paralela en el punto F. Luego unimos F con C y por F trazamos una perpendicular a la prolongación de AC en el punto G. Análogamente desde el punto B trazamos una perpendicular a AC en el punto H. Observamos que BH = FG = h

4 El ángulo entre dos caminos se mide en un espacio pequeño, tan pequeño que en el los caminos parecen rectas. Para el ángulo en el cruce no importa que tan curvo estén los caminos lejos de este cruce, pero si están curvos en el cruce hay que aproximarse los suficiente para que esta curvatura ya no sea importante. En términos más matemáticos, el ángulo se mide con las tangentes a y b, es decir, con las rectas que se cruzan en el mismo punto y que llevan la misma dirección que los caminos en el cruce. Como las tangentes son rectas no están comprendidas en la superficie redonda sino que salen de ella y están contenidas en el plano tangente a la tierra en el punto de cruce. De manera similar, se mide el ángulo entre los caminos en el mapa usando las tangentes a' y b' a ellos, es decir usando las en P', el punto de cruce en el mapa y que tienen la misma dirección que los caminos en el mapa, diremos que la tangente "toca" al camino. Finalmente se pueden borrar los caminos: el resultado quedará demostrado si se puede mostrar que el ángulo entre las tangentes en el cruce original es igual al ángulo entre las tangentes en el cruce del mapa.

5 Obsérvese que esta función Y l es continua en el intervalo de x determinado por el segmento de paralela a Ox trazado por x o,y 0, interior al dominio (v. figura). Sustituida y por y l en f(x, y) dará, por tanto, una función de x integrable en ese intervalo o en otro más estrecho determinado por la variación total de x en el arco de la curva y l, interior a D. Formemos, pues, la nueva función Y 2 = Y o + f(x,y 1 )dx Que será continua en dicho intervalo; y, análogamente, formemos Y 3 = Y o + f(x,y 2 )dx que será continua en el intervalo anterior o en otro más estrecho determinado por la variación de x en el arco Y 2 interior a D.