Si queremos pasar de km a cm multiplicamos por 10 cinco veces, o sea por = 105

Transcripción

1 1.- FIGURAS PLANAS. PERÍMETROS Y ÁREAS Las figuras planas más importantes son los triángulos, cuadriláteros, polígonos y la circunferencia. Medida del perímetro de una figura El perímetro de una figura plana es la suma de todos sus lados. En el caso del círculo el perímetro es la longitud de la circunferencia. El perímetro se mide en unidades de longitud. Para pasar de unas unidades de longitud a otras podemos usar el siguiente esquema: Si queremos pasar de km a cm multiplicamos por 10 cinco veces, o sea por = 105 Ejemplo: 2,3 km = 2, cm = cm Si queremos pasar de mm a hm dividimos entre 10 cuatro veces, o sea entre = 104. Eso equivale a multiplicar por 10 4 Ejemplo: mm = hm = 7,84 hm Medida del área o superficie de una figura El área o superficie de una figura plana es la medida de la región que encierran sus lados. El área se mide en unidades de superficie. Para pasar de unas unidades de superficie a otras podemos usar el siguiente esquema: Si queremos pasar de km2 a m2 multiplicamos por 100 tres veces, o sea por = 106 Ejemplo: 0,5 km2 = 0, m2 = m2 Si queremos pasar de dm2 a dam2 dividimos entre 100 dos veces, o sea entre = 104. Eso equivale a multiplicar por 10 4 Ejemplo: dm2 = dam2 = 1250,6 dam2 ACTIVIDADES Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 1 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 1.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Pasa a metros: 1) 7500 mm 2) 0,84 km 3) 150 dm 4) 865,2 cm 5) 3,5 dam 6) 0,75 hm b) Pasa a metros cuadrados: 1) 3,84 km2 2) 150 dm2 3) cm2 4) 3,5 dam2 5) 0,75 hm2-1-

2 2.- ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS Objetivo 1.- Resolver problemas que requieran el cálculo de medidas angulares, de longitud y superficie en figuras triangulares, en especial aquellos que usen el teorema de Pitágoras realizando los cambios de unidades necesarios CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS Ángulo recto Ángulo obtuso Mide más de 90º Ángulo agudo Mide menos de 90º Ángulo llano Ángulos complementarios Son los que suman 90º Ángulos suplementarios Son los que suman 180º SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO En todo triángulo la suma de los tres ángulos vale 180º CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS Equilátero Tiene los lados iguales Triángulo rectángulo Tiene un ángulo recto Isósceles Escaleno Tiene los tres lados desiguales Acutángulo u oblicuángulo Tiene los tres ángulos agudos Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso Tiene dos lados iguales y otro desigual Fíjate bien El triángulo equilátero tiene los 3 ángulos iguales y cada ángulo mide 60º En el triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales y pueden ser agudos u obtusos En el triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios -2-

3 TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a2 = b2 + c2 a es la hipotenusa b y c son los catetos ÁREA DE UN TRIÁNGULO El área de un triángulo es igual a base por altura dividido entre 2 A= bh 2 ACTIVIDADES d 110º 1 Halla los valores de los ángulos desconocidos: 40º a c b 2 Si alineamos sobre una recta un triángulo equilátero, un triángulo rectángulo y un triángulo isósceles forman la siguiente figura: Sabiendo que el ángulo G mide 45º y el ángulo K mide 70º, cuánto miden los demás ángulos? 3 Una escalera larga de 10 m se apoya en la parte más alta de una casa. Si la distancia del pie de la escalera a la base de la casa es de 4,5 m, cuál es la altura de la casa? 4 Tres pueblos A, B, C y D están unidos por carreteras rectas, según la figura Halla la distancia entre los pueblos a) A y D b) A y C 5 Un jardín tiene forma de triángulo rectángulo isósceles de 12 m de hipotenusa a) Cuánto mide cada cateto? b) Cuántos metros de alambre necesitamos para vallarlo? c) Cuánto vale a razón de 60 /m 2? 6 Un pañuelo tiene forma de triángulo equilátero. La altura del triángulo es 21 cm a) Calcula el lado del triángulo b) Cuál es su superficie? -3-

4 Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 2 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 7.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) El alumnado de Alcornocal va a estudiar al instituto de Cieloazul. El camino para el transporte escolar de Alcornocal a Cieloazul, debe pasar actualmente por Buenabrisa. La Consejería de Obras Públicas y Transportes ha proyectado un túnel bajo el monte que permitirá conectar directamente Alcornocal con Cieloazul. Cuando se termine la obra del túnel que conectará directamente Alcornocal con Cieloazul. Observa la figura y calcula cuántos kilómetros se ahorrarán b) El teleférico de la ciudad A sale de la base de una montaña sube hasta su cima y acaba en la ciudad C. Observa el siguiente esquema y calcula: 1) Qué distancia recorre el teleférico desde la ciudad A hasta la cima? 2) Qué distancia hay entre las ciudades A y C? c) Halla el perímetro y la superficie de un triángulo rectángulo isósceles de 40 cm de hipotenusa d) Calcula el perímetro y área de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 2,6 dm cada uno y la altura mide 24 cm e) Una señal de tráfico con forma de triángulo equilátero tiene 28 cm de altura. Halla su perímetro y su área. -4-

5 3.- CUADRILÁTEROS Objetivo 2.- Resolver problemas que requieran el cálculo de medidas angulares, de longitud y superficie en figuras cuadrangulares usando fórmulas y la descomposición en figuras simples conocidas realizando los cambios de unidades necesarios Paralelogramos: Son los que tienen los lados paralelos dos a dos Rectángulo Romboide Cuadrado Rombo A= Dd 2 D = diagonal mayor A=bh 2 A=a d = diagonal menor A=bh Trapecios: Son los que tienen dos lados paralelos, llamados bases, y otros dos no paralelos. Área del trapecio: A = (B b) h siendo B = base mayor b = base menor h = altura 2 Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapecio escaleno Trapezoides: Son los que tienen los cuatro lados no paralelos ACTIVIDADES 1 Claudia juega con una cuerda formando un rectángulo de 30 cm de largo y 20 cm de ancho. Después, transforma la figura en un cuadrado con igual perímetro. Haz un dibujo que represente cada situación. Cuál tiene mayor superficie? 2 Los padres de Javier han decidido hacer reformas en la habitación de su hijo y quieren conocer el coste que les va a suponer cambiar el suelo. Disponen del plano de la habitación. Necesitan saber la superficie de la habitación (4,2 m de ancho y 4,55 m de largo) para determinar cuántas losas han de comprar, teniendo en cuenta que las losas son de forma rectangular de 60 cm x 35 cm. a) Calcula la superficie de la habitación. b) Calcula cuántas losas sería necesario usar para enlosar la habitación. 3 Calcula cuál es el precio de un mantel cuadrado de 2 m de diagonal si el m2 de tela cuesta

6 4 El próximo 28 de febrero es festivo, es el día de Andalucía. En mi instituto lo celebraremos el día 27 y yo voy a ser el alumno responsable de las actividades de mi clase. La bandera de Andalucía es la tradicional formada por tres franjas horizontales verde, blanca y verde de igual anchura. Tengo que coordinar la elaboración de una bandera de Andalucía: hecha de globos blancos y verdes para el aula, sin escudo. Cada franja de la bandera de globos del aula tendrá una altura de 40 cm y una longitud de 1 metro y 80 centímetros. Hemos visto que queda bien rellena colocando, para cada una de las tres franjas, dos globos de ancho y doce globos de largo. a) Cuántos globos de cada color (verde y blanco) nos harán falta? b) Cuál es el valor medio de la superficie que ocupa cada globo en la bandera? 5 Un jardín rectangular mide el triple de largo que de ancho y se ha rodeado con una tela metálica de 48 m. cuál es su superficie? 6 Calcula el área de un rombo de 6 cm de diagonal menor y 7 cm de lado 7 Una parcela tiene forma de trapecio isósceles de 30 m de altura, base mayor 100 m y lados no paralelos 50 m. Se ha rodeado con una valla. 1) Cuánto mide la valla? 2) Cuál será su precio a razón de 20,50 /m2? 8 Calcula, en cm2, el área de la siguiente figura sabiendo que el rectángulo mide 80 cm x 0,4 m y la altura del triángulo es 3 dm Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 3 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 9.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Calcula las áreas de las siguientes figuras, en m2, haciendo primero un dibujo representativo: 1) Un cuadrado de 0,05 km de lado 2) Un trapecio isósceles, siendo la base mayor 12 cm, la base menor 8 cm y la altura 6 cm 3) Un rectángulo de 5000 mm de largo y 300 cm de ancho 4) Un rombo cuyas diagonales miden 300 mm y 72 cm, respectivamente b) Se quiere embaldosar una habitación rectangular de 4,4 m de largo por 3,2 m de ancha con baldosas cuadradas de 40 cm de lado. Cuántas baldosas son necesarias? -6-

7 c) Una parcela tiene forma de rectángulo de 30 m de altura. La diagonal del rectángulo mide 50 m. 1) Si quiero rodear la parcela con una alambrada, cuántos metros de alambre necesito? 2) Cuánto valdrá la parcela a razón de 10,50 /m2? d) Un patio rectangular mide 12 m de largo y 15 m de diagonal. Calcula: 1) Cuánto mide de ancho? 2) Cuántas losas cuadradas de 60 cm de lado se necesitan para enlosarlo? e) Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de 10 cm de diagonal f) Mi familia tiene un pequeño terreno rectangular en el campo, doble de largo que de ancho. Recientemente mi padre y mi madre se encargaron de vallar todo el terreno y necesitaron exactamente 120 metros de tela metálica. Cuál es la superficie del terreno? g) En una catedral hay una ventana de cristal con forma de rombo de 30 cm de lado y 48 cm de diagonal mayor. Cuántos cm2 de cristal se necesitan para construir la ventana? h) Un terreno con forma de trapecio isósceles tiene 425 m de base mayor, 209 m de base menor y cada uno de los lados oblicuos mide 229 m. Calcula el precio del mismo a razón de 40 /m 2. i) Dado el siguiente trapecio isósceles 1) Calcula x 2) Halla la base menor 4.- POLÍGONOS. CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO Objetivo 3.- Resolver problemas que requieran el cálculo de medidas angulares, de longitud y superficie en polígonos regulares y circunferencias realizando los cambios de unidades necesarios Polígono Es una figura geométrica limitada por segmentos, llamados lados. Los polígonos tienen nombres específicos según el número de lados: Triángulo (3 lados) ; cuadrilátero (4 lados) ; pentágono (5 lados) ; hexágono (6 lados); heptágono (7 lados); octógono (8 lados) ; eneágono (9 lados); decágono (10 lados) ; undecágono (11 lados); dodecágono (12 lados) ;. ; icoságono (20 lados) ; Polígono irregular Lados y ángulos desiguales Polígono regular Lados y ángulos iguales Área de polígono regular: A = P a 2 P = perímetro, a = apotema -7-

8 Circunferencia y círculo L=2 r La circunferencia es la línea que bordea, el círculo es la región que encierra la circunferencia. ACTIVIDADES 1 Se desea instalar el escudo de un club de baloncesto en forma de hexágono regular de 0,2 m de apotema. Qué superficie, en dm2, cubrirá en la pista de baloncesto? 2 Una plaza de toros tiene un diámetro es de cm. a) Halla cuántos metros de valla se necesitan para rodearla b) Cuál es la superficie de la plaza? 3 Calcula el área de la zona sombreada: Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 4 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 4.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Calcula el área, en cm2, de las siguientes figuras haciendo primero un dibujo representativo: 1) Un octógono regular de 3,5 cm de lado y 3 cm de apotema 2) Un círculo de 200 mm de diámetro b) Un hexágono regular tiene 12 cm de apotema. Cuánto mide el lado del hexágono? c) Una celdilla de abeja tiene forma hexagonal de 6 mm de apotema. Cuál es la superficie de un panal que tiene 30 celdillas iguales? d) Una pizza tiene un diámetro de 0,12 m. Halla su superficie y su perímetro e) Calcula el área de la siguiente figura sabiendo que el rectángulo mide 30 cm x 20 cm -8-

9 5.- FIGURAS SEMEJANTES. TRIÁNGULOS SEMEJANTES Objetivo 4.- Reconocer si dos figuras son o no semejantes, calcular e interpretar su razón de semejanza y obtener la figura semejante conocidos los lados y ángulos de la figura original y la razón de semejanza en diversos contextos. Figuras semejantes Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y las medidas de ambas son proporcionales. Ejemplo: Las figuras F1 y F2 son semejantes porque: - Los ángulos de la figura F1 son iguales a los de F2 - Las medidas son proporcionales, pues: Esto significa que los lados de la figura F2 se obtienen multiplicando por 2 los lados de F1. Fíjate bien Si dos figuras F1 y F2 son semejantes, las medidas de la figura F2 se obtienen multiplicando las correspondientes medidas de F1 por un mismo número positivo k, llamado razón de semejanza. La razón de semejanza también se puede calcular dividiendo una medida de la figura F2 entre la correspondiente medida de F1. Si k > 1, entonces F2 es más grande que F1. Si k < 1, entonces F2 es más pequeña que F1 Triángulos semejantes Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales o tienen los lados correspondientes proporcionales. No es necesario comprobar las dos cosas a la vez -9-

10 ACTIVIDADES 1 Calcula los lados y ángulos que faltan 2 Una fotografía de 7,5 cm de ancho y 10 cm de largo se reduce a un ancho de 6 cm. Determina el largo de la foto reducida y la razón de semejanza 3 Calcula la anchura del río: Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 5 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 4.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Calcula los lados y ángulos que faltan sabiendo que son semejantes y la razón de semejanza es 0,8 b) Son semejantes un triángulo isósceles y un triángulo equilátero? Razónalo c) Averigua si las siguientes parejas de triángulos son semejantes y explica por qué: 1) 2) d) Calcula la altura del árbol en los siguientes casos: 1) 2) e) Dos rectángulos son semejantes. El primero mide 10 cm de largo y 4 cm de ancho. El segundo mide 6 cm de ancho. Halla la razón de semejanza y el largo del 2º rectángulo

11 6.- ESCALAS EN MAPAS, PLANOS Y MAQUETAS Objetivo 5.- Resolver problemas de escalas en planos, mapas y maquetas en diversos contextos Mapa Plano Es la representación gráfica Es la representación gráfica reducida de una zona geográfica reducida de elementos tales (una provincia, región, país, etc) como una ciudad, una vivienda, un circuito de carreras, etc Maqueta Es la representación gráfica reducida de cualquier objeto. Por ejemplo, un edificio, un avión, un barco, un automóvil, etc Escalas Al realizar una representación mediante un mapa, plano o maqueta las dimensiones se reducen en la misma proporción: Lo que representamos es semejante a la realidad. Si un plano está hecho a escala E 1 : 250, entonces 1 cm del plano corresponde a 250 cm de la realidad. La razón de semejanza plano-realidad es 250/1 = 250 ACTIVIDADES 1 La distancia real, en línea recta, entre dos pueblos de Granada es de 18 km. Qué distancia, en cm, habrá entre ellos en un mapa a escala 1 : ? 2 Qué distancia real medida en kilómetros hay entre dos ciudades que están separadas por 12 cm en un mapa a escala 1 : ? 3 Yo vivo en la capital y he viajado a Villamar para ver a mi primo que está de vacaciones en la costa. Me han dado el siguiente plano de la ciudad:

12 Según me explicó mi primo, desde la parada del Metro de la calle Almería hasta la parada de Taxis de la calle Granada (parte superior del plano), yendo en línea recta por la calle Baza, hay 560 metros. Mi primo me ha conseguido un plano más pequeño para que me sea más fácil llevarlo en el bolsillo: a) A qué escala está hecho este plano? b) Si en el plano la calle Almería mide 9,5 cm, cuál es su longitud real? Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 6 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor 4.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) En un mapa a escala 1 : , la distancia entre dos ciudades es 24 cm. Determina la distancia real, en km, entre ambas ciudades. b) Cuánto medirá sobre un mapa a escala 1 : una calle que tiene 200 m de longitud? c) En el plano de la vivienda de Rocío, su habitación es de 15 cm x 18 cm. Calcula las dimensiones reales si se sabe que el plano tiene una escala 1 : 21 d) La verdadera distancia de La Coruña a Gijón, en línea recta, es de 220 km. En un mapa la medimos con la regla y resulta ser de 11 cm. Halla la escala del mapa e) Cuál es la escala de un mapa si se sabe que 81,25 km en la realidad vienen representados por 3,25 cm en el mapa?

13 7.- TEOREMA DE THALES. DIVISIÓN DE SEGMENTOS Objetivo 6.- Usar el teorema de Thales para resolver problemas de cálculo de longitudes en diversos contextos y para dividir un segmento en partes iguales Objetivo 5.- Resolver problemas de escalas en planos, mapas y maquetas en diversos contextos Teorema de Thales Si varias rectas paralelas son cortadas por dos secantes, los segmentos determinados son proporcionales Triángulos en posición de Thales Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un vértice común y los lados opuestos a este vértice son paralelos. Ejemplo: Los triángulos ABC y AB C están en posición de Thales. Estos triángulos siempre son semejantes porque tienen los ángulos iguales a b a b a b a b División de un segmento en partes iguales Una aplicación del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales ACTIVIDADES 1 Calcula las medidas desconocidas en las siguientes figuras: a) b) 2 Usa el teorema de Thales para representar de forma exacta la fracción 3 5 Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 7 repasando y practicando primero en el enlace de tu curso Teoría y actividades interactivas de la web de tu profesor

14 3.- Resuelve tú los siguientes apartados: a) Calcula el valor de x en las siguientes figuras: 1) 2) b) Usando el teorema de Thales, calcula la medida del segmento EF : c) Calcula las medidas x e y en la siguiente figura: d) Los triángulos de la figura están en posición de Thales y, por tanto, son semejantes. 1) Explica por qué son semejantes 2) Calcula la razón de semejanza 3) Calcula el valor de x e) Dibuja tres segmentos y usa el teorema de Thales para dividir el primero en 7 partes iguales, el segundo en 3 partes iguales y el tercero en 11 partes iguales ACTIVIDADES DEL LIBRO (UNIDADES 10 y 11) Apartado 2 (Ángulos y triángulos) : Unidad 10: 25, 32 y 33 Apartado 4 (Polígonos. Circunferencia y círculo) : Unidad 10: 71 Apartado 5 (Figuras semejantes. Triángulos semejantes) : Unidad 11: 3 y 29 Apartado 6 (Escalas en mapas, planos y maquetas) : Unidad 11: 51, 52 y 58 Apartado 7 (Teorema de Thales. División de segmentos) : Unidad 11: 5, 34 y