ECONOMETRÍA APLICADA A LA TOMA DE DECISIONES

Transcripción

1 ECONOMERÍA APLICADA A LA OMA DE DECIIONE EMPREARIALE Lección 4: Auocorrelación. jm

2 Diaposiiva jm e agradece la conribución de los profesores Arranz, uárez y Zamora, cuyos maeriales de clase se han uilizado en la elaboración de esa presenación. juan muro; 8/9/7

3 Auocorrelación.. Qué es un modelo con auocorrelación?. Con qué ipo de daos económicos se suelen presenar modelos auocorrelacionados? Daos de serie emporal Correlación espacial (Economería espacial) /9/ Juan Muro

4 Disinas acepciones de auocorrelación Auocorrelación o correlación serial en una serie emporal eries esacionarias y no esacionarias Auocorrelación o correlación serial en un modelo economérico Perurbaciones aleaorias A /9/ Juan Muro

5 Condiciones de esacionariedad Esacionariedad fuere La función de disribución de y se maniene a lo largo de los periodos. Esacionariedad débil (o en las covarianzas) E(y)= µ Var(y)= σ, E(y, y-s)= γs Ejemplo: ilusracion_mcg.prg; cne.wf /9/ Juan Muro A

6 eries no esacionarias P, rend saionary process eries no esacionarias que se convieren en esacionarias mediane la eliminación de una endencia deerminísica emporal. y = α + β + ε ; ε i.i.d. N(,) DP, difference saionary process eries no esacionarias que se convieren en esacionarias mediane diferencias (endencia esocásica). y = y - + ε (random walk) Ejemplo: ilusracion_mcg.prg; cne.wf /9/ Juan Muro A

7 Auocorrelación. 3. Qué problemas planea a la esimación por MCO? 3.. En qué consise el cálculo de la mariz de varianzas y covarianzas de los esimadores MCO corregida por el efeco de la auocorrelación, Newey-Wes(987)? /9/ Juan Muro

8 Auocorrelación. 4. Cómo se deeca la auocorrelación? /9/ Juan Muro

9 Auocorrelación. 5. Cómo se esima un modelo auocorrelacionado mediane esimadores que engan buenas propiedades esadísicas? Qué se eniende por la esimación de un modelo en cuasidiferencias? Qué problemas planea la uilización de un modelo en diferencias" como méodo para resolver la auocorrelación? /9/ Juan Muro

10 4.. Consecuencias de la auocorrelación. MRLG: Y =X β+u ; =,,. erie emporal; {i} core ransversal. X, β, vecores fila xk y columna kx, respecivamene; Y, u, escalares. E(u u +s X)= σ +s (elemenos de la mariz de varianzas y covarianzasω). /9/ Juan Muro

11 4.. Consecuencias de la auocorrelación. Impondremos el supueso de esacionariedad débil. σ +s =σ para s=. (homoscedasicidad). σ +s = γ s para s. (covarianza sólo depende del desfase emporal). /9/ Juan Muro

12 4.. Consecuencias de la auocorrelación. Esimador MCO: b= (ΣX X ) - ΣX Y. E(b X)=β. Var(b X)=(ΣX X ) - ΣΣE(u u s X)X X s (ΣX X ) -. Como E(u u s X)= γ -s mariz lo es. es desconocida, la /9/ Juan Muro

13 4.. Consecuencias de la En expresión maricial: σ γ E( uu') = γ auocorrelación. γ σ /9/ Juan Muro Donde Cov( u, u ) + ρ = Var( u ) Var( u γ ρ γ ρ = σ Ω = σ σ ρ ρ γ + ) γ = γ No hay resulados generales para el sesgo de la mariz por MCO, s (ΣX X ) -. s ρ ρ =, ±, ±,

14 4.. Consecuencias de la auocorrelación. La auocorrelación sigue las siguienes esrucuras, AR(p), MA(q), ARMA(p,q). Procesos auorregresivos: AR(p): u =Φ u - +Φ u - +.+Φ p u -p +ε. AR(): u =Φ u - +ε. Procesos de medias móviles: MA(q): u =ε +θ ε - +θ ε -.+θ q ε -q. MA(): u =ε +θ ε -. /9/ Juan Muro

15 4.. Consecuencias de la auocorrelación. Procesos auorregresivos y de medias móviles: ARMA(p,q): u = Φ u - + Φ u Φ p u -p +θ ε - +θ ε -.+θ q ε -q. ARMA(,): u =Φ u - +ε +θ ε -. +ε /9/ Juan Muro A

16 Mariz de Newey-Wes (987). La mariz ( ) ( ) ( ). ; '. ' ' ' ' + = = + + = = + = L l w X X e X X X X X X e e w X X l i i i i L l l l l l l /9/ Juan Muro Es un esimador consisene de la mariz de varianzas y covarianzas asinóica del esimador b. Mariz HAC. +. ' ' ' Ω = X X X X X X V MCO σ

17 Mariz de Newey-Wes (987). La sugerencia de Newey y Wes es esimar por MCO (lineal e insesgado) y calcular consisenemene los errores por medio de su mariz (esimadores no eficienes). e pueden uilizar los esadísicos (no así el F). /9/ Juan Muro A

18 4.. Conrases de auocorrelación. Carácer Exacos Asinóicos Hipóesis nula Generales (robusos) Específicos (poenes) Durbin y Wason(95, 95). Conrase exaco. Residuos Recursivos: Razón de Von Neumann modificada (MVNR) /9/ Juan Muro Breusch-Godfrey(978) Correlograma de residuos. h de Durbin(97). argan(964)

19 Durbin y Wason(95, 95). Conrase exaco. Diseñado para conrasar la presencia de procesos AR(), esacionarios. Es robuso ane la presencia de oro ipo de auocorrelación. No permie la presencia de especificación dinámica en el modelo. Las ablas de la disribución del esadísico D-W habiualmene uilizadas requieren la especificación con érmino independiene (avin-whie)(farebroher para ce). /9/ Juan Muro

20 Durbin-Wason(95, 95). Y =X β+u Con u =ρu - +ε. Conrase exaco. H : NO HAY AUOCORRELACION:ρ=. H : EXIE AUOCORRELACION EGUN UN AR():ρ ; ρ <.. Esimar el modelo por MCO. Obener los residuos minimocuadráicos e.. Calcular el esadísico de D-W: ( e - e - ) d = 3. Comprobar en las ablas oporunas de la disribución del esadísico de D-W, para un nivel de significación deerminado, si el valor anerior cae en las zonas de rechazo, indecisión o no rechazo de la hipóesis nula. 4. Emplear algún crierio para resolver la indecisión en el caso en que el valor caiga en dicha zona. /9/ Juan Muro = = e

21 ρ eniendo en cuena que: ˆ, el rango de variación del esadísico: ˆ ρ = d 4 Auocorrelación negaiva ˆ ρ = d Ausencia auocorrelación ˆ ρ = d Auocorrelación posiiva Durbin y Wason hallaron unos límies superior d u e inferior d L que permien omar una decisión acerca de la presencia o ausencia de auocorrelación: Es decir: Auocorrelación Zona Región de no rechazo: Zona Auocorrelación posiiva indecisión No auocorrelación indecisión negaiva d L d U 4-d U 4-d L 4 < d < d L e rechaza H, exise au. posiiva con esquema AR() 4- d L < d < 4 e rechaza H, exise au. negaiva con esquema AR() d u < d < 4-d u No se rechaza H, no exise auocorrelación d L < d < d u El conrase no es concluyene 4-d u < d < 4-d L El conrase no es concluyene /9/ Juan Muro A

22 MVNR(94). Conrase exaco. Y =X β+u Con u =ρu - +ε. H : NO HAY AUOCORRELACION:ρ=. H : EXIE AUOCORRELACION EGUN UN AR():ρ ; ρ <.. Esimar el modelo por mínimos cuadrados recursivos. Obener los -k residuos recursivos (w ).. Calcular el esadísico de la razón de von Neumann modificada (MVNR): MV R = - k ( w = k + - k - /9/ Juan Muro = k + - w w - )

23 MVNR(94). Conrase exaco. 3. Comprobar en las ablas de la disribución del esadísico MVNR, para un nivel de significación deerminado, si el valor anerior cae en las zonas de rechazo o no rechazo de la hipóesis nula. 4. El conrase se realiza como un conrase de una sola cola frene a la auocorrelación posiiva y negaiva, respecivamene. /9/ Juan Muro A

24 H de Durbin(97). Conrase y = con asinóico. Y *' u β = + ρ u donde la Y* significa una mariz de valores reardados de la variable regresando y; X mariz de regresores que no incluye los valores reardados del regresando. H : NO HAY AUOCORRELACION:ρ=. H : EXIE AUOCORRELACION EGUN UN AR():ρ, ρ <.. Esimar el modelo por MCO y obener los residuos MCO e.. Esimar r. De una manera apropiada es el coeficiene de e - en la regresión de e frene a e -. e puede hacer ambién a ravés del esadísico de D-W. /9/ Juan Muro X ' γ + + ε u

25 H de Durbin(97). Conrase asinóico. 3. Forma del conrase: bajo la hipóesis nula el esadísico h se disribuye asinóicamene como una N(,). h = r - var( donde b es el coeficiene de y - en la regresión del aparado y el amaño de la muesra. El conrase es de una sola cola. b ) /9/ Juan Muro

26 H de Durbin(97). Conrase asinóico. 4. En el supueso de que h no pueda ser calculado por ser el radicando negaivo, Durbin sugiere un procedimieno asinóicamene equivalene que consise en 4. Esimar la regresión del aparado. 4. Esimar la regresión siguiene e = e +Y*' +X' +u Bajo la hipóesis nula, el coeficiene de e - significaivamene disino de cero. β γ no será /9/ Juan Muro A

27 Breusch-Godfrey(978). Conrase asinóico. con u = u - y o, = X + u u = ' β + u - Θ +..+ ( ε ) + ε donde X puede conener valores reardados del regresando. q p u - p H : NO HAY AUOCORRELACION: Φ τ =; Θ τ =; para odoτ. H : EXIE AUOCORRELACION EGUN UN AR(p) o MA(q).. Esimar el modelo original por MCO y obener los residuos minimocuadráicos e. /9/ Juan Muro

28 Breusch-Godfrey(978). Conrase asinóico.. Esimar la regresión e = X 'β + E ' p γ + u. 3. Forma del conrase (conrase de muliplicadores de Lagrange): bajo la hipóesis nula el esadísico R se disribuye asinóicamene como una Chi- con p grados de liberad. /9/ Juan Muro A

29 Correlograma de residuos. H : No hay auocorrelación. H : Auocorrelación de cualquier ipo AR(p), MA(q), ARMA(p,q). e rechaza la hipóesis nula en el caso de que el correlograma no sea plano, es decir, en el caso de que no odos los valores de la función de auocorrelación y auocorrelación parcial esén denro de las bandas.. Ajusar el modelo por MCO. Obener los residuos MCO e.. Calcular el correlograma de los residuos MCO e. 3. Calcular el esadísico de Ljung-Box y la probabilidad asociada a dicho esadísico bajo la hipóesis nula. 4. Cualquier valor de la probabilidad asociada al esadísico de Ljung-Box inferior a.5 permie rechazar la hipóesis nula a un nivel de significación del 5%. /9/ Juan Muro A

30 Conrase de argan(964). Conrase de fala de especificación dinámica en un modelo (la auocorrelación es un sínoma de esa especificación errónea) i y = β x + u con u = ρ u - + ε ; ρ < /9/ Juan Muro

31 Conrase de argan(964). y susiuimos la segunda ecuación en la primera, queda y Generaliza para que ambos = ρ y ndo, modelos H - y + ( = : β x β y sean - ρ x - = + - β idénicos - β. β β 3 ) β + ε. x + β 3 x - + ε debe cumplirse. Esimar el modelo general por MCO.. Conrasar la hipóesis nula H por medio del conrase de WALD. En concreo: [f(b) ] ~ W = A var[f(b)] donde b son los esimadores MCO del modelo general. Χ /9/ Juan Muro A

32 4.3. olución a la auocorrelación. Y =X β+u ; =,,. erie emporal; {i} core ransversal. X, β, vecores fila xk y columna kx, respecivamene; Y, u, escalares. E(u i u j X)=σ ij. /9/ Juan Muro

33 4.3. olución a la auocorrelación. MCO: esimación lineal, insesgada y no ópima; mariz de Newey y Wes(987). MCG: exige el conocimieno de la mariz Ω. Esimación lineal, insesgada y ópima; auocorrelación eórica. MCGF: Esimación en dos eapas o ieraiva, consisene. MV: exige una paramerización de la mariz Ω. Esimación consisene, asinóicamene eficiene y con disribución asinóica normal. /9/ Juan Muro A

34 Esimación por MCG. Es imposible en casi odos los casos por el desconocimieno de Ω. El realizar supuesos sobre la esrucura de la auocorrelación ayuda poco. /9/ Juan Muro

35 Esimación por MCGF. Esimación para un AR() esacionario u u = + ε. /9/ Juan Muro

36 Esimación por MCGF. En ese caso, E(u ) σ ε = Var( u) = E( u ) = < E(u u ) = σ ρ u γ = σ ρ = E(uu ) = γ = σ ρ = u E(uu s ) = γ = σ ρ = u /9/ Juan Muro

37 Esimación por MCGF. La mariz de varianzas y covarianzas es uu X) = σ u σε ( ' = E uu = /9/ Juan Muro

38 La mariz Ω es: y su inversa, Ω = /9/ Juan Muro = Ω

39 La mariz de ransformación será: con P Ω P' = I P' P = Ω P = Por lo que el modelo de regresión que cumple los supuesos del MRLC, será el que relaciona las variables ransformadas: ( ) ( ) X Y * * Y Y X X Y = X = /9/ Y Y Juan X Muro X

40 Esimación por MCGF. Por ano, Lo primero es esimar el coeficiene Φ. En una segunda eapa se ransforman las variables y se aplican MCO al modelo resulane. La esimación en dos eapas es consisene y con disribución asinóica normal (eficiencia desconocida). El incremeno de la eficiencia se consigue ierando el proceso. /9/ Juan Muro

41 Procedimieno de Cochrane-Orcu. Procedimieno radicional de aplicar MCGF con AR(). ) e esima el modelo por MCO y se calcula la serie de residuos. ) e realiza una regresión auxiliar de los residuos sobre los residuos del periodo anerior sin incluir érmino consane. De ese modo se obiene una primera esimación del coeficiene de auocorrelación de primer orden. 3) e ransforman las variables del modelo y se repie la esimación del modelo (eapa ) y se coninua con el procedimieno descrio. 4) e finaliza cuando el esadísico d de Durbin-Wason indique que los residuos de la eapa son de ruido blanco o cuando las esimaciones de ϕ difieran en menos de una canidad prefijada por ejemplo, ó,5 (o cualquier oro crierio de convergencia) Ṡ /9/ Juan Muro

42 Esimación por MV en presencia de auocorrelación. Función de verosimiliud. ),.,, ( ),,.,, ( ),.,, ( Θ Θ = = Θ Θ. X Y Y Y Y f X Y Y Y Y Y f X Y Y Y Y )= f L(Y,X /9/ Juan Muro e obiene de la aplicación de la descomposición de la probabilidad conjuna en érminos de la condicional y de la marginal. La maximización de esa función proporciona los esimadores MV (problema de las condiciones iniciales). A )., ( ), ( Θ Θ Π = X Y f X Y Y f i i

43 Predicción con auocorrelación. La presencia de auocorrelación en un modelo debe considerarse para realizar la predicción. Por ejemplo, en un modelo de regresión con perurbaciones AR() la mejor predicción para un periodo exramuesral + debe incluir una corrección por auocorrelación; por ano, ˆ no es la mejor predicción. Y = a + bx + + La predicción que incorpora la información es: Yˆ ˆ Y = a + bx + u + + = a + bx + ˆ( ρ Y a bx + + ρˆ ) y ese predicor coincide con el que se obendría habiendo ransformado el modelo con cuasidiferencias. /9/ Juan Muro

44 Bibliografía. Breusch,..(978) "esing for Auocorrelaion in Dynamic Linear Models", Ausralian Economic Papers, 7, págs Durbin, J.(97) "esing for erial Correlaion in Leas quares Regression when ome of he Regressors are Lagged Dependen Variables", Economerica, 38, págs Durbin, J. y G.. Wason(95) "esing for erial Correlaion in Leas quares Regression", Biomerika, 37, págs ; 38, págs Farebroher, R.W.(98) "he Durbin-Wason es for erial Correlaion when here Is No Inercep in he Regression", Economerica, 48, págs Godfrey, L.G.(978) "esing Agains General Auorregresive and Moving Average Error Models when he Regressors Include Lagged Dependen Variables", Economerica, 46, págs /9/ Juan Muro

45 Bibliografía. Hannan, E.J. y R.D. errell(968) "esing for erial Correlaion afer Leas quares Regression", Economerica, 36, págs avin, N.E. y K.J. Whie(977) "he Durbin-Wason es for erial Correlaion wih Exreme ample izes or Many Regressors", Economerica, 45, págs heil, H. y A.L. Nagar(96) "esing he Independence of Regression Disurbances", JAA, 56, págs Wallis, K.F.(97) "esing for Fourh Order Auocorrelaion in Quarerly Regression Equaions", Economerica, 4, págs /9/ Juan Muro A

46 Referencia al manual de Wooldridge (6) Capíulos, y. Para maerial más avanzado, Capíulo 8. /9/ Juan Muro