RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS

Transcripción

1 . Determina los dominios de las siguientes funciones: El dominio de una función y f ( ) es el conjunto de valores que puede tomar para que la función eista o tenga sentido. El dominio de las funciones polinómicas, eponenciales, radicales de índice impar, valor absoluto, parte entera, seno, coseno y arco tangente, a saber, n n a, a ( a ),,,, sen( ), cos( ) y arctg( ) es todo R. En el caso n g( ) de funciones compuestas, o sea, ag a a ng g g sen ( ), cos ( ) y arctg ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), g g g el dominio NO DEPENDE de ellas, sino eclusivamente de g(). k El dominio de las funciones racionales, es decir, f( ) es todos los números q ( ) reales eceptuando las raíces del denominador (soluciones de la ecuación q ( ) ). El dominio de las funciones radicales de índice par, esto es, f ( ) n g( ) es el resultado de resolver la inecuación g ( ). El dominio de las funciones logarítmicas, esto es, f ( ) log g( ) de resolver la inecuación g ( ). El dominio de las funciones tangente, a saber, f ( ) tg g( ) es el resultado a es todos los números reales eceptuando las soluciones de la ecuación g( ) n. Las soluciones pueden ser infinitas o no, según el intervalo de definición que nos den. El dominio de las funciones arco seno y arco coseno, a saber, arcsen g( ) y arccos g( ) es el intervalo solución de esta desigualdad g ( ). a) ln ln( ) e f ( ) e e log 4 El dominio de esta función, que parece imposible, no es tanto, sólo hay que ir paso a paso. Hay muchas funciones que incomodan, veamos una por una, y de dentro hacia fuera, y por último calculemos la intersección de todos los dominios calculados: ln( ),,. Dom porque Dom 4,, porque 4,, Dom,. porque 4. 4 Dom log,, porque 4 Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

2 Las funciones radicales por definición, siempre son positivas, pero OJO! 4 Además, en este caso el radicando ha de ser estríctamente positivo. 4 siempre donde eistan. 4,, ln( ) Dom 5, 5 log log porque (*) Con esto terminamos de hacer parcialmente el estudio del primer sumando. Dom e e porque el valor absoluto no influye en los dominios y las eponenciales poseen en su eponente funciones polinómicas. Dom ln, por ser logarítmica. ln Dom,, si omitimos el logaritmo del numerador. e Dom 4 porque 4 no tiene solución. Dom 5 porque la parte entera de una función no influye en su dominio al igual que el valor absoluto. Además la función interior es polinómica porque no está dividiéndose por sino por números. Veamos, para que este ejemplo sea más didáctico, los dominios de cada sumando de la función: ln( ) Dom log 4. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

3 ,,,,,,,,,, 5 5, 5 5, Dom e e, 5 5 luego esta parte en el cálculo final no la tendremos en cuenta.,,, ln Dom,. e Dom 4 luego esta parte en el cálculo final no la tendremos en cuenta. Dom 5 luego esta parte en el cálculo final no la tendremos en cuenta. Ahora para calcular el dominio total de la función, juntamos todos los intervalos que nos han salido en cada uno de los casos anteriores y hacemos su intersección, ésta será el dominio de la función original. f, 5 5,,, 5 5, Dom Tranquilos, que esta función sería imposible hacerla en un eamen porque no hay tiempo. Pero hay que saber y dominar el procedimiento usado para saber calcular dominios con dominio. b) f ( ) tg e arcsen ln 4 Dom tg e k e, siendo k 8 Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página porque e k e k k e, cuidado 8 8 aquí, porque para que tenga sentido esa raíz es necesario que lo de dentro sea positivo. Tenemos un parámetro, k, los valores de k que hacen que el radicando sea positivo son: 8 e8 k e k e k k.856 k 8 recordemos que k es un número entero. ln 4 5 Dom arcsen ln 4 e, e porque ln 5 5 e e Ahora para calcular el dominio total de la función, juntamos el intervalo que nos ha salido en cada uno de los casos anteriores y hacemos su intersección, ésta será el dominio de la función original. Y para no complicarnos siempre que nos salgan de la tangente los valores en función de k y si no nos va a servir después, se puede dejar indicado de la siguiente forma: si

4 c) d) 5 e, e k e, siendo k. 8 Pero como nosotros somos tan apañaísimos también lo vamos a hacer como si nos hiciera falta después. Veámoslo: 5 e, e.85,48, 4 Ahora bien los valores k e con k son {.56789,, 48.69,48.95, } y 8 el último de todos es para k 84. Claro está que esto para vosotros es imposible, y si se os pregunta generalmente sale para valores de k entre - y. Por tanto, y a pesar de la longitud del ejercicio, para completarlo nos queda 5 Dom f e, e k e, siendo k,...,84 8 ln f ( ) e arcsen sen (*Funció n un tanto especial*) Al calcular el dominio de esta función podemos verlo claro y lanzarnos automáticamente a calcular el dominio de una logarítmica y una arco seno. Pero debemos ser más listos que Calito, por qué? Porque si nos damos cuenta, tenemos funciones recíprocas (unas la inversa de las otras) ln Se cumple que e arcsen sen, por aquello de que se anulan, como quien dice. Entonces y ln f ( ) e arcsen sen la cual, es una función polinómica, cuyo dominio es R. f ( ) e) f ( ) ln 5 5 f ( ) ln 5 f) 5 g) f ( ) ln 4 h) f ) ln i) e ( f ( ) ln ln 5 j) f ( ) 5 log k) f ( ) ln ln 4 l) 5 f ( ) 5 e m) tg 4 f( ) 4 arctg 5 e f ( ) arccos e 5 ln sen n) o) p) q) ln 6 cos7 f ( ) 7 tg arctg 68 f( ) e f ( ) cos Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

5 cos f ( ) ln e sen cos r) f ( ) cos log 8 s) t) f ( ) tg cos u) f ( ) arcsen cos arccos v) w) ln f( ) sen ln f( ). Realiza las composiciones que sean posibles con las siguientes funciones f ( ) ln g( ), h y m( ) e. ( ) log 7, La composición de funciones tiene sentido cuando ocurre y se basa en lo siguiente: D Dom f, D Dom g, I Im f, I Im g y sean dos Llamemos a) f g Está claro que la composición es: f g f g f : funciones g : Sabemos que, por definición, la Imagen de f es f(todos los valores posibles para la ), es f : Df I f f : Df I f decir: I f f Df y Ig g Dg entonces: g : Dg I g g : Dg I g Sabemos de 4º ESO cómo se componen funciones, tan sólo basta con sustituir convenientemente lo que me digan en la de la función que me digan. Pero eso ya no es suficiente, hemos de saber eactamente cuándo se puede realizar esa sustitución tan simple. Supongamos que queremos hacer f g la teoría nos dice: D I D I g f g g f f g( ) f g( ) Lo único que me interesa para realizar los ejercicios es: Podre hacer f g cuando Ig Df Podre hacer g f cuando I f Dg ( ) ln f g f g f Pero para poder aplicar la composición verifiquemos Ig Df, para ello calculemos la imagen de g, cómo calculamos una imagen?, unas nos las sabremos y otras las calcularemos fácilmente con una tabla de valores para unos cinco valores de su dominio, veámoslo. - - y Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

6 Si nos damos cuenta, la imagen o conjunto de valores que toma la y, más o menos, es el intervalo,. Y el dominio de f es,, porque las funciones que lleva f son la raíz cuadrada y el logaritmo neperiano cuyos dominios son, y, respectivamente. Así pues, sólo queda verificar: I D,, g f Y esto no es posible, por tanto, LA COMPOSICIÓN NO ES POSIBLE HACERLA. b) m h c) h g d) f m e) m f f) g f. Calcula la función inversa, cuando sea posible, en los siguientes casos: cuadrantes a) Cálculo de la Función Inversa 5 f( ) Hagamos el procedimiento tal cual nos dice: y f ( ) Cambio la y f ( y) Despejo la y g( ) y f ( ) g( ) 5 5y y Despejo y y f ( ) 5 5 b) f ( ) ln Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 6 y ln ln y y Despejo y Pues va a ser que no se puede. Por tanto, no tiene inversa. y f ( ) Cambio la y f ( y) Despejo la y g( ) y f ( ) g( ) A veces, no será posible calcular la inversa, pero esto es porque la función de partida no es biyectiva. Pero eso no nos interesa a nuestro nivel. Para nosotros si podemos despejar la y entonces tiene inversa. Propiedades: Una función y su inversa se llaman recíprocas. Dos funciones recíprocas tienen gráficas simétricas respecto de la recta y = (bisectriz - cuadrantes) Cuando componemos una función con su inversa nos da como resultado : f f f f f ( ) es la función inversa de f( ).

7 c) f( ) f ( ) sen d) e) f( ) f) f ( ) g) f ( ) cos h) f ( ) e i) f ( ) ln 4 5 f ( ) j) k) f ( ) e 4. Representa las siguientes funciones usando transformaciones elementales (traslaciones, simetrías y homotecias) y puntos de corte con los ejes, es decir, usa lo que te sea necesario para representar estas funciones: Dada la función y f ( ) y su gráfica conocida para nosotros y k, entonces: f ( ) k es la gráfica de f( ) trasladada hacia arriba o hacia abajo k unidades. f ( k) es la gráfica de f( ) trasladada hacia izquierda o derecha k unidades. f( ) es la gráfica de f( ) simétrica respecto OX. f( ) es la gráfica de f( ) simétrica respecto OY. f( ) es la gráfica de f( ) simétrica respecto del origen de coordenadas. k f ( ) es la gráfica de f( ) pero multiplicando en altura por k unidades. f ( k ) es la gráfica de f( ) pero como comprimiéndola o epandiéndola ( k ó k ) en desplazamiento horizontal k unidades. f( ) raíces o puntos de corte con el eje OX f() y punto de corte con el eje OY a) f ( ) cos b) f ( ) sen c) f ( ) e d) f ( ) ln e) f( ) f) f ( ) g) f ( ) tg 4 h) f ( ) arctg i) j) f ( ) arctg f ( ) sen cos Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 7

8 k) f ( ) sen / l) f ( ) sen m) f ( ) cos n) f ( ) sen o) f ( ) sen p) f ( ) cos q) f ( ) e r) f ( ) e s) f ( ) ln t) f ( ) arctg u) f ( ) arctg v) w) f( ) ( ) f e e 5. Determina las siguientes funciones valor absoluto: Las funciones valor absoluto son un poco tediosas, pero muchos ejercicios de selectividad se dejan por ver un valor absoluto, así que aprendámoslas bien para que no nos asusten. Se define el valor absoluto de como:, (el igual puede ir donde nos dé la gana). Ahora bien, eso es muy fácil, pero qué pasa cuando dentro del valor absoluto hay una función? g( ) g( ) g ( ), pues igual. La complejidad está en las dos inecuaciones y g( ) g( ) ser muy ordenado para que no nos perdamos a la hora de descomponer la función. a) f ( ) Resolvamos las dos inecuaciones de un plumazo: 6 Por tanto, 6 6 6,, ,, Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 8

9 Resolvamos las dos inecuaciones de un plumazo, luego, Ahora hacemos una ordenación de los datos, que tenemos, en una tabla Ahora escribimos la función a trozos que nos queda: f ( ) y ésta es la función que nos pedían. 9 (*) El igual podemos arrastrarlo desde donde estuviera arriba, pero dado que las funciones son continuas es indiferente donde lo pongamos. b) f ( ) c) f ( ) d) e) 9 f ( ) f ( ) 6 f) f ( ) ln g) f ( ) sen, h) f ( ) arctg i) f ( ) arctg Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 9

10 j) f ( ) sen k) f ( ) l) f ( ) m) f ( ) n) o) ln f( ) 5 5 f( ) sen cos 5 p) f ( ) q) f( ) 6. Calcula los siguientes límites sin hacer uso de la regla de L Hôpital. (Ver aneo) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

11 Hemos de definir matemáticamente, aunque sea un engorro y no entre en el eamen, cada límite para acercarnos al lenguaje matemático y además adquirir la noción de todos los límites que vamos a estudiar matemáticamente. Aunque al finalizar todas las definiciones se procederá a eponer todas las técnicas de resolución de límites. Intentad dibujar como podáis la situación gráfica aclaratoria. Todas las situaciones serán eplicadas, al menos, una vez en la pizarra. En las siguientes definiciones k y M son cantidades muy grandes, y son cantidades muy pequeñitas y al,. LÍMITES CUANDO f ( ) l Dado k /si k f ( ) l f ( ) Dado M k / si k f ( ) M f ( ) Dado M k / si k f ( ) M LÍMITES CUANDO f ( ) l Dado k /si k f ( ) l f ( ) Dado M k / si k f ( ) M f ( ) Dado M k / si k f ( ) M LÍMITES CUANDO c f ( ) Dado M /si a, a f ( ) M a f ( ) Dado M /si a, a f ( ) M a f ( ) Dado M /si a, a f ( ) M a f ( ) Dado M /si a, a f ( ) M a f ( ) l Dado /si a, a f ( ) l a f ( ) l Dado /si a, a f ( ) l a f ( ) l Dado /si a, a a f ( ) l a Todo esto es la teoría de límites. Parece horrible pero es conveniente que os acostumbréis. Ahora pasamos a describir las técnicas que nos van a servir para calcular todos los límites que nos encontremos. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

12 TÉCNICAS PARA CÁLCULO DE LÍMITES Resolución de la mayoría de límites. Propiedades (Omitimos las obvias): l l Cocientes, l,,. l l l Potencias, ( l ), ( l ), ( l ), l l l l l k, Límites laterales;, Factorizar y simplificar; Indeterminaciones Más Comunes, Escala de Infinitos;, Hacer las cuentas Para el cálculo de límites cuando : f ( ) f ( ) Límites en los que intervienen n g. ( ) Resuelve Indeterminación,,,. Para todos los límites en los que nos aparezcan radicales, generalmente, se resuelven usando el primer párrafo. Para los demás casos, o se multiplica y divide por el conjugado, o bien, se pasan a índice común en productos o cocientes. Previamente es posible que hubiera que hacer una transformación para conseguir llegar a los dos casos epuestos. Para aclararnos podemos echar un vistazo a los numerosos ejemplos del aneo. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página Infinitésimos. Escala de Infinitos. Resuelve Indeterminación,. f ( ), a. Cuando Un infinitésimo es una función que cumple f( ) dos infinitésimos proporcionan, a se llaman infinitésimos a g ( ) equivalentes. Veamos los casos más comunes, con estos, seremos capaces de resolver muchos límites que no tienen técnica de resolución estándar: sen tg cos arctg arcsen ln e Eso quiere decir que podemos rotar todas esas funciones en un cociente entre ellas en el orden que queramos sabiendo con seguridad que el límite dará. Previamente deberemos hacer alguna transformación para conseguir lo que tenemos arriba. Sean f ( ), g( ), infinitos. Diremos que f es un infinito de orden f ( ) g( ) superior al infinito g cuando ó. A continuación g( ) f ( ) eponemos la escala de infinitos para saber el orden de infinitos de mayores a menores: a a b a b log log a b. b a

13 g( ) Limites del tipo ( ), ( ) f f. Resuelve Indeterminación. Si, f ( ) y g( ), siendo a, entonces: a a g( ) f ( ) g ( ) a f ( ) e a g( ) Limites f ( ), f ( ), a. Resuelve Ind.,, a g( ) g( ) ln f ( ) a f ( ) e a Probablemente después de aplicar esta fórmula debamos usar la Regla de L Hôpital. En tal caso y si no la sabemos no podremos resolver el límite salvo uso de infinitésimos. ) ) ) 5 4) 5) sen 6) arctg 7) e cos sen 8) 9) cos tg 4 ) ) cos cos sen cos ) sen a ) 4) ln e 5) cos e arccos 4arctg Límites inmediatos o casi inmediatos Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

14 6) 7) e 8) 9) e ) e ln e e ln tg ) e e arctg ) ) 4) 5) 6) 7) 8) tg ln ln ln 5 ln e ln ln ( ) ln e ln e ln e 9) ) ) ) ) 4) 5) tg ln Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

15 6) ln 7) e arccos tg arctg arctg arcsen e cos e e 8) sen sen arctg 9) ln 4 Cocientes de Polinomios 4) 5 4 4) 4 4 4) 7 4) 44) 45) ) ) 9 Escala de Infinitos, a b a b logb loga a b 48) ln 49) e e 5) 5) e Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

16 5) e e e 5) 54) e e 55) 5 e 56) ln log5 57) ln 58) log log 59) log9 log e 6) ln Porque logaritmo es un infinito de orden inferior a que es una potencia de. 6) ln 6) e 6) e e 64) 65) e ln e Límites con Radicales,, Multiplicar y dividir por el conjugado. 66) ) 68) 69) 7) 7) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 6

17 7) I 7) 74) 75) 76) 77) RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS I I ) 79) 8) 8) 8) 8) ) 85) a a g( ) f ( ) g ( ) a f ( ) e a Si, f ( ) y g( ), siendo a, entonces: Límites en los que intervienen Eponentes,,,, g( ) g( ) ln f ( ) a f ( ) e a Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 7

18 86) 87) 88) 89) 9) ln ln ln ln ln I e e e e e 9) 9) 9) 94) 95) ln 96) 97) 98) 99) ) ) ln 4 ) I ) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 8

19 4) 5) ln ln 6) 7) e e 4 8) 9) ) Infinitésimos, sen tg cos arctg arcsen ln e En realidad estos límites no tiene mucho sentido calcularlos por esta técnica pues la regla de L Hôpital resuelve todos ellos. Pero si alguien quiere aprenderlos, damos la oportunidad. Aviso: Son bastante ingeniosos y tediosos. La técnica consiste en transformar convenientemente de forma que aparezcan los cocientes señalados en el recuadro. cos ) ( y ) ( y ) y y ) I y se n sen y sen y sen y y y y y sen y sen y sen ycos cos ysen y y sen y sen y ) 4) cos sen sen sen tg 5) 6) cos sen 4 Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 9

20 tg cotg cotg sen cos sen cos sen cos 7) 8) 9) ) ) ) ) 4) sen cos tg 4 tg cos 4 sen 5) sen cos sen cos 6) sen 7) sen 8) 4 9) tg 4 ln Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

21 7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f ( ) 4, b) c) Se dice que una función f( ) es continua en sen f ( ) cos 5 f ( ) a si f ( ) f ( a). a En un entorno de a : / si a f ( ) f ( a) Diremos que una función es continua en un intervalo I si lo es I. Esto es la teoría, esto está muy bonito, queda genial, sabemos un montón, que guay, pero no sirve para nada de los ejercicios. Eso sí, sirve para que nos vayamos familiarizando con la simbología matemática de la universidad. CARACTERIZACIÓN Todas las funciones estudiadas son continuas en su dominio. La continuidad de una función a trozos se estudia:. En cada trozo calculando su dominio y haciendo la intersección con su intervalo de definición.. En cada frontera: Es Continua si f ( ) f ( ) f ( a ) a a Es Discontinua Evitable si f ( ) f ( ) f ( a ). a a f ( ) f ( ) Es Discontinua No Evitable de salto b c a a si b c Es Discontinua No Evitable de salto Infinito si f ( ) f ( ) y al menos uno de los dos límites es infinito. a a Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

22 f ( ) ln e e e Veamos primero qué función es, descomponiendo el valor absoluto: Para estudiar la continuidad de una función a trozos primero estudiamos que la función esté bien definida, es decir, el dominio de cada trozo, que es la continuidad de cada trozo. Por tanto al incluirla en f( ) ln e f( ) ln e e e e e Ahora ya pasamos a estudiar la continuidad, primero por trozos y luego en cada frontera. En, la función es polinómica (continua en ) por tanto continua en todo d),,. En, la función es polinómica (continua en ) por tanto continua en todo,,.,, por tanto continua en,, e, e En, e la función es logarítmica (continua en su dominio), calculemos su dominio:. Aquí estamos rozando el límite de la buena definición, pues fijaos que el intervalo de definición es, e, porque si hubiera sido, e o, e la definición habría sido incorrecta y la función no habría sido continua, ni tan siquiera eistido en, En e, la función es radical (continua en su dominio), calculemos su dominio: e,, por tanto continua en, e, e,. Concluimos diciendo, después de estudiar la continuidad por trozos, que cada trozo es continuo en su intervalo de definición, por tanto está bien definida por trozos. Vamos a estudiar la continuidad en cada frontera. f ( ) es continua en f ( ) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

23 ln f ( ) es discontinua de salto en f () ln.54 e e e f ( ) es discontinua de salto.54 =.46 en e e f( e) e) f) g) h) i) j) k) Concluimos el estudio de la continuidad diciendo que la función es continua en, e. e f ( ) f ( ) e e e f( ) e e f( ) e ln cos f( ) sen f( ) sen f( ) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

24 l) m) cos f( ) f( ) f( ) 7 f( ) n) o) p) q) r) s) t) f ( ) 5 4 f( ) 56 f ( ) 6 sen f( ) sen f( ) ln u) e f( ) v) f ( ) e w) e f( ) ) y) 4 f ( ) f( ) z) f( ) 8. Determina el valor del parámetro desconocido para que la función sea continua en R salvo codominio. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

25 a) b) c) d) e) f) g) ( ) f a m 4 f m n 4n m f( ) m m ( ) m 7 f( ) m m f( ) e a a f( ) 6 a sen a f( ) a Este ejercicio es muchísimo más corto que el anterior, porque lo único que hay que hacer es calcular a imponiendo la continuidad. sen sen a a a sen sen a a a a f( a) sen a f ( ) es continua en a cuando, es decir, cuando sen a a. a (*)Es cierto que no conocemos técnicas de resolución de una ecuación con RT y polinomios, pero en este caso es claro y fácil pensar qué número cumple esa ecuación. Si no sabemos qué número pensar, siempre podemos probar y. No vayáis a pensar que esto es siempre tan difícil o simplemente que no vais a saber resolver una ecuación de este estilo, pues siempre estarán preparadas para que, o bien, se resuelvan por los métodos aprendidos, o bien, salga fácil de cabeza. La solución es a, pues solamente esta solución vale para la ecuación sena a. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

26 h) b f b a ( ) 9. Calcula la derivada en los siguientes casos usando la definición: a) b) Llamamos derivada de una función f en un punto a y representamos por f ( a h) f ( a) f '( a). Si queremos hallar la función derivada, tan sólo hay que h h f ( h) f ( ) cambiar a, así nos queda, f '( ). h h Resolviendo este límite para cada una de las funciones elementales estudiadas, obtenemos la tabla de las derivadas usaremos en el punto siguiente. Pero ese trabajo es demasiado largo y poco didáctico. f ( ) f ( ) Veamos cómo obtener la derivada a través de la definición: h f ( h) f ( ) h h h f '( ), recordad h h h h h h que esto es un límite para resolver en h. h h h h h h h h, por h h h h h tanto según la definición f ( ), f '( ) c) f ( ) sen d) f ( ) e. Calcula las siguientes derivadas: Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 6

27 REGLAS DE DERIVACIÓN: k ' k f ' k f ' f g' f ' g ' f g' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g f g '( ) f g f ' g g ' DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES: ( ) n n f f '( ) n f ( ) f '( ) n f ( ) f '( ) n n f ( ) e f '( ) e n f ( ) a f '( ) a ln a f ( ) ln f '( ) f ( ) log a f '( ) ln a f ( ) sen f '( ) cos f ( ) cos f '( ) sen f ( ) tg f '( ) tg cos f ( ) arcsen f '( ) f ( ) arccos f '( ) f ( ) arctg f '( ) f ( ) f '( ) ln Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 7

28 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES COMPUESTA: n n f ( ) g( ) f '( ) n g( ) g '( ) f ( ) g( ) f '( ) g '( ) g ( ) f ( ) n g ( ) f '( ) g '( ) n n g( ) g( ) g( ) f ( ) e f '( ) e g '( ) n g( ) g( ) f ( ) a f '( ) a ln a g '( ) f ( ) ln g( ) f '( ) g '( ) g ( ) f ( ) log a g( ) f '( ) g '( ) g( ) ln a f ( ) sen g( ) f '( ) cos g( ) g '( ) f ( ) cos g( ) f '( ) sen g( ) g '( ) f ( ) tg g( ) f '( ) tg g( ) g '( ) f ( ) arcsen g( ) f '( ) f ( ) arccos g( ) f '( ) g'( ) g ( ) g'( ) g ( ) g'( ) f ( ) arctg g( ) f '( ) g ( ) g'( ) cos g ( ) h( ) h( ) h( ) f ( ) g( ) f '( ) h( ) g( ) g( ) ln h( ) f ( ) 5sen cos e tg a) f ( ) 5sen 6 log ln b) c) f ( ) sen ln a d) f ( ) arcsen 5arccos arctg Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 8

29 e) f ( ) arcsen 5 f) g) f( ) f( ) ln ln sen e e e 6 f ( ) log ln h) i) c a b f ( ) e sen cos log 4 j) f ( ) e sen f ''( ) f '''( ) f ( ) ln f ''( ) f '''( ) k) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 9

30 . Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: a) Todas las funciones del ejercicio 7 b) f( ) c) f( ) d) 4 8 f( ) 4 e) El procedimiento para estudiar la derivabilidad es el siguiente: Si la función es de un solo trozo, primero vemos dónde es continua, a continuación calculamos su derivada y estudiamos el dominio de la derivada, hacemos la intersección de los dos intervalos que nos han salido y el intervalo resultado que nos salga es donde la función es derivable. Si la función es a trozos: Donde NO es continua NO es Derivable (FIN) ) Estudiamos su continuidad Donde es continua Puede ser Derivable (*) ) (*) Calculamos la función derivada y estudiamos su continuidad en las fronteras donde ha salido continua. Supongamos que a es un valor frontera donde la función ha salido continua, entonces estudiamos: f '( a ) f '( ) l a Si l l f NO es derivable en a f '( a ) f '( ) l Si l l f es derivable en a y la derivada f '( a) l a Cuando una función a trozos, en un valor frontera, sale continua y no derivable gráficamente es un pico AQUÍ (la frontera) SÓLO PODEMOS TENER MÁXIMO O MÍNIMO, NOOOO PUNTO DE INFLEXIÓN. Máimo Continua + No Derivable (PICO) Mínimo Cuando una función a trozos, en un valor frontera, sale continua y derivable gráficamente es una curva suave AQUÍ (la frontera) PODEMOS TENER MÁXIMO, MÍNIMO O PUNTO DE INFLEXIÓN. Máimo Curva Continua + Derivable Mínimo Suave Pto de Infleión f( ) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

31 f) f( ) 4 g) f( ) h) sen f( ) Para estudiar la derivabilidad debemos estudiar primero la continuidad: Primero por trozos, como en este caso sólo hay uno y el cero, pues veamos la continuidad de sen sen en,,, para ello calculemos el dominio de la función : Por ser trigonométrica, su dominio es todo. Por ser racional, su dominio es. Así resulta que la función es continua en donde está definida porque la misma cosa,, es. Luego no hay problema de definición, por tanto, es continua en su intervalo de definición. Veamos ahora la continuidad en : sen sen cos I L' H Continua en Calculemos la función derivada: sen cos sen sen f ( ) f '( ) ' sen sen cos sen sen cos sen Veamos la derivabilidad sen cos sen I L' H cos cos sen sen sen cos cos cos sen cos sen cos sen cos cos cos sen I LH ' Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

32 cos cos sen cos 4 sen cos sen cos 4 sen cos. Realiza los siguientes ejercicios relacionados con la derivabilidad. a) Determina la función derivada de las funciones siguientes e f ( ) cos f ( ) ln 4 sen cos f ( ) ln f ( ) ln f( ) ln f ( ) ln ln f ( ) ln cos f( ) e Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página a b 4 b) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma f( ) sea derivable en todo. sen c) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma f( ) a b sea derivable en todo. d) Determina el valor de m y n para que la función f definida de la forma f( ) sea m n derivable en todo. Lo primero que debemos hacer es descomponer el valor absoluto tanto la frontera como en la función:,,

33 , Reescribimos la función con los valores absolutos de las fronteras desarrollados: f ( ) m n Ahora descomponemos, como los dos intervalos se corresponden pues no hay que armar demasiado para escribir correctamente la función original. f ( ) m n f '( ) n Ahora vamos a imponer primero la continuidad y después la derivabilidad sólo en las fronteras porque suponemos que la función está bien definida como así es. Como es continua en n m 8 4m n n 4 m n m 4 Como es continua en n m n m 4 n m 8 4m n 4 Como la función es derivable en 4 4 n n 4 n n Como la función es derivable en n n n 4 4 Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página

34 Imponiendo la derivabilidad y la continuidad de la función, tenemos que resolver el sistema: 8 4m n n 4 m. n 4 mn e e) Determina el valor de m y n para que la función f definida de la forma f( ) sea ln derivable en. f) Determina el valor de m y n para que la función f definida de la forma f( ) m m sea derivable en todo. n n g) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma derivable en todo. h) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma derivable en todo. ( ) a b f sea ( ) a b f sea a b b i) Determina el valor de a y b para que la función f definida de la forma f( ) sea derivable en todo. Determina también la recta tangente a la gráfica de la función en. j) Inventa dos problemas de este estilo y resuélvelos. k) Inventa 4 funciones a trozos en los que aparezcan todas las discontinuidades y casos de continua y no derivable, así como, fronteras derivables.. Calcula los límites siguientes usando la regla de L Hôpital (Aneo). Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

35 REGLA DE L`HÒPITAL f ( ) f ( ) f '( ) SI siendo a a g( ) a g( ) a g '( ) Esta regla quiere decir: Si al calcular el límite de un cociente de funciones, sean las que sean, cuando tiende a, un número ó más o menos infinito, y en el primer paso nos sale una de las indeterminaciones mencionadas arriba, entonces es lo mismo calcular ese límite inicial que calcular el límite del cociente de las derivadas de las de las funciones f y g. Puede ser que al aplicar L H una vez, nos salga una nueva indeterminación, pero nosotros nos reímos de eso, porque aplicamos otra vez la regla, hasta que desaparezcan las indeterminaciones y podamos calcular el límite. Repito, ver aneo porque viene mucho más detallado y con muchos casos que se nos pueden presentar. A continuación vienen los límites con los resultados para que comprobéis si están bien. ) ) ) sen sen sen5 5 tg sen cos cos sen cos sen e e sen tg tg 5 5 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) cos cotg Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

36 ) 4 ) 4 4 e sen ) 4) tg 5) ln 6) tg ln sen 7) sen ln 8) e e e Aquí no puedo aplicar L'H, ln I L' H Transformo y ya sí podemos ln ln ln ln ln I L' H ln 9) ln ln I ) e ) ) ) ln sen tg 5 tg 5 ln Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 6

37 4) 5) 6) ln sen sen ln ln ln 7) ln e e 8) 9) ) arctg e ln ln ln ln ) I ) e e e e I L' H e e e tg ) ln sen 4) 4ln 5) e 6) e cos 7) 4 cos 8) e 9) e Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 7

38 4) ln 8 sen tg 4) 4) cos sen e 4) 44) ln cos 9 ln cos ) 4 46) 47) 48) 49) 5) 5) 5) 5) e cos I L' H ln cos sen 8 cos e 4 ln ln ln e ln sen 54) 55) e cos sen arctg * sen sen ln ln 56) Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 8

39 sen 57) No se puede aplicar L'Hôpital porque el seno es una función periódica sen y no sabemos cómo se comporta en el, por tanto para calcular el límite se procede de otra manera, veámosla: sen sen sen sen sen sen sen 58) No se puede calcular porque no eiste el sen, sen Pero sí lo podemos calcular de esta forma: sen sen * sen sen sen 59) Determina k para que se verifique 4 e k e Sol: k a b cos 6) Calcula a y b para que se verifique Sol: b, a sen sen 6) Se sabe que el es finito. Determina y calcula el límite. Sol: 6) Determina k para que eista el límite y sea finito. Calcula el límite para ese valor de k. e e k Sol: k sen sen 6) Se sabe que el es finito. Determina y calcula el límite. Sol: tg 64) Determina k para que eista el límite y sea finito. Calcula el límite para ese valor de k. Sol: k e k 4. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones, a continuación represéntalas: Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 9

40 Asíntotas Verticales Asíntotas Horizontales Asíntotas Oblicuas A. O. y m n si Si f ( ) Si f ( ) c f( ) k f( ) k es AV y c es AH m n f ( ) m Generalmente saldrá sólo un valor Puede no eistir la A. O., Generalmente la asíntota vertical, será para c, pero habrá algunos casos en pero si eiste es porque los aquel valor que no está en el dominio los que haya que estudiar el límite en límites, de la celdilla o aquél que nos quiten de la y en por separado, porque superior, los hemos podido definición de la función podrán salir valores distintos. calcular. Posición Relativa A. V. Posición Relativa A. H. Posición Relativa A. O. Se trata de saber por dónde queda la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha de la recta imaginaria (AV) gráfica encima de la asíntota. gráfica debajo de la asíntota. la gráfica está por encima de la asíntota. la gráfica está por debajo de la asíntota. En los ejercicios nos pedirán dos cosas muy distintas. Fijaos, pueden decirnos determina las asíntotas y quedarse ahí. En ese caso, una vez calculadas las ecuaciones de las mismas y verificadas las condiciones, hemos terminado el ejercicio. En otro caso además de pedirnos determinar las asíntotas pueden venir preguntas relacionadas con ellas o con la gráfica de la función, en ese caso, ya si conviene estudiar la posición relativa. Las asíntotas horizontales no pueden coeistir con las oblicuas por el hecho de que un límite no puede salir infinito y, a la vez, un número. Las AH y AO pueden ser diferentes en el y.así, se recomienda asegurarse de que los límites necesarios para el cálculo de dichas asíntotas se realicen en el y a) b) c) d) e) f) f( ) e e f( ) e f ( ) sen f( ) cos f ln f( ) 9 ( ) 5 Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

41 e g) f( ) e f ( ) ln e h) i) f( ) j) f( ) k) f ( ) ln l) m) f ( ) e ln f( ) 5. Determina la recta tangente y normal en los siguientes casos: Las rectas tangente y normal a una función en un punto de abscisa a son: Recta Tangente: y m a f ( a) siendo Recta Normal: y a f ( a) m m f '( a) f ( ) 4 a) 4 Calculemos f '( ). Ahora calculemos dos rectas: Recta Tangente y f '( ) f ( ) y y f ( ). Por tanto ya podemos determinar las f '( ) Recta Normal y f ( ) f '( ) y y 4 Ahora, aunque no hace falta, pero fijaos en la gráfica de la función, en la recta tangente en y en la recta normal en : Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

42 b) f ( ) ln cuando m Cuando nos dan la función y la pendiente, determinar las rectas tangentes que tienen esa pendiente NO es un ejercicio tan directo como los otros, puesto que previamente hay que calcular a. Se procede de manera distinta, veámosla: Tengo f ( ) ln f '( ) y tengo m f '( a) a. Luego ya tengo a entonces a qué queda, pues calcular la recta tangente con los datos que tengo, a saber, a, m y f ( ) ln. Recta Tangente Recta Normal y m a f ( a) y a f ( a) m y f () y f () y y Para el que no se lo crea las representamos: Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

43 c) f ( ) m cos d) f( ) sen cos m e) f ( ) ln paralela al eje de abscisas f) f ( ) e paralela a la bisectriz del tercer cuadrante g) f ( ) sen paralela a la bisectriz del primer cuadrante h) f ( ) sen5 6 i) f ( ) ln paralela a su asíntota. 6. Resuelve los siguientes ejercicios sobre recta tangente: a) Halla los puntos de la gráfica de la función definida de la forma f( ) tangente es: Paralela a la recta de ecuación y Paralela a la recta de ecuación y 5 8 Perpendicular a la recta de ecuación y 7 en los que la recta b) Halla los puntos de la gráfica de la función definida de la forma f ( ) ln en los que la recta tangente pasa por el origen de coordenadas. Determina también las ecuaciones de estas rectas tangentes. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 4

44 c) Halla los puntos de la gráfica de la función definida de la forma f( ) en los que la recta tangente pasa por el origen de coordenadas. Determina también las ecuaciones de estas rectas tangentes y normales. d) Determina las ecuaciones de las rectas tangentes y las rectas normales a la gráfica de la función 4 definida de la forma f ( ) en sus puntos de infleión. e) Dada la función f ( ). Esboza la gráfica de f. Estudia la derivabilidad de f. Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en y en Estudia la monotonía (etremos relativos y intervalos de crecimiento y decrecimiento) y curvatura (puntos de infleión y concavidad y conveidad) si los hubiere de las siguientes funciones. Represéntalas: f '( ) a,b Creciente en a,b Monotonía f '( ) a,b Decreciente en a,b f '( ) f ''( ) Mínimo en Et Rel, P Crítico en f ''( ) Máimo en Convea en a,b Cóncava en f ''( ) a,b Curvatura f ''( ) a,b a,b f ''( ) Punto de Infleión = cambio de a o de a. El procedimiento para estudiar la MONOTONÍA a seguir es el siguiente ) Calcula la derivada y resuelvo f '( ) ) Las soluciones son los etremos relativos. Construimos una tabla en la que ponemos los valores codominio, valores frontera y etremos relativos. ) En la tabla estudiamos el signo de la derivada a cada lado de cada uno de los f ' f valores que hemos puesto. Y concluimos con. f ' f El procedimiento para estudiar la CURVATURA a seguir es el siguiente ) Calcula la derivada segunda y resuelvo f ''( ) ) Las soluciones son los puntos de infleión. Construimos una tabla en la que ponemos los valores codominio, valores frontera y puntos de infleión. ) En la tabla estudiamos el signo de la derivada a cada lado de cada uno de los f '' f valores que hemos puesto. Y concluimos con. f '' f *MUY IMPORTANTE: Al determinar los máimos y los mínimos de una función definida en un intervalo cerrado, NO BASTA con el estudio de los etremos relativos, pues es necesario saber a qué altura queda la función en las fronteras. Pensad que la función puede quedar más alta en las fronteras, del intervalo de definición, que en los propios etremos relativos. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 44

45 a) f ( ) b) f( ) f ( ) e cos, c) Lo primero que hacemos para estudiar la monotonía y curvatura es determinar el dominio pues los valores a tener en cuenta para dicho estudio son: CODOMINIO, FRONTERAS y EXTREMOS RELATIVOS o PUNTOS DE INFLEXIÓN. En este caso el dominio es muy fácil, se trata de un,, es decir producto de funciones continuas en todo, en particular, en Dom f,,. Por tanto no hay codominio. En esta función tenemos valores frontera, así que en nuestros estudios de tablas deberemos itarnos al intervalo,. Lo segundo que hacemos es calcular la derivada primera, y como vamos a estudiar la curvatura de la función, también, de camino, hacemos la derivada segunda. Factor f ( ) e cos f '( ) e cos e sen e cos sen Común Por tanto, f '( ) e cos sen, ahora bien, necesitamos también la derivada segunda: f ''( ) e cos sen e sen cos e sen e sen Así pues, f ''( ) e sen f ( ) e cos Recapitulamos: f '( ) e cos sen f ''( ) e sen Ahora debemos obtener los etremos relativos f '( ) e cos sen cos sen 45º 4 que son las soluciones reales que quedan dentro del intervalo,. Por 5º 4 tanto, debemos poner en nuestra tabla los dos etremos relativos más las dos fronteras, luego en nuestra tabla de estudio de monotonía vamos a situar sólo el valor. 4 4 f ' f m M Concluimos escribiendo: La función es creciente en, 4 4 y decreciente en,,. Como la función es 4 4 continua en todo el intervalo de definición podemos asegurar que eiste un mínimo en Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 45

46 , f 4 4 y un máimo en, f Mínimo, f, e 4 '5, '6 RELACIÓN DE EJERCICIOS ANÁLISIS. Más concretamente esos dos etremos relativos son: 4 Máimo, f, e '78,' Que os creíais vosotros que había acabado la monotonía ahí. Cuando mi función a estudiar está en un intervalo cerrado. Los máimos y los mínimos se pueden encontrar justo en las fronteras del intervalo, en particular, en este ejmplo mirando la tabla de la monotonía, el máimo absoluto podría estar en y el mínimo absoluto en. Veamos, cuánto vale la función en las fronteras:, f, e '4, '4, f, e '4, '4 Por tanto, si vemos globalmente todos los valores hallados, observamos que el máimo está claro y queda determinado directamente en la tabla de la monotonía, pero el mínimo NO es el que habíamos calculado antes, pues ahora hay un valor en el intervalo de definición que tiene el valor más bajo. Por tanto, f, e '4, '4 f e 4 Mínimo Relativo,, '5, ' Mínimo Absoluto, f, e '4, '4 Es el más bajo. Conclusión: cuando estudiemos la monotonía en un intervalo cerrado deberemos tener en cuenta también las fronteras para máimos y mínimos. Recordad que en ellas pueden estar los máimos y mínimos. 4 4 f ' f M? m M m? Veamos ahora la curvatura de la función, para ello: f ''( ) e sen y aquí tenemos un problema, resulta que aunque salen de igualar la derivada segunda a cero, no podemos determinar y tampoco es de nuestro interés, saber si son o no, puntos de infleión, pues son justamente las fronteras del intervalo de definición, y a los lados eternos no vamos a realizar estudio alguno, por tanto el único valor a tener en cuenta para la tabla de la monotonía es el. f '' f PI Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 46

47 Terminamos concluyendo que la función es convea en, y cóncava en,. La función tiene un punto de infleión en,. ESTO COMPLEMENTADO CON LOS PUNTOS DE CORTE Y EL ESTUDIO POR EJEMPLO DE LAS ASÍNTOTAS, NOS DA UNA RECOPILACIÓN DE DATOS MUY PRECISA PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 47

48 Si quieres un ejemplo de estudio completo de una función y su gráfica, puedes irte al aneo correspondiente. d) f ( ) e sen, e) f) f( ) f( ) g) ( ) 5 f e h) f ( ) sen i) f ( ) e j) f ( ) e Lo primero que hacemos para estudiar la monotonía y curvatura es determinar el dominio pues los valores a tener en cuenta para dicho estudio son: CODOMINIO, FRONTERAS y EXTREMOS RELATIVOS o PUNTOS DE INFLEXIÓN. En este caso el dominio es muy fácil, sin apenas mojarnos haciendo cuentas obtenemos Dom f. Por tanto nuestro codominio sería. En esta función no tenemos valores frontera, así que, una cosa menos a tener en cuenta en nuestros estudios de tablas. Lo segundo que hacemos es calcular la derivada primera, y como vamos a estudiar la curvatura de la función, también, de camino, hacemos la derivada segunda. e e e e Factor e f ( ) f '( ) 4 4 Común e e e 4 4 Por tanto, f '( ) e, ahora bien, necesitamos también la derivada segunda: e e e e 6 6 f ''( ) 6 4 Así pues, f ''( ) e e f( ) e Recapitulamos: f '( ) e 6 6 f ''( ) 4 Ahora debemos obtener los etremos relativos f '( ) e que no tiene soluciones reales. Por tanto, no podemos poner en nuestra tabla etremos relativos, luego en nuestra tabla de estudio de monotonía vamos a situar sólo el valor. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 48

49 f + f Concluimos escribiendo: La función es creciente en, y decreciente en,. No podemos asegurar que, según la tabla, haya un mínimo en el pues la función en ese valor NO EXISTE. Recordemos que es codominio. Así pues, queda estudiada la monotonía. Veamos ahora la curvatura de la función, para ello: e 6 6 f ''( ) 6 6 y aquí tenemos un problema, (que en el 4 eamen NO se nos presentará) y es que si nosotros probamos por Ruffini con,,, 6 no sale absolutamente nada. Conclusión: si no podemos resolverlo (que no será nuestro caso), pues no podemos estudiar la curvatura, porque, nosotros sabemos que una cúbica corta como mínimo una vez seguro al eje OX, pero no sabemos sacarlo. Hay una forma, un poco tramposilla, que es aproimando la gráfica, hasta que veamos que va a cortar, por ejemplo, si yo considero como función independiente y 6 6 y represento la cúbica esta con una tabla de valores - y Vemos, que de a la cúbica cambia de signo, esto nos indica, que entre y, seguro que corta ésta al eje OX. Podemos decir entonces, que algún número seguro es nuestro punto de infleión. Pero bueno, retomemos nuestro estudio de la curvatura como si hubiéramos calculado nosotros la solución y nos hubiera salido ' f f '59, y cóncava en Terminamos concluyendo que la función es convea en,,'59. ESTO COMPLEMENTADO CON LOS PUNTOS DE CORTE Y EL ESTUDIO POR EJEMPLO DE LAS ASÍNTOTAS NOS DA UNA RECOPILACIÓN DE DATOS MUY PRECISA PARA REPRESENTAR GRÁFICAMENTE. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 49

50 Si quieres un ejemplo de estudio completo de una función y su gráfica, puedes irte al aneo correspondiente. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

51 k) ln f( ) l) f ( ) e m) f ( ) 4 5ln n) o) f ( ) ln e f ( ) cos f( ) 7 p) q) f ( ) ln r) f( ) ln s) f ( ) ln cos t) f( ) e 8. Determina la imagen de las funciones definidas de la siguiente forma: (*) Intenta calcular el máimo absoluto y el mínimo absoluto. La imagen sería el intervalo que forman y. a) f :, f ( ) f :, f ( ) b) c) f :, f ( ) e d) f :, f ( ) 9. Determina los parámetros de las funciones en los siguientes casos: Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

52 Consisten en determinar los parámetros desconocidos aplicando los conocimientos teóricos. A continuación, detallamos todas las posibles condiciones que nos podemos encontrar por raras que sean y cómo aplicarlas: La función pasa por el punto ab, es la condición f ( a) b La función posee un etremo relativo, local o punto crítico en a, f '( a) La función posee un punto de infleión en a, f ''( a) La función tiene un máimo a, b f ( a) b mínimo en el punto f '( a) f ( a) b La función tiene un punto de infleión en el punto a, b f ''( a) La función corta al eje abscisas OX en a f ( a) La función corta al eje ordenadas OY en a f ( ) a La función tiene una asíntota horizontal en a f ( ) a La función tiene una asíntota vertical en a al evaluar a en el denominador debe ser. La función en a tiene una recta tangente con igual pendiente a m conocida. f ' a m. Entonces En funciones a trozos ser continua significa que los ites laterales en las fronteras han de ser iguales. En funciones a trozos ser derivable significa ser continua, por tanto, que los ites laterales en las fronteras han de ser iguales, y además, que las derivadas laterales en las fronteras han de ser también iguales Que dos funciones se corten significa que se han de igualar y resolver la ecuación. Dejamos esos en blanco porque no se me ocurren más, y sé que luego saldrán y habrá que ponerlos en algún sitio, pues ahí. a) Halla una función polinómica de grado tres, que corta al eje OY en el punto (,4), que pasa por el punto (,) y que en ese punto tenga tangencia horizontal. Una vez hallados los parámetros determina los etremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. d b) Sean dos funciones f ( ) a b c y g( ). Determina los parámetros sabiendo que las e dos funciones se cortan en el punto,, f tiene un máimo en el, y g tiene una asíntota vertical en. Traduzcamos al lenguaje matemático: Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

53 f () a b c d dos funciones se cortan en el punto, g() d e e d f () g() a b c e f () 4a b c f tiene un máimo en el, f '() 8a b g tiene una asíntota vertical en e Recopilando la información me queda el sistema: abc d e e, d 4a b c a, b, c 8ab e c) Encuentra una función polinómica de segundo grado que verifique las siguientes condiciones: f () ; la tangente a la gráfica en es paralela a la recta que pasa por los puntos A(,) y B(,6); f alcanza el mínimo en. a d) Determina el valor del parámetro a para que la función f( ), presente en el punto de abscisa, un etremo relativo. e) Se considera la función f( ) a b, calcula el valor de los parámetros sabiendo que f presenta un etremo relativo en P(,) f) Halla una función polinómica de tercer grado, sabiendo que corta al eje OX en los punto y, y presenta un mínimo relativo en. g) Sea la función f ( ) a b c. Encuentra los valores de los parámetros para los cuales f tiene sus etremos relativos en los puntos y, y de forma que el punto P(,6) pertenezca a la gráfica de f. h) Sea la función f () a b, de la que sabemos que su recta tangente, en el punto de abscisa, es paralela a la recta de ecuación y7 4, y también se sabe que tiene un etremo relativo en. Calcula a y b, y con dichos valores encuentra algún otro etremo para f. i) Determina una función polinómica de tercer grado f () a b c d, cuya gráfica tenga un etremo relativo en el origen de coordenadas y un punto de infleión en (,). j) Determina la parábola que pasa por el origen tangencialmente a la bisectriz del primer cuadrante y que además tiene un etremo en el punto de abscisa. k) Se sabe que la función f () a b, corta a su función derivada en y que además en dicho punto f tiene un etremo. Determina los valores de a y b. c l) Sea la función f ( ) a. Determina a, b y c para que la función tenga una asíntota vertical a b en, como asíntota oblicua. Problemas de optimización Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 5

54 En un problema de optimización siempre nos van a dar tres cosas de manera indirecta o directa: C, y k, la condición que me relaciona e y. En ella podré despejar o o y. f (, y ), la función en la que intervienen dos variables a optimizar. La Optimización. Una pregunta que me indicará si debo maimizar o minimizar. Una vez identificadas estas tres cosas el problema ya está casi resuelto. Tan sólo hemos de seguir el siguiente procedimiento: ) En la condición despejamos la variable ( o y) más fácil. C, y k (Despejo) y g( ) ) A continuación sustituimos en la función de manera que dejamos la función en una sóla variable. f (, y) f (, g( )) f( ) ) Derivamos y obtenemos lo que nos diga la optimización. f '( )... 4) RESPONDEMOS A LA PREGUNTA EN EL DOMINIO DEL CONTEXTO Esto es importante también eh? Para facilitaros el camino vamos a tener una relación con un problema de optimización de cada tipo de los que suelen aparecer en selectividad. Hay resuelto uno de cada tipo. ALGEBRAICOS ) Probar que entre todos los rectángulos de igual perímetro, el de mayor área es el cuadrado. ) Descomponer el número en dos sumandos tales que el producto del cubo de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. C, y k, y a. b. f (, y) y paso la función a una variable y f (, y) y f ( ) f ( ) c. La Optimización. Maimizar f (, y ) es maimizar f( ) 4 f '( ) 6 5 ahora igualamos la derivada a cero y obtenemos las soluciones: Ahora calculamos f ''( ) 48 4, y estudiamos el signo de la segunda derivada en los etremos relativos porque en este caso al tratarse de una función polinómica, las cuentas son más fáciles. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 54

55 no puede ser pues no tiene sentido en el conteto. f ''() por tanto la función se hace máima en. f ''(), aquí se hace la función mínima, por tanto no me interesa. Así pues, los dos números que hay que hallar, son, y. ) Determina dos números reales positivos cuya suma es y sabiendo que el producto de sus cuadrados es máimo. 4) Determinar m de modo que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación m m sea mínima. RECIPIENTES, ENVASES, DEPÓSITOS 5) Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea de 8dm. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie eterior sea mínima. Queremos construir una caja cerrada de base cuadrada. Aunque la lógica me diga a mí que va a ser un cubo, yo nunca me imagino la situación obvia. Pensemos en algo parecido a esto. función es La condición: 8 y 8, y La función es la superficie de la caja: 8 f (, y) 4 y 4, el dominio de esta, 6 4 f ( ) f '( ) Ahora, calculamos los etremos relativos 4 que es mínimo pues Por tanto, y, se trata de una caja con forma cúbica. 6) Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. 7) Una empresa tiene que construir un depósito para que pueda contener. m de un determinado combustible. La forma del depósito debe ser la de un cilindro en el que se han sustituido las bases por dos semiesferas. El depósito debe ser recubierto por una pintura eterior cuyo coste es 6 /m. Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que el coste del recubrimiento sea mínimo? 8) Se quiere hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 8 dm. Para la tapa y la superficie lateral, usamos un determinado material, pero la para la base debemos emplear un material un 5% más caro. Halla las dimensione de este envase para que su precio sea el menor posible. 9) Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? V r h Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 55

56 TIEMPO MÍNIMO ) Un nadador, A, se encuentra a km de la playa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a km/h y anda por la arena a 5 km/h. Averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar en el menor tiempo posible. ) Un motorista se encuentra en el desierto frente a un punto A situado en una carretera a 5 km de él. Desea ir a un punto B sobre la misma carretera situado a km de A. Suponiendo que la carretera es recta y que puede viajar por el desierto a 5 km/h, y a 9 km/h por la carretera. Encontrar el punto en que debe alcanzar la carretera para llegar a B en el menor tiempo posible. Bueno, antes de nada debemos saber cómo están relacionadas las variables velocidad, tiempo y espacio: e e v t e v t t v Si yo estuviera en el punto M y estuviese viendo la carretera enfrente, A, pero mi destino fuese B evidentemente todo el mundo piensa: Niños, vamos a recortar que si no vamos a andar más que Frodo por la Tierra Media, pero claro si yo tengo que ir esquivando piedras todo el camino hasta llegar a B, probablemente llegue a mi destino con los pies sangrando después de no se cuántas piedras camufladas con el matorral y zarzas. En fin, estoy desvariando, todos en definitiva recortaríamos un poquito por el desierto y luego andaríamos por la carretera que es más cómodo. Vale, esto es entender el planteamiento. Como el enunciado nos habla de menor tiempo posible, ya sabemos que la función va a ser el tiempo que tardemos en ir de M a y después a B. Para escribir el tiempo que tardaremos, de M a B, hay que usar las formulitas de arriba y los datos de velocidades del problema. Así pues, los recorridos en espacio serían 5 el de la diagonal y el de lo que queda por carretera. Y como las velocidades son respectivamente 5 y 9 km/h. Por tanto, el tiempo que se tarda en recorrer esas e 5 distancias a esas velocidades, según t, es: f( ) v 5 9 Así pues, nos queda minimizar esa función y contestar a la pregunta. Algunos se preguntarán, dónde está la condición, pues en el dibujo está la condición. No aparece y pues ya hemos escrito. FIGURAS INSCRITAS EN FIGURAS ) Calcula las dimensiones de un rectángulo de área máima que se pueden inscribir en un triángulo equilátero de 6 cm de lado. Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 56

57 ) En una circunferencia de radio r, se divide su diámetro en dos partes que a su vez se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a ella. Qué longitud debe tener cada uno de estos dos diámetros para que el área deitada por las tres circunferencias sea máima? 4) En un jardín con forma de semicírculo de radio m, se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él está sobre la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máima. 5) Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de cm de diámetro, cuál es el de área máima? 6) En una página ha de imprimirse un teto de cm. Los márgenes laterales han de ser de 4 cm y el superior e inferior de 6cm cada uno. Calcula las dimensiones de la página para que la cantidad de papel necesaria sea mínima. 7) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro cm, cuál es el de área máima? 8) Un campo tiene forma de trapecio rectángulo de bases 4 y 4 metros y el lado perpendicular a las bases también 4 m. Se quieren construir dos campos rectangulares, C y C, en su interior con bases en el lado perpendicular a las bases del trapecio. En el campo C se quiere sembrar maíz y en el C trigo. Los beneficios para maíz y trigo son. /m y. /m respectivamente. Determina las medidas de cada uno de los campos para obtener el beneficio máimo. 9) Considera el recinto itado por la curva y y la recta y 9 Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 57. De entre todos los rectángulos situados en el recinto cerrado deitado por las dos gráficas, determina el que tiene área máima. ) En un triángulo isósceles de base cm (el lado desigual) y altura cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales. Epresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de la base,, y dí cual es el dominio de la función. Halla el valor máimo de esa función. PENDIENTE MÁXIMA ) Determina un punto de la recta de ecuación y,4 en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. Este ejercicio, a veces, algunas personas, pueden confundirse al no tener claros los conceptos de pendiente de la recta tangente a una función, y etremo relativo. Pero si los tenemos claros es un ejercicio muy fácil, la recta tangente es y f '( c) c f ( c), veámoslo: Qué es la pendiente? f '( c ), donde c es la abscisa del punto de la gráfica donde la pendiente es máima, la que nosotros queremos buscar. Entonces la pendiente es Qué es lo que tengo que maimizar? La pendiente. Y quién es la pendiente? f '( ). f '( ). Ahora, tengo que maimizar f '( ). Entonces debo derivar esa función e igualarla a cero, para obtener el posible etremo relativo. f ''( ) 6 f ''( ) es el etremo relativo. Veamos si es máimo o mínimo: Por tanto, máimo. Entonces la función alcanza su máima pendiente en el punto (,). ) Dada la función f :, e definida por tangentes a la gráfica de f tienen la pendiente máima. f ( ) ln, determina cuales de las rectas

58 ) Determina un punto de la recta de ecuación y e en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. DISTANCIAS Y FIGURAS DE GRÁFICAS Y PUNTOS 4) Desde una casa situada en el punto P(7,), se quiere hacer un camino recto para conectarla con una carretera cuyo trazado viene dado por la curva de ecuación y. Con qué punto de la carretera conecta el camino más corto posible? Lo que me están pidiendo es la distancia más corta luego ya sabemos, quién es la función:, la distancia entre un punto de la curva P(,y) y el punto P(7,). f (, y) 7 y La condición está clara, es la propia curva que me dan: Luego y., cuyo dominio es, así pues, f (, y) 7 5 debemos derivar la función f ( ) 5 e igualarla a cero para obtener los etremos relativos. f '( ) 6 f '( ) es etremo relativo, debe ser mínimo. Veámoslo: 5 Estábamos en lo cierto, luego, el punto en el que la distancia es mínima, o bien, en el que la curva está más cerca del punto P(7,) es el,. 5) El punto P(,y) recorre la elipse y 5 9. Deduce las posiciones del punto P para que su distancia al origen sea máima y también aquellas en las que la distancia sea mínima. 6) De entre todas las rectas que pasan por el punto P(,), determina la ecuación de aquella que forma con los ejes y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima y calcula el valor de dicho área. Todas las rectas que pasan por el punto (,) son de la forma: y m. Esa recta tiene unos puntos de corte con los ejes No es así?. Veamos cuáles son esos puntos de corte: Colegio La Presentación de Nuestra Señora - Granada Página 58