ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

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1 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso MAT0 Nombre Curso Cálculo I Créditos 10 Hrs. Semestrales Totales 5 Requisitos MAT00 o MAT001 Fecha Actualización Escuela o Programa Transversal Programa de Matemática Currículum Carrera/s Todas N APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S) Resuelve problemas utilizando la operatoria de funciones elementales. Resuelve problemas utilizando el concepto de composición de funciones. NOMBRE DE LA ACTIVIDAD Aplicaciones de las operaciones y composición de funciones. Modalidad Presencial No Presencial Duración de la actividad (horas): Forma de trabajo: Individual Grupal - Tamaño del grupo: Recursos de información: Impreso Tecnológico Informático Lugar: Sala de clases Material de apoyo para la actividad: Laboratorio (especifique) Taller (especifique) Terreno (especifique) Otros (especifique) DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación 1

2 ÁLGEBRA Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Considere las siguientes funciones f ( y g ( Entonces: a. ( f g)( f ( g( b. ( f g)( f ( g( c. f g ( f ( g( ; g ( 0 d. ( f g)( f ( g( ) I Algebra de funciones. 1. Dadas las siguientes funciones f ( x x; g( x 1; h( x Determine: a) f g b) g f c) f h d) g h e) f g f) h g x

3 . En la fabricación y venta de unas bicicletas, los ingresos en pesos al vender x unidades son: I( x. Y el costo de de producción en $, de x unidades es: C ( 5.00 x. 800 Con esta información: a) Escriba la función de utilidad. b) Cuál es la utilidad al vender bicicletas? c) Si en Diciembre del año pasado hubo utilidades de $ , cuántas unidades se produjeron?. Se supone que cuando el precio de cierto artículo es p pesos por unidad, entonces los consumidores compraran x unidades, donde: El costo de producir x unidades es: p ( 0,05 x C ( 0,0 x x a) Escriba la función ingreso en función de x. b) Cuánto es el ingreso al vender 100 unidades? c) Determine la utilidad obtenida de la venta de x unidades como una función de x. d) Cuánto es la utilidad que se obtiene al producir 50 unidades?

4 4. El costo unitario de fabricación de motos para cross country, se describe con la siguiente función: C ( n) 14.0 e 0,01n 1.10 Donde C (n) costo unitario de fabricación de las motos en dólares y n número de motos fabricadas en cada año, el cual no puede ser menor que 60 para validar la función. Además, el precio unitario de venta de las motos, depende del número de unidades que se ponen en el mercado en cada año. Su expresión es: P( n).100 4, n Donde, P (n) precio unitario de venta de las motos en dólares y n número de motos fabricadas en cada año. a) Cuál es el ingreso al vender 150 motos en un año? b) Encuentre la función de utilidad total de la empresa de motos. c) Cuál es la utilidad total de producir y vender las motos de la pregunta (a)? 5. Para el libro La casa de los espíritus en su última edición, se determinó que la función de oferta es O ( p) p 9p 470 y la función demanda está dada por D( p) 500 p, donde p es el precio en dólares. Tenemos que O y D representan el número de libros ofrecidos y demandados, respectivamente: a) Cuál es el precio de equilibrio? (Dato: O( p) D( p) ) b) Determine la cantidad de libros ofrecidos y demandados en el precio de equilibrio. 4

5 II Composición de funciones. 6. Un fundo en el Sur de Santiago produce frutos para exportar, determina que la cantidad de kilógramos embalados por día u (n), es una función del número de trabajadores ( n ), donde: 0n u ( n) 5n El ingreso total I (u) en pesos, que se recibe por la exportación de u kilógramos de fruta embalados está dado por: I( u) 570 u a) Cuál es el ingreso total si el embalaje de 10 trabajadores es vendido? b) En invierno se reduce la cantidad de trabajadores de la pregunta (a) en un 40%. Cuántos kilógramos se embalan por día? c) Cuál es el ingreso total para el exportador si el embalaje de n trabajadores es vendido? 7. Un fabricante puede vender q unidades de un producto al precio p por unidad, en donde 0p q 600. Como una función de la cantidad q demandada en el mercado, además se sabe, que el ingreso semanal está dado por R 0q 0,15q. En qué forma depende R del precio p? 5

6 8. El número de viviendas construidas por año, N depende de la tasa de interés hipotecaria r de acuerdo con la fórmula: 50 N( r) 100 r Donde N está en millones de viviendas. La tasa de interés actualmente está en 1% y se predice que disminuirá a 8% en los dos siguientes años de acuerdo con la fórmula: 8t r ( t) 1 t 4 Donde t es el tiempo medido en meses a partir de ahora. a) Exprese el número de viviendas en función del tiempo. b) Cuál es el número de viviendas en este instante? c) Cuál es el número de viviendas transcurrido un año y 6 meses? 9. La velocidad a la cual un químico se produce en cierta reacción, depende de la R T 5 temperatura T de acuerdo con la fórmula. Si T varía con el tiempo de acuerdo a T ( t 1), donde t representa el tiempo en segundos. Exprese la velocidad de reacción en función del tiempo. T 6

7 10. Un estudio ambiental de cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel diario promedio de monóxido de carbono en el aire será C ( p) 0,4 p 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que en t años la población de la comunidad será p( t) 8 0, p miles. a) Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire en función del tiempo. b) Cuál será el nivel de monóxido de carbono en años, a partir de hoy? c) Cuándo alcanzará el nivel de monóxido de carbono las 6, partes por millón? SOLUCIONES 1. a) ( f g)( x x 1 b) ( g f )( x 4x 1 c) ( f h)( x 6 x 1 d) g h ( x x x e) ( f g)( x 5x 4 f) ( h g)( x x 7

8 . a) ( I( C( x. 800 U en pesos ($) b) U ( 1.500) $ c) x bicicletas. a) I( 0,05 x x b) I ( 1.500) $ c) U ( 0,07 x x d) U ( 50) $ a) b) I( n).100 n 4, n U( n) n 4, n 14.0 ne 0,01n c) ( 150) , 6791 U dólares 5. a) p 10 dólares b) O ( 10) D(10) 480 libros 6. a) u ( 10) ; I ( ) Respuesta: El ingreso total es de $ b) Trabajadores 10 0,6 7 ; u ( 7) kg. embalados por día c) 0n ( I u)( n) I( u( n)) 570 5n ( I u)( n).800n 950n 570 8

9 600 0 p 0 7. q 00 p ( R q)( p) R( q( p)) 0 00 Respuesta: 0 p 0, p 0, ( R q)( p) 00 p p 0 p p Vicerrectoría Académica p 8. 8t 4t 88 r ( t) 1 ; t 4 t 4 50 N( r) 100 r a) 50 ( N r)( t) N( r( t)) 4t t 4 O bien desarrollado y reduciendo términos semejantes, quedaría como: 50t N r)( t) N( r( t)) 116t.400t t 7.104t t ( 1.00t t 70.7 b) 50 5 ( N r)(0) 0, Respuesta: El número de viviendas en este instante es de aprox viviendas. c) Cuando han transcurrido un año y 6 meses, significa que t 18 meses ( N r)(18) 0, Respuesta: El número de viviendas en un año y 6 meses es de aprox viviendas. 9

10 9. ( R T)( t) R( T( t)) t t C ( p) 0,4 p 1 ; p( t) 8 0,t a) ( C p)( t) C( p( t)) 0,48 0,t 1 O bien desarrollado y reduciendo términos semejantes, quedaría como: ( C p)( t) C( p( t)) 0,08 t 4, b) ( C p)() C( p()) 0,08 4, 4, 5 Respuesta: El nivel de monóxido de carbono a los años será de 4,5 partes por millón. c) 6, 0,08 4, t. 0,08 t t 0,08 t 5 t 5 t 5 Respuesta: A los 5 años se alcanzará un nivel de monóxido de carbono de 6, partes por millón. 10