CAPITULO 3. El diseño de elementos presforzados considera algunas premisas para iniciar un análisis. Es

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1 CAPITULO DISEÑO El diseño de elementos presorzados considera algunas premisas para iniciar un análisis. Es decir, al momento de iniciar un procedimiento de cálculo son requeridos ciertos parámetros, de los cuales se parten para poder diseñar y así conocer la respuesta y viabilidad del elemento en cuestión ante solicitaciones de carga dadas. Es imprescindible contar con parámetros de inicio validos y correctos; para ello es necesario conocer los conceptos básicos que intervienen en el diseño de las vigas presorzadas, evitando el uso de valores de inicio inapropiados. Las vigas presorzadas son consideradas, para su estudio, como elementos elásticos y homogéneos. Elementos en los que se presenta una uerza denominada ( P ), provocada por el preesuerzo y que actúa de manera concéntrica (ver la igura 3.1). Fig. 3.1 Fuerza provocada por el preesuerzo (G. Navy, 2000) 32

2 Esta uerza produce un esuerzo de compresión uniorme a lo largo de la sección, que es inversamente proporcional al producto del ancho por el peralte de la sección transversal. La expresión que deine el esuerzo generado por la uerza ( P ), se deine con la ecuación que a continuación se presenta (Ecuación ). Para dicha expresión, el signo negativo se emplea para deinir esuerzos compresivos y el positivo para esuerzos de tensión, respectivamente (Re. 2 ). P = (Ec. 3.1) A c Ac = b h (Ec. 3.2) Donde: = Esuerzo de compresión en lb/in 2 P = Fuerza de preesuerzo en lb Ac = Área de la sección transversal en in 2 b = Ancho en in h = Peralte en in 33

3 Al instante que la viga presorzada se mantiene bajo el eecto de cargas externas aplicadas, se presenta un momento máximo a la mitad del claro (ver la igura 3.2). Esto implica que se generen esuerzos dierentes en las ibras, tanto en la parte superior como en la parte inerior de la viga. Dichos esuerzos se determinan considerando este momento máximo, como se muestra en las siguientes expresiones (Ecuación 3.3 y 3.4). Fig. 3.2 Viga presorzada con cargas aplicadas (G. Navy, 2000) t P M c = (Ec. 3.3) A I g b P M c = + (Ec. 3.4) A I g 34

4 Donde: t = Esuerzo en las ibras superiores en lb/in 2 b = Esuerzo en las ibras ineriores en lb/in 2 P = Fuerza de preesuerzo en lb M = Momento máximo en la mitad del claro en lb in A = Área de la sección transversal en in 2 c = Distancia al centro de gravedad (eje neutro) en in I g = Momento de inercia de la sección in 4 En la ecuación 3.4, con la cual se deine al esuerzo en las ibras ineriores ( b ), se puede observar que el esuerzo compresivo inducido por el preesuerzo (-P/A) esta reduciendo al esuerzo de tensión debido a la lexión generada por (Mc/Ig), aspecto deseable en el diseño, pues garantiza la existencia de un esuerzo de tensión dentro de los límites permitidos. Es por ello que la reducida capacidad del concreto a resistir esuerzos de tensión es compensada de manera eectiva por la uerza compresiva que proveen los cables de acero (Re. 2 ). El esuerzo de compresión en las ibras superiores de la sección es incrementado sustancialmente bajo la aplicación cargas (- Mc/I), tal como se observa en la ecuación 3.3. Este aspecto se traduce en un considerable incremento de uerza compresiva en las ibras superiores, lo que indica que un arreglo concéntrico de la uerza de preesuerzo ocasiona la disminución de la capacidad del elemento a recibir cargas. Con el propósito de minimizar esta limitación, los cables pretensores se disponen de manera excéntrica (ver igura 3.3), 35

5 debajo del eje neutro a la mitad del claro, induciendo así un esuerzo de tensión en las ibras superiores de la viga. Si los cables se acomodan excéntricamente (e) del centro de gravedad del concreto, esto genera un momento (Pe), por lo que los esuerzos en la parte media de la viga cambian (Ecuación 3.5 y 3.6, Re. 2 ). Fig. 3.3 Viga presorzada excéntricamente (G. Navy, 2000) t P Pe c M c = + (Ec. 3.5) A I I c g g b P Pe c M c = + (Ec. 3.6) A I I c g g 36

6 Donde: t = Esuerzo en las ibras superiores en lb/in 2 b = Esuerzo en las ibras ineriores en lb/in 2 P = Fuerza de preesuerzo en lb M = Momento máximo en la mitad del claro en lb in Pe = Momento por excentricidad lb in A c = Área de la sección transversal en in 2 c = Distancia al centro de gravedad (eje neutro) en in I g = Momento de inercia de la sección in 4 Las ecuaciones 3.5 y 3.6, respectivamente, son actibles de modiicarse y simpliicarse considerando el cálculo de los esuerzos en un estado previo y posterior a las pérdidas en el preesuerzo. Para ello se deine el actor residual de preesuerzo (γ) (Ecuación 3.7), tomando en cuenta la uerza inicial del preesuerzo (P i ) y la uerza eectiva de preesuerzo después de pérdidas (P e ) (Re. 2 ). Pe γ = (Ec. 3.7) P i Alternativamente es conocida la ecuación que deine al radio de giro (r) (Ecuación 3.8) y la que deine (P i ) (Ecuación 3.9), ambas se pueden sustituir en las ecuaciones de esuerzos 3.5 y.3.6, de tal orma que ambas se pueden rescribir como se muestra en las ecuaciones 3.10 y

7 r 2 = I A g c (Ec. 3.8) P i = A ps pi (Ec. 3.9) = P A e c r i t t 1 (Ec. 3.10) 2 c = P A e c + r i b b 1 (Ec. 3.11) 2 c Donde: t = Esuerzo en las ibras superiores en lb/in 2 b = Esuerzo en las ibras ineriores en lb/in 2 P i = Fuerza inicial de preesuerzo antes de pérdidas en lb A c = Área de la sección transversal en in 2 A ps = Área de acero (#cables área nominal) en in 2 pi = Fuerza de preesuerzo inicial (0.70 pu ) en lb/in 2 e = Excentricidad en in r 2 = Radio de giro en in 2 c t = Distancia del centroide de la sección a las ibras superiores en in c b = Distancia del centroide de la sección a las ibras ineriores en in 38

8 Subsecuentemente, a partir de que la viga es instalada, el peso propio de la misma genera un momento (M D ); también se presentan momentos provocados por carga muerta (M SD ) y carga viva (M L ). Estos momentos combinados generan un momento total (M T ) que se expresa en la ecuación Debido a que esta combinación de momentos se presenta cuando las pérdidas en el preesuerzo ya han tenido lugar en la viga, se debe considerar entonces el esuerzo eectivo después de perdidas (P e ) (Ecuación 3.13). Sabiendo que el módulo de sección, tanto en la parte superior como en la inerior (S), se deine mediante la ecuación 3.14, las ecuaciones 3.15 y 3.16, respectivamente (Re. 2 ) M = M + M M (Ec. 3.12) T D SD + L Donde: M T = Momento total en lb in M D = Momento por peso propio en lb in M SD = Momento por carga muerta en lb in M L = Momento por carga viva y cargas sísmicas en lb in P e = A ps pe (Ec. 3.13) I g S = (Ec. 3.14) c 39

9 Donde: P e = Fuerza eectiva de preesuerzo después de pérdidas en lb S = Módulo elástico de sección en in 3 A ps = Área de acero (#cables área nominal) en in 2 pe = Preesuerzo eectivo después de perdidas en lb/in 2 c = Distancia al centro de gravedad (eje neutro) en in I g = Momento de inercia de la sección in 4 t = P A e c e ct M T 1 (Ec. 3.15) 2 r S t = P A e cb M T 1 + (Ec. 3.16) 2 r S b e + c b Donde: t = Esuerzo en las ibras superiores en lb/in 2 b = Esuerzo en las ibras ineriores en lb/in 2 A c = Área de la sección transversal en in 2 e = Excentricidad en in c t = Distancia al centro de gravedad de las ibras superiores en in c b = Distancia al centro de gravedad de las ibras superiores en in M T = Momento total en lb in S t = Módulo elástico de sección para las ibras superiores en in 3 S b = Módulo elástico de sección para las ibras ineriores en in 3 40

10 El esuerzo máximo de tensión permitido en las ibras superiores, según el código del ACI, no debe exceder lo que se expresa en la ecuación En la situación de que se exceda este valor, la uerza total en la zona de tensión deberá calcularse y deberá proporcionarse reuerzo auxiliar para resistir tal uerza (Re. 3 ). t = 6 ' (Ec. 3.17) C Donde: t = Esuerzo en las ibras superiores en lb/in 2 'c = Resistencia a compresión en lb/in 2 En el análisis por lexión de vigas son generalmente conocidas las dimensiones del concreto y del acero, así como la magnitud y línea de acción de la uerza pretensora. Si se cuenta con la magnitud de las cargas se pueden calcular los esuerzos resultantes y compararlos con los esuerzos permisibles. Alternativamente, si se conocen los esuerzos permisibles, es posible calcular las cargas máximas respectivas (Re. 3 ). 41

11 3.2 PÉRDIDAS DEL PREESFUERZO Es un hecho comprobado que la uerza inicial de preesuerzo aplicada en el elemento de concreto sure un proceso progresivo de reducción en un periodo que comprende aproximadamente cinco años. Por lo cual es importante determinar la magnitud de la uerza de preesuerzo para cada estado de solicitación, desde el estado de transerencia de la uerza de preesuerzo al concreto, así como en subsecuentes estados de preesuerzo ante solicitaciones de carga dadas. Esencialmente, la reducción en la uerza de preesuerzo se puede agrupar en dos categorías. La primera considera la pérdida elástica inmediata debida al acortamiento elástico del concreto, las pérdidas en el anclaje y las pérdidas por ricción. La segunda advierte pérdidas en unción del tiempo como son el lujo plástico, la contracción, y aquellas por eecto de temperatura y relajación del acero (Re. 2 ). El concreto sure un acortamiento longitudinal cuando la uerza de preesuerzo es aplicada. Los cables depositados al interior del concreto se acortan simultáneamente, provocando la pérdida de una parte de la uerza de tensión que llevan. Este enómeno se denomina como acortamiento elástico del concreto y su estudio contempla el acortamiento del concreto y del acero. El acortamiento unitario del concreto (ε ES ), se deine a partir de la ecuación 3.18 (Re. 2 ). 42

12 Pi ε ES = (Ec. 3.18) A E c c Donde: ε ES = Acortamiento unitario del concreto P i = Fuerza inicial de preesuerzo antes de pérdidas en lb A c = Área de la sección transversal en in 2 E c = Módulo de elasticidad del concreto en lb/in 2 El esuerzo del concreto ( cs ) en el centroide del acero al inicio del preesuerzo se obtiene a partir de la ecuación Si lo cables se acomodan con una excentricidad (e), entonces el esuerzo en el concreto se redeine a partir de un momento por peso propio (M D ), inercia y radio de giro, como se muestra en la ecuación 3.20 (Re. 2 ). cs Pi = (Ec. 3.19) A c cs P A 2 e M D e (Ec. 3.20) r I c = i 2 c 43

13 Donde: cs = Esuerzo en el concreto en lb/in 2 P i = Fuerza inicial de preesuerzo antes de pérdidas en lb A c = Área de la sección transversal en in 2 e = Excentricidad en in M D = Momento por peso propio en lb in I c = Momento de inercia de la sección in 4 Dado que los cables suren el mismo acortamiento, entonces se tiene la pérdida de preesuerzo por acortamiento elástico ( pes ) que se presenta en la ecuación 3.24, igualmente la relación de módulo de elasticidad (n) (Ecuación ). Si se pretende calcular la pérdida al momento de la transerencia, esto implica estimar un módulo de elasticidad (E Ci ) (Ecuación ) para un concreto menor a veintiocho días, esto a partir de una resistencia a la compresión disminuida ( ci ) (Ecuación 3.21). En cambio, si se trata de un concreto mayor a los 28 días, la estimación del módulo de elasticidad (E C ), involucra el empleo de la resistencia a compresión cilíndrica ( C ). ' ci = 0.75 ' (Ec. 3.21) c E ps n = (Ec. 3.22) E c 44

14 E ps n = (Ec. 3.23) E ci pes = n cs (Ec. 3.24) Donde: pes = Perdida de preesuerzo por acortamiento elástico en lb/in 2 cs = Esuerzo en el concreto en lb/in 2 n = Relación de módulo de elasticidad 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 'ci = Resistencia a compresión en la transerencia en lb/in 2 E ps = Módulo de elasticidad del acero ( lb/in 2 ) E c = Módulo de elasticidad del concreto a los 28 días en lb/in 2 E ci = Módulo de elasticidad del concreto en la transerencia en lb/in 2 La uerza de preesuerzo inicial experimenta una disminución no despreciable con respecto al tiempo. El decremento en la magnitud del preesuerzo también se deriva de la relación que existe entre el preesuerzo inicial y el esuerzo de luencia de los cables ( pi / py ), eecto que se denomina como relajación de esuerzos en el acero ( pr ). Los esuerzos límites que marca el código del ACI para cables presorzados se presentan en la tabla 3.1 (Re. 2 ). 45

15 Esuerzo de luencia del acero py = pu Después de la traserencia py pi pu Tabla 3.1 Límites de esuerzos para acero (ACI) Donde: py = Esuerzo de luencia de acero en cables en lb/in 2 pu = Resistencia última de acero en cables lb/in 2 pi = Fuerza de preesuerzo inicial en lb/in 2 La expresión que deine la relajación de esuerzos en el acero ( pr ), se presenta en la siguiente ecuación (Ecuación 3.25). log = t 2 logt 1 pi pi 10 py pr (Ec. 3.25) Donde: pr = Pérdidas por relajación de esuerzos del acero en lb/in 2 pi = Fuerza de preesuerzo inicial en lb/in 2 py = Esuerzo de luencia de acero en cables en lb/in 2 t 2 t 1 = Tiempo trascurrido después de la transerencia en horas = Tiempo trascurrido entre el tensado y la transerencia en horas 46

16 El trabajo experimental durante los últimos cincuenta años indica que la deormación de los materiales se presenta cuando existen esuerzos o cargas durante un tiempo determinado. Esta deormación debida a un esuerzo longitudinal es conocida como lujo plástico, concepto que ya se abordó en el capítulo dos, no obstante que a continuación se presenta como un actor que interviene en las pérdidas del preesuerzo (Re. 2 ). El coeiciente de lujo plástico para un tiempo dado (C t ) se deine en la ecuación 2.5 del capítulo dos, donde el valor de propuesto para Cu es de 2.35, en el caso de lujo plástico último. La pérdida en el preesuerzo que se genera a partir del lujo plástico ( pcr ), se deine a partir de la ecuación E ps pcr = C t cs (Ec. 3.26) E c Donde: pcr = Perdida de preesuerzo por lujo plástico en lb/in 2 cs = Esuerzo en el concreto en lb/in 2 C t = Coeiciente de lujo plástico en el tiempo E ps = Módulo de elasticidad del acero ( lb/in 2 ) E c = Módulo de elasticidad del concreto a los 28 días en lb/in 2 47

17 El comité del ACI propone una ecuación dierente para la evaluación del las pérdidas debidas al lujo plástico ( pcr ), la cual se presenta a continuación (Ecuación 3.28), considerando los esuerzos generados en el concreto debido a la carga muerta ( csd ) (Ecuación 3.27, Re. 2 ). = M I e SD csd (Ec. 3.27) c = n K ( ) (Ec. 3.28) pcr CR cs csd Donde: pcr = Pérdida de preesuerzo por lujo plástico en lb/in 2 cs = Esuerzo en el concreto en lb/in 2 csd = Esuerzo en el concreto con carga muerta aplicada en lb/in 2 K CR = 2.0 para miembros presorzados n = Relación de módulo de elasticidad La contracción que experimenta el concreto, como se observó en el capítulo 2, al igual que en el lujo plástico, depende de muchos actores. Con el in estimar las pérdidas generadas en el preesuerzo debidas a la contracción ( psh ) se establece la ecuación 3.29, la cual se complementa con las ecuaciones 2.10 y 2.13 del capítulo dos, respectivamente (Re. 2 ). 48

18 = ε E (Ec. 3.29) psh SHt ps Donde: psh = Pérdida de preesuerzo por contracción en lb/in 2 ε SHt = Contracción en el tiempo en in/in ε SHu = 780 x 10-6 in/in según reporte 209 R-92 del ACI E ps = Módulo de elasticidad del acero ( lb/in 2 ) El cálculo de la pérdida total de la uerza de preesuerzo ( pt ), se obtiene mediante la suma algebraica de todas las pérdidas, como se observa en la ecuación pt = pes + pr + pcr + psh (Ec. 3.30) Donde: pt = Pérdida total de preesuerzo en lb/in 2 pes = Pérdida de preesuerzo por acortamiento elástico en lb/in 2 pr = Pérdida de preesuerzo por relajación de esuerzos del acero en lb/in 2 pcr = Pérdida de preesuerzo por lujo plástico en lb/in 2 psh = Pérdida de preesuerzo por contracción en lb/in 2 49

19 3.3 DISEÑO A FLEXIÓN El proceso de diseño comienza con la elección preliminar de una sección I de ciertas características, y a partir de un proceso de prueba y ajuste, se logran obtener las dimensiones más apropiadas para dicha sección. Dado que el proceso de diseño implica el empleo de gran cantidad de variables, es tarea del diseñador buscar las características que se ajusten más adecuadamente a los requerimientos del proyecto, de tal orma que el proceso de diseño requiere de la intervención del criterio del diseñador para cumplir con las exigencias de seguridad y economía contempladas en el proyecto. La secuencia lógica del proceso de diseño a lexión contempla inicialmente el conocimiento de las cargas que se van a presentar en la sección. En condiciones de servicio un elemento debe diseñarse considerando diversos tipos y combinaciones de carga. Debido a la impredecible naturaleza que pueden experimentar las cargas, resulta diícil estimar de manera precisa su magnitud, por lo que es necesario el empleo de actores de carga. Por esta razón, el ACI establece una combinación de cargas gravitacionales muertas (D) y vivas (L), con sus respectivos actores de carga para condiciones de servicio. Estas combinaciones de cargas se denominan carga última (U) y sus variaciones se presentan en las siguiente expresión (Ecuación 3.31). 50

20 U 1.4D L = (Ec. 3.31) Donde: U = Carga última en lb/t D L = Carga muerta incluyendo peso propio en lb/t = Carga viva en lb/t El momento nominal (Mn) se reduce haciendo uso de un actor de reducción de esuerzos (Φ), con el propósito de considerar algunas de las imprecisiones que se pueden presentar en la construcción, en aspectos como lo son las dimensiones del elemento, la posición del reuerzo o alguna variación en las propiedades (Ecuación 3.32). El esuerzo, una vez reducido, constituye el esuerzo de diseño del elemento. El ACI establece un actor de reducción para vigas de 0.90 (Re. 2 ). M u M n = (Ec. 3.32) φ Donde: M n = Momento nominal en lb in M u = Momento último en lb in Φ = Factor de reducción (0.90) 51

21 En el estudio del comportamiento de vigas sometidas a lexión, se consideran secciones de tipo rectangular (ver la igura 3.4). Dichas secciones, al ser sometidas a un nivel máximo de tensión, experimentan dierentes estados de tensión, a lo largo de los cuales la uerza de preesuerzo en los cables va disminuyendo hasta llegar a cero. En la igura 3.4 también se muestra la distribución de los estados de tensión que se generan en la sección cuando es puesta ante un estado límite de tensión (Re. 2 ). Las distribuciones de los estados de tensión que se muestran en la igura 3.4 son actibles de estimarse mediante el empleo de sus respectivas ecuaciones. El estado de tensión inicial (ε 1 ), (Ecuación 3.33), considera la uerza de preesuerzo después de pérdidas en una ase inicial, bajo la presencia de eectos de lexión (Re. 2 ). pe ε 1 = (Ec. 3.33) E ps Donde: ε 1 = Estado de tensión inicial pe = Fuerza de preesuerzo después de pérdidas en lb in 2 E ps = Módulo de elasticidad del acero ( lb/in 2 ) 52

22 Fig. 3.4 Sección rectangular (G. Navy, 2000) En un segundo estado en el que se presenta la descompresión (ε 2 ), el esuerzo de compresión en el concreto que rodea a los cables de acero, disminuye hasta llegar a cero. Este aspecto advierte la presencia de tensión en los cables de acero que se puede calcular a partir de la siguiente ecuación (Ecuación 3.34, Re. 2 ). = Pe e Ac Ec r 2 2 ε (Ec. 3.34) 53

23 Donde: ε 2 = Estado segundo de tensión P e = Fuerza eectiva de preesuerzo después de pérdidas en lb A c = Área de la sección transversal en in 2 E c = Módulo de elasticidad del concreto en lb/in 2 e = Excentricidad en in r 2 = Radio de giro en in 2 Un último estado de tensión (ε 3 ), es el que se presenta en las varillas de reuerzo al entrar en un estado límite de tensión, y también sigue una distribución lineal como se muestra en la igura 3.4. Tal estado de tensión es posible de obtener a partir de la ecuación 3.35 (Re. 2 ). = ε c d c c ε 3 (Ec. 3.35) Donde: ε 3 = Estado tercero de tensión ε c = Tensión máxima en las ibras superiores a compresión (0.003) d = Proundidad desde las ibras extremas a compresión y el acero de reuerzo no presorzado en in c = Proundidad del eje neutro en in 54

24 Inicialmente, el propósito de calcular la magnitud de los dierentes estados de tensión es conocer la deormación unitaria total en el acero presorzado (ε s ), (Ecuación 3.36). Con este valor es actible conocer el correspondiente esuerzo ( ps ), con el empleo de la respectiva curva esuerzo-tensión para cables de siete alambres sin revestimiento. s = ε1 + ε 2 ε3 (Ec. 3.36) ε + Donde: ε s = Tensión total ε 1 ε 2 ε 3 = Estado de tensión inicial = Estado segundo de tensión = Estado último de tensión Los esuerzos que se generan en el área de la sección a compresión al momento de la alla, siguen una distribución que describe una parábola como se muestra en la igura 3.5. Esta distribución de esuerzos de tipo parabólico diiculta la evaluación del volumen del bloque de esuerzos a compresión. Es por esa razón que se constituye un bloque rectangular equivalente (ver igura 3.5) para calcular la uerza de compresión debida al esuerzo de lexión, sin una pérdida signiicativa en la precisión. Este bloque equivalente de esuerzos tiene una proundidad (a), y un coeiciente (β 1 ) que deinen el área equivalente al bloque parabólico de compresión (ver igura 3.5). Las ecuaciones que deinen al coeiciente del área del bloque rectangular equivalente y la proundidad del eje neutro se muestran a continuación (Ecuación , Re. 2 ). 55

25 Fig. 3.5 Bloques de esuerzo (G. Navy, 2000) Rango del coeiciente de área rectangular 0.65 β `c 4000 = β 1 (Ec. 3.37) Donde: β 1 = Coeiciente de área rectangular 'c = Resistencia a compresión en lb/in 2 56

26 a c = (Ec. 3.38) β 1 Donde: c = Proundidad del eje neutro en in a = Proundidad del bloque equivalente de esuerzos en in β 1 = Coeiciente de área rectangular La proundidad del bloque equivalente de esuerzos (a) involucra en su cálculo al acero de reuerzo no presorzado. En una primera instancia, el valor correspondiente del bloque equivalente de esuerzos se obtiene a partir de la siguiente ecuación (Ecuación 3.39), empleando un valor preliminar del esuerzo nominal a la alla del acero en cables ( ps ). a = A ps ps 0.85 ` + A c s b y (Ec. 3.39) Donde: a = Proundidad del bloque equivalente de esuerzos en in A ps = Área de acero (#cables área nominal) en in 2 ps = Esuerzo nominal a la alla del acero en cables en lb/in 2 A s = Área de acero de reuerzo longitudinal no presorzado en in 2 y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 b = Ancho de patín superior en in 57

27 La ecuación anterior (Ecuación. 3.39) se aplica para secciones rectangulares y como punto de inicio de un análisis a lexión. Sin embargo, la condición que se debe cumplir para tratar una sección a compresión como rectangular, es la que se presenta en la tabla 3.2, en la cual (h) se deine como la proundidad del eje neutro al interior del patín a compresión. En el caso de cumplir con dicha condición y con un valor estable de ( ps ), el momento resistente se calcula mediante el empleo de la ecuación Condición para bloque equivalente tipo rectangular a h Condición para bloque equivalente tipo patín h < a ó c h < c Tabla 3.2 Condiciones para bloques M = A d a + A 2 a d 2 R ps ps p s y (Ec. 3.40) Donde: M R = Momento resistente de la sección en lb in A ps = Área de acero (#cables área nominal) en in 2 ps = Esuerzo nominal a la alla del acero en cables en lb/in 2 d p = Proundidad del centroide del acero presorzado en in A s = Área de acero de reuerzo longitudinal no presorzado en in 2 d = Proundidad del acero de reuerzo no presorzado en in 58

28 En el caso de tratarse de secciones de tipo patín, las ecuaciones que deinen la proundidad del bloque equivalente de esuerzos (a) y el momento resistente (M R ), respectivamente, son las que se muestran a continuación (Ecuación ). a = A ps ps + A s y 0.85 ` 0.85 ` c b w c ( b b ) w h (Ec. 3.41) Donde: a = Proundidad del bloque equivalente de esuerzos en in A ps = Área de acero (#cables área nominal) en in 2 ps = Esuerzo nominal a la alla del acero en cables en lb/in 2 A s = Área de acero de reuerzo longitudinal no presorzado en in 2 y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 b b w h = Ancho de patín superior en in = Ancho de alma en in = Proundidad del eje neutro del patín a compresión en in M R a ( b b ) h d + A ( d d )+ = Aps ps + As y 0.85 `c w p s y p 2 h 0.85 ` (Ec. 3.42) c ( ) b bw h d p 2 59

29 Donde: M R = Momento resistente de la sección en lb in a = Proundidad del bloque equivalente de esuerzos en in A ps = Área de acero (#cables área nominal) en in 2 ps = Esuerzo nominal a la alla del acero en cables en lb/in 2 d p = Proundidad del centroide del acero presorzado en in A s = Área de acero de reuerzo longitudinal no presorzado en in 2 y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 d b w h = Proundidad del acero de reuerzo no presorzado en in = Ancho de alma en in = Proundidad del eje neutro del patín a compresión en in La parte inal del análisis consiste en la revisión del acero para conocer si se trata de una sección sub-reorzada o sobre-reorzada. Si el porcentaje de reuerzo es muy pequeño, el elemento de concreto será muy débil para resistir esuerzos de tensión. En cambio, si el porcentaje de reuerzo está excedido, la sección experimentará un comportamiento no dúctil a la alla, aspecto no deseable en un elemento constructivo. Bajo el empleo de las ecuaciones siguientes, es posible estimar la situación que guarda una sección de concreto con respecto al acero de reuerzo (Ecuación ). MinA s = A (Ec. 3.43) 60

30 Donde: MinA s = Acero de reuerzo mínimo en in 2 A = Área de la sección comprendida entre la cara a tensión y el eje neutro de la sección en in 2 ω Aps ps d A + s y = T b d p `c d p b d ` (Ec. 3.44) c Donde: ω T = Índice máximo de acero de reuerzo A ps = Área de acero (#cables Area nominal) en in 2 ps = Esuerzo nominal a la alla del acero en cables en lb/in 2 A s = Área de acero de reuerzo longitudinal no presorzado en in 2 y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 b d p d = Ancho de patín superior en in = Proundidad del centroide del acero presorzado en in = Proundidad del acero de reuerzo no presorzado en in 61

31 3.4 DISEÑO A CORTANTE En el proceso de diseño, la resistencia a cortante constituye el aspecto donde se debe poner mayor atención. Este cuidado se debe, primordialmente, a que la alla por tensión diagonal sobreviene de manera súbita y sin previo aviso. Es tarea del diseñador tener en cuenta este aspecto y mediante los cálculos pertinentes indicar el reuerzo transversal apropiado para resistir las solicitaciones en condiciones de servicio. Con el propósito de estudiar el comportamiento de vigas presorzadas ante eectos de corte, se consideran dos bloques ininitesimales A 1 y A 2 al interior de una viga de sección rectangular constituida de un material homogéneo y linealmente elástico (ver igura 3.6, Re. 2 ). Fig. 3.6 Bloques a eectos de corte (G. Navy, 2000) 62

32 Los bloques A 1 y A 2 experimentan esuerzos tanto de lexión como de corte en planos que se encuentran a una distancia y desde el eje neutro de la sección. La distribución de esuerzos de corte que se genera para ambos bloques se muestra en la siguiente igura (ver igura 3.7). Por otro lado, el esuerzo cortante en el concreto de la viga para cualquier ubicación, se puede estimar con la ecuación 3.45 (Re. 2 ). Fig. 3.7 Esuerzos en bloques a cortante (G. Navy, 2000) v VQ I b = (Ec 3.45) c 63

33 Donde: v = Esuerzo cortante en el concreto V = Fuerza cortante neta debida a las cargas aplicadas Q = Momento estático alrededor del eje neutro de la sección I c b = Momento de inercia de la sección transversal = Ancho de la sección transversal El aspecto que determina el modo de alla en una viga presorzada ante aectos de corte es la relación existente entre el claro y el peralte de la sección. En las siguientes iguras se muestran esquemáticamente los patrones de alla para cada relación de esbeltez. Fundamentalmente, se presentan tres modos dierentes de alla, incluyendo sus combinaciones: alla por lexión (ver la igura 3.8), alla por tensión diagonal (ver la igura 3.9) y alla por corte en el alma (ver la igura 3.10, Re. 2 ). Fig. 3.8 Falla por lexión (G. Navy, 2000) 64

34 Las grietas que se generan en la región de alla (ver la igura 3.8), debida a la lexión, son en su mayoría de tipo vertical, localizadas en el tercio medio del claro de la viga. Estos agrietamientos resultan en mayor parte por los esuerzos lexionantes y en menor debidos a esuerzos de corte. Conorme se incrementan las cargas, más agrietamientos se van presentando en la región central del claro, los agrietamientos iniciales aumentan y se extienden más allá del eje neutro acompañado de una remarcada delexión en la viga. La relación de esbeltez que admite este tipo de comportamiento excede el valor de 5.5 para carga concentrada y 16 para carga uniorme (Re. 2 ). Fig. 3.9 Falla por tensión diagonal (G. Navy, 2000) 65

35 La alla por tensión diagonal se presenta cuando la resistencia de la viga en tensión diagonal es menor que la resistencia a lexión (ver la igura 3.9). La relación de esbeltez para este tipo de alla es de magnitud intermedia, está oscila entre 2.5 y 5.5 para el caso de carga concentrada. Vigas con tales características se consideran de esbeltez media. El agrietamiento comienza con la presencia de pequeñas grietas en medio del claro, seguido de una pérdida de la adherencia entre el acero de reuerzo y el concreto a su alrededor. Es entonces cuando dos o tres grietas se presentan a un cuarto del claro en el extremo de la viga presorzada. Por último, dichas grietas se ensanchan y se extiende hasta las ibras superiores a compresión de la sección. En suma, la alla diagonal se debe a la combinación de esuerzos de lexión y cortante, por lo que la mayoría de las allas que se presentan en elementos presorzados son de este tipo (Re. 2 ). Fig Falla por corte en el alma (G. Navy, 2000) 66

36 Las vigas que experimentan alla por cortante en el alma tienen una relación de esbeltez de 2.5 para el caso de carga concentrada y de 5.0 para carga uniorme (ver la igura 3.10). Como en la alla diagonal, algunas delgadas grietas se generan a la mitad del claro, hasta que se destruye la adherencia entre el acero y el concreto. Posteriormente, se presenta un agrietamiento pronunciado que se propaga hasta el eje neutro. El avance del agrietamiento se reduce con el aplastamiento del concreto en las ibras superiores a compresión y una redistribución de los esuerzos dentro de la región superior. Este tipo de alla puede considerarse de menor ragilidad comparada con la alla diagonal, debido a la redistribución de esuerzos. Es por ello que no se considera tan crítica, no obstante se incluye para ines de diseño (Re. 2 ). En la misma orma como en el diseño a lexión, se consideran actores de reducción y actores de carga. En el diseño por cortante se deinen los mismos actores de carga con, o sin incluir la carga debida al peso propio del elemento. El cortante último debido a carga uniorme (V u ) a una distancia x, se determina con la expresión Asimismo, debido a las imprecisiones diversas que se pueden presentar en la construcción, el cortante nominal (V n ) se ve aectado por un actor de reducción igual a 0.85, tal como se presenta a continuación (Ecuación 3.47). V u L = Wu x 2 (Ec. 3.46) 67

37 Donde: V u = Cortante último en lb W u = Carga última incluyendo peso propio en lb/t L x = Longitud del claro en t = Localización de la zona crítica (d p /2) en t Vu V n = (Ec. 3.47) φ Donde: V n = Cortante nominal en lb V u = Cortante último en lb Φ = Factor de reducción (0.85) En el diseño a cortante es necesario determinar el tipo de resistencia que rige (la menor) en la viga para calcular la resistencia a cortante en el concreto (V c ), ya sea por tensión diagonal generada por la combinación de cortante y momento (V ci ), o debida a cortante en el alma (V cw ). El proceso de agrietamiento por corte en la viga se presenta en etapas. En el caso de la tensión diagonal, ésta se presenta a nivel del eje neutro de la sección. Esto hace necesario conocer las magnitudes del cortante no actorizado derivado del peso propio (V d ), el cortante actorizado sin peso propio (V i ) y del momento máximo presente en la zona crítica (M max ), sabiendo que estos dos últimos actúan simultáneamente al instante del agrietamiento. Las ecuaciones que deinen los conceptos previamente mencionados son las siguientes (Ecuaciones , Re. 2 ). 68

38 V d L = WD x 2 (Ec. 3.48) Donde: V d = Cortante por peso propio en lb W D = Carga derivada peso propio en lb/t L x = Longitud del claro en t = Localización de la zona crítica (d p /2) en t V i L = Wu x 2 2 (Ec. 3.49) Donde: V i = Cortante actorizado sin peso propio en lb W u2 = Carga última sin incluir el peso propio en lb/t L x = Longitud del claro en t = Localización de la zona crítica (d p /2) en t x M max = Wu 2 ( L x) 12 (Ec. 3.50) 2 Donde: M max = Momento máximo en la zona crítica en lb in W u2 x = Carga última sin incluir el peso propio en lb/t = Localización de la zona crítica (d p /2) en t 69

39 El cálculo de la resistencia del concreto a tensión diagonal (V ci ) se deriva del empleo de dos ecuaciones dierentes, de las cuales rige la de mayor magnitud y que se denominan como (V ci1 ) (Ecuación 3.55) y (V ci2 ) (Ecuación 3.56). Conjuntamente requiere del conocimiento del momento a lexión (M cr ) (Ecuación 3.54) para el cual se deben conocer el esuerzo a lexión generado por la carga muerta en las ibras extremas de la sección ( d ) (Ecuación 3.52) y el esuerzo de compresión después de pérdidas en las ibras extremas de la sección ( ce ) (Ecuación 3.53). Asimismo se establece que la distancia entre la ibra superior y el centroide de los cables (d p ), debe ser mayor a 0.80 h, o en su lugar se utiliza el valor anterior. x M d = WD ( L x) 12 (Ec. 3.51) 2 Donde: M d = Momento por peso propio en la zona crítica en lb in W D = Carga derivada peso propio en lb/t x = Localización de la zona crítica (d p /2) en t d M d C I c b = (Ec 3.52) 70

40 Donde: d = Esuerzo a lexión generado por peso propio en lb/in 2 M d = Momento por peso propio en la zona crítica en lb in C b = Distancia del centroide de la sección a las ibras ineriores en in I c = Momento de inercia de la sección in 4 = P A e c e C r b ce (Ec 3.53) Donde: ce = Esuerzo de compresión después de pérdidas en lb/in 2 P e = Preesuerzo eectivo después de perdidas en lb A c = Área de la sección transversal en in 2 e = Excentricidad en in r 2 = Radio de giro en in 2 c b = Distancia del centroide de la sección a las ibras ineriores en in M cr b ( + ) = S 6λ (Ec. 3.54) C ce d Donde: M cr = Momento por lexión en lb in S b = Módulo elástico de sección para las ibras ineriores en in 3 λ = 1.0 para concretos de peso normal 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 71

41 V Vi = 0 λ bw d p + Vd + ( M cr ) (Ec. 3.55) M ci1.60 `C max Donde: V ci1 = Resistencia a tensión diagonal (1) en lb 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 λ b w d p V d V i = 1.0 para concretos de peso normal = Ancho del alma en in = Distancia entre la ibra superior y el centroide de cables en in = Cortante por peso propio en lb = Cortante actorizado sin peso propio en lb M cr = Momento que genera en aplastamiento por lexión en lb in M max = Momento máximo en la zona crítica en lb in V ci 2 = 1.7λ ` b d (Ec. 3.56) C w p Donde: V ci2 = Resistencia a tensión diagonal (2) en lb 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 λ b w d p = 1.0 para concretos de peso normal = Ancho del alma en in = Distancia entre la ibra superior y el centroide de cables en in 72

42 El aplastamiento en el alma debido al cortante en los elementos presorzados es causado por un esuerzo intermedio, el cual se evalúa más apropiadamente calculando el esuerzo a tensión que se genera en el plano crítico de la sección. De ahí que la resistencia a cortante en el alma que provee el concreto del alma (V cw ), se deriva del esuerzo principal a tensión y se evalúa con la ecuación Antes de poder eectuar los cálculos de la resistencia cortante en el alma, es necesario conocer el esuerzo en el concreto después de pérdidas en el eje neutro ( pc ) (Ecuación 3.57) y la componente vertical del preesuerzo que incide en la resistencia a cortante (V p ) (Ecuación 3.58), respectivamente. Pe pc = (Ec. 3.57) A c Donde: pc = Esuerzo en el concreto después de pérdidas en lb/in 2 P e = Preesuerzo eectivo después de perdidas en lb A c = Área de la sección transversal en in 2 V P tan(θ ) (Ec. 3.58) p = e Donde: V p = Cortante que admite el preesuerzo lb P e θ = Preesuerzo eectivo después de perdidas en lb = Ángulo que describe la excentricidad de los cables 73

43 cw (.5 `C + 0. pc ) bw d p Vp V = 3 λ 3 + (Ec. 3.59) Donde: V cw = Resistencia a cortante del concreto en el alma en lb 'c = Resistencia a compresión cilíndrica a los 28 días en lb/in 2 λ b w d p V d = 1.0 para concretos de peso normal = Ancho del alma en in = Distancia entre la ibra superior y el centroide de cables en in = Cortante que admite el preesuerzo lb Una vez que se conoce la resistencia que provee el concreto ante esuerzos de corte (V c ), es posible calcular la resistencia que debe proveer el acero de reuerzo transversal (V s ) (Ecuación 3.60). Con la resistencia requerida para el acero de reuerzo, se continúa con el cálculo de la separación entre los estribos (s) (Ecuación 3.61). En el caso de que el concreto suministre la resistencia suiciente, los estribos de reuerzo se dispondrán en cantidad mínima considerando que la separación máxima permitida no debe exceder 24 pulgadas ó ¾ de h. Y, inalmente, se elige entre el menor valor derivado de dos ecuaciones que deinen el acero de reuerzo transversal mínimo requerido (A vmin ) (Ecuaciones ). V s = Vn Vc (Ec. 3.60) 74

44 Donde: V s = Resistencia del acero de reuerzo trasversal en lb V n = Cortante último en lb V c = Resistencia a cortante del concreto en lb s A v V y s d p = (Ec 3.61) Donde: s = Separación entre estribos en in A v = Área del acero de reuerzo transversal en in 2 y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 d p = Distancia entre la ibra superior y el centroide de cables en in V s = Resistencia del acero de reuerzo trasversal en lb bw s A = 50 min 1 (Ec. 3.62) y Donde: A min1 = Área del acero de reuerzo transversal mínima en in 2 s b w = Separación entre estribos en in = Ancho del alma en in y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 75

45 A Aps = 80 s d pu p min 2 (Ec. 3.63) y d p bw Donde: A min2 = Área del acero de reuerzo transversal mínima en in 2 s = Separación entre estribos en in pu = Resistencia última de acero en cables lb/in 2 y = Esuerzo de luencia del acero no presorzado en lb/in 2 d p b w = Distancia entre la ibra superior y el centroide de cables en in = Ancho del alma en in 76

46 3.5 EJEMPLO NUMÉRICO RESUELTO SIN EL SOFTWARE En el siguiente análisis se considera una viga simple apoyada de sección I (AASHTO) tipo 2, con un claro de 60 t, bajo carga W SL (muerta) de 150 lb/t, carga W L (viva) de 1100 lb/t, dos cargas puntuales de 5000 lb a una distancia de 20 y 40 t, del apoyo izquierdo. Como primera propuesta, se considera usar 16 cables con un diámetro nominal de 1/2 de in, 4 varillas de reuerzo de 3/4 in y estribos de 3/8, con una excentricidad de los cables en los extremos igual cero y una resistencia del concreto de 5000 lb/in 2. Las dimensiones de la sección se presentan a continuación y están dadas en pulgadas. 77

47 Datos Longitud del claro L = 60. t Excentricidad de los cables en el extremo del claro e e = 0. in Excentricidad de los cables al centro del claro e m = in Número de cables nc = 16. Módulo de elasticidad del acero Eps = 29 x 10 6 lb/in 2 Peso por carga muerta W SD = 150. lb/t Peso por carga viva W L = lb/t Valor de carga puntual 1 P 1 = lb Distancia hacia la carga P 1 a 1 = 20. t Valor de carga puntual 2 P 2 = lb Distancia hacia la carga P2 a 2 = 40. t Factor de carga muerta k 1 = 1.4 Factor de carga viva k 2 = 1.7 Resistencia a compresión en el concreto c = lb/in 2 78

48 Resistencia última del acero en cables pu = lb/in 2 Área nominal del cable a ps = in 2 Número de varillas de reuerzo nv = 4. Área de la sección transversal A c = 369. en in 2 Localización del centroide de la sección Y = en in Momento de inercia de la sección I c = in 4 Distancia del centroide hacia las ibras superiores C t = in Distancia del centroide hacia las ibras ineriores C b = in Módulo elástico de sección en las ibras superiores S t = in 3 Módulo elástico de sección en las ibras ineriores S b = in 3 Radio de giro en in 2 r 2 = Esuerzo de luencia del acero en cables py := 0.85 pu py = lb/in 2 Fuerza de preesuerzo inicial pi := 0.70 pu pi = lb/in 2 79

49 Carga por preso propio A c W D := WD = lb/t Resultados Momento máximo por peso propio L M D ( W D ) 2 := 12 8 M D = lb*in Momento máximo por carga muerta L 2 M SD := W SD 12 8 M SD = lb*in Momento máximo por carga viva L M L ( W L ) 2 P 1 ( L a 1 ) + P 2 a 2 := L M L = lb*in Momento último actorizado máximo M u := k 1 ( M D + M SD ) + k 2 M L M u = lb*in Momento nominal M u M n := i1 M n = lb*in Área de acero de los cables A ps := nc a ps A ps = in 2 Fuera inicial de presuerzo P i := A ps pi2 P i = lb/in 2 L

50 Esuerzo de luencia del acero en cables py := 0.85 pu py = lb/in 2 Fuerza de preesuerzo inicial pi := 0.70 pu pi = lb/in 2 Esuerzo en el concreto P 2 i e m cs := 1 + A c r2 cs = lb/in 2 + M D e m I c Módulo de elasticidad del concreto Ec = 33 * 150 ^ 1.5 * ( c)^(1/2) Ec = lb/in 2 Relación del módulo de elasticidad n = Eps / Ec Pérdidas por acortamiento elástico pes = n * cs pes = lb/in 2 Pérdidas por relajación del acero pr = pi * (((Log(720) / Log(10)) - (Log(24) / Log(10))) / 10) * (( pi / py ) ) pr = lb/in 2 Esuerzo en el concreto debido a la carga muerta M SD e m csd := I c csd = lb/in 2 Pérdidas debidas al lujo plástico pcr = n * 2 * ( cs - csd ) pcr = lb/in 2 Contracción en el tiempo para 30 días e SHt = (30 / ( )) * e SHt =

51 Pérdidas por contracción en el concreto psh = e SHt * Eps psh = lb/in 2 Pérdida total en el preesuerzo pt = pes + pr + pcr + psh pt = lb/in 2 Fuerza de preesuerzo después de pérdidas pe = pi pt pe = en lb/in 2 Distancia entre la ibra exterior a compresión y el centroide de los cables d p = C t + e m d p = in Valor rp r p = A ps1 / (x 1 * d p ) r p = Esuerzo nominal a la alla del acero en cables (Preliminar) psp = pu * (1 - (0.5 * rp * (pu / c))) psp = lb/in 2 Coeiciente del área del bloque rectangular equivalente β 1 = * (( c ) / 1000) β 1 = 0.80 Preesuerzo eectivo después de pérdidas P e = nc * a ps * pe P e = en lb Proundidad de las varillas de reuerzo d = en in Estado de tensión 1 e 1 = pe / Eps e 1 = Estado de tensión 2 e 2 = (P e / (A c * E c )) * (1 + (e m ^ 2 / r 2 )) e 2 =

52 Estado de tensión 3 e 3 = * ((d - c) / c) e 3 = Tensión total e ps = e 1 + e 2 + e 3 e ps = Proundidad del bloque equivalente a compresión a = (A ps1 * ps + A s1 * 60000) / (0.85 * c * b) a = in Proundidad del eje neutro en el patín c = a / β1 c = in Esuerzo nominal a la alla del acero en cables ps = (75 / (e ps )) ps = lb/in 2 Momento resistente M R = A ps1 * ps * (dp - a / 2) + A s1 * * (d - a / 2) M R = lb*in Localización de la zona crítica x = (1 / 2) * (d p / 12) x = t Excentricidad en la zona crítica e = e e + (e m - e e ) * (2 * x / L) e = in Carga última incluyendo peso propio W u = k 1 * (W D + W SD ) + k 2 * W L W u = lb/t Carga última sin peso propio W u2 = k 1 * (W SD ) + k 2 * W L W u2 = lb/t Cortante último en la zona crítica V u = W u * (L / 2 - x) V u = lb 83

53 Cortante nominal V n = V u / i2 V n = lb Cortante por peso propio V d = W D * (L / 2 - x) V d = lb Cortante actorizado sin incluir peso propio V i = W u2 * (L / 2 - x) V i = lb Momento máximo en la zona crítica M max = W u2 * (x / 2) * (L - x) * 12 M max = lb*in Momento por peso propio en la zona crítica M d2 = W D * (x / 2) * (L - x) * 12 M d2 = lb*in Esuerzo de lexión generado por el peso propio d = M d2 * C b / I c d = lb/in 2 Esuerzo de compresión después de pérdidas ce = (P e / A c ) * (1 + (e * C b / r 2 )) ce = lb/in 2 Revisión del valor de d p d p := i 0.8 h d p, 0.8 h, d p d p = in ( ) Momento por lexión M cr = S b * (6 * ( c)^(1/2) + ce - d ) M cr = lb*in Resistencia a tensión diagonal (1) V ci1 = 0.6 * ( c)^(1/2) * bw * d p2 + V d + (V i * M cr / M max ) V ci1 = lb Resistencia a tensión diagonal (2) V ci2 = 1.7 * ( c)^(1/2) * bw * d p V ci2 = lb 84

54 Resistencia del concreto a tensión diagonal V ci := i( V ci1 V ci2, V ci2, V ) ci1 V ci = en lb Esuerzo en el concreto después de pérdidas pc = Pe / Ac pc = en lb/in 2 Cortante que admite el preesuerzo V p = P e * ((e m - e e ) / (L * 12 / 2)) V p = lb Resistencia del concreto a cortante en el alma V cw = (3.5 * ( c)^(1/2) * pc ) * bw * d p + V p V cw = lb Resistencia a cortante del concreto V c := i( V ci V cw, V ci, V ) cw V c = lb Resistencia del acero de reuerzo trasversal V s = Vn - Vc V s = 0 en lb Separación entre estribos en in A v y d p A v y d p s := i h, i( h, 0.75 h, 24), V s V s s = 24 Área del acero de reuerzo transversal mínima 50 b w s A ps pu s d p 50 b w s A ps pu s A min := i,, y 80 y d p b w y 80 y d p A min = 0.12 in 2 d p b w 85