Matemática. Para grado 6º y 7º. Programa de Bachillerato a Distancia

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1 Matemática Para grado 6º y 7º Programa de Bachillerato a Distancia

2 Matemática para grado 6 y 7 Núcleo 1 Números naturales Los distintos tipos de números Los niños usan los números naturales para aprender a contar. Sin embargo, este tipo de números es demasiado limitado para resolver algunos problemas, como los de geometría. Por tanto, se hizo necesario crear nuevos números y añadirles elementos nuevos, tales como signos, comas, rayas de fracción, radicales, etc. Cuáles son los diferentes tipos de números? I. Una breve historia de los números 1. Números naturales Tal como nos sugiere el adjetivo naturales, estos son los primeros números que todos usamos: igual que los niños aprenden a contar usando sus dedos, los seres humanos comenzaron a contar objetos o animales. De forma natural, nosotros contamos: 1, 2, 3, etc. Sin embargo, y es algo que preocupa mucho a los matemáticos, los números naturales comienzan en el 0, no en el 1! NUMEROS NATURALES: Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal. N= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...} 2. Los números racionales Los problemas que implican los resultados inexactos de la división y de la medida de longitudes provocan la necesidad, y por tanto, la aparición de las fracciones; estos nuevos números son 2

3 conocidos en matemáticas como números racionales, como el número, por ejemplo. Los griegos solo sabían acerca de los números naturales (excepto el cero) y de los números racionales. NUMEROS RACIONALES: Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros. Estos números son fracciones del tipo, donde a y b son números enteros y. La letra Q es la usada para nombrar al conjunto de los números racionales. Ejemplos: y son números racionales. Todos los números decimales pueden ser escritos como fracción, por ejemplo:. Por lo tanto, cada número decimal es un número racional. En otras palabras:. 3. Los números irracionales Los discípulos de Pitágoras demostraron que la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado midiera 1, no era un número racional. En la actualidad escribimos este número como y si lo resolvemos, obtenemos un número decimal infinito cuya parte decimal no es periódica. A este tipo de números, cuyo resultado nunca puede obtenerse como cociente de dos enteros, los llamamos números irracionales. NUMEROS IRRACIONALES: Son los números que poseen infinitas cifras decimales. p = 3, e = 2, Los números decimales 3

4 Son los mismos números irracionales. Los números decimales se pueden obtener de dos formas distintas: como resultado de una división inexacta o al resolver una raíz cuadrada inexacta. Se pueden distinguir fácilmente observando la parte decimal del número (la que va a la derecha de la coma): en los primeros, lo que encontramos detrás de la coma casi siempre suele ser una cantidad infinita y periódica que se repite (8, ). en los segundos no hay parte periódica, son números infinitos, pero su parte decimal no se repite (1, ). Nota: la parte periódica de los números decimales puede ser pura (8, ) o mixta (6, ), cuando la parte periódica no aparece justo después de la coma. El matemático holandés Simon Stevin publicó el primer tratado de los números decimales, El arte de las Décimas, en el siglo XVI. La notación que él usaba no era como la que usamos en la actualidad: si quisiéramos escribir el número 6,19 tendríamos que hacerlo diciendo 6 más 1 primo más 9 segundos. Las palabras primo y segundo indicaban respectivamente lo que hoy conocemos como décimas y centésimas. La notación que usamos en la actualidad para los números decimales data de principios del siglo XVII. 5. Los números negativos Hay evidencias de que los números negativos ya eran usados en la India en el siglo VII. Es importante destacar que los hindúes usaban el cero, una condición necesaria para concebir los números negativos. Los números negativos eran llamados números de débito por razones comerciales, tal como podemos ver hoy día en los informes de cuentas de las empresas o de los bancos, que contienen una columna de datos llamada debe (donde se anotan los gastos) y otra para el haber (donde se van apuntando los ingresos). El uso de los números negativos en Occidente llegó mucho más tarde. Los matemáticos del Renacimiento italiano, que eran especialistas en álgebra (parte de las matemáticas dedicada a las ecuaciones), comprendieron que sin los números negativos no podían resolver ciertas ecuaciones (x + 7 = 0, por ejemplo). Sin embargo, no estaban seguros de que este tipo de números fueran los correctos. Y aún en el siglo XVII, el matemático francés Descartes describía los números negativos como los números falsos. No fue hasta el siglo XIX cuando los números negativos fueron tratados, finalmente, como verdaderos números. 6. Los números enteros Es el conjunto de números que contiene tanto los valores enteros positivos (o naturales) como los negativos (enteros negativos). Se caracterizan porque siempre van precedidos de un signo que los identifica: '+' para los positivos o '-' para los negativos. Se usa la letra Z (en alemán, Zahl, significa número) para designar al conjunto de todos los números enteros (Z + y Z - ) Ejemplos: +3, 0 y -72 son números enteros. 4

5 Nota: todos sabemos que los números enteros positivos se pueden escribir sin usar el signo + delante de ellos. Por ejemplo: +7 = 7. En consecuencia, los números naturales son también números enteros positivos (Z + ). En matemáticas, decimos que el conjunto de los número naturales (N) está incluido en el conjunto de los números enteros (Z). Esto se expresa de la siguiente manera:. NUMEROS ENTEROS Para indicar si un objeto se encuentra a la derecha o a la izquierda de un punto de referencia, podemos indicar con un signo + si está hacia la derecha y con un signo - si se ubica hacia la izquierda. De esta forma obtenemos dos conjuntos: - Conjunto de números positivos - Conjunto de números negativos El conjunto formado por los números positivos, los números negativos y el cero se llama conjunto de números enteros. 5

6 El conjunto de los números enteros es el conjunto que contiene a los números cardinales y los enteros negativos, representados por la letra mayúscula I. Esto es, I = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } Reglas para efectuar operaciones con los números enteros A. Suma Positivo + Positivo : Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo. Ejemplos: = 15; = 16 Negativo + Negativo: Se suman los valores absolutos y se mantiene el mismo signo. Ejemplos: = -16; = - 15 Positivo + Negativo o Negativo + Positivo: Se halla la diferencia de los valores absolutos de los números. El resultado es positivo, si el número positivo tiene el valor absoluto mayor. El resultado es negativo, si el número negativo tiene el valor absoluto mayor. Ejemplos: = 7; = 8; = -8; = -5; 3 + (-3) = 0 B. Resta Cuando se resta números enteros, se cambia el ejercicio de resta a la suma de su opuesto. El número que está siendo restado se llama sustraendo. El sustraendo es el 6

7 número que está después del signo de resta. El signo de resta se reemplaza por el signo de suma y se busca el opuesto del sustraendo. Luego de transformar el ejercicio de resta a suma, se procede con las reglas de suma de números enteros. Esto es, si a y b son enteros, entonces, a b = a + (- b). Ejemplos: 8 12 = 8 + (-12) = -4 8 (-12) = = 20-2 (-10) = = = -2 + (-10) = -12 C. Multiplicación Positivo x Positivo = Positivo Positivo x Negativo = Negativo Negativo x Positivo = Negativo Negativo x Negativo = Positivo Ejemplos: 3 x 5 = 15: 3 x (-5) = -15; -3 x 5 = -15; -3 x (-5) = 15 D. División Positivo Positivo = Positivo Positivo Negativo = Negativo Negativo Positivo = Negativo Negativo Negativo = Positivo Ejemplos: 28 4 = 7; 28 (-4) = -7; = -7; -28 (-4) = 7 3. Los números decimales También hay números decimales positivos y negativos. Se usa la letra D para denominan a este conjunto numérico. Ejemplos: 12,258 y 45,6. Cualquier número entero positivo puede ser escrito como número decimal, es decir, usando coma decimal, por ejemplo: 2 = 2,0. En consecuencia, cualquier número entero es un número decimal. En otras palabras:. 5. Los números reales A pesar de lo dicho en el párrafo anterior, existen un tipo de números decimales que no surgen de la división de dos enteros. Es decir, que no forman parte del conjunto de los números racionales. 7

8 Tenemos como ejemplo, el cual no es racional. Este conjunto de números recibe el nombre de números irracionales. Todos los tipos de números descritos hasta ahora, forman lo que se conoce como el conjunto de los números reales. La letra R es usada para representar al conjunto de los números reales. Ejemplos: 5; 29; 49,21; ; y son números reales. En la ilustración inferior puedes observar una clasificación de los números de este ejemplo, cada uno de ellos dentro del conjunto al cual pertenece: 8

9 Núcleo 2 Expresiones numéricas Calcular una expresión numérica utilizando la calculadora Con la ayuda de la calculadora, vamos a resolver la siguiente expresión numérica: Si introducimos la siguiente secuencia: =, nos dará como resultado 20 o 14, dependiendo del tipo de calculadora. Por qué obtenemos estos resultados tan diferentes? Si el resultado es 20, la calculadora es normal ; es decir, su manera de llevar a cabo las operaciones es en el mismo orden en que nosotros las hemos introducido. En el ejemplo propuesto, calculará primero = 5, y después multiplicará el resultado por 4; 5 4 = 20. Si el resultado es 14, la calculadora es científica ; es decir, su forma de calcular el resultado será haciendo un uso correcto del orden de jerarquía de las operaciones. En el ejemplo, ella primero realizará la multiplicación 3 4 = 12, y después hará la suma: = 14. I. Calcular una expresión sin fracciones 1. Con una calculadora ordinaria Observa de nuevo la expresión Como ya sabemos, la primera operación que hay que realizar es la multiplicación (ver artículo Orden de las operaciones). Con una calculadora normal, la expresión debe ser introducida con las teclas en este orden: = Si la expresión que vamos a calcular tuviera paréntesis, deberíamos empezar la secuencia de teclas introduciendo primero la operación que se encuentra entre paréntesis. Por ejemplo, para calcular la expresión: 2 (3 + 4), deberíamos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: = Si hay paréntesis dentro de otros paréntesis, debemos comenzar por aquellas operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis más internos. Por ejemplo, para calcular la expresión 2 + (5 (4 2)), deberíamos introducir la siguiente secuencia: = 2. Con una calculadora científica Con una calculadora científica podemos introducir la expresión tal como aparece: escribiéndola tal como la leemos, de izquierda a derecha, gracias a que tiene teclas especiales que nos permiten escribir los paréntesis. Ejemplo: para calcular la expresión 2 (6 (7 3 2)), introducimos la secuencia: 2 ( 6 ( ) ) = 9

10 II. Calcular expresiones con fracciones Damos por hecho que vamos a usar una calculadora científica. Cuando una expresión numérica contiene un cociente escrito mediante fracción debemos fijarnos en el aspecto que tienen el numerador y el denominador. Especialmente comprobaremos si contienen alguna operación que sea necesario resolver antes de empezar. En ese caso, debemos escribir la expresión reemplazando la raya de fracción por el símbolo de división (:), y escribiremos el contenido del numerador y del denominador entre paréntesis. Ejemplo 1: queremos calcular la expresión: Escribiremos la expresión de esta otra forma: A = 3 + (6 + 4) : (7 2). Debemos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: 3 + (6 + 4) : (7 2) = Y obtendríamos 5 como resultado. Ejemplo 2: queremos calcular la siguiente expresión: Para empezar, la expresión puede ser escrita así: Por lo tanto, también de la siguiente manera: B = 7 9 : [(1 + 4) : (2 + 3)]. Para resolverla debemos introducir la siguiente secuencia en la calculadora: 7 9 : ((1 + 4) : (2 + 3)) = Y obtenemos como resultado: 2. Escribir una expresión numérica correspondiente a una secuencia de operaciones Vas al mercado y compras tres lechugas a 0,85 cada una y dos coliflores a 1,95 cada una. Si has pagado con un billete de 10, cuánto te tienen que devolver? Aquí está la solución detallada que nos ha dado un alumno: Sería posible escribir una expresión numérica que resuma todos los cálculos que se han llevado a cabo? En otras palabras, es posible escribir una expresión numérica que contenga todos los datos del enunciado y que dé como resultado 3,55? 10

11 I. Primer ejemplo: total a pagar y el cambio Usemos el ejemplo de arriba. El total a pagar se puede calcular mediante la expresión: 2,55 + 3,9, o bien, 0, ,95 2 (respetando las reglas de jerarquía u orden de las operaciones). El cambio o la vuelta es la diferencia entre 10 euros y el precio total a pagar, y lo podemos representar mediante esta expresión: 10 (0, ,95 2), que resume los cálculos que hemos hecho, paso a paso, en el ejemplo de la introducción. II. Segundo ejemplo: cálculo de un área La figura 1 nos muestra el plano de una casa. Vamos a escribir una expresión que nos permita calcular el área del jardín. El jardín es rectangular. Sus dimensiones (en metros) son: largo: 14 5; ancho: El área del jardín (en metros cuadrados) es por lo tanto igual a: (14 5) (10 6). Esta expresión resume todas las operaciones a realizar y nos permite calcular el área del jardín (igual a 36 m²). 11

12 Núcleo 3 Variables, Expresiones y Monomios Variable Variable, cada una de las letras que se utilizan en álgebra en expresiones algebraicas, polinomios y ecuaciones, para designar números desconocidos. Véase Indeterminada. También se llaman variables a las letras (x, y ) que se relacionan mediante las funciones. Expresión algebraica Expresión algebraica, concatenación de números y letras ligados por operaciones diversas. Por ejemplo: son expresiones algebraicas. Véase también Monomio; Polinomio. Expresión algebraica es la forma de las matemáticas que escribimos con letras, números, potencias y signos. Coeficiente 3a 2 Grado Parte literal 12

13 Al número le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado. Valor número de una expresión algebraica. Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen. Clases de expresiones algebraicas: 1ª- Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio. Ej: 3x 2 2ª- Toda expresión algebraica que esté formada por dos términos se llama binomio. Ej: 2x 2 + 3xy 3ª- Toda expresión algebraica formada por tres términos se llama trinomio. Ej: 5x 2 + 4y 5 6x 2 y 4ª- Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio. Monomios Monomio, producto en el que participan un número y una o varias letras. También a un número se le llama monomio. Son monomios: 4x 2 y x xz 2 ; xy. Las letras de un monomio se llaman variables o indeterminadas, pues representan números cualesquiera. El conjunto de todas las letras es la parte literal. El número que aparece multiplicando a las letras es el coeficiente. Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que intervienen. Los números son monomios de grado cero. Por ejemplo: 4x 2 y es un monomio con coeficiente 4, parte literal x 2 y, y grado 3, pues la x está al cuadrado y la y elevada a 1 (2 + 1 = 3) x xz 2 es 4 expresado mediante operaciones que se dejan indicadas. El coeficiente de xy es 1; su grado es 2. 13

14 = x 0 puede considerarse como un monomio sin parte literal. Su El valor numérico de un monomio para ciertos valores de las letras es el número que resulta al sustituir las letras por sus valores y efectuar las operaciones indicadas. El valor numérico de 4x 2 y para x = -5 e y = 7 es 4 (-5) 2 7 = 700. Monomios semejantes son los que tienen la misma parte literal. Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. Por ejemplo: 7x 2 y + 11x 2 y x 2 y = ( ) x 2 y = 17x 2 y La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar, se ha de dejar indicada. El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuya parte literal es el producto de las partes literales. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los monomios factores. Así, (5x 2 y xyz x 2 yxyz x 3 y 2 z El cociente de dos monomios no es, en general, un monomio. Sólo lo será cuando la parte literal del dividendo sea múltiplo de la parte literal del divisor. Por ejemplo, 7x 2 y/2xy = (7/2)x sí es monomio porque x 2 y es múltiplo de xy; 7x 2 y/2xyz = 7x/2z no es monomio. En matemática superior se considera que el número cero es un monomio de grado menos infinito con el fin de que se respete la regla de que el grado del producto de los monomios es igual a la suma de los grados de los factores. 14

15 Suma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x 3 + 5x 3 6x 3. Para hacer la operación sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x 3 + 5x 3 6x 3 = x 3. Multiplicación de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x 2 y 3 = 12x 3 y 4 División de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x 5 y 3 :2x 2 y= 2x 3 y 2 15

16 Núcleo 4 Polinomios Polinomio 1 INTRODUCCIÓN Polinomio, suma de monomios, cada uno de los cuales se denomina término del polinomio. También los monomios son considerados polinomios de un solo término. Los polinomios con dos términos se llaman binomios, y los de tres, trinomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen. Los polinomios más comúnmente utilizados son aquellos en los que sólo interviene una indeterminada o variable. Su expresión más general es: P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + a 2 x n a n -1 x + a n En este artículo se tratarán los polinomios con una indeterminada. 2 ADICIÓN DE POLINOMIOS Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Para sumar P(x) = 3x 4 5x 2 + 7x con Q(x) = x 3 + 2x 2 11x + 3 se procede así: La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se 16

17 obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro). Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x). 3 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes. A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 3x 4-5x y Q(x) = x 3 + 2x 2 + 4: La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso. La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que P(x) [Q(x) + R(x)] = P(x) Q(x) + P(x) R(x) 4 DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS Se llama división entera de un polinomio P(x) de grado m entre otro Q(x) de grado n al proceso por el cual se obtienen otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplen las siguientes condiciones: P(x) = Q(x) C(x) + R(x) grado de C(x) = m - n; grado de R(x) n

18 Los polinomios P, Q, C y R se llaman, respectivamente, dividendo, divisor, cociente y resto. Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x 3 + 7x 2-3 y Q(x) = x 2 + 2x - 1: El cociente es C(x) = 5x 3, y el resto, R(x) = 11x 6. La descripción del proceso es la siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x 3 /x 2 = 5x Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P(x) es divisible por Q(x,) y se cumple la relación: P(x) = Q(x) C(x) 18

19 Si todavía no has comprendido.. Más información sobre polinomios Definición: Se llama polinomio en "x" de grado "n" a una expresión del tipo P (x) = a 0 x n + a 1 x n a n Donde n Î N (número natural) ; a 0, a 1, a 2,..., a n son coeficientes reales (pertenecientes al conjunto de los números reales) y "x" se denomina coeficiente indeterminado. Grado de un polinomio: está determinado por el término que posee el valor de potencia más alto. Ejemplo: P (x) = x 2 + 3x 4 Polinomio de grado 2 R (x) = 3 Polinomio de grado 0 Q (x) = x x 3 2 Polinomio de grado 5 M (x) = 0 Polinomio nulo. Valor numérico de un polinomio: es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar, luego, las operaciones indicadas. Ejemplo: sea P (x) = x 2 + 3x 4 hallar P (2) Þ P (2) = Þ P (2) = Þ P (2) = 6 Polinomio opuesto: Dado dos polinomios, se dicen que son opuestos si sus coeficientes, de igual grado, son opuestos. Para indicar que es el polinomio opuesto se ubica un "-" delante del polinomio. Ejemplo: sea P (x) = x 2 + 3x 4 (es opuesto a) - P (x) = - x 2 3x + 4 Igualdad de polinomios: Dos polinomios son iguales si tienen el mismo grado y sus coeficientes de igual grado, son iguales. Aunque los polinomios pueden tener varias variables en diferentes términos, en este apunte sólo se tratarán los polinomios que tienen una sola variable indeterminada. Adición De Polinomios: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los monomios semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos 19

20 semejantes es automática. Pero puede hacerse más fácil la operación reuniendo los términos de igual grado y sumarlos o restarlos según su signo. Para sumar P (x) = 3x 4 5x 2 + 7x con Q (x) = x 3 + 2x 2 11x + 3 se procede así: P (x) + Q (x) = (3x 4 5x 2 + 7x) + (x 3 + 2x 2 11x + 3) = 3x 4 + x 3 + x 2 (2 5) + x (7 11) + 3 = = 3x 4 + x 3 3x 2 4x + 3 La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio cero es el número 0, pues sumado con cualquier polinomio no lo altera, por lo que es el elemento neutro de la suma. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro). Se llama diferencia de dos polinomios, P (x) Q (x), al resultado de sumarle a P (x) el opuesto de Q (x). Multiplicación De Polinomios: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes. A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P (x) = 5x + 11 y Q (x) = x 3 + 2x 2 + 4: P (x). Q (x) = (5x + 11) (x 3 + 2x 2 + 4) (aplicamos distributiva) P (x). Q (x) = 5x x x + 11x x (sumamos) P (x). Q (x) = 5x 4 + ( ) x x x + 44 P (x). Q (x) = 5x x x x + 44 La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso. 20

21 La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que: P (x) [Q (x) + R (x) ] = P (x) Q (x) + P (x) R (x) División de polinomios: Dados dos polinomios P (x) (llamado dividendo) y Q (x) (llamado divisor) de modo que el grado de P (x) sea mayor que el grado de Q (x) y Q (x) 0 siempre hallaremos dos polinomios C (x) (llamado cociente) y R (x) (llamado resto) tal que: P (x) = Q (x). C (x) + R (x) El grado de C (x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que el grado de R (x) será, como máximo, un grado menor que Q. Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor se procede como en el ejemplo siguiente, con P (x) = 5x 3 + 7x 2 3 y Q (x) = x 2 + 2x 1: El cociente es C (x) = 5x 3, y el resto, R (x) = 11x 6. La descripción del proceso es la siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x 3 :x 2 = 5x Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Cuando el resto de la división es cero, entonces se dice que la división es exacta y que el dividendo, P(x), es múltiplo del divisor, o bien que P (x) es divisible por Q (x) y se cumple la relación: P (x) = Q (x) C (x) Teorema Del Resto: El resto de una división de un polinomio en "x" por un binomio de 21

22 forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo para "x" igual al opuesto de "a". R = P ( a ). Por ejemplo, si P (x) = 3x 4-5x 2 + 3x 20 para x = 2 se obtiene: P (2) = = 14 Factorización de un Polinomio: (Técnica de Gauss) Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P (a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele d ecir, también, que el polinomio P (x) se anula parax = a. Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero. A cada uno de esos valores se los suele designar x 1, x 2, x 3, etc P (x) = a 0 x n + a 1 x n a n P (x) = a 0 (x x 1 ) (x x 2 )... (x x n ) (Polinomio factoreado). Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P (x) = x 4 6x 3 + 9x 2 + 4x 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P (x) los números 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12 y 12. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para no trabajar de más se aplica el teorema del resto verificando cuál de estos valores da como resto cero. P (x) = x 4 6x 3 + 9x 2 + 4x 12 P (1) = = 4 Puesto que el resto, 4, es distinto de 0, se concluye que P (x) no es divisible por x 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P (x). Probando con 1: P ( 1) = ( 1) 4 6.( 1) ( 1) ( 1) 12 = 0 1 es raíz de P (x), es decir, P (x) es divisible por x + 1: 22

23 P (x) = (x + 1)(x 3 7x x 12) Para hallar más raíces de P (x), se obtienen las raíces de P (x) = x 3 7x x 12. Se prueba de nuevo con 1: P ( 1) = ( 1) 3 7( 1) ( 1) 12 = 36 1 no es raíz de P 1(x). Probando con 2: P (2) = (2) 3 7(2) (2) 12 = 0 2 es raíz de P 1(x) y, por tanto, de P (x) : P (x) = (x + 1)(x 2)(x 2 5x + 6) Apliquemos cuadrática P (x) = (x + 1)(x 2) (x 2) (x 3) 2 es nuevamente raíz de P (x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P (x) : P (x) = (x + 1)(x 2) 2 (x 3) En caso de una ecuación polinómica, lo conveniente es: igualar a cero, factorizar para hallar los resultados buscados de x 23

24 Otros conceptos sobre Polinomios Definición de polinomio Un polinomio es una expresión algebraica compuesta de dos o más monomios. Un polinomio es una expresión algebraica de la forma: P(x) = a n x n + a n - 1 x n a n - 2 x n a 1 x 1 + a 0 Siendo a n, a n a 1, a o números, llamados coeficientes. a o es el término independiente. Grado de un polinomio El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Polinomio de grado cero P(x) = 2 Polinomio de primer grado P(x) = 3x + 2 Polinomio de segundo grado P(x) = 2x 2 + 3x + 2 Polinomio de tercer grado P(x) = x 3 2x 2 + 3x

25 Polinomio de cuarto grado P(x) = x 4 + x 3 2x 2 + 3x + 2 Clases de polinomios Polinomio nulo El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos. Polinomio homogéneo El polinomio homogéneo tiene todos sus términos o monomios con el mismo grado. P(x) = 2x 2 + 3xy Polinomio heterogéneo Los términos de un polinomio heterogéneo son de distinto grado. P(x) = 2x 3 + 3x 2 3 Polinomio completo Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado. P(x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x 3 Polinomio ordenado Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado. 25

26 P(x) = 2x 3 + 5x 3 Polinomios iguales Dos polinomios son iguales si verifican: 1Los dos polinomios tienen el mismo grado. iguales. 2Los coeficientes de los términos del mismo grado son P(x) = 2x 3 + 5x 3 Q(x) = 5x 3 + 2x 3 Polinomios semejantes Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal. P(x) = 2x 3 + 5x 3 Q(x) = 5x 3 2x 7 Tipos de polinomios según el número de términos Monomio Es un polinomio que consta de un sólo monomio. P(x) = 2x 2 Binomio Es un polinomio que consta de dos monomios. 26

27 P(x) = 2x 2 + 3x Trinomio Es un polinomio que consta de tres monomios. P(x) = 2x 2 + 3x + 5 Valor numérico de un polinomio Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera. P(x) = 2x 3 + 5x 3 ; x = 1 P(1) = = = 4 Ejercicios resueltos de polinomios 1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente. 1x 4 3x 5 + 2x Grado: 5, término independiente: X No, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz. 27

28 31 x 4 Grado: 4, término independiente: 1. 4 No, porque el exponente del primer monomio no es un número natural. 5x 3 + x 5 + x 2 Grado: 5, término independiente: 0. 6x 2 x No, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural. 7 Grado: 3, término independiente: -7/2. 2 Escribe: 1Un polinomio ordenado sin término independiente. 3x 4 2x 2Un polinomio no ordenado y completo. 3x x x 3 28

29 3Un polinomio completo sin término independiente. Imposible impares. 4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes x 4 x 3 x 2 + 3x + 5 Igualdades notables 1- Cuadrado de la suma de dos números: Es igual al cuadrado del primero más doble producto del primero por el segundo más cuadrado del segundo. Ej: (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 2- Cuadrado de la diferencia de dos números: Cuadrado del primero menos doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo. Ej: (a-b) 2 = a 2-2ab+b 2 3- Cubo de la suma de dos números: Es igual al cubo del primero más triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero más cubo del segundo. Ej: (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3b 2 a+b 3 4- Cubo de la diferencia de dos números: Es igual al cubo del primero menos triple del cuadrado del primero por el segundo más triple del cuadrado del segundo por el primero menos cubo del segundo. Ej: (a-b) 3 = a 3-3a 2 b+3b 2 -b 3 5- La suma por la diferencia de dos números: Es igual a la diferencia de cuadrados. Ej: (a+b) (a-b)= a 2 -b 2 29

30 Núcleo 4 factorización de Polinomios y Propiedades de Potencias 5 TEOREMA DEL RESTO Se llama valor de un polinomio P(x) = a 0 x n + a 1 x n a n -1 x + a n para x = c, y se designa P(c), el valor numérico que toma el polinomio cuando se sustituye la indeterminada, x, por el número c y se realizan las operaciones. Por ejemplo, si P(x) = 3x 4-5x 2 + 3x - 20 para x = 2 se obtiene: P(2) = = 14 Al dividir un polinomio P(x) por x - a, puesto que el divisor es un polinomio de grado 1, el resto es, necesariamente, de grado cero (es decir, es un número): El teorema del resto afirma que el resto de dividir un polinomio P(x) por x - a es, precisamente, el valor del polinomio cuando x vale a, es decir, R = P(a), pues como P(x) = (x - a)c(x) + R, al darle a x el valor a se obtiene P(a) = (a - a)c(a) + R = 0 + R = R 6 FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO Se dice que un número a es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0, es decir, si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Se suele decir, también, que el polinomio P(x) se anula para x = a. Por el teorema del resto, si a es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) es divisible por x - a, pues el resto de dividir P(x) entre x - a es cero: Por tanto, P(x) = (x - a)p 1 (x), y si P(x) es de grado n, entonces P 1 (x) es de grado n - 1. De este modo se puede ir descomponiendo P(x) en factores. 30

31 Habitualmente, para reconocer las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se tiene en cuenta que éstas han de ser divisores del término independiente. Así, las raíces enteras del polinomio P(x) = x 4-6x 3 + 9x 2 + 4x - 12 están entre los divisores de 12. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, - 4, 6, -6, 12 y -12. Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente por todas ellas aplicando la regla de Ruffini. Para 1: Puesto que el resto, -4, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x - 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probando con -1: -1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1: P(x) = (x + 1)(x 3-7x x - 12) Para hallar más raíces de P(x), se obtienen las raíces de P 1 (x) = x 3-7x x Se prueba de nuevo con -1: -1 no es raíz de P 1 (x). Probando con 2: 2 es raíz de P 1 (x) y, por tanto, de P(x): P(x) = (x + 1)(x - 2)(x 2-5x + 6) Probando otra vez con 2: 31

32 2 es nuevamente raíz de P(x). Es una raíz doble. Ahora ya se ha conseguido la factorización completa de P(x): P(x) = (x + 1)(x - 2) 2 (x - 3) Propiedades de potencias Los términos que están al otro lado del igual es la forma de resolver las potencias. En el primer caso se presenta el producto de dos potencias de igual base, para resolverlo se deja la misma base y se suman los exponentes, en éste primer caso la base es x y los exponentes son m y n. Por ejemplo: = 5 7 =

33 Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales = 6 5 Base de una potencia La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 6. Exponente de una potencia El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 5. Potencias de números naturales Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales = 5 4 Base La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5. Exponente El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4. 33

34 Propiedades de la potencias de números naturales 1. Un número elevado a 0 es igual a 1. a 0 = = 1 2. Un número elevado a 1 es igual a sí mismo. a 1 = a 5 1 = 5 3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. a m a n = a m+n = = División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. a m : a n = a m - n 2 5 : 2 2 = = Potencia de una potencia: 34

35 Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (a m ) n = a m n (2 5 ) 3 = Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. a n b n = (a b) n = Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. a n : b n = (a : b) n 6 3 : 3 3 = 2 3 Potencias de números enteros Para determinar el signo de la potencia de un número entero tendremos en cuenta que: 1. Las potencias de exponente par son siempre positivas. 35

36 2 6 = 64 ( 2) 6 = 64 la base. 2. Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de 2 3 = 8 ( 2) 3 = 8 Potencias de exponente negativo La potencia de un número entero con exponente negativo es igual al inverso del número elevado a exponente positivo. 36

37 Potencias de números racionales Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. Potencias de exponente negativo Una potencia fraccionaria de exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada a exponente positivo. Potencias de números reales 37

38 Potencias de exponente racional Potencias de exponente racional y negativo Descomposición polinómica de un número Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10. El numero podemos descomponerlo del siguiente modo: =

39 Propiedades de las Potencias Potencias de exponente 0 a 0 = = 1 Potencias de exponente 1 a 1 = a 5 1 = 5 Potencias de exponente entero negativo Potencias de exponente racional Potencias de exponente racional y negativo 39

40 Multiplicación de potencias con la misma base a m a n = a m+n = = 2 7 División de potencias con la misma base a m : a n = a m - n 2 5 : 2 2 = = 2 3 Potencia de un potencia (a m ) n =a m n (2 5 ) 3 = 2 15 Multiplicación de potencias con el mismo exponente a n b n = (a b) n = 8 3 División de potencias con el mismo exponente a n : b n = (a : b) n 6 3 : 3 3 = 2 3 Ejercicios = : 5 3 =

41 (5 3 ) 4 = 5 12 (5 2 3) 4 = 30 4 (3 4 ) 4 = 3 16 [(5 3 ) 4 ] 2 = (5 12 ) 2 = 5 24 (8 2 ) 3 =[( 2 3 ) 2 ] 3 = (2 6 ) 3 = 2 18 (9 3 ) 2 = [(3 2 ) 3 ] 2 = (3 6 ) 2 = = : 2 6 = 2 (2 2 ) 4 = 2 8 (4 2 3) 4 = 24 4 (2 5 ) 4 = 2 20 [(2 3 ) 4 ] 0 = (2 12 ) 0 = 2 0 = 1 (27 2 ) 5 =[(3 3 ) 2 ] 5 = (3 6 ) 5 = 3 30 (4 3 ) 2 = [(2 2 ) 3 ] 2 = (2 6 ) 2 = 2 12 ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 4 = ( 2) 9 = 512 ( 2) 2 ( 2) 3 ( 2) 4 = ( 2) 5 = = 2 1 = 1/2 2 2 : 2 3 = 2 1 = 1/2 41

42 2 2 : 2 3 = 2 5 = (1/2) 5 = 1/ : 2 3 = 2 5 = : 2 3 = 2 42

43 Potencias con Fracciones Para elevar una fracción a una potencia se eleva tanto el numerador como el denominador al exponente. Potencias de exponente negativo 43

44 Propiedades de las potencias de fracciones Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. 4. División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 44

45 5. Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. 6. Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases 7. Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. 45

46 Ejercicios de potencias de fracciones Realiza las siguientes operaciones con potencias de fracciones:

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48 13 Halla las operaciones de fracciones con potencias: 48

49 Potencias con Radicales Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice. Ejercicios de potencias de radicales 49

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