Para facilitar esta tarea existen las técnicas de conteo, que son usadas para enumerar los eventos difíciles de cuantificar.

Transcripción

1 Técnicas de conteo por Oliverio Ramírez Cuando se trata de un evento cuyos posibles resultados son pocos, es relativamente fácil listarlos y contarlos. Al tirar un dado, por ejemplo, los posibles resultados son 1, 2,, 4, 5, y 6. Sin embargo, en la realidad existen una variedad de eventos con un gran número de posibles resultados, tales como las combinaciones posibles de hombres y mujeres en un grupo de 20 personas, en estos casos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Para facilitar esta tarea existen las técnicas de conteo, que son usadas para enumerar los eventos difíciles de cuantificar. Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las cuales proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y utilizan. Principio Multiplicativo Para llevar a cabo una actividad que consta de n pasos, en donde el paso 1 de la actividad a realizar se puede llevar a cabo de L1 maneras, el paso 2 de L2 maneras y el n-ésimo paso de Ln maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a cabo de: (L1)(L2)... (Ln) maneras El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad debe ser realizado uno tras otro. ( Weiers, 2006:186) 1

2 Ejemplo: Cuántos números telefónicos pueden existir? Los números telefónicos que pueden asignarse a una ciudad del interior de México constan de 7 dígitos, el primer número no puede ser cero y los otros seis pueden tomar valores del 0 al 9. a. Cuántos números telefónicos pueden existir? Considerando que: El primer número puede tomar 9 diferentes valores (1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) del segundo al séptimo número pueden tomar 10 valores distintos (0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) Al aplicar el principio multiplicativo tienes: 1º 2º º 4º 5º 6º 7º (9)(10)(10)(10)(10)(10)(10) = 9,000,000 de números telefónicos Solución = 9,000,000 de números telefónicos b. Si el primer número sólo puede ser 5, 6 ó 7, cuántos números telefónicos habrá? En este caso, el primer número sólo puede tomar diferentes valores (5, 6 y 7) Aplicando el principio multiplicativo tienes: 1º 2º º 4º 5º 6º 7º ()(10)(10)(10)(10)(10)(10) =,000,000 de números telefónicos Solución =,000,000 de números telefónicos Principio Aditivo Joaquín necesita comprar una memoria USB para almacenar la información de sus cursos, para lo cual le pidió consejo a su amigo Martín, quien es experto en temas de tecnología; Martín le recomendó diferentes marcas de memorias USB y cuando Joaquín llegó a la tienda de cómputo, se encontró con las siguientes alternativas: para la primer marca había memorias USB con capacidades de 2, 4 y 8 Gigabytes, en 4 colores diferentes cada una; para la segunda marca había memorias USB con capacidades de 1, 4, 8 y 16 Gigabytes, en colores blanco o negro; y para la tercer marca había memorias USB con capacidades de 4, 8, 16 y 2 Gigabytes, en 5 diferentes colores cada una. Cuántas opciones tiene Joaquín de comprar una memoria USB? 2

3 Solución: Primero, identifica las alternativas de cada marca M = Número de alternativas de la primer marca N = Número de alternativas de la segunda marca P = Número de alternativas de la tercer marca M = x 4 = 12 alternativas ( capacidades por 4 colores diferentes) N = 4 x 2 = 8 alternativas (4 capacidades por 2 colores diferentes) P = 4 x 5 = 20 alternativas (4 capacidades por 5 colores diferentes) Ahora, al sumar llegas a la solución: M + N + P = = 40 alternativas para seleccionar una memoria USB. Al realizar esta suma, lo que hiciste fue aplicar el Principio Aditivo. Principio Aditivo Para llevar a cabo una actividad que tiene varias alternativas, donde la alternativa 1 puede ser realizada de M formas, la alternativa 2 puede realizarse de N formas, y la última alternativa puede ser realizada de W formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de: M + N + + W formas Cómo puedes distinguir cuándo usar el principio multiplicativo o el aditivo? Cuando se trata de una sola actividad, la cual para ser llevada a efecto requiere de una serie de pasos, entonces harás uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para realizarse, utilizarás el principio aditivo. Combinación y Permutación Combinación: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden. ( Anderson, D. Et al. 2008:147)

4 Permutación: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos, cuando el orden en el que aparece cada objeto sí importa. (Vargas, A. 1995:54) Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, analiza la siguiente situación: A fin de llevar a cabo una actividad del curso de administración, es necesario que 2 de los integrantes del equipo de trabajo (Ana, Beto y Liz) realicen una encuesta, puede haber dos situaciones: a. En la primera no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Combinaciones: Ana-Beto; Ana-Liz; Beto-Liz b. En la segunda uno tiene que ser el entrevistador y otro tomar notas, entonces sí importa el orden y los resultados posibles serán permutaciones. Permutaciones: El primero es el entrevistador y el segundo es el secretario: Ana-Beto; Ana-Liz; Beto-Ana; Beto-Liz; Liz-Ana; Liz-Beto Existen fórmulas para obtener las permutaciones y las combinaciones, pero antes hay que conocer lo que es n! (n factorial), ya que está involucrada en las fórmulas que se obtendrán y usarán para la resolución de problemas. n! es igual al producto de todos los números desde 1 hasta n. Ejemplos: 4! = (1)(2)()(4) = 24 10! = (1)(2)()(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10) =,628,800 n!= (1)(2)() (n) 4

5 La fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: P r n n! = ( n r)! Esta fórmula permite obtener la cantidad de todos aquellos arreglos en donde el orden es importante y sólo se usen parte (r) de los n objetos con que se cuenta, además toma en cuenta, que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes. La fórmula de combinaciones de r objetos tomados de entre n objetos es: C r n n! = ( n r)! r! En el ejemplo de seleccionar a 2 personas de entre Ana, Beto y Liz, cuando el primero es el entrevistador y el segundo es el secretario, para conocer el número de resultados posibles aplica el cálculo de las permutaciones:! 6 P2 = = = 6 ( 2)! 1 Mientras que para conocer el número de resultados posibles cuando no hay funciones definidas, aplica el cálculo de combinaciones:! 6 = = ( 2)!2! 2 C2 = Diagrama de árbol Es una representación gráfica de un experimento que consta de eventos múltiples, donde cada uno de los eventos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. (Jiménez, J. 2004:167,170) Ejemplo: En un conocido Centro Comercial, al cliente número 1000, le darán un premio que consiste en unas vacaciones con todo pagado en Puerto Vallarta, Acapulco o Cancún, viajando en avión o autobús, además de una de las siguientes opciones: alimentos pagados, dinero en efectivo o un vale para canjearlo por ropa de playa. 5

6 Mediante un diagrama de árbol, puedes ver las diferentes posibilidades que se le presentan al ganador: Figura 1. Referencias Anderson, Sweeney and Williams Estadística para administración y economía. 10ª. Edición. Cengage Learning. México. Recuperado el 10 de mayo del Disponible [Online] en: ermutaciones&hl=es&sa=x&ei=1emst- 7mIdT2sQLBouAw&sqi=2&ved=0CEUQ6AEwAw#v=onepage&q=combinaciones%20y%2 0permutaciones&f=false Jiménez, J Cuaderno de Matemáticas 1. UMBRAL Editorial, Guadalajara:México. Recuperado el 10 de mayo del Disponible [Online] en: &hl=es&sa=x&ei=fk2st_lli8p56qgxvrsjba&ved=0cgoq6aewbw#v=onepage&q=diagra ma%20de%20arbol&f=false Vargas, A Estadística descriptiva e inferencial. Colección Ciencia y Técnica. COMPOBELL, Murcia:España. Recuperado el 10 de mayo del Disponible [Online] en: i=book_result&ct=bookthumbnail&resnum=8&ved=0cgaq6wewbw#v=onepage&q=permutaciones&f=false Weiers, Ronald Introducción a la estadística para negocios. Quinta Edición.. Thomson: México. Recuperado el 10 mayo del Disponible [Online] en: del+principio+multiplicativo&hl=es&ei=z0sst4drnawq2gxv_mgqba&sa=x&oi=book_result &ct=bookthumbnail&resnum=1&ved=0cdoq6wewaa#v=onepage&q=definici%c%bn%20del%20pr incipio%20multiplicativo&f=false 6

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