Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.

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1 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máima. OPCIÓN A 5 m A.. Sea A la matriz: A 0 m a) (,5 puntos) Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de m y resuélvalo para los valores de m siguientes: m y m. 0 A X 0 donde X y 0 z b) ( punto) Determine la inversa de la matriz A cuando m 0. a) Se trata de un sistema homogéneo. Su discusión (compatible determinado o compatible indeterminado) depende del rango de la matriz de los coeficientes A. 5 m m A 0 5m m m 5m 6 0 m m m Se tiene: Si m y m : rga el sistema es compatible determinado (una única solución: y z 0 ) Si m o m : rga pues el menor 0 el sistema es compatible indeterminado Para m : el sistema tiene como única solución la trivial y z 0 Para m : el sistema es compatible indeterminado. El sistema dado es equivalente a: y 0 y 0 ; y y z 0 y luego las soluciones son: y, z b) Para m 0: A Tenemos: t t A 0 A 0 adj A 0 A 0 A.. a) ( punto) Pueden eistir vectores u y v tales que u, v y u v 8? Justifique la respuesta. b) (,5 puntos) Determine todos los posibles vectores u a,0, b que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a y z 0 la recta r: y z 0 a) No, pues: u v u v cosu,v cos u,v 8 cos u,v que es imposible. b) Obtengamos un vector direccional de r. Dos puntos de la recta son: 8 6 y z 0 y z y z 0 y z z z, y A0,,, B,,0 y un vector direccional: AB,0,.

2 Se tiene: u a b 8 a b 64 u AB 0 a b 0 Es decir: u 4, 0, 4 y u 4, 0, 4 a b a 64 a a b 4 A.. (,5 puntos) Un poste de metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase figura). El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 000 euros. Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo? Sea la distancia del poste al punto en que el cable aéreo llega a tierra (ver dibujo). La longitud del cable aéreo es: L 9 m El coste del cable es: C que debe ser mínimo: 000 C' , Veamos que este valor crítico hace mínimo el coste: C'' la función coste es mínima Por lo tanto, la longitud del cable aéreo debe ser: L 9,8 m El cable aéreo debe llegar a tierra a,06 metros del poste. El cable terrestre debe medir,94 metros. A.4. a) (,5 puntos) Determine la función f () cuya derivada es b) (,5 puntos) Calcule: lím a) La función f () es una primitiva de f '() : f '() 5 e y que verifica que f (0). u du d f () e d e e d e e C e C 5 5 dv e d v e

3 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. Calculemos ahora la constante de integración con la condición f (0) : f (0) C C f () e b) lím lím lím lím lím e e e e e También podríamos haber realizado el cambio de variable: t y cuando t : t t t t t t t t t t t t t t t t lím lím lím lím lím e t OPCIÓN B B.. a) ( punto) Determine el rango de la matriz A, que aparece a continuación, según los diferentes valores de a: a a 6 A 4 a 5 0 b) (,5 puntos) Determine, si eiste, una matriz A,, que verifique la siguiente ecuación matricial: Cuál es el rango de la matriz A? A 0 a) Estudiemos los valores de a para los que el rango es : a a 6 4 0a 60 4a a a 0a 0a 4a 4a 6 4 a 6a 9 0 a 6a 9 0 a a Tenemos entonces: Para a : rga Para a : rga pues el menor b) Sea A. Se tiene:

4 6 9 6 A rga porque F,5 F (las dos filas son proporcionales) Otra forma: calculemos las matrices inversas de los dos factores: adjunta de Dividir por traspuesta la traspuesta determinante adjunta de Dividir por traspuesta 0 la traspuesta determinante Y ahora: A B.. Dadas las rectas: y z r: y s : y z a) (,5 puntos) Determine su posición relativa P,, a la recta s. b) ( punto) Calcule la distancia del punto a) u,, es un vector direccional de r. v,, lo es de s. Como las coordenadas no son proporcionales, las rectas se cortan o se cruzan A0,0,0 es un punto de r. B0,, es un punto de s. AB 0,, es un vector con origen en r y etremo en s. Puesto que r y s se cruzan b) Calculemos la ecuación del plano perpendicular a s que pasa por P: El vector v,, direccional de s, es normal al plano : : y z D 0. Como P : 6 D 0 D 6 : y z 6 0 Calculemos el punto de corte de y s: Q,, La distancia entre P y s es la distancia entre P y Q: d P,s d P,Q u PQ v Otra forma: d P, s donde Q s y v es un vector direccional de s. P,, Q 0,, v PQ,, i j k PQ v 4i j 4k 6i 4 j k, 7, 6 PQ v v

5 Prueba de Acceso a la Universidad. JUNIO 0. Y por tanto: 89 d P, s u B.. a) (,5 puntos) Sea la función f (). Determine el dominio y las asíntotas de f (), si eisten. b) (,5 puntos) Determine el área del recinto encerrado por las funciones f () y g(). a) Dominio: D(f ), Asíntotas verticales: y pues lím y lím Asíntota oblicua: + y es una asíntota oblicua de la función b) Consideremos la función diferencia función y el eje OX. d() f () g() y calculemos el área del recinto limitado por esta Los puntos de corte de la función d() y el eje de abscisas son: 0. Tenemos: A d u B.4. a) ( punto) Determine qué valor debe tomar k para que b) (,5 puntos) Calcule: ln() a) d lím 4 k 5 4 k 5 4 k k 5 k lím 4 k 5 lím lím lím 4 k 5 4 k 5 k k lím k ln() d ln() ln d ln() ln d dv d v u ln() du ln d b) u ln du d ln() ln d ln() ln C ln ln C dv d v 5