Contrast khi-quadrat + contrast d independència en una taula de contingència. Estadística Ciència Política, Albert Satorra

Transcripción

1 Contrast khi-quadrat + contrast d independència en una taula de contingència

2 Juguem un dau 120 vegades, i sospitem que està trucat Està trucat aquest dau??? Cara: Total freqüè ncia H 0 : p 1 = p 2 = p 3 = p 4 = p 5 = p 6 = 1/6 Freqüència esperada = 20

3 ~ χ 5 2 n = 120 p 1 =.= p 6 = 1/6 (H 0 ) n 1 n 6 - freqüències observades np 1 = = np 6 = 20 freqüències esperades Graus de llibertat = # opcions possibles -1 = 6-1 = 5

4 Estadístic khi-quadrat T = sum ij (O ij - E ij ) 2 /E ij

5 x=c(17,18,24,26,21,14) chisq.test(x) Chi-squared test for given probabilities data: x X-squared = 5.1, df = 5, p-value =

6 Exercici a Classe: En un sondatge electoral ( CIS, El PAÍS, 18 febrer de 2006) es troben els següents resultats Enquesta Gener 2006: Partit A (PSOE): p =.396 Partit B (PP ) : p =.380 n = 2484 entrevistes Resultats Oct 2003: PSOE 42.4 % / PP 34.7% Hipòtesis a contrastar: 1) H0: pa = a la població diferencia: d=

7 error tipus = sqrt((0.424*( )/2484))= estadístic del contrast z = d/error tipus = p-valor = > 5 % ---> Un altre procediment Taula Observats Esperats T = ( )^2/ ( )^2 / = (observem que ( )^2 = )

8 contrasts addicionals 2) H0 pb = ) H0: pa = pb a la població SI NO PSOE PP chisq.test(matrix(c(984, 1500, 944, 1540), 2, 2), correct = F) Pearson's Chi-squared test data: matrix(c(984, 1500, 944, 1540), 2, 2) X-squared = , df = 1, p-value = > test=chisq.test(matrix(c(984, 1500, 944, 1540), 2, 2), correct = F) > test$observed [,1] [,2] [1,] [2,] > test$expected [,1] [,2] [1,] [2,] > test$residuals [,1] [,2] [1,] [2,] >

9 Exemple, 135 voten SI, 165 voten NO, contrasteu si la probabilitat de votar SI és del 50% Total Observat Esperat sota H0: Contrast z=(135/ )/sqrt(0.5^2/300 ) Contrast khi-quadrat chi=(( )^2 + ( )^2 )/150 3 = z^2 = chi2 O amb la funció de R: x=c(135,165); chisq.test(x) Chi-squared test for given probabilities data: x X-squared = 3, df = 1, p-value =

10

11 observado Valor P La media y la desviación típica aumentan con los grados de libertad

12

13 En general, si volem contrastar H0: pi =.40, aleshores: x = c(35,65) pi = c(.4,.6) chisq.test(x,p = pi) Chi-squared test for given probabilities data: x X-squared = , df = 1, p-value =

14

15 Contrast de independència Taules de contingència

16 { Homes, Dones } Exemple gènere identificació de partit GSS.sav {Democrates, Independents, Republicans } Taula de contingència: 2 X 3

17

18 Valors observats Democratas Indep Republicanos Total Hombres Mujeres Total = (691*628)/1474 Valors esperats Democratas Indep Republicanos Total Hombres Mujeres Total

19 χ 2 con (#columnes -1)(#file 1) graus de llibertat Democrats Indep Republicans Homes 1,150 0,559 2,476 Dones 0,854 0,415 1,838 Khi-quadrat gl 2 = 7,291 > 5,99 Valor P = 0,026 < 0,05 Rebutjem H 0

20 HI HA RELACIO ENTRE SIGNES DE ZODIAC I FELICITAT? (Hipòtesi nul.la H0: Independència (no associació) entre signes zodíac i felicitat) (el professor d Estadística defensa H0!. En aquestes dades hi ha evidència contra H0?. Empra α = 5%) GET FILE='G:\Albert\Web\Metodes2005\Dades\GSS.SAV'. CROSSTABS /TABLES=zodiac BY happy /FORMAT= AVALUE TABLES /STATISTIC=CHISQ /CELLS= COUNT. Veiem que NO es rebutja la hipòtesi nul.la de independència Entre files i columnes (no associació entre signes del zodíac i felicitat).

21 Font de les dades: Dades d enquesta del treball de l assignatura d Estadística realitzat per 4 alumnes

22

23 Example in Moore p

24

25

26

27 Exercicis Moore: 6.43 p. 469 (igualtat de mitjanes) 7.22 p. 518 (igualtat de proporcions) 8.13 p. 557 (khi-quadrat)

28 Contrast z: sobre igualtat de proporcions

29 H 0 : π 1 = π 2 H 1 : π 1 π 2 Forma del contrast aprox. normal Població 1 mostra1 > p 1 ~ N(π 1, ) Població 2 mostra2 > p 2 ~ N(π 2, ) p 1 - p 2 aprox. Normal, mitjana π 1 - π 2 y desviació típica

30 Estandarditzem Forma del contrast Com que π 1 = π 2 = =

31 Un estimador de π és: Proves de significació L estadístic z és ~ aprox. N(0,1), sota H0

32 Catalunya Galicia Numero votos NO Mida de mostra Catalunya Galicia proporción NO 0,200 0,233

33 p= (50 +70)/( )=0,218 α = 5% Valor P = 0,3472 > 0,05

34 Ho També ho podem resoldre amb contrast khi-quadrat de independència: Taula de Contingència Observats: Catalunya Galicia NO SI x=matrix(c(50, 70, , 300 ) Esperats (sota independència: π 1 = π 2 ) 250*120/550= *120/550= *430/550 = *430/550 = (Observats Esperats) 2 /Esperats Suma = chi2 = 0.88 (valor p = ) (noteu que z = -.94 al quadrat = 0.88)