Econometría de series de tiempo aplicada a macroeconomía y nanzas

Transcripción

1 Econometría de series de tiempo aplicada a macroeconomía y nanzas Pronósticos de Series de Tiempo Marzo, 2010

2 Tipo de Pronóstico Existen tres tipos de pronóstico: Resultado de un evento: Quién ganará las siguientes elecciones? Cuál será mi cali cación nal? El momento en el tiempo en el que ocurrirá un evento: Cuándo cambiará la tendencia de la economía?, Cuándo cambiará el Banco Central la tasa de interés? Pronóstico de series de tiempo: Cual será el nivel de la in ación en el futuro?, En cuánto se depreciará el tipo de cambio?

3 Tipo de Pronóstico En particular, los pronósticos de variables económicas son utilizados para: La planeación empresarial y la administración nanciera Las negociaciones contractuales La implementación de la política scal y monetaria En todos los casos, los pronósticos permiten a los agentes tomar decisiones en el presente sobre eventos aún por ocurrir.

4 Notación Supongamos un pronosticador representativo que predice una variable macroeconómica de interés h pasos hacia adelante, y t+h, con el conjunto de información disponible en el periodo t, dado por I t. Dado que la variable a pronosticar y t+h es una variable aleatoria, sólo puede ser caracterizada por una función de probabilidad, condicionada al conjunto de información disponible I t : F (y t+h y t+j, j = 1,..., hji n ).

5 Notación El pronóstico realizado en t para el horizonte h está dado por p t+h,t. Se de ne al error de pronóstico como e t+h,t = y t+h p t+h,t. Nótese que p t+h,t es conocido en el tiempo t, mientras que e t+h,t y y t+h lo son hasta el periodo t + h.

6 Pronóstico Óptimo El marco conceptual en el que se establecen las propiedades de un pronóstico óptimo surge de la interacción de cuatro elementos primordiales: 1 La función de distribución de la variable de interés a pronosticar. 2 El conjunto de información empleado por el pronosticador. 3 El modelo que se utiliza para formar el pronóstico. 4 Las preferencias del pronosticador.

7 Pronóstico Óptimo Para obtener el mejor pronóstico se necesita un criterio para discriminar entre distintas alternativas. Una forma de obtener este criterio es introducir la idea de una función de costo. Esta función asume que los agentes toman sus decisiones con base en los pronósticos que emite y por tanto pueden evaluar el costo en el que incurren ante un error de pronóstico de magnitud e t+h,t, L(e t+h,t ).

8 Pronóstico Óptimo El valor que los agentes otorgan a un pronóstico en particular es el re ejo del costo en la decisión de predecir erróneamente la variable de interés ECM Asimétrica 1 Asimétrica 2 5 Pérdida Error de Pronóstico

9 Teoría de Pronósticos Óptimos Pérdida Cuadrática Las propiedades óptimas de un pronóstico dependen, por tanto, del tipo de función de pérdida que se asume para el pronosticador. Consideremos a un pronosticador representativo con una función de pérdida cuadrática, L(e t+h,t ; α) = αe 2 t+h,t ; 8 α > 0. Esta función implica que: El pronosticador penaliza de forma simétrica errores con signos distintos pero con la misma magnitud y que, la penalización es mayor para errores más grandes.

10 Teoría de Pronósticos Óptimos Pérdida Cuadrática Para encontrar el pronóstico óptimo, pt+h,t, el pronosticador representativo minimiza el valor esperado de su función de pérdida: p t+h,t arg min p t+h,t E αe 2 t+h,t j I t

11 Teoría de Pronósticos Óptimos Pérdida Cuadrática De namos a la esperanza de y t+h condicionada al conjunto de información disponible como µ y = E [y t+h ji t ], entonces: E (y t+h p t+h,t ) 2 j I t i = E h((y t+h µ y ) + (µ y p t+h,t )) 2 j I t (yt+h µ = E y ) 2 + (µ y p t+h,t ) 2 + 2(y t+h µ y )(µ y p t+h,t )j I t = E h(y t+h µ y ) 2 + (µ y p t+h,t ) 2i De esta forma se puede reescribir el pronóstico óptimo, p t+h,t, como: p t+h,t arg min p t+h,t (µ y p t+h,t ) 2 + var [y t+h ji t ]

12 Teoría de Pronósticos Óptimos Pérdida Cuadrática Al resolver la condición de primer orden para encontrar el pronóstico óptimo, sólo es necesario derivar el primer término de la derecha de la ecuación, el cual tiene un mínimo global en cero: M h p t+h,t = 0 () E [y t+h p t+h,t j I t ] = 0 () p t+h,t = E [y t+h j I t ]. El pronóstico óptimo bajo una función de pérdida del ECM es simplemente la esperanza de la variable a pronosticar condicionada al conjunto de información disponible.

13 Pronóstico Óptimo para Modelos Particulares AR(1) Supongamos que el pronóstico se basa en un modelo AR(1): y t = φy t 1 + ε t, donde E [ε t j y t 1, y t 2,...] = 0.y jφj < 1. La variable un paso hacia delante está dada por: y t+1 = φy t + ε t+1 El pronóstico óptimo es: pt+1,t = E [φy t + ε t+1 ji t ] = φe [y t ji t ] + E [ε t+1 ji t ] = φy t

14 Pronóstico Óptimo para Modelos Particulares AR(1) La variable dos pasos hacia delante está dada por: y t+2 = φy t+1 + ε t+2 El pronóstico óptimo es: pt+2,t = E [φy t+1 + ε t+2 ji t ] i = E hφ(φy t + ε t+1) + ε t+2 ji t = E φ 2 y t + φε t+1 + ε t+2 ji t = φ 2 y t De esta forma, pt+h,t = φh y t

15 Pronóstico Óptimo para Modelos Particulares MA(1) Supongamos que el pronóstico se basa en un modelo MA(1): y t = ε t + βε t 1. La variable un paso hacia delante está dada por: y t+1 = ε t+1 + βε t. El pronóstico óptimo es: pt+1,t = E [ε t+1 + βε t ji t ] = E [ε t+1 ji t ] + E [βε t ji t ] βε t. En esta última expresión es preciso estimar ε t.

16 Pronóstico Óptimo para Modelos Particulares MA(1) La variable dos pasos hacia delante está dada por: El pronóstico óptimo es: y t+2 = ε t+2 + βε t+1. p t+2,t = E [ε t+2 + βε t+1 ji t ] = E [ε t+2 ji t ] + βe [ε t+1 ji t ] = 0 Por, tanto los modelos MA no son utilizados frecuentemente para realizar pronósticos.

17 Teoría de Pronósticos Óptimos Condición de Ortogonalidad De la condición de primer orden se tiene que, E [e t+h,t j Ω t] = 0. Esto signi ca que los errores de un pronóstico óptimo son impredecibles en base al conjunto de información disponible, I t. De esta forma, los errores de un pronóstico óptimo no se encuentran correlacionados con ningún elemento, v t donde v t 2 I t (Condición de ortogonalidad). E [v t e t+h,t] = 0 8v t 2 I t.

18 Propiedades de Pronósticos Óptimos Para poder determinar la e ciencia de un pronóstico es necesario especi car el conjunto de información del pronosticador. Al de nir los elementos, v t, que se extraen del conjunto de información I t, es posible derivar de la condición de ortogonalidad las distintas propiedades que caracterizan a un pronóstico óptimo.

19 Propiedades de Pronósticos Óptimos Insesgamiento Al restringir v t = 1, la condición de ortogonalidad se convierte en E [e t+h,t ] = 0. Por tanto, El error óptimo tiene una media no condicional de cero. Un pronóstico óptimo no presenta sesgos sistemáticos a subestimar o sobreestimar la variable de interés. En caso de que los pronósticos presentaran un sesgo sistemático, sería posible mejorarlos simplemente añadiendo (o sustrayendo) dicho sesgo.

20 Propiedades de Pronósticos Óptimos Insesgamiento Ejemplo de un error de pronóstico insesgado (un paso hacia delante). Pronóstico de in ación mensual proveniente de encuestas. % Observado Pronóstico % Jun 95 Jun 97 Jun 99 Jun 01 Jun 03 Jun 05 Jun 07 Jun 95 Jun 97 Jun 99 Jun 01 Jun 03 Jun 05 Jun 07 Error de Pronóstico

21 Propiedades de Pronósticos Óptimos Autocorrelación Si el conjunto de información contiene el pasado y presente de la variable a pronosticar, y t+h, es decir, v t = y t j, 8 j 0, el error de un pronóstico óptimo presenta una estructura de autocorrelación como la de un promedio móvil de orden h 1 (MA(h 1)). Esta estructura de correlación serial se presenta cuando el horizonte de pronóstico es mayor a la frecuencia con la que se generan los pronósticos.

22 Propiedades de Pronósticos Óptimos Autocorrelación Intuición: Un pronóstico realizado en el mes de enero para dos meses hacia delante (marzo) tiene información conocida hasta enero, por lo que cualquier evento que se presenta entre febrero y marzo no se toma en cuenta. De la misma forma, en febrero se emite otro pronóstico para dos meses hacia delante (abril) con información hasta febrero, que no incluye lo ocurrido entre marzo y abril. Por tanto, cualquier evento que suceda en marzo impacta a ambos pronósticos, lo que se re eja en un término MA(1) en los errores de pronóstico.

23 Propiedades de Pronósticos Óptimos Autocorrelación Ejemplo de un error de pronóstico con autocorrelación óptima (un paso hacia delante). Pronóstico de depreciación proveniente de instrumentos de mercado. % (Anualizado) Error Forward Autocorrelación Dos Errores Estándar Dic 97 Dic 98 Dic 99 Dic 00 Dic 01 Dic 02 Dic 03 Dic 04 Dic 05 Dic Rezago

24 Propiedades de Pronósticos Óptimos Autocorrelación Ejemplo de un error de pronóstico con autocorrelación óptima (doce paso hacia delante). Pronóstico de depreciación proveniente de instrumentos de mercado Error Forward Dos Errores Estándar % (Anualizado) Autocorrelación Nov 98 Nov 99 Nov 00 Nov 01 Nov 02 Nov 03 Nov 04 Nov 05 Nov Rezago

25 Propiedades de Pronósticos Óptimos Contenido de Información El conjunto de información, I t puede contener otras variables distintas a la que se busca pronosticar, tal que v t = x t, donde x t representa un conjunto de variables conocidas por el pronosticador. Los pronósticos óptimos tienen la propiedad de incorporar e cientemente la información contenida en estas variables y no es posible hacer uso de éstas para predecir el error.

26 Propiedades de Pronósticos Óptimos Contenido de Información Ejemplo de un error de pronóstico no correlacionado con variables conocidas (doce pasos hacia delante). Pronóstico de in ación anual proveniente de encuestas a especialistas. Regresión: e t+h = α + βx t + ε t+h, ε t+h MA(h 1) Regresión estimada: x t ( 0.02) ( 1.52) Error Inflación México Inflación EUA

27 Pronóstico Óptimo Propiedades Asumiendo normalidad, podemos obtener un intervalo de con anza para el pronóstico al 95%: q p t+h,t 1.96 var(e t+h,t ), en algunas ocasiones, dado que este intervalo es muy ancho, es mejor dar los cuantiles al 25% y 75%. Otra característica importante es que la varianza del pronóstico óptimo es menor a la varianza de la serie de interés (i.e., el pronóstico es más suave): y t+h = p t+h + e t+h,t var(y t+h ) = var(p t+h ) + var(e t+h,t ) var(y t+h ) > var(p t+h ), ya que var(e t+h,t ) > 0.

28 Evaluación de Pronósticos Evaluación de una serie de pronósticos Existen algunas di cultades en la comparación de pronósticos y valores actuales de una serie de tiempo: Las propiedades de un pronóstico óptimo usualmente di eren de aquellas de la serie de valores actuales (e.g., var(p t+h ) < var(y t+h )) En situaciones prácticas, uno no tiene idea de la mínima varianza del error de pronostico alcanzable (i.e., algunas series son inherentemente más di ciles de pronosticar)

29 Evaluación de Pronósticos Evaluación de una serie de pronósticos Un tipo de evaluación es determinar si la serie de pronósticos incorpora información de acuerdo a las propiedades que se derivan de un pronóstico óptimo (pruebas de e ciencia ) e t+h,t = vt 0 γ + u t+h H 0 : γ = 0. Regresión con Mínimos Cuadrados Ordinarios. Supuestos: 1 Tanto el error de pronóstico como las variables del conjunto de información, v t son estacionarias 2 u t+h es ruido blanco: cierto únicamente para errores de pronóstico un paso hacia adelante, para h > 1, el error presenta autocorrelación como la de un MA(h 1); pronósticos que no son óptimos pueden generar mayor autocorrelación

30 Evaluación de Pronósticos Evaluación de una serie de pronósticos Si el pronóstico es óptimo, γ = 0, u t+h s MA(h es que con esta regresión podemos probar ambas. 1), la idea Si rechazamos la hipótesis de e ciencia, podemos corregir el pronóstico inmediatamente: p (corr ) t+h,t = p t+h,t + be t+h,t = p t+h,t + v 0 t bγ

31 Evaluación de Pronósticos Comparación entre 2 o más pronósticos Otro tipo de evaluación del desempeño de un pronóstico consiste en evaluar el desempeño relativo entre dos pronósticos en tiempo real Usando cierta función de costos c(e) : f (1) : e (1) t+h,t = y t+h p (1) t+h,t f (2) : e (2) t+h,t = y t+h p (2) t+h,t. Podriamos comparar: 1 T T t=1 c e (1) t+h,t vs 1 T Supongamos c(e) = e 2, entonces: 1 T T e (1) 2 1 t+h vs t=1 T T t=1 c e (2) t+h,t. T e (2) 2 t+h t=1

32 Evaluación de Pronósticos Comparación entre 2 o más pronósticos Para comparar los elementos de la expresión anterior, podemos utilizar la prueba propuesta por Diebold y Mariano (1995). Se de ne al diferencial de costos como d t = c e (1) t+h,t c e (2) t+h,t. La prueba se puede expresar como: H 0: E [d t ] = 0 H 1: E [d t ] 6= 0. En muestras su cientemente grandes se puede emplear el estadístico t asociado al diferencial de costos _ d _ d = 1 T T t=1 d t, dado por S = bσ( _ s N(0, 1), donde bσ d ) (_ d) es el error _ estándar estimado de d.

33 Evaluación de Pronósticos Comparación entre 2 o más pronósticos _ La media muestral del diferencial de costos, d se puede obtener mediante la regresión general: d t = α + ε t+h ε t+h s MA(h 1). (1) H 0 : α = 0. h i h i Si α > 0, E c e (1) t+h,t > E c e (2) t+h,t, p (1) t+h,t preciso que p (2) t+h,t y viceversa. es menos

34 Combinación de Pronósticos Existe algun tipo de combinacion que, de alguna manera, sea mejor que los pronósticos individuales? c t+1 = λp (1) t+1,t + φp(2) t+1,t para pronósticos insesgados φ = 1 λ Usualmente, la combinación es mejor, mientras σ 2 c min σ 2 1, 2 σ2, aun cuando ambos pronósticos se encuentren elaborados con base en el mismo conjunto de información. (aunque esto implique suboptimalidad de ambos).

35 Combinación de Pronósticos Cómo estimamos λ y φ? Usando la regresión y t+1 = ˆλf (1) t+1,t + ˆφf (2) t+1,t Nota: En caso de la presencia de un muy mal pronóstico (pero consistente), podriamos obtener pesos negativos. Como la regresión es ine ciente con muchos pronósticos, podemos usar simplemente el promedio entre ellos, o podemos discriminar entre los peores pronósticos y eliminarlos de la regresion, para sólo trabajar con los mejores ("Trimming").

36 Bibliografía Recomendada Elliott, Graham, Clive W.J. Granger y Allan Timmermann, eds Handbook of Economic Forecasting. Elsevier. Granger, Clive W.J. y Paul Newbold Forecasting Economic Time Series. 2a ed. San Diego:Academic Press.