Optimización De Trayectorias Tipo Y Análisis De Parámetros Del Vuelo Peio Castellano Ugarte V

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1 Optimización De Trayectorias Tipo Y Análisis De Parámetros Del Vuelo Peio Castellano Ugarte V 1

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3 Índice de contenido 1. INTRODUCCIÓN Motivación Objetivos MÉTODO Presentación del problema Simplificaciones a trayectorias tipo Trayectorias Tipo Trayectoria tipo Trayectoria tipo Restricciones Restricciones comunes: Restricciones particulares...24 Trayectoria tipo Trayectoria tipo Límites...26 Trayectoria tipo 1:...26 Trayectoria tipo Fmincon Estructura del fmincon...29 Actualización del Hessiano...29 Subproblema QP...30 Método de line-search Aplicación de las restricciones...31 Restricciones no lineales:...31 Restricciones lineales Obtención del mínimo ANÁLISIS Crucero Trayectoria tipo Análisis de resultados

4 Diferencias entre los valores:...45 Evolución de las variables...46 Hessiano en diferentes puntos...47 Análisis...47 Valores para el análisis Trayectoria tipo Análisis del CI Método de continuación...52 Aplicación del método...52 Problemas del método de continuación...53 Mejora del método Resultados Influencia del peso inicial CONCLUSIONES...69 A: Nomenclatura...71 B: Cálculo del Hessiano...73 C: Ecuaciones...75 C.1 Cálculo del techo máximo...78 D: Modelo Aeronave...81 D.1 Modelo aerodinámico...81 D.2 Modelo propulsivo...82 Bibliografía

5 Índice de figuras [Fig. 1]: Trayectoria tipo [Fig. 2]: Ascenso en la trayectoria tipo [Fig. 3]: Crucero en la trayectoria tipo [Fig. 4]: Descenso en la trayectoria tipo [Fig. 5]: Trayectoria tipo [Fig. 6]: Ascenso en la trayectoria tipo [Fig. 7]: Crucero en la trayectoria tipo [Fig. 8]: Descenso en la trayectoria tipo [Fig. 9]: Relación TAS/CAS/M...24 [Fig. 10]: Consumo de combustible para distintas etapas y condiciones iniciales...38 [Fig. 11]: Evolución CAS ascenso con el numero de etapas de crucero...39 [Fig. 12]: Evolución Mach ascenso con el numero de etapas de crucero...39 [Fig. 13]: Evolución Mach de crucero con el numero de etapas de crucero...40 [Fig. 14]: Evolución Mach de descenso con el numero de etapas de crucero...40 [Fig. 15]: Evolución CAS descenso con el numero de etapas de crucero...41 [Fig. 16]: Evolución de las altitudes de crucero para 3, 4, 5 y 6 etapas de crucero...42 [Fig. 17]: Evolución de las altitudes de crucero para 7 y 8 etapas de crucero...43 [Fig. 18] Evolución del consumo con el número de etapas...44 [Fig. 19]: Efecto del CAS de ascenso y del Mach de descenso sobre la función objetivo...48 [Fig. 20]: Evolución de la función objetivo con el CI...54 [Fig. 21]: Evolución del CAS de ascenso con el CI...56 [Fig. 22]: Evolución de los distintos Mach con el CI...57 [Fig. 23]: Evolución de las altitudes de crucero con el CI...58 [Fig. 24]: Evolución de las distancias de crucero con el CI...59 [Fig. 25]: Evolución del CAS de descenso con el CI...59 [Fig. 26]: Tiempo de vuelo con el CI...60 [Fig. 27]: Altitud de transición de ascenso con el CI...61 [Fig. 28]: Altitud de transición de descenso con el CI...61 [Fig, 29]: Evolución de la trayectoria conforme varía el CI...62 [Fig. 30]: Detalle de fin de ascenso...62 [Fig. 31]: Detalle inicio de descenso...63 [Fig. 32]: Evolución del consumo de combustible con el peso inicial...64 [Fig. 33]: Evolución de los números de Mach con el peso inicial...65 [Fig. 34]: Evolución de los CAS con el peso inicial

6 [Fig. 35]: Evolución de las altitudes de crucero con el peso...66 [Fig. 36]: Evolución de las distancias con el peso inicial...67 [Fig. C.1] : Altitud máxima en función del Mach y del consumo

7 1. INTRODUCCIÓN 1.1 Motivación El exceso de aeronaves y el consumo de combustible de estas ha llevado a un aumento de los costes de vuelo (debido a tanto el aumento del precio del combustible como al gasto de tiempo). Debido a esto, y para abaratar costes, se ha propuesto por NextGen y por SESAR el concepto de Trajecory Based Operations (TBO, operaciones basadas en trayectorias). Para poder llevarse a cabo este concepto (TBO), en primer lugar han de optimizarse las trayectorias propias de cada aeronave y tratar de obtener el consumo mínimo del vuelo en función de los diferentes parámetros. El problema a la hora de realizar este tipo de análisis es el optimizar trayectorias sujetas a ligaduras. Para poder realizarlo en una primera aproximación, se simplifica el modelo a uno más sencillo (con un mucho menor número de grados de libertad) y se simplifica la trayectoria asumiéndola como una trayectoria tipo (en donde se pueden imponer ciertas ligaduras con un valor constante). En este caso, se han considerado dos trayectorias tipo, descritos en el apartado 2.3. Gracias a esto, se puede reformular el problema de trayectorias con ligaduras en un problema de optimización multivariable sujeto a ligaduras. 1.2 Objetivos Los objetivos principales del siguiente análisis sujeto a una aeronave predefinida (B ER) son: Optimizar teniendo en cuenta una combinación entre el combustible y el tiempo, relacionando ambas variables por un parámetro llamado CI, que sirve para marcar una relación de peso entre el combustible y el tiempo. Dentro de los parámetros que pueden afectar a la función objetivo, los dos parámetros principales a analizar son el peso y el CI. Con dichos parámetros se pueden similar dos de las variables que cambian de un vuelo a otro; el efecto del peso (dependiente de la carga) y el CI (dependiente de las aerolíneas y de la densidad del tráfico). Para poder llevar a cabo los objetivos anteriormente citados, el análisis debe realizarse siguiendo los siguientes pasos: Establecer las diferentes condiciones (lineales, no lineales y de contorno) para permitir un análisis del coste de la función objetivo. Optimizar las distintas trayectorias para obtener el consumo mínimo de cada una de ellas. Analizar las etapas de crucero y determinar el numero de etapas de crucero necesarias para simular, sin un excesivo error, un cruise climb (crucero en el que las altitudes varían constantemente). Realizar un análisis del vuelo teniendo en cuenta los diferentes parámetros a variar (peso y CI). 7

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9 2. MÉTODO 2.1 Presentación del problema Como se ha mostrado anteriormente, el problema a realizar es un análisis de Cost Index (CI) para un vuelo entre dos puntos. La aeronave con la que se plantea el problema es un Boeing ER. El procedimiento para poder realizar este análisis consiste en realizar diferentes simplificaciones y pasos intermedios que permiten llegar a un problema final a solucionar. Inicialmente, se realizan distintas simplificaciones y se utiliza el modelo de ecuaciones más adelante descrito (junto al Apéndice C). Una vez simplificadas estas ecuaciones mediante distintas consideraciones posteriormente explicadas; se pasa a un modelo de trayectorias tipo creadas a partir de la unión de distintos segmentos de vuelo. Dicha simplificación se realiza para simplificar el problema; ya que resulta mucho más sencillo la aplicación de las ligaduras a cada uno de los segmentos que establecer unas leyes de vuelo para la trayectoria global. En dicho análisis se proponen dos distintas trayectorias tipo; cada una de ellas con diferentes variables que las conforman A continuación; y antes de realizar un análisis de optimización (llevado a cabo mediante el algoritmo fmincon); se deben aplicar las distintas restricciones y condiciones que deben cumplirse para que el vuelo corresponda con una realidad física. Finalmente, el último paso antes de poder realizar un análisis del CI consiste en determinar en número de etapas de crucero necesarias para poder simular un cruise climb mediante un stepped cruise climb (más detallado a continuación) de la mejor manera posible, tratando de mantener un resultado cercano al cruise climb con el menor número de etapas de crucero posibles. Una vez realizado este paso, tan solo queda ver la trayectoria tipo de menor consumo y conducir el análisis del CI. 2.2 Simplificaciones a trayectorias tipo Para poder realizar el análisis se deben obtener primeramente las ecuaciones del movimiento de la aeronave. Las ecuaciones son las correspondientes a la mecánica del vuelo. Estas ecuaciones son las obtenidas mediante el uso de la segunda ley de Newton y la definición de velocidad [apéndice C]. Para simplificar el problema se tomarán en cuenta las siguientes simplificaciones: Aeronave: Se considera el avión (Boeing ER) como una masa puntual. También se considera el avión como un cuerpo rígido (sin tener en cuenta las deformaciones). De esta forma no se analiza el problema aeroelástico. Teniendo en cuenta esto, se reduce todo el problema al movimiento del centro de masas. Además, se considera que la aeronave es simétrica (en el plano vertical), como sucede para la gran mayoría de las aeronaves. Fuerzas inerciales causadas por la tierra, coriolis y centrífuga: Dichas fuerzas se consideran insignificantes (ordenes de magnitud inferior) en comparación con el resto de fuerzas. Esto es valido ya que el avión vuela a una velocidad subsónica y la distancia recorrida no es lo suficiente como para verse afectada por la rotación terrestre (es del mismo orden del radio de la tierra). Motor: Para los cálculos realizados se ha considerado que la dirección del empuje es siempre en la dirección de la velocidad. Por ello, los ángulos que fijan la dirección del 9

10 vector del empuje ε y ν [apéndice A] serán nulas (ε = 0; ν = 0). Modelo tierra: El trajectory considera un modelo de tierra genérico pudiendo tener en cuenta el efecto de esfericidad de la tierra. Sin embargo, por simplificar los cálculos se ha considerado un modelo de tierra plana. Gravedad: se considera que el efecto de la gravedad es constante y no varía con la altitud. Esto es válido ya que la altura de vuelo no sufre grandes variaciones. De hecho, dicha altura siempre se encuentra variando entre un límite inferior de pies (3048 metros) y siendo siempre inferior a 15 km. Se toma como módulo del vector gravedad el valor de la gravedad a nivel de mar g 0. Con estas simplificaciones, las ecuaciones de la mecánica del vuelo se pueden expresar de la siguiente forma: R E h d =V cos cos d t R E h cos d =V cos sin m d V d t d t d h =V sin d t =T D m g sin mv cos d =L sin d t m V d =L cos m g cos d t d m d t = c Ec. 1 Siendo: L, μ y el empuje T funciones independientes de las variables a integrar (ángulo de ataque, palanca del motor y μ). Para poder resolver el problema habrá que imponer lo que se conocen como ligaduras, flight constraints (3) para cerrar el problema. El sistema matemático a resolver se conoce con el nombre de DAE (Differential Algebraic Equations - ecuaciones algebraicas diferenciales-). Al ser ambos problemas de vuelo a optimizar vuelo realizados tan sólo en el plano vertical, las ecuaciones se simplifican al estar el rumbo prefijado con la ligadura: χ = χ A. Introduciendo esta ligadura las ecuaciones se simplifican como se puede observar el conjunto de ecuaciones de a continuación [ec. 2]. Cabe destacar que al estar el rumbo fijado, resulta de mayor interés conocer la distancia recorrida en lugar de la latitud y de la longitud. 10

11 d r =V cos R E V cos d t R E h d h =V sin d t m d V d t =T D m g sin 0 mv d d t = L m g cos 0 d m d t = c Ec. 2 Teniendo ya definida una ligadura, tan sólo es necesario el implementar las dos restantes para la resolución del problema. Como se ha expresado anteriormente, la resolución de las DAE resulta muy costosa. Por ello, se realiza otra simplificación que consiste en separar el vuelo en una unión de distintos tramos en donde se realiza el vuelo con las dos condiciones de vuelo (ligaduras) restantes fijas. Esto permite una resolución del problema mucho más sencilla y menos costosa, que resulta muy valida para una primera aproximación. Para ello se ha procedido a separar el vuelo en distintos tramos o segmentos. El vuelo completo constara de la unión de varios segmentos. Esto conllevará a que existan discontinuidades (saltos bruscos) en γ. Dichas discontinuidades son insignificantes en comparación con la trayectoria completa y apenas afectan al resultado final. En este caso se han tomado dos trayectorias tipo (formadas cada una por distintos segmentos); para tratar de simular las dos trayectorias mencionadas anteriormente que podría realizar la aeronave. El análisis final de cada trayectoria se realizara como una suma de todos los segmentos que la componen. Las condiciones de parada en el análisis de cada segmento están determinadas por las condiciones iniciales del siguiente segmento, así todos los segmentos pueden ser unidos. Para el análisis de cada uno de los segmentos se utilizara una herramienta escrita en MatLab llamada Trajectory. El funcionamiento básico del Trajectory es aplicar para cada uno de los distintos segmentos las tres ligaduras de cada segmento a cada una de las ecuaciones expresadas anteriormente [ec. 2]. Además, se imponen las condiciones iniciales de cada uno de los segmentos (que son las condiciones finales del tramo anterior o, en caso de que se trate del primer tramo, las condiciones iniciales del problema), junto con la condición de parada de cada segmento. De esta forma se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) para cada uno de los segmentos; problema de menor complejidad que se resuelve hasta alcanzar las condiciones de parada impuestas. Finalmente, se agregan sumar los segmentos y se considera como la solución del problema (consumo de combustible) la diferencia entre la masa al inicio de la trayectoria y la masa al finalizar el último segmento. 11

12 2.3 Trayectorias Tipo Las dos trayectorias tipo a analizar son una de ascenso CAS/Mach seguido de un crucero escalonado ( stepped cruise climb ) y de un descenso Mach/CAS y otra de un ascenso a velocidad vertical ( Rate of Climb ) constante en tres etapas seguido de un crucero escalonado ( stepped cruise climb ) para finalizar en un descenso a Rate of Descent ( Rate of Climb negativo) constante en tres fases. Ambas trayectorias comienzan a pies y CAS de 250 nudos (3048 m y TAS de m/s) Trayectoria tipo 1 Como se puede observar en la gráfica a continuación [fig. 1], la trayectoria 1 está formada por distintos segmentos, habiendo que definir en cada uno de los tramos las diferentes ligaduras (flight constraints) que permiten convertir el sistema de DAE's en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cabe destacar que al tratarse de un vuelo en el plano vertical, el rumbo es siempre constante. De esta forma se tiene determinada la primera ligadura para todos los tramos a l t u r a [ m ] t r a m o d e a s c e n s o t r a m o s c r u c e r o t r a m o d e d e s c e n s o d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 1: Trayectoria 1 Esta trayectoria, al igual que la segunda trayectoria tipo, puede ser dividida en tres tramos (ascenso, crucero y descenso). En esta trayectoria tenemos un tramo de ascenso realizado de forma a CAS/Mach, vuelo de crucero en un modo conocido como stepped cruise climb y un tramo de descenso, también construido a modo de Mach/CAS. A su vez cada tramo contiene diferentes segmentos que servirán de nexo entre los diferentes tramos. Cada tramo está subdividido en distintos segmentos donde se impondrán las diferentes ligaduras. Al final de cada tramo se adjuntan diferentes figuras [fig. 2], [fig. 3] y [fig. 4] para facilitar la explicación. En dichas figuras, también se establecen las ligaduras introducidas para cada uno de los segmentos. 12

13 Ascenso: El tramo de ascenso está compuesto por cuatro segmentos distintos: Aceleración horizontal desde la velocidad inicial (250 nudos) hasta la velocidad a la que se realiza el siguiente tramo, que a partir de ahora será conocida como CAS de ascenso (o simplemente CAS A ). Este vuelo se realizará a altitud constante y a un rating de motor de MCLB (Maximum Climb Rating). De esta forma las dos ligaduras restantes serán que la altitud se mantiene constante y el motor se mantiene a un rating de MCLB. La condición de parada vendrá dada cuando se alcance un CAS A. Ascenso a CAS constante. Esta es la primera parte de lo que se podría considerar como ascenso propiamente dicho. Esta parte se realiza a un CAS constante (CAS A ) y a motor constante. Por lo tanto, las ligaduras correspondientes a este tramo serán el CAS, que permanecerá constante y el rating de motor, que como en el tramo anterior se mantendrá constante en MCLB. La condición de parada para este segmento será cuando se alcance un Mach correspondiente al utilizado en el siguiente tramo. Acenso a Mach constante. Como su propio nombre indica, se trata de un vuelo a Mach constante, denominado a partir de ahora como M A. Esta podría considerarse como la segunda parte del ascenso. Este segmento, como los anteriores, también se realiza con un rating de motor constante a MCLB. La ligadura restante está relacionada con la velocidad, al imponer que el Mach se mantenga constante. El cálculo de las variables se realizará hasta alcanzar una altitud que corresponde a la primera altitud en los tramos de crucero, dato que se detallará a continuación. Adaptación del Mach. Este segmento es un segmento de nexo entre el ascenso y el tramo de crucero. La intención de este segmento es adaptar el Mach usado para el ascenso (M A ) al Mach en que se realizará el crucero (detalles a continuación). Dicho tramo se realiza a altitud constante, correspondiente a la primera altitud de crucero. La otra ligadura dependerá de la relación entre los números de Mach. Si el Mach de ascenso es inferior al Mach en que se realiza el crucero, las condiciones de motor constante serán de MCLB, lo que se traduce a una aceleración. Si por contra, el M A es superior al Mach de crucero, la condición de motor constante será de IDLE, llevando a una deceleración. La parada de la integración se realizará una vez se alcance el Mach de crucero. 13

14 a l t u r a [ m ] m o t o r = M C L B ; h = m m o t o r = M C L B ; C A S = C A S A m o t o r = M C L B ; M = M A m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h c r ( 1 ) d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 2: Ascenso en la trayectoria 1 Crucero: Como esta demostrado en diferentes libros de texto y puede comprobarse en la bibliografía [ref. 13], el vuelo a velocidad de crucero constante en cruise climb puede considerarse como el vuelo con menor consumo y mayor eficiencia. Al ser este el objetivo del análisis, resulta ser la mejor opción para el problema a tratar. Sin embargo, debido a las restricciones impuestas por los servicios de control de tráfico aéreo, no es factible realizar un vuelo en cruise climb. A modo de aproximación se procede a simular un vuelo en stepped cruise climb. Para simular este tipo de crucero, la parte de crucero consta de la suma de diferentes segmentos, predefinidos anteriormente. Cada segmento de crucero se realiza a una altitud constante y estos segmentos están unidos por distintos tramos de ascenso. Segmentos de crucero. Cada uno de estos segmentos de realiza a una altitud diferente, pero todos ellos se realizan a un mismo Mach crucero (M cr ). Esto se debe a que el crucero de mínimo consumo; de entre las diferentes posibilidades es el que se obtiene al establecer un Mach de crucero constante. Las dos ligaduras restantes de este tramo son el mantener tanto el Mach como la altitud constante. La condición de parada viene determinada por una variable externa que indica dónde detener el segmento de crucero y comenzar el siguiente segmento. Segmentos de adaptación (ascensos). El número de este tipo de segmentos es siempre inferior en una unidad (uno menos) que los tramos rectos de crucero. Estos segmentos se inician donde indica la variable externa que se detenga la etapa de crucero anterior. Estos segmentos están determinados por mantener el Mach constante (siendo el mismo para todo el crucero) y por realizarse a un rating de motor fijo denominado MCRZ. La condición de parada en este caso viene dada cuando se alcanza la altitud impuesta para el siguiente segmento de crucero. 14

15 1. 1 x a l t u r a [ m ] h = c o n s t a n t e ; M = M c r 1 m o t o r = M C R Z ; M = M c r d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 3: Crucero en la trayectoria 1 Descenso: El tramo de descenso, al igual que el de ascenso también está compuesto por cuatro segmentos distribuidos de forma inversa al tramo de ascenso. El tramo de descenso comienza en un punto denominado CSR (Cruise Speed Reduction Point), punto determinado mediante iteración. Éste es el punto de parada del tramo de crucero. Más adelante se hará referencia a este punto para la aplicación de distintas condiciones. Sin embargo; para esta trayectoria tipo, el punto de fin de crucero (CSR) no coincide con el punto en el que comienza a descender la altura (TOD, Top Of Descent) debido a la necesidad de un segmento de adaptación de velocidades. Adaptación del Mach. Análogamente a lo que sucede en el tramo de ascenso, este segmento trata de adaptar el Mach de crucero al Mach de descenso (M D ). Como sucede en el tramo de ascenso, la idea de este segmento es ser un nexo entre el crucero y el descenso. Dicho tramo se realiza a altitud constante, correspondiente a la última altitud de crucero. Como en el caso anterior, la otra ligadura dependerá de la relación entre los números de Mach. Si el Mach de descenso es superior al Mach en que se realiza el crucero, las condiciones de motor constante serán de MCLB, lo que se traduce a una aceleración. Si por contra, el M D es inferior al Mach de crucero, la condición de motor constante será de IDLE, llevando a una deceleración. Análogamente a lo que sucede para el ascenso, la parada de la integración se realizará una vez se alcance el Mach de crucero. Descenso a Mach constante. Se trata de la primera de las dos partes del descenso propiamente dicho. Se trata de un tramo de descenso que se realiza a Mach constante (M D). Las ligaduras de este tramo son una condición de velocidad constante, mediante un Mach de valor fijo, y una condición de motor, al que se impone un rating constante de IDLE. La detención del integrador viene dada cuando se alcanza el valor de CAS 15

16 utilizado en el siguiente segmento. Descenso a CAS constante. Consiste en la segunda parte del descenso. Esta parte se realiza a un CAS constante y equivalente al anteriormente nombrado CAS D y a motor constante. Las ligaduras correspondientes a este tramo serán el CAS, que permanecerá constante y el rating de motor, que como en el tramo anterior se mantendrá constante en IDLE. La condición de parada se alcanza cuando se llega a la altitud de pies (3048 metros). De esta forma ya se tiene la misma condición de altitud que en las condiciones iniciales. Deceleración horizontl. Este segmento sirve para alcanzar las condiciones finales, iguales a las iniciales. Al estar la altitud ya obtenida, tan solo queda por obtener la condición de velocidad de 250 nudos. Para ello se decelera a altitud constante. Las ligaduras de este segmento son el mantener la altitud constante y el motor constante en IDLE. La condición de parada es alcanzar la condición final de CAS, y de esta forma conseguir las mismas condiciones finales que las iniciales (vuelo a 250 nudos y a pies) m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h c r ( e n d ) m o t o r = I D L E ; M = M D m o t o r = I D L E ; C A S = C A S D m o t o r = I D L E ; h = m a l t u r a [ m ] d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 4: Descenso de la trayectoria 1 Definidos los segmentos, los grados de libertad del problema son los siguientes: CAS A : CAS de ascenso constante. Es la velocidad a la que se realiza el primera tramo de ascenso propiamente dicho. M A : Mach de ascenso constante. Mach al que se realiza la segunda parte del ascenso como tal. M cr : Mach de crucero constante. Mach al que se realizan todos los tramos de crucero, tanto los de altitud constante como los de altitud variable. El hecho de que sea constante en todos los tramos ya ha sido explicado anteriormente. 16

17 h cri : Se trata de la altura de crucero constante correspondiente al tramo i de crucero. Habrá tantos valores de altura h cri como etapas tenga el crucero. En el caso del ejemplo (de 3 etapas de crucero) habrá los valores h cr1, h cr2 y h cr3 correspondiente cada uno al primer, segundo y tercer tramo de crucero respectivamente. r cri : Se trata de la distancia a la que se interrumpe la evolución a altura constante del segmento i de crucero. Habrá tantos valores de r cri como etapas de crucero menos una. En el caso del ejemplo (de 3 etapas de crucero) habrá los valores de r cr1 y r cr2 correspondientes a las condiciones de parada del primer y del segundo tramo de crucero respectivamente. M D : Mach de descenso constante. Mach al que se realiza la primera parte del descenso como tal. CAS D : CAS de descenso constante. Es la velocidad a la que se realiza el segundo segmento de descenso propiamente dicho Trayectoria tipo a l t u r a [ m ] t r a m o d e a s c e n s o t r a m o s c r u c e r o t r a m o d e d e s c e n s o d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 5: Trayectoria tipo 2 Al igual que la anterior trayectoria, esta trayectoria puede ser dividida en tres tramos: un tramo de ascenso realizado a diferentes Rate of Climb (R/C) constantes, un tramo de vuelo de crucero (en el previamente mencionado modo stepped cruise climb ) y un tramo de descenso, también realizado como una suma de segmentos a distintos R/C (Cada tramo a su vez esta subdividido en distintos segmentos donde se impondrán las diferentes ligaduras). Al igual que para la anterior trayectoria, al final de cada explicación se adjuntan diferentes figuras [fig. 6], [fig. 7] y [fig. 8] para facilitar la explicación. En dichas figuras, también se establecen las ligaduras introducidas para cada uno de los segmentos. Ascenso: El tramo de ascenso también está compuesto por cuatro segmentos. A diferencia del caso anterior, en este caso no existe un segmento de adecuación entre las condiciones iniciales a las condiciones de ascenso, si no que se comienza a ascender desde 17

18 el primer momento. Los diferentes segmentos en este tramo son los siguientes: Primer segmento de ascenso a R/C constante: Como su propio nombre indica, en este segmento se asciende manteniendo constante la variable R/C. El valor de este R/C de vuelo constante se define ROC 1. Teniendo de esta forma una de las dos ligaduras requeridas ya definida (como una velocidad), tan solo queda una ligadura por definir. La ligadura restante se impone al fijar el rating de motor constante en la configuración de 'MCLB'. La condición de parada para finalizar la integración en este segmento es una altitud a la que se finaliza el segmento, h a1. Segundo segmento de ascenso a R/C constante: Segmento de ascenso análogo al anterior con las mismas ligaduras. Sin embargo, el valor constante de R/C en este caso es ROC 2. La condición de parada sigue siendo una altitud, siendo en este caso h a2. Tercer segmento de ascenso a R/C constante: Último segmento de ascenso a R/C constante, manteniendo el rating de motor 'MCLB' y manteniendo una altitud como condición de parada. En este caso, el R/C constante es ROC 3 y la altitud para la parada es la altitud correspondiente a la primera etapa del crucero. Adaptación de la velocidad: Tal y como sucede en la trayectoria anterior, es posible que la velocidad a la que se finaliza el último segmento de ascenso real no coincida con la velocidad a la que se realiza el crucero. Para acomodar estas dos velocidades se dispone de un segmento a modo de nexo para adaptar estas dos velocidades. Dicho segmento se realiza a altitud constante, correspondiente a la primera altitud de crucero (la altitud final de ascenso). La otra ligadura dependerá de la relación entre los números de Mach. Si el Mach al finalizar el ascenso es inferior al Mach en que se realiza el crucero, las condiciones de motor constante serán de MCLB, lo que se traduce a una aceleración. Si, por contra, este Mach al final del descenso es superior al Mach de crucero, la condición de motor constante será de IDLE, llevando a una deceleración. La parada de la integración se realizará una vez se alcance el Mach de crucero. 18

19 a l t u r a [ m ] m o t o r = M C L B ; R / C = R O C 1 m o t o r = M C L B ; R / C = R O C 2 m o t o r = M C L B ; R / C = R O C 3 m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h ( 1 ) c r h = h a 1 h = h a d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 6: Ascenso de la trayectoria 2 Crucero: Exactamente igual que en el caso anterior x a l t u r a [ m ] h = c o n s t a n t e ; M = M c r m o t o r = M C R Z ; M = M c r d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 7: Crucero en la trayectoria 2 19

20 Descenso: El tramo de descenso es bastante similar al de ascenso, haciendo el descenso en distintos tramos y después adaptando velocidades. Al igual que el tramo de ascenso, esta compuesto de 4 segmentos. Por contra, a diferencia del caso de ascenso, este tramo contiene diferentes condiciones de motor, y una distinta disposición de los segmentos. En el caso de esta trayectoria tipo, la distancia de fin del crucero (CSR) coincide con el punto la altitud comienza a disminuir (TOD). Primer segmento de descenso: En este segmento se realiza el primer tramo de descenso. A diferencia del ascenso, dicho descenso se realiza a un valor de Rate of Descent (R/C de signo negativo) constante, ROD 1. La condición de ligadura restante viene impuesta por el motor, al que se impone un régimen de motor constante en ralentí (IDLE). La condición de parada se encuentra definida por una altitud, impuesta mediante una variable externa (h d1 ). Segundo segmento de descenso: Este segmento, tal y como sucedía en el caso del ascenso; es un segmento igual al anterior pero con diferentes valores para la ligadura de velocidad ( Rate of Descent ) y con distinto valor de altitud de parada. En este caso el valor de la ligadura de velocidad es ROD 2 y el valor de altitud de parada es h d2. Tercer/último segmento de descenso: Segmento análogo a los dos segmentos anteriores de descenso, variando en el valor de la condición de parada y en el valor de la ligadura de la velocidad ( Rate of Descent ). En este caso el valor de la ligadura en velocidad es ROD 3. La condición de parada en la altitud está determinada por la altitud final de la trayectoria (10000 pies). Adaptación de velocidad: Una vez la condición final de altitud ha sido alcanzada, tan solo queda por alcanzar la condición final de velocidad (CAS de 250 nudos). Dicha adaptación se realiza a altitud constante, de pies. De esta forma, la primera ligadura ya ha sido impuesta como una ligadura de altitud constante. La condición de parada es el alcanzar la condición final de velocidad del vuelo (el anteriormente definido CAS de 250 nudos). En cuanto a la segunda ligadura; esta ligadura, que consiste en imponer régimen de motor constante, depende del valor del CAS final del segmento anterior. Si este valor es superior a 250 nudos, la condición de motor será de 'IDLE' (ralentí) para decelerar. Si por contra, este valor es inferior a los 250 nudos, la condición de motor será de 'MCLB', produciendo un incremento de velocidad. 20

21 m o t o r = M C L B ; R / C = R O D m o t o r = M C L B ; R / C = R O D 2 m o t o r = M C L B ; R / C = R O D 3 m o t o r = M C L B / / I D L E ; h = h ( e n d ) c r a l t u r a [ m ] h = h d 1 h = h d d i s t a n c i a r e c o r r i d a [ m ] x Figura 8: Descenso de la trayectoria 2 Tal y como se ha realizado para la trayectoria tipo 1; una vez ya han sido definido los diferentes segmentos, tan solo resta por expresar los distintos grados de libertad del problema. Dichos valores se pueden resumir en los siguientes valores: ROC 1 : Velocidad de ascenso. Se trata del Rate of Climb (velocidad de ascensión) al que se realiza el primer segmento de ascenso. h a1 : altitud intermedia. Esta altitud es la altitud que indica el punto donde se pasa del primer al segundo segmento de la trayectoria. Se trata de la altitud a la que se interrumpe el primer segmento y se inicia el siguiente segmento. ROC 2 : Velocidad de ascensión constante a la que se realiza el segundo segmento del ascenso, y de la trayectoria. h a2 : altitud de transición en la que se concluye en segundo segmento de ascenso y se inicia el tercer segmento de ascenso. ROC 3 : Velocidad de ascensión constante a la que se realiza el tercer segmento de la trayectoria global. M cr : Mach de crucero constante. Mach al que se realizan todos los tramos de crucero, tanto los de altitud constante como los de altitud variable. h cri : Se trata de la altura de crucero constante correspondiente al tramo i de crucero. Habrá tantos valores de altura h cri como etapas tenga el crucero. En el caso del ejemplo (de 3 etapas de crucero) habrá los valores h cr1, h cr2 y h cr3 correspondiente cada uno al primer, segundo y tercer tramo de crucero respectivamente. r cri : Se trata de la distancia a la que se interrumpe la evolución a altura constante del segmento i de crucero. Habrá tantos valores de r cri como etapas de crucero menos una. En 21

22 el caso del ejemplo (de 3 etapas de crucero) habrá los valores de r cr1 y r cr2 correspondientes a las condiciones de parada del primer y del segundo tramo de crucero respectivamente. ROD 1 : Velocidad de descenso. Se trata del Rate of Descent (velocidad de ascensión negativa) al que se realiza el primer segmento de ascenso. h d1 : altitud intermedia. Esta altitud es la altitud que delimita el punto donde se pasa del primer al segundo segmento del descenso. Se trata de la altitud a la que se interrumpe el primer segmento y se inicia el siguiente segmento del descenso. ROD 2 : Velocidad de ascensión (negativa) constante a la que se realiza el segundo segmento del descenso. h d2 : altitud de transición en la que se concluye en segundo segmento de descenso y se inicia el tercer segmento de descenso. ROD 3 : Velocidad de descenso constante a la que se realiza el tercer segmento del descenso. 22

23 2.4 Restricciones Una vez definidas las dos posibles trayectorias, deben establecerse las restricciones que rigen cada una de las distintas trayectorias. Al tratarse de un problema real y no uno matemático, donde cualquier condición es válida, las variables deben tener sentido físico y cumplir ciertas restricciones. A modo de un ejemplo simple, las altitudes no pueden ser negativas, ya que aunque matemáticamente se puede obtener una solución con una altitud negativa, dicha solución no es puede conseguirse físicamente. Adicionalmente, estas restricciones son en muchos casos necesarias para el correcto funcionamiento del programa de cálculo de la trayectoria tipo. Debido a la definición de las variables dentro Trajectory y a las uniones entre segmentos, existen ciertas restricciones de parada que marcan tanto el fin de un segmento como el inicio del siguiente. Para poder satisfacer las restricciones de parada y, en algunos casos, permitir que se alcancen, se imponen determinadas restricciones. Al haber dos trayectorias tipo, existen ciertas restricciones que son comunes en ambas trayectorias, mientras que hay otras ciertas restricciones que son propias de cada trayectoria. Las restricciones particulares referidas a cada trayectoria tipo dependen en parte de las variables que diferencian esta trayectoria tipo. Dichas variables son las que definen el ascenso o descenso Restricciones comunes: Las restricciones comunes a ambas trayectorias; que deben tenerse en cuenta para la correcta definición del problema son las siguientes. 1. Restricciones de motor. Como era de suponer, para que el problema tenga una realidad física y sea real, el motor debe estar limitado en empuje, como sucede en los motores reales. A pesar de que el motor está definido en casi la totalidad de los segmentos, quedan algunos segmentos en la trayectoria donde queda por determinar la condición de motor (los segmentos de crucero), y comprobar que se encuentra en los límites aceptados por el motor para la condición de vuelo en la que se encuentra (crucero). 2. Restricciones de altitud de crucero Como todas las aeronaves, esta aeronave tiene un techo máximo, dependiente tanto del Mach como del peso. Por ello, aunque se haya determinado el techo máximo, este depende del Mach en cada momento. Este efecto hace que dependiendo al Mach de crucero al que se vuele la altitud máxima varíe. Es por ello que se debe comprobar la altitud de crucero con respecto al Mach (ver [Apéndice C.1]). 3. Restricción de distancia final Al igual que sucede con las altitudes, es necesario limitar la distancia recorrida en los diferentes segmentos a altitud constante a las que se realiza el crucero. Como se explica a continuación, las distancias intermedias se limitan a partir de la distancia final. Por contra, la última distancia de crucero no tiene un límite final y necesita limitarse con un valor anterior al inicio del descenso. Por ello, se debe evitar que la distancia a la que se finaliza la última etapa de crucero se sitúe tras el anteriormente mencionado punto de CSR para no interferir en el descenso. A esta restricción también debe añadírsele una cierta tolerancia. 4. Restricciones de altitud: Ciertas restricciones a implementar están relacionadas con el aumento de altitudes durante el 23

24 crucero. Como se ha mostrado anteriormente, para que el crucero sea óptimo debe llevarse a cabo en lo que se conoce como stepped cruise climb, tal y como está mostrado en la gráfica anterior [fig. 3]. Para que este tipo de crucero se de, las altitudes de crucero deben ir incrementando siendo mayores para cada tramo. Al tratarse de una relación para dos altitudes, el numero de restricciones de este tipo tiene que ser el mismo que el numero de tramos a los que se realiza el crucero menos uno, para así poder relacionar todas las altitudes de crucero. 5. Restricciones de distancia Estas restricciones tienen la misma base que las anteriormente citadas. En este caso lo que se intenta limitar es la separación entre las distintas r cri. Para que el problema mantenga su significado físico, debido a la definición que se les ha dado, estos valores deben ir siempre en aumento con respecto al valor anterior. Además de lo anterior, como se puede observar en la definición del problema (o en la gráfica anteriormente mencionada [fig. 3]), entre dos segmentos de vuelo a altitud constante en el crucero existe un segmento de ascenso a Mach constante que sirve de forma de nexo entre las dos altitudes. Dicho segmento recorre una cierta distancia para poder conseguir esa adecuación de altitudes. Debido a ello, no es suficiente con que los valores de las componentes de r cr vayan en aumento, sino que además se tiene que garantizar una separación mínima entre las distancias. A modo de establecer un valor, se puede considerar dicha distancia mínima como un 5% de la distancia total de vuelo a l t u r a a d i m e n s i o n a l i z a d a [ ] E v o l u c i ó n T A S E v o l u c i ó n C A S E v o l u c i ó n M a c h T A S / C A S / M a c h a d i m e n s i o n a l i z a d a [ ] Figura 9: Relación TAS/CAS/M Restricciones particulares. Como se ha expresado anteriormente, existen ciertas restricciones a aplicar que tan sólo atañen a cada una de las trayectorias. Dichas restricciones se encuentran relacionadas con el ascenso y el 24

25 descenso, que es básicamente lo que diferencia cada una de las 2 trayectorias tipo. Trayectoria tipo 1. Las restricciones que se necesitan imponer para la trayectoria tipo 1, son las relacionadas con los valores de CAS o Mach de ascenso/descenso. Las restricciones extra que se imponen pueden agruparse en el siguiente grupo de restricciones: Restricciones de altitud de transición: Tanto en el ascenso como en el descenso de vuelo está formado por dos segmentos, uno de CAS constante y otro de Mach constante. De este forma se consigue el ya mencionado ascenso CAS/Mach o descenso Mach/CAS. Para que se puedan mantener las restricciones finales de un segmento como las iniciales del siguiente, la unión de estos segmentos debe darse en un cierto punto. Este punto es el conocido como altitud de transición (transition altitude) y viene determinado por los valores del CAS y del Mach anteriormente mencionados. La evolución de esta altitud de transición con las variables es la siguiente, conforme se aumenta el CAS, la altitud disminuye. Esto se debe a que conforme se asciende a CAS constante el Mach aumenta, en parte debido a la disminución de la velocidad del sonido. (ver figura que muestra la relación de las variables CAS-TAS-Mach cuando una se mantiene constante con el aumento de altitud [fig. 9]). Por tanto, cuanto mayor sea el CAS de ascenso constante, antes se alcanzará un Mach mayor, correspondiente al Mach del segmento de Mach constante, implicando una disminución en la altura de transición. En cuanto a la relación de la altitud de transición con el Mach, conforme el Mach disminuye la altitud de transición desciende, por la misma razón que el caso anterior. Trayectoria tipo 2. En este caso, las restricciones a imponer en la trayectoria tipo 2 están relacionadas con los valores de Rate of Climb/Descent y a las altitudes que interrumpen los diferentes tramos de ascenso y descenso. Para condicionar este problema (obligando a que las variables cumplan la realidad física) se necesitan imponer los dos siguientes grupos restricciones: Restricciones de motor para ascenso/ descenso. La limitación de los valores de Rate of Climb/ Rate of Descent se lleva mediante la imposición de restricciones relacionadas con el motor y las alturas de parada (h ai y h di ). Esto se debe a que, al ser las altitudes a las que se realizan los diferentes tramos a R/C y R/D constante una variable; dichas altitudes variarán conforme avance la optimización, llevando a la necesidad de incluirlas en las restricciones. Para ambos casos se procederá a una limitación basada en tratar de obtener el empuje para cada punto de la trayectoria. Posteriormente se trata de establecer (mediante distintas simplificaciones) límites para la variación de la velocidad (ya que por ejemplo un R/C excesivo podría llevar a un descenso excesivo de la velocidad, y la posterior entrada en pérdida). Restricciones de altitudes intermedias. Como sucede para el caso de la trayectoria tipo 1, las altitudes intermedias a las que se unen las diferentes etapas del ascenso (y descenso) se tienen que limitar. Mientras que en el primer tipo de trayectoria estas variables había que obtenerlas a partir de las variables de entrada; en este caso, las altitudes intermedias son grados de libertad, por lo que pueden ponerse los límites de la misma manera que las altitudes de crucero. En este caso, lo que se 25

26 debe imponer es que las altitudes intermedias de ascenso siempre vayan en ascenso, pero manteniéndose siempre menores a la primera altitud de crucero. Las altitudes de descenso, por contra, deberán ir disminuyendo pero siendo siempre mayores a la altitud final de pies Límites Para finalizar con la limitación de las variables, otra forma de limitar los valores que adquieren ciertas variables es fijando sus posibles valores máximos y mínimos. Esto debe realizarse para evitar valores carentes de sentido para que durante la iteración para obtener el mínimo, no se utilicen valores que, por carecer de lógica, lleven a la interrupción del proceso.. Para poder realizarse lo anterior, se deben asegurar el resto de restricciones de forma que ninguna de las restricciones anteriormente citadas haga que los valores de las variables salga del rango definido. El rango permitido para la variación de los grados de libertad es el siguiente: Trayectoria tipo 1: CAS: El CAS se limita de diferente forma dependiendo de si trata del ascenso o del descenso: CAS A : El caso del Mach de ascenso es el más sencillo de limitar. Esto se debe a que el límite inferior se controla mediante la condición de altitud de transición; por al cual se obtienen valores de CAS A superiores siempre al valor establecido como mínimo. Aparte de esto, la solución tiende a tomar valores más altos en el caso del ascenso que en el descenso; siendo el límite inferior más difícil de alcanzar en el caso del ascenso. En el caso del límite superior, al estar el motor en un rating que produce mucho empuje ('MCLB'), se tiene empuje suficiente incluso como para vencer a altos valores de resistencia; producidos por un valor elevado de velocidad. Por ello, los valores tomados para limitar el CAS de ascenso son un valor de CAS mínimo de 260 nudos y de CAS máximo de 400 nudos (205,7776 m/s). CAS D : El caso del CAS de descenso es más complicado de limitar que en el ascenso. El límite inferior es complicado de determinar ya que según se aumenta la altitud para un CAS constante, el TAS disminuye, disminuyendo la velocidad hasta llegar a un punto no es suficiente como para mantener el vuelo. Además de esto, al ser la altitud final de crucero mayor a la inicial del crucero, la restricción de la altitud de transición no contribuye a limitar esta variable como en el caso del CAS A, por lo que el valor debe limitarse mediante los límites descritos a continuación. Para complicar aún más el problema si cabe, es más probable que esta variable se torne hacia el valor mínimo en ciertas restricciones, haciendo que la limitación de este valor sea mucho más crítica. Considerando la limitación inferior, debido a la definición del problema, el valor mínimo de CAS D debería ser el valor de 250 nudos. En este caso, la limitación ha sido una restricción impuesta por la definición del problema; por lo que en caso de que el óptimo se alcance para este punto no implica que la restricción sea incorrecta. En cuanto a la limitación superior, el empuje producido por el motor es mucho menor que en el caso de ascenso; ya que en este caso se tiene el motor en ralentí. Debido a ello, aun y cuando el efecto del peso es favorable (al ser negativo), los valores de velocidad para los cuales se vence a la resistencia aerodinámica son menores. Para la determinación de este valor (altamente dependiente de la altitud de transición), se procede a varias pruebas; obteniendo un límite superior de 380 nudos ( m/s). 26

27 Mach: Las razones para la limitación del Mach de vuelo son análogas a las del CAS. En este caso, el Mach máximo (límite superior) se estima en torno a 0'86, valor máximo de Mach de vuelo según la bibliografía [ref. 1] y también a partir del trajectory. En cuanto al Mach mínimo, la limitación inferior se debe realizar de una forma más precisa. Esto se debe a que, por ejemplo, el Mach de descenso es la variable (dentro de los diferentes Mach) que obtiene valores más bajos; sobretodo en cuanto se realiza el análisis del CI. Por ello, el valor límite considerado como inferior es el de 0,455 (para los distintos valores de Mach); valor que proporciona una altitud de transición ligeramente superior a los pies iniciales cuando se combina con un CAS de descenso de 250 nudos (CAS mínimo de descenso). Altitudes: Las altitudes deben ser limitadas para evitar que mientras se producen las iteraciones, se alcancen valores ilógicos y/o incompatibles con el problema. Estas limitaciones han de afectar tanto a los valores superiores como a los valores inferiores de altitud. Considerando el límite superior, este se ha limitado usando la altitud máxima anteriormente mencionada. Al tratarse de una limitación que afecta a todos los segmentos de crucero, se ha considerado un consumo de combustible de en torno al 50% del combustible inicial, lo que corresponde a una altura máxima de en torno a 13'5 km. En cuanto a la altitud mínima, el valor tomado como cota inferior es de pies (unos 7620 metros). Cabe destacar, como ya se remarca a continuación, que en ningún caso se obtiene la solución para un valor de altitud igual a cualquiera de los límites. Distancias: Las limitaciones optadas para las distancias de fin de cada tramo de crucero han sido las siguientes. Como límite inferior se ha impuesto el valor de 10 6 metros, de esta forma se asegura que el primer segmento de crucero finaliza una vez se ha terminado todo el tramo de ascenso. El límite final ya ha sido impuesto como una restricción común a ambas trayectorias tipo. Los valores intermedios de estas distancias ya vienen denotados por las restricciones no lineales expresadas anteriormente. Trayectoria tipo 2 En lo referente a los límites de la trayectoria tipo 2, no hay mucho que destacar; ya que la mayoría de las variables que necesitan ser limitadas son las misma que han sido limitadas anteriormente. Las limitaciones utilizadas son las siguientes: R/C y R/D: estas variables ya han sido limitadas mediante las restricciones no lineales impuestas anteriormente. Tan solo se deben poner ciertos valores orientativos para el caso en que alguna de las restricciones anteriores fallara en algún punto. Dichos valores vienen expresados en un capítulo más adelante, ya que como se observará, las restricciones mostradas anteriormente limitan mucho la resolución del problema. Altitudes de crucero: al ser el mismo crucero que en la trayectoria tipo 1, las limitaciones para las distintas altitudes de crucero se realizarán de la misma forma que para la trayectoria tipo 1. Distancias de crucero: análogamente al caso de las altitudes de crucero, las distancias de crucero se limitan con los mismos valores que en la trayectoria tipo 1. Mach de crucero: al ser el mismo crucero que la trayectoria tipo 1, el Mach de crucero estará 27