Estadística Espacial

Transcripción

1 Kenneth Roy Cabrera Torres 16 de febrero de / 25

2 Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación Funciones 2 / 25

3 Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación 3 / 25

4 Definición Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación El término estadística espacial se usa para describir una amplia gama de modelos estadísticos que procuran analizar datos espacialmente referenciados o georreferenciados. La geostadística se refiere a modelos y métodos de datos que siguen las siguientes características: Primero, los valores de Y i : i = 1,...,n son observados en una conjunto discreto de lugares x i al interior de una región espacial A. Segundo, cada valor observado de Y i es: ya sea una medida directa, o una estadística relacionada con, el valor de un fenómeno espacial subyacente, S(x) en los correspondientes sitios de muestreo x i. 4 / 25

5 Datos de elevación Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación Y Coord X Coord 5 / 25

6 Distribución univariada Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación X N(0,1) 6 / 25

7 Distribución bivariada Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación [ X1 X 2 ] N ([ 0 0 ], [ 1 0,3 0,3 1 ]) 7 / 25

8 Un campo aleatorio Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación {S(x) : x A R 2 } Una sola realización 8 / 25

9 Campos aleatorios Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación Un conjunto de datos espaciales se consideran una realización de un experimento aleatorio. Sólo se obtiene una realización de S(x) en el punto x. Esta es una realización de un campo aleatorio, es decir un proceso estocástico. S(x 0 ) es una variable aleatoria si se considera la distribución de todas las realizaciones posibles en el punto x 0. Cuando se muestrea un campo aleatorio, estas muestras se toman de una realización particular de un experimento aleatorio. 9 / 25

10 Realizaciones de un campo aleatorio Introduccio n a la Estadı stica Espacial Definicio n Datos de elevacio n Campos aleatorios Terminologı a y notacio n Cuatro realizaciones de un campo aleatorio. 10 / 25

11 Terminología y notación Definición Datos de elevación Campos aleatorios Terminología y notación Para efectos prácticos los datos geoestadísticos univariados se puede tomar las siguiente notación: (x i,y i ) : i = 1,...,n. Donde x i denota la localización espacial (generalmente un espacio bidimensional) y y i es un valor escalar asociado a la localización en x i. Generalmente a y se le conoce como una variable de respuesta o variable medida. Cada y i es una realización de la variable aleatorio Y i cuya distribución depende de la localización de x i de un proceso estocástico continuo espacial subyacente S(x) que no es directamente observable. En muchos casos se puede asumir que Y i = S(x i ), pero en general no son iguales. 11 / 25

12 Funciones 12 / 25

13 Funciones El Geostadístico incorpora al menos dos elementos: 1. Un proceso estocástico real {S(x) : x A} que se considera una realización parcial del proceso estocástico {S(x) : x R 2 } en todo el plano. 2. Una distribución multivariada de la variable aleatoria Y = (Y 1,...,Y n ) condicionado en S( ). Se suele denominar a S(x) la señal y a Y i la respuesta. A menudo Y i se puede pensar como una versión ruidosa de S(x i ) y la Y i se puede asumir condicionalmente independiente dado S( ). 13 / 25

14 Funciones Los básico del modelo clásico son: 1. {S(x) : x R 2 } es un proceso gaussiano con media µ, y varianza σ 2 = Var{S(x)} y función de correlación ρ(u) = Corr{S(x),S(x )}, donde u = x x y denota la distancia; 2. Condicionado en {S(x) : x R 2 }, las y i son realizaciones de variables mutuamente independientes Y i, distribuidas normalmente con media E[Y i S( )] = S(x i ) y varianza condicional τ 2. Una forma equivalente es: Y i = S(x i )+ε i : i = 1,...,n donde {S(x) : x R 2 } se define como el supuesto 1 y ε i son variables aleatorias mutuamente independientes N(0,τ 2 ). 14 / 25

15 Funciones Una función muy común de correlacion definida en geoestadística es la definida como: ρ(u;φ,κ) = {2 κ 1 Γ(k)} 1 (u/φ) κ K κ (u/φ) Donde K κ ( ) es una función de Bessel modificada de segunda clase, de orden κ. El parámetro φ > 0 determina la tasa a la cual decae a cero la correlación en la medida que decrece u. El parámetro κ > 0 es el orden del modelo Matérn y está asociado a la forma del descenso de la función. 15 / 25

16 Funciones Siguiendo se tienen dos situaciones muy comunes de funciones de correlación correlación : Si κ = 1 2 entonces se tiene que la función queda reducida a: ρ(u;φ) = e u φ correlación gausiana: Si κ entonces tiene como ĺımite: ρ(u;φ) = e ( u φ ) 2 16 / 25

17 Funciones El rango práctico se define como el valor de u en donde la función ρ(u) tiene un valor de O en otras palabras es el valor de u a partir del cual se puede considerar que ρ(u) 0. Para la función se tiene el rango práctico es: 3φ. Para la función gausiana se tiene que el rango práctico es: 3φ. 17 / 25

18 Funciones Para a un rango práctico de ρ 0 = 0,05, se debe hallar la raiz de la siguiente ecuación: ρ(u;φ,κ) ρ 0 = 0 ρ(u;φ,κ) 0,05 = 0 Ya que φ es un parámetro de escala, la solución será de la forma rφ donde r es el factor multiplicador que se halla de la solución de la ecuación: ρ(u;φ,1) 0,05 = 0 18 / 25

19 Funciones Funciones Otra manera de expresar las funciones de correlación y gausiana es: Exponencial: Gausiana: En donde α es el rango práctico. ρ(u;α) = e 3u α ρ(u;α) = e 3 ( u α) 2 19 / 25

20 Funciones Se define como: ρ(u;φ,κ) = e ( u φ Donde el parámetro de escala φ > 0 y el de forma κ está limitado por 0 < κ 2. Note que si κ = 2 es la misma gausiana. ) κ 20 / 25

21 Funciones Esta función se define como: { ( 3 1 ρ(u;φ) = 3 2 (u φ )+ 1 u 2 φ) : 0 u φ 0 : u 0 En este caso el rango absoluto es φ dado que si u φ se tiene que ρ(u) = 0, por eso no tendría rango práctico. 21 / 25

22 Funciones Para un conjunto de datos (x i,y i ) : i = 1,...,n, el las ordenadas del variograma es el valor v ij = 1 2 (y i y j ) 2. Algunos autores lo prefieren denominar ordenadas del. Si y i es estacionario en media y varianza. El valor esperado de v ij es σ 2 {1 ρ(x i,x j )} donde σ 2 es la varianza y ρ(x i,x j ) es la correlación entre y i y y j. Si y i es un proceso estacionario, entonces ρ( ) depende sólo de la distancia entre x i y x j, y además tiende a cero a grandes distancias, entonces v ij tiende a σ 2 cuando la distancia entre u ij = x i x j tiende a infinito. 22 / 25

23 Funciones El de un espacio estocástico S(x) es la función: V(x,x ) = 1 2 Var{S(x) S(x )} Note que V(x,x ) = 1 2 [Var{S(x)}+Var{S(x )} 2Cov{S(x),S(x )}]. En el caso estacionario, simplifica a V(u) = σ 2 {1 ρ(u)}. Recordemos que: ρ(x,x ) = Cov(S(x)S(x )) Var{S(x)} Var{S(x )} 23 / 25

24 σ 2 = 10 y φ = 15 Funciones γ(u) u 24 / 25

25 Funciones 25 / 25