PRECISIÓN DE SISTEMAS DE MEDICIÓN DESTRUCTIVOS CON MEDICIONES SIMULTÁNEAS.

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1 PRECISIÓN DE SISTEMAS DE MEDICIÓN DESTRUCTIVOS CON MEDICIONES SIMULTÁNEAS. Américo G. Rivas C Prof. de la Escuela de Ingeniería Industrial. Área de Postgrado. Maestría en Ingeniería Industrial. Universidad de Carabobo. arivas@postgrado.uc.edu.ve Resumen En este artículo se discute el procedimiento para evaluar un Sistema de Medición en el que la lectura es destructiva. El caso analizado considera una situación en la que se dispone de 2 instrumentos con los cuales se hacen lecturas simultáneas de una determinada característica de calidad, sobre cada artículo considerado en el experimento. Abstract. This paper discuss the problem of evaluating the measurement process when the data is such that on any given item only one opportunity for measurement occurs, but simultaneous observation by two instruments is possible. Introducción. El problema considerado en el material es el caso en que la medición de la característica no permite réplicas o lecturas repetidas sobre la misma parte, pero se dispone de dos instrumentos que permiten hacer mediciones simultáneas sobre la misma parte. Las partes usadas en el experimento provienen del proceso de producción actual y se supone que representan la variabilidad del mismo. El Modelo. Sea X la variable que representa el valor verdadero de las partes, cuya media y varianza se denotan como µ y σ 2 X respectivamente, como ilustra la figura. El proceso de medición simultánea con los dos instrumentos, sobre cada una de las n partes usadas en el experimento, da lugar a dos nuevas variables: Y 1 y Y 2, que son las lecturas con los instrumentos 1 y 2, respectivamente, como ilustra la figura.

2 Las lecturas de los instrumentos están conformadas por la suma de 2 variables: el valor de referencia de la parte, X i, y el error del instrumento, e ij ; de modo que El valor esperado y la varianza de e ij son β j y σ j 2 z. respectivamente. En base a esto, se obtiene que Debido a la definición de las variables Y 1 y Y 2, se obtiene el interesante resultado que sigue. La definición de Covarianza de 2 variables es porque el Valor Esperado de cada uno de los otros términos es cero.

3 Estimadores de los Parámetros del Modelo. El resultado final es que Cov (Y 1,Y 2 ) = σ x 2, y por lo tanto el estimado de este último parámetro es S 12, el estimado de Cov (Y 1,Y 2 ), el cual se obtiene en base a las observaciones Y ij, como sigue. Sea Entonces es un estimado de la Cov (Y 1,Y 2 ), y por lo tanto, también lo es de σ x 2. Igualmente, los estimados de σ Y1 2 y σ Y2 2 son respectivamente, siendo Recuérdese que de donde se deriva que los estimadores puntuales de los parámetros son

4 Con cierta frecuencia, estos estimadores pueden dar valores negativos, resultado no válido por la naturaleza de la definición de estos parámetros. En tales casos, una alternativa es aplicar los estimadores modificados propuestos por Thompson [2], de los cuales sólo se muestran 2 de los casos que, a juicio del autor, tienen aplicación práctica. Sin hacer derivaciones aplicando la teoría estadística, una interpretación intuitiva de estos estimadores es como sigue. En primer lugar, debe recordarse que Cuando S 22 > S 12 S 11, el estimador de σ 1 2 es menor o igual que cero y por lo tanto se le asigna el valor cero; pero el estimador de σ 2 2 no puede ser simplemente (S 22 S 22 ), porque si se suman los estimados de las varianzas de Y 1 y Y 2 se obtiene que Como al estimador de σ x 2 se le asignó el valor cero, entonces, de la ecuación anterior se obtiene el estimador de σ 2 2 El estimador de σ x 2 se obtiene de la ecuación (14)

5 porque como al estimador de σ 1 2 se le asignó el valor cero, entonces Un razonamiento similar permite derivar los estimadores correspondientes al otro caso considerado en la tabla anterior. Criterio de Evaluación del Instrumento: Intervalos de enseñanza y Contrastes de Hipótesis. La precisión requerida de un instrumento depende de la variabilidad de la característica medida. La regla difundida en este sentido es que la desviación estándar del instrumento sistema de medición debe ser menor o igual que una lima parte de la desviación estándar de la característica. Se define la precisión relativa del instrumento 1 como Entonces la regla anterior indica que P 1 debe ser mayor o igual que 10. El criterio que se aplica para la aceptación del instrumento es: Cuando se tiene, como en este caso, lecturas simultáneas sobre la misma parte, con 2 instrumentos, se pueden establecer intervalos de confianza y hacer pruebas de hipótesis, con base al resultado de Roy y Bose [1], según el cual en donde "~" debe leerse "se distribuye como", estando definida k como

6 Para aplicar este resultado a la situación que se analiza en el artículo, debe observarse que En consecuencia y por lo tanto Si se manipula la desigualdad dentro de los corchetes se establece que la misma se cumple si y sólo si Por esta razón, la raíz cuadrada del miembro de la derecha define el límite inferior de un intervalo de confianza unilateral para el parámetro P 1. Desde el punto de vista de contraste de hipótesis, la hipótesis de que P 1 µ 0 (la hipótesis de que el instrumento es aceptable) se rechaza a un nivel de significación a si

7 Para el caso en que µ 0 es 10, la hipótesis nula se rechaza si Con una argumentación similar, la hipótesis de que PI 3,33 se rechaza si Ilustración Numérica. Para ilustrar la aplicación del material expuesto en el artículo se usan los datos del ejercicio propuesto en el Manual del curso Análisis de los Sistemas de Medición (Ing. G. Américo Rivas C., 1996). Si bien es cierto que dicho ejercicio no se desarrolla en el contexto de mediciones destructivas, las lecturas hechas con cada instrumento pueden considerarse como lecturas hechas simultáneamente bajo mediciones destructivas. A Continuación se muestran las lecturas hechas a los 50 artículos usados en el experimento.

8 Para estos datos se obtiene Con estos valores se determinan Los estimados de los parámetros son Evaluación del Instrumento. Para evaluar el instrumento, se requiere los siguientes cálculos. De la expresión (25) se obtiene que con probabilidad (1- a)

9 de modo que con probabilidad de 0,75 El estimado puntual de P 1 es Desde el punto de vista de Prueba de Hipótesis, la hipótesis nula de que P 1 10 se debe rechazar si de acuerdo con la ecuación (26), y por lo tanto no puede rechazarse esta hipótesis nula. Según los resultados obtenidos, el %R&R es 21,11. Es interesante comparar estos resultados con los obtenidos en la realización del ejercicio mencionado que dio origen a esta ilustración numérica, los cuales se muestran y comentan a continuación. En dicho ejercicio, con lecturas destructivas, se hace una segunda lectura con cada uno de los 2 instrumentos. Para el instrumento 1, el análisis de los datos condujo a los siguientes resultados: De ellos se obtiene el estimado de la Desviación Estándar Total Con este resultado, el %R&R = 20,67 que son consistentes con los resultados obtenidos en ilustración numérica. BILIOGRAFÍA 1. Roy, S. N., Bose, R. C. "Simultaneous Confidence Interval Estimation", Annals of Mathematical Statistics, 24 (1953), W. A. Thompson, "The Problem of Negative Estimates of Variance Components", Annals of Mathematical Statistics, 33 (1962), W. A. Thompson, "Precision of Simultaneous Measurement Procedures", American Statistical Association Journal, June 1963, pp Grubbs, F. E., "Errors of Measurement, Precision, Accuracy and the Statistical Comparison of Measuring Instruments", Technometrics, Vol. 15, February, 1973, pp

10 5. Western Electric Statistical Quality Control Handbook, Select Code , Indianapolis, Indiana, pp Manual del curso Análisis de los Sistemas de Medición (Ing. G. Américo Rivas C., 1996, CEATE, Universidad de Carabobo)