Límites y Continuidad de funciones de dos variables

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1 Límites y Continuidad de funciones de dos variables 1.- Si en un cierto punto ( a, b) R existe el lim f = L R a,b, entonces: f es continua en (a, b). b) Existen los límites reiterados de f en (a, b) y ambos valen L. + + c) ε R, δ R tal que si un punto (x, y) del dominio de f pertenece al disco abierto de centro (a, b) y radio δ, con (x, y) (a, b), entonces la distancia de f(x, y) a L es menor que ε..- Si z = f(x, y) es continua en R, entonces: Existe y es finito el lim f, a, b R. x, y a,b b) f admite derivadas parciales en todo punto ( b) R a,. c) f es diferenciable en todo R. 3.- Sea z = f() una función tal que sus límites radiales en P 0 (0,0) valen todos L. Podemos asegurar que: b) Los límites reiterados, si existen, también valen L. c) Si se verifica que f ( r cos,r senα) L g( r) ( lím f ) ( x, y) = L. α y 4.- Si lím f (x, y) = L R, podemos afirmar: ( ) ( x o, ) Existen los límites reiterados en ( x o, ) y ambos valen L. b) Existen los límites radiales en ( x o, ) y todos valen L. c) f es continua en ( x o, ). xy 5.- El lím : ( x, y ) ( 0,0 ) x + y Vale 0. b) No existe. c) Vale 1. lím g() r = 0, entonces 6.- Supongamos que lim f 0,0 el cambio a coordenadas polares, quedando lim f = lim F( r, α) 0,0 también que F ( r, α) = g( r) h( r, α), entonces: Si limg() r = 0, podemos asegurar que f b) Si ( r,α) es, en principio, una indeterminación y se efectúa lim = 0. y supongamos h depende sólo de α, podemos asegurar que NO existe f c) Si limg() r = 0 que f lim = 0. lim. y h ( r,α) es una función acotada para todo α, podemos asegurar Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1

2 7.- Estamos calculando ( ) ( a,b) L = lim f y demostramos que: ( α + cosα) r sen f ( r cos α, r senα ) 5 = 3+ senα para todos r y α. Entonces podemos asegurar que: L existe y vale 5. b) L existe y vale 0 c) No existe el límite buscado. x + y si y x 8.- Sea f() = x+ y α si y = x No existe ningún valor de α para el cual f sea continua en (0,0). b) f es continua en (0,0) independientemente del valor de α. c) Para que f sea continua en (0,0), ha de ser α= Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para una función z=f()? f L g r, α L <h r 0 cuando r 0, entonces Si se verifica que lím f ( x, y ) xy, x0, y0 b) Si existen los límites reiterados de f en un punto (x 0,y 0 ), entonces existe lím f x, y ( xy, ) ( x, y) 0 0 c) Si existen los límites radiales de f, entonces existe lím f x y. xy, x0, y Sea z=f() una función real de dos variables reales. Entonces: Si f es continua en (a,b) y existen f x (a,b) y f y (a,b) f es diferenciable en (a,b). b) Si existen f x (a,b) y f y (a,b) f es continua en (a,b) f es diferenciable en (a,b). c) Si f es diferenciable en (a,b) f es derivable en cualquier dirección y continua en (a,b). lím lím f (x, y) = lím lím f (x, y) = Supongamos que () (,5) lím f (x, y) = 3 x y 5 y 5 x b) No existe lím f (x, y). () (,5) c) Si existe el lím f (x, y) vale 3. () (,5) x + y si (x, y) (0,0) 1.- Sea f() = x y 0 si () = (0,0) / lim f x, y. b) ( ) ( 0,0) ( ) ( 0,0) lim f x, y, pero, no es continua (0,0). c) Los límites reiterados son indeterminados (del tipo 0/0) cuando () (0,0). Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.

3 lím lím f (x, y) = lím lím f (x, y) = k, entonces se verifica: 13.- Si b) x 0 x 0 y 0 y 0 x 0 lím f (x, y) = k m R lím f (x, y) = k. () (0,0) c) Si existe el lím f (x, y) vale k. () (0,0) 14.- Si lím f (x, y) = k, entonces se verifica que: () (0,0) Existen los límites reiterados y ambos valen k. b) f es continua en (0,0). c) Existen los límites reiterados y ambos valen k, o bien, alguno de ellos no existe Si lím f (x, y) = L, entonces se verifica que: () (a,b) Si existen los límites reiterados y coinciden, han de ser iguales a L. b) L=f(a,b), siempre que f esté definida en dicho punto. c) Existen los límites reiterados y valen L Sea una función z=f() que en el origen (0,0) verifica que existen sus límites reiterados y valen L, entonces: lim f x, y = L. ( ) ( 0,0) b) Si existe lim f c) x 0 0,0 lím f (x, y) = L m R vale L Supongamos que lím f x y = L R. Entonces: Existen los límites reiterados de f en (0,0). b) f es continua en (0,0). c) Si f es continua en (0,0), ha de ser f(0,0)=l Sea z = f(x, y) una función de R en R De cuál de las siguientes situaciones se puede deducir que lím f (x, y) = 7?: ( ) (0,0) lím lím f (x, y) = 7. x 0 y 0 b) f (x, y) 7 r cosα, r, α R. c) Todos los límites radiales en (0,0) existen y valen 7. 3 x si (x, y) (0,0) 19.- Sea f() = x + y 0 si () = (0,0) lim f x, y = 0. 0,0 b) f no es continua (0,0). c) Los límites radiales en (0,0) no son todos iguales. 0.- Sea z = f() una función tal que sus límites radiales en P 0 (0,0) valen todos L. Podemos asegurar que: Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 3

4 b) Los límites reiterados, si existen, también valen L. c) Si se verifica que f ( r cos,r senα) L g( r) α y lím g() r = 0, entonces 1.- El dominio de la función f() = x + y es El conjunto de puntos de R por encima de la recta y = -x. b) El conjunto de puntos de R por debajo de la recta y = -x. c) El conjunto de puntos de R formado por los puntos situados por encima de la recta y = -x y los puntos de dicha recta..- La curva de nivel de la superficie z = xy correspondiente a z = 1: Es una hipérbola equilátera. b) Son un par de rectas. c) No es una cónica. 3.- Sea z = f(x, y) = x + 3y, con R. Se verifica que: f admite curva de nivel z R. b) f alcanza en (0, 0) un valor mínimo relativo, pero, no un mínimo absoluto. c) La curva de nivel correspondiente a z = es una elipse de centro (0, 0) y semieje mayor a =. 8y 4.- La curva de nivel de la función f = 1+ x + y correspondiente a c = es Una circunferencia de centro C(0, 4) y radio 3. b) Una elipse de centro C(0, ). c) Una circunferencia de centro C(0, ) y radio Sea F(x, y, z) = 0, con z = f(x, y), la ecuación implícita de una superficie S de Si f es diferenciable en un punto P de S, entonces: f (P) S f f P, x y P,1 b) S. 3 R. c) F (P) S. 6.- La curva de nivel de la superficie z = ln(xy ) correspondiente a z = 0: Es una hipérbola equilátera. b) Son un par de rectas. c) No es una cónica. 7.- Consideremos la superficie de ecuación x + yz xz = 0. Puede afirmarse que: Todas sus curvas de nivel son parábolas, excepto una de ellas que es una recta. b) Esta superficie sólo admite curvas de nivel para z 0. c) La curva de nivel correspondiente a la cota k = 5 está contenida en el plano z = Sea la función z=f() dada implícitamente por la ecuación x +y -z-lnz=0. La circunferencia unidad (centro el origen y radio1) es la curva de nivel de f para la cota: z=1. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4

5 b) z=0. c) no es una curva de nivel. 9.- Consideremos la superficie de ecuación xy+z 3 =5. La curva de nivel para el punto (,) es: x4. b) z=. b) x Consideremos la superficie de ecuación z =. La curva de nivel para x + y 8 z=1 es: La circunferencia de centro (0,0) y radio 9. b) La circunferencia de centro (0,0) y radio 3. c) Ninguna de las dos anteriores Sea z=f() la ecuación de una superficie en R 3. Se llama curva de nivel de dicha superficie a toda línea en el plano R que tenga por ecuación: f(x, y) = k, k Im(f). b) f()=0. c) Ninguna de las anteriores. x y z 3.- Las curvas de nivel de la superficie + + = 1 correspondientes a una cota 9 4 k: Se reducen a un punto si k = ±. b) Son elipses de semiejes a = 3, b = si k = ± 1. c) Solo existen para k Si lím f (x, y) = L R, podemos afirmar: ( ) ( x o, ) Existen los límites reiterados en ( o, ) b) Existen los límites radiales en ( o, ) c) f es continua en x. o x y ambos valen L. x y todos valen L. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5