Ondas y Rotaciones. Dinámica de las Rotaciones VI

Transcripción

1 Hoja de Tabajo 6 Ondas y Rotaones Dnáma de las Rotaones V Jame Felano Henández Unvesdad Autónoma Metopoltana - ztapalapa Méxo, D. F. 5 de agosto de 0 A. ACTVDAD NDVDUAL. En esta Hoja de tabajo veemos el tee onjunto de elaonados on la nemáta de las otaones, el momento angula y su onsevaón. Una vez más, de manea ndvdual deben estudalos a pounddad, elaboa una lsta de dudas sobe su esoluón. Pesenta estas dudas al gupo, al ayudante y al poeso hasta esolvelas. Ejemplo 0. Una patíula de masa m se lbea desde el eposo en el punto P omo se muesta en la gua, ayendo paalela al eje Y (vetal). A) Halla la toa que atúa sobe m en ualque tempo t, on espeto al ogen 0. B) Halle el ímpetu angula de m en ualque tempo t, on espeto a ese msmo ogen. C) dl Demueste que la elaón τ da un esultado oeto uando se apla a este onodo poblema. Soluón. A) La toa está dada po τ F, y su magntud es τ F senθ. En este aso el bazo de palana es sen θ b y la ueza es la debda a la gavedad F mg, así que la toa es: τ mgb onstante (A) Aplando la egla de la mano deeha, podemos ve que la deón del veto toa está dgda haa pependulamente haa adento del plano del movmento. B) El ímpetu angula está dado po l p, y su magntud es l p senθ. Nuevamente, en este ejemplo sen θ b y p mv m(gt), po lo tanto: l m( gt) b (B) Una vez más, po la egla de la mano deeha nda que la deón del veto momento angula está dgda haa adento del plano de la gua, po lo que es

2 Hoja de Tabajo 6 paalelo al veto toa, peo mentas que la toa es onstante el momento amba on el tempo en su magntud. C) S esbmos la euaón que vnula estas antdades, tenemos dl τ Así que s susttumos la euaón (A) en el lado deeho y la (B) en el lado deeho tenemos: dm( gt) b mgb τ mgb Lo ual es una dentdad, po lo que se tenen los esultados oetos. Ejemplo 0. Cuál es mayo, el ímpetu angula de la Tea asoado on su otaón sobe su eje o el ímpetu angula de la Tea asoado on su movmento obtal alededo del Sol? Soluón. Paa la otaón sobe su eje, tatamos a la Tea omo una esea unome, po lo que l nea otaonal es MR. La velodad angula es 5 π 4, donde T es el tempo o peodo de otaón e gual a T 4 h s, T entones: π L ot MR kg m / s 5 T Paa alula el ímpetu angula obtal, neestamos la nea otaonal de la Tea en tono a un eje que pase po el Sol, nuevamente usamos una apoxmaón eséa de la Tea, y empleamos el Teoema de los ejes paalelos: CM + h M MR + h M L MR + h M 5 5 Aquí nuevamente esbmos π T, donde ( ) 4 h 60 mn 60 s T 65 días, día h mn es el peodo de tanslaón obtal es de

3 Hoja de Tabajo 6 4 h 60 mn 60 s T ( 65 días) 56000s día h mn, y h es la dstana entes el eje de otaón de la Tea y el eje que pasa po el Sol, es de la dstana de la Tea al Sol, es de h (.5 0 m ). Po lo tanto ( kg m / s + (.5 0 m) ( kg ) 4 L ot MR + h M 5 47 L ot.5 0 kg m / s Entones, el momento angula obtal es muho mayo que el momento angula otaonal. Ejemplo. Una masa m está atada a una ueda que pasa po una polea omo se muesta en la sguente gáa enuente la aeleaón del bloque al ae. Soluón. Sobe el sstema atúan dos uezas extenas, la ataón de la gavedad (haa abajo) mg que atúa sobe m y la ueza (haa aba) ejeda po las humaeas de la leha del dso, a la ual onsdeamos omo el ogen. (La tensón en el odón es una ueza ntena y no atúa desde el exteo sobe el sstema dso + bloque). Solamente la pmea de estas uezas ejee toa on espeto al ogen, y su magntud es (mg)r. El ímpetu angula del sstema espeto al ogen 0 en ualque nstante es L + ( mv) R En donde es el ímpetu angula del dso (sméto) y (mv)r es el ímpetu angula (ímpetu lneal X bazo del momento) del uepo que ae on espeto al ogen. Estas dos ontbuones a L apuntan ambas en la msma deón, es de, pependulamente haa auea del plano de la gua. dl Aplando τ (en oma esala) nos da

4 Hoja de Tabajo 6 d ( mg ) R + ( mvr) d + dv mr α + mra Puesto que a αr e MR, po lo que podemos esb a ( mg ) R MR + mra R Despejando a a ( mg ) R MR + mra ( mg ) R MRa + mra ( mg) R M + m Ra R mg ( M + m) a M + m ( mg) a ( mg) M + m a mg a M + m mg a M + m Ejemplo. Un astonauta de 0 kg, que lleva a abo una amnata espaal, está atado a una nave espaal po medo de una ueda totalmente extendda de 80 m de longtud. Una opeaón no ntenonal del paquete populso povoa que el astonauta adquea una pequeña velodad tangenal de.5 m / s. Paa egesa a la nave, el astonauta omenza a jalase a lo lago de la ueda a azón lenta y onstante. Con qué ueza debeá jala el astonauta hasta las dstanas de a) 50 m y b) 5 m de la nave? Cuál seá la velodad tangenal del astonauta en estos puntos? 4

5 Hoja de Tabajo 6 Soluón. Como no hay uezas extenas al sstema, entones no atúan toas extenas sobe el astonauta; esto sgna que la suma de todas las uezas y de todas las toas es eo. En patula, se umple que dl τ 0 Es de que se umple la onsevaón del momento angula. En otas palabas, el momento angula nal del astonauta on elaón a la nave espaal omo ogen ( Mv ) uando omenza a jala de la ueda, debe se gual al momento angula Mv ) en ualque punto del movmento. Así ( Mv Mv Elmnando la masa del astonauta M en ambos lados de la euaón, y despejando la velodad nal v v Ahoa podemos emplea la expesón paa la ueza entípeta en ualque etapa está dada po Mv F Susttuyendo la expesón de la velodad paa el astonauta dando vueltas F Mv nalmente, uando el astonauta empeza a jala, la dstana nal es 80m. En esta stuaón entípeta equeda: así que podemos susttu los valoes paa obtene la ueza (0kg)(.5m / s) (80m) (0kg)(.5m / s) F 4. N ( 80m) ( 80m) Es de que uando la dstana es de 80 m, la ueza que ealza es de 4. N, y es muy pequeña. a) Cuando el astonauta esté a 50m de la nave, la velodad tangena es La velodad aumenta! v (.5m / s)(80m) v 9m / s 50m Entones, la ueza entípeta es 5

6 Hoja de Tabajo 6 b) A 5m de la nave, la velodad nal es (0kg)(.5m / s) (80m) F 94N (50m) v (.5m / s)(80m) v 90m / s 5m Es de que la magntud de la velodad aumenta po un ato de 0 hasta 90 m/s, mentas que la ueza (0kg)(.5m / s) (80m) F 94400N (5m) Y se ve que aumenta po un ato de 0 a N, o alededo de toneladas! Está lao que el astonauta no puede ejee tal ueza paa egesa a la nave. nluso s el astonauta uea aastado haa la nave po medo de un malaate desde el nteo de la nave, la ueda no podía sopota una tensón tan gande; en algún punto se ompeía y el astonauta saldía dspaado haa el espao on una velodad tangenal que tuvea en el momento de ompese la ueda. Conlusón. Los astonautas que amnen po el espao deben evta una velodad tangenal. Qué podía hae el astonauta paa egesa on segudad a la nave? Ejemplo. Una tonamesa que onsta de un dso de 5 g. de masa y un ado de 7. m ga a una velodad angula de 0.84 ev/s en tono a un eje vetal. De epente, se deja ae un dso dénto, que nalmente no estaba gando, sobe el pmeo. La ón ente los dos dsos ausa que eventualmente gen a la msma velodad. Sobe estos dos, se deja luego ae un tee dso dénto, que nalmente no estaba gando, sguendo los tes en go juntos. A) Cuál es la velodad angula de otaón de la ombnaón? B) Cuánta enegía de otaón se pede debdo a la ón? C) Un moto que mpulse al pme dso debe esttu la velodad angula de la ombnaón a su valo ognal en una evoluón. Qué toa onstante debeá ejee el moto? Soluón. A) Este poblema es el análogo de otaón de la olsón nelásta. No exste una toa vetal neta, de modo que la omponente vetal del momento angula es onstante. La ueza de ón ente los dsos es una ueza ntena, la ual no puede amba el ímpetu angula. Entones podemos esb: 6

7 Hoja de Tabajo 6 Po lo tanto: Sn hae un álulo detallado, podemos supone que la nea otaonal de tes dsos déntos en tono a su eje de otaón omún es el tple de la nea de uno de ellos, po lo que, así que: (0.84 ev / s) 0.8 ev / s B) La nea de otaón de un dso on espeto a su eje es paa ada dso, MR, así que, (0.5kg)(0.07m).4 0 Po lo tanto, la enegía néta de otaón nal es: (.4 0 E 4 kg m )(π ad / ev J 4 kg m 0.84ev / s) Podemos segu un poedmento más ápdo alulando la enegía néta nal, poque sabemos que la nea de otaón nal sube en un ato de, mentas que la velodad angula nal baja en un ato de. Puesto que la enegía néta depende del uadado de la velodad angula, tenemos E E (4.5 0 J ).50 0 J El ambo en la enegía néta es Δ E E E (.5 0 J ) (4.5 0 J ).0 0 J El sgno negatvo nda que la enegía se pede. C) Paa esttu la velodad angula nal, el moto tendá que aumenta desde 0.84 ev / s, esto es, en un ato de. Eso sgna que la enegía néta debe aumenta en un ato de 9, desde.5 0 J hasta.5 0 J. El ambo en enegía néta, que es gual al tabajo eetuado po el moto, es 7

8 Hoja de Tabajo 6 Δ E.5 0 J.5 0 J 0 J En el movmento de otaón, el tabajo está dado po W τθ, donde θ ( π ad en este aso) es el desplazamento angula del uepo que ga po medo del ual debe mantenese la toa. Entones W ΔE τ θ θ 0 J π ad.9 0 N m Ejemplo 4. Una pesona está de pe en el ento de una plataoma ula (sn ón) mantenendo sus bazos extenddos hozontalmente on una pesa en ada mano. Está gando alededo de un eje vetal son apdez angula de ad / s. El momento de nea de una pesona más los de la plataoma y de las pesas extenddas es de 4.5 kgm. Cuando la pesona aea las pesas a su uepo el momento de nea dsmnuye a. kgm. Cuando la pesona aea las pesas a su uepo el momento de nea dsmnuye a. kgm. A) Cuál es la nueva apdez angula de la plataoma? B) Cuál es la vaaón de la enegía néta expementada po el sstema? Soluón. A) Debdo a que no exsten toas extenas se onseva la antdad de movmento angula, po lo que L nal L nal Susttuyendo los valoes nal nal nal nal ( 4.5kgm )( ad / s) (. kgm ) nal Po lo tanto nal 6.4ad / s B) La vaaón de enegía néta es Δ E C E C E C Δ E nal nal nal nal Δ E ( )( ).kgm 6.4ad / s ( 4.5kgm )( ad / s) Δ E. J 8

9 Hoja de Tabajo 6 Ejemplo 5. Un dso de kg de masa y 0 m de ado ga alededo de su eje a 80 ev / mn. Enma, peo sn que exsta ontato, se enuenta oto dso de kg de masa, del msmo ado y en eposo. Cuando el dso supeo de deja ae, ambos se mueven on la msma velodad angula. Calule la euena angula nal del sstema. Soluón. Al no exst toa extena al sstema, se onseva el momento angula. En la gua se muesta la stuaón desta. L L Empleando la nea otaonal del dso mr mr m R + m R ( m + m ) R m ( m m ) + m ( m + m ) Podemos enonta la euena medante la elaón π, po lo tanto: Así que π m π π m ( m + ) 9

10 Hoja de Tabajo 6 B. ACTVDAD NDVDUAL. Entega un epote vtual al oeo eletóno del poeso y del ayudante, ontenendo la ntegaón de los onomentos onstudos en esta atvdad, que onsste en: a) El mapa oneptual ndvdual, los elementos que se han do agegando en ada punto. a) El mapa oneptual del equpo. b) Las espuestas pesonales. ) Las apotaones del equpo. 0