El diseño factorial: efecto de la interacción. (Modelo no aditivo)

Transcripción

1 El diseño factorial: efecto de la interacción (Modelo no aditivo) La comprensión de los fenómenos psicológicos supone en muchas ocasiones analizar el efecto conjunto de varias variables dado que sólo su interacción puede explicar la ocurrencia o presencia de dichos fenómenos. En estos casos el investigador tendrá que trabajar con los diseños denominados factoriales. El diseño factorial incluye simultáneamente el efecto de dos o más variables independientes (designados factores) en una misma ecuación estructural. La aplicación de este tipo de diseños permite analizar al mismo tiempo los efectos de varios factores sobre las respuestas de los sujetos y, además, y ahí radica su principal característica, permite investigar la influencia que pueden tener en las observaciones las interacciones entre dos o más variables. Es decir, analiza los efectos debidos a que dos o más factores estén actuando simultáneamente. Este tipo de diseños son especialmente adecuados cuando el investigador presupone o predice una relación entre dos o más variables. La inclusión de factores dentro de un diseño se realiza en función de consideraciones teóricas sobre posibles vínculos entre las variables. El diseño factorial completo se caracteriza por requerir tantos grupos de tratamiento como posibles combinaciones entre los niveles de las variables independientes. En un diseño factorial completamente cruzado, las observaciones se realizan bajo todas las situaciones resultantes de combinar los niveles de un factor con los niveles de otro factor o bien con los niveles que resultan de la combinación de varios factores. En el diseño factorial incompleto algunas de las combinaciones están ausentes, no formándose todos los grupos que se derivan de la estructura de cruzamiento entre las variables manipuladas (por ejemplo, los diseños anidados). Como consecuencia, el investigador no puede estimar algunos de los efectos factoriales. La característica del diseño equilibrado radica en que los grupos están formados por el mismo número de observaciones, a diferencia de los diseños no equilibrados donde el n es diferente en cada grupo. Estos diseños son también conocidos como diseños ortogonales y no ortogonales, respectivamente. Los diseños factoriales están codificados en función del número de factores y del número de niveles de cada variable independiente. Por ejemplo, el diseño factorial más simple es el x, es decir, el compuesto por dos variables independientes con dos niveles cada una de ellas. Cuando los niveles de los factores son los mismos también suelen codificarse mediante una potencia, como por ejemplo 3, diseño factorial de tres factores con dos niveles cada uno de ellos ( x x ). El número de grupos o condiciones experimentales resultantes de la aplicación de diseños factoriales será igual al producto de los niveles de los factores entre sí. El plan factorial se expresa a partir del número de factores y número de niveles que tiene cada factor. Un diseño factorial completo ² está compuesto por cuatro condiciones experimentales mientras que un diseño factorial completo 3 está formado por ocho grupos, representándose así todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores entre sí. Los diseños factoriales incluyen el estudio de los factores principales así como del término de interacción. Estos conceptos se refieren a: efectos Principales: son los efectos de cada una de las variables independientes o factores considerados individualmente. efecto de las Interacciones: es el efecto de la combinación conjunta de dos o más variables independientes o factores. El efecto de la interacción es el resultado de la combinación de varios factores y su presencia indica que la acción de una variable depende del nivel de otra variable. El efecto de una variable está conectado con alguna condición o nivel de otra variable. De este modo, su efecto sólo ocurre bajo ciertas condiciones, operando diferencialmente bajo cada condición. En estos casos, el efecto de una variable no se puede generalizar a lo largo de todas las condiciones, afectando la presencia de interacción a la validez externa de los resultados. 1

2 La utilidad de los diseños factoriales ha quedado clara, pero en la práctica qué tipo de diseño factorial es el más utilizado por los profesionales con objeto de estudiar el comportamiento de los fenómenos o constructos psicológicos? Hemos realizado un estudio con la base de datos PsychList (SilverPlatter v..03) con objeto de analizar qué diseño factorial es empleado más frecuentemente por los investigadores, poniendo especial hincapié en el número de factores que se incluyen en los diseños. Utilizando como término de búsqueda factorial design, se obtuvieron 353 referencias en el período comprendido desde Enero de 1987 a Junio de El análisis del contenido de los trabajos a través del abstract o resumen aportado por los autores ha permitido obtener información del tipo de diseño en 58 trabajos (73.11%). En función de estos estudios se puede concluir que, sin lugar a dudas, el diseño más utilizado es el formado por dos variables independientes con dos niveles cada una de ellas. Se trata del diseño x. Los diseños formados por dos niveles constituyen el 6.79% del total de trabajos analizados. En segundo lugar, los investigadores aplican diseños con tres factores formados de nuevo por dos niveles cada uno de ellos. Los diseños formados por cuatro factores o más son utilizados en muy pocas ocasiones. La destacada importancia de los diseños factoriales A x B está apoyada en su uso frecuente por los investigadores. A continuación se va a abordar este tipo de diseños. La generalización a cualquier combinación de factores es sencilla siempre y cuando se tengan claros los conceptos del Modelo Lineal General. Dicho modelo se encuentra en el fundamento de técnicas como la regresión univariada y multivariada, el análisis de varianza univariado, (ANOVA), el análisis de varianza multivariado, (MANOVA), el análisis de varianza univariado con variables covariadas, (ANCOVA), y el análisis de varianza multivariado con variables covariadas, (MANCOVA) (Winer, Brown y Michels, 1991). Ecuación estructural El diseño factorial estudia, por tanto, el efecto de dos o más variables independientes, denominados factores, en una o más variables dependientes. En un diseño factorial con dos factores A y B y una variable dependiente Y se plantea la siguiente ecuación estructural bajo el supuesto de la hipótesis alternativa: de tal forma que: Y = valores de la variable dependiente M = media de la variable dependiente A = efecto principal del primer factor, A B = efecto principal del segundo factor, B AB = efecto de interacción A B E = error de estimación del modelo Y = M + A + B + AB + E La ecuación estructural del diseño factorial es muy parecida a la del diseño unifactorial, aunque los efectos de las variables independientes o factores se analizan desde dos perspectivas: 1) el efecto principal de cada factor, que estima el efecto individual de cada uno de los factores en la variable dependiente y se calcula igual que en un diseño unifactorial, y ) el efecto de interacción, que determina el efecto que produce cada combinación de los niveles de los efectos principales. Los efectos de interacción permiten alcanzar conclusiones en los análisis factoriales que son imposibles de obtener aplicando varios diseños unifactoriales. A continuación se presenta un esquema con los conceptos básicos del modelo no aditivo y aditivo.

3 Modelo no aditivo En un diseño factorial, a parte de los efectos principales, o de primer orden, pueden estimarse los efectos de segundo orden, para comprobar si la confluencia de dos condiciones determinadas de la variable independiente producen un efecto diferente de la que se deriva del modelo aditivo. Para estimar el efecto de segundo orden o interacción se resta de la media de cada celdilla, las puntuaciones de los sujetos sometidos a una combinación de tratamientos de los efectos principales, esto es el pronóstico que se realiza a partir del modelo aditivo. Por tanto: se deduce directamente que: AB = M ab (M + A + B) AB = M ab M A B Calculamos la suma de cuadrados correspondiente al efecto de interacción: SC AB = AB' AB Aplicamos la prueba de la hipótesis para determinar si la variabilidad correspondiente al término de interacción permite desechar el modelo aditivo y mantener la validez de un modelo con término de interacción (Tabla 1). Los grados de libertad correspondientes al término de interacción se calculan multiplicando los correspondientes a los efectos principales que implican, en este caso los grados de libertad serán igual a uno (gl AB = gl A gl B = 1 1 = 1). La constante o media general (M) es de 0. El efecto de a1 es 0. El efecto de es 10. El efecto de a1 es -5. La Suma de Cuadrados Total es de Una vez ejecutado el análisis se obtienen los datos de la Tabla 1.

4 Tabla 1 Diseño factorial. Modelo con interacción o no aditivo Fuente SC gl MC F p A > B < A B < Error Total Puede comprobarse en la Tabla 1 que existen diferencias estadísticamente significativas (p < 0.05) para el término de interacción entre los dos factores principales. Por tanto, el modelo que se deriva de este análisis factorial no es el de efectos aditivos de los factores principales sino el modelo de efectos de segundo orden o con interacción, por tanto, la puntuación pronosticada: El pronóstico de cada una de las cuatro situaciones experimentales: (a 1 b 1 ): (a 1 b ): (a b 1 ): (a b ): Contrastes de hipótesis específicas Y^ = M + A + B + AB [1] Y^ = M + A + B + AB = = = = 5 Y^ = M + A + B + AB = = = = 15 Y^ = M + A + B + AB = = = = 35 Y^ = M + A + B + AB = = = = 5 En el diseño factorial, al igual que cuando se aplica un diseño unifactorial, si se rechaza la hipótesis nula hay que aplicar contrastes específicos para determinar entre que medias se producen diferencias significativas, controlando la tasa de error de Tipo I por experimento. Las comparaciones en el diseño factorial se aplican de forma análoga al diseño unifactorial, lo único es que cuando se aplica a un modelo con interacción hay que tener en cuenta que los grupos que estamos comparando serán igual al número de combinaciones de los efectos principales, lo que se denomina número de celdillas. Como no se ha concretado ninguna hipótesis específica en el enunciado del supuesto y todas las comparaciones que se realizan incumben únicamente a dos grupos aplicamos la prueba de Tukey: Y Y q(, a b, glerror) g h MC error cij² a b i=1, j=1 n ij aplicando esta prueba a las cuatro condiciones experimentales obtenemos (Tabla VII del apéndice de tablas): Y Y q(, 4, 4) g h 3.5 1² + -1² + 0² + 0² 4

5 (Rango Crítico) si analizamos la distancia que existe entre las cuatro combinaciones experimentales podemos comprobar que en todos los casos superan la diferencia de 7.6 puntos, por tanto existen diferencias estadísticamente significativas entre las cuatro condiciones experimentales. Tipos de interacción El patrón interaccional es diverso en función de la relación que se detecte entre las variables. Cuando existe interacción, las líneas se cruzan o convergen en algún punto, mientras que cuando no se produce el efecto de interacción, las líneas se mantienen paralelas, ya que la distancia entre medias es constante. La representación gráfica de las puntuaciones medias de la interacción puede estar indicando un patrón de interacción ordinal, no ordinal o cruzada, mixta y no lineal. Se considera que una interacción es ordinal cuando el orden de superioridad de un factor sobre otro se mantiene o es constante aunque el efecto cuantitativo puede variar. La interacción ordinal es positiva si se observa un crecimiento en el grupo mayor y una disminución en el menor y negativa si se produce un acercamiento entre los factores (véase Figura 1). Variable Dependiente no ordinal Figura 1 a1 a Variable Independiente Variable Dependiente mixta ordinal positiva Figura a1 a Variable Independiente Figura 3 no lineal ordinal negativa Figura 3 a1 a Variable Independiente Figura 4 a1 a a1 a Variable Independiente Variable Independiente Figura 1 Representación del efecto de interacción Un efecto de interacción se denomina no ordinal o interacción cruzada cuando el orden de superioridad entre los factores se cambia, no manteniéndose constante. La interacción mixta se refiere a aquel efecto de interacción que siendo no ordinal presenta una tendencia clara hacia el cambio de orden, dando lugar a una interacción ordinal. Por último, la interacción no lineal se caracteriza por la falta de vínculo lineal entre los factores. La interacción ordinal y no ordinal constituyen las dos piezas claves del fenómeno de la interacción. La distinción entre los tipos de interacción es importante. Como Lubin (1961) señala, supongamos que un investigador está interesado en analizar el efecto de dos drogas y dos tipos de terapia en relación al éxito de la intervención efectuada (diseño x entre-sujetos). Si la relación gráfica entre dos variables no es paralela pero nunca llegan a cruzarse las líneas se tratará de un efecto de interacción ordinal. En este caso para cada intervención realizada el efecto de la droga tendrá el mismo orden de superioridad o inferioridad en relación al factor terapia. Así, si la droga A 1 tiene un efecto mayor sobre la terapia B 1 también lo tendrá sobre la terapia B. La droga A tendrá un efecto menor en ambos tipos de terapia. En este tipo de interacción ordinal las líneas representadas nunca se cruzarán. Si se produce una interacción no ordinal o cruzada tiene que producirse un cruce entre dos o más factores. En este caso, los efectos de las drogas no mantienen el mismo orden para cada terapia. Puede ocurrir que la droga A 1 tenga un efecto mayor sobre la terapia B 1 pero menor sobre B en comparación con la droga A. En definitiva, cuando existe un efecto significativo de interacción, la diferencia de efectos entre combinaciones factoriales no es constante.

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