APROXIMACION NUMERICA DE SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado

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1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación APROXIMACION NUMERICA DE SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre ALGORITMO DE NEWTON-RAPHSON GENERALIZADO Sol: 1) Aplicar algoritmo de Newton-Raphson generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como vector de inicio =, efectuando 4 iteraciones. Determine el error cometido en norma infinito ( ). 5 3 = = 10 Para solucionar el sistema de ecuaciones no lineales que se nos ha dado, debemos tener presente los siguientes conceptos: Algoritmo de N-R Generalizado: Se define como la extensión del algoritmo de N-R (unidimensional) a 2 o más dimensiones. La formula es en nuestro caso (en 2 dimensiones) es; Con: (, ) = (, ) : Vector que contiene las variables que están en el sistema de ecuaciones no lineales, es el caso de nuestro problema; =. = = = : Es la forma de expresar diferencia entre las iteraciones con el vector. (, ) : Es la forma de expresar las 2 ecuaciones en una matriz de 2 filas y 1 columna, evaluando la matriz en (, ). En nuestro caso: (, ) = = 0 (, ) = = 0 (, ) = (, ) 5 = (, ) Siendo y valores numéricos (, ) : Es la expresión del Jacobiano de evaluado en (, ), es decir, es la derivada parcial de cada función con respecto a cada variable involucradas.

2 ,, (,,, : Es la expresión utilizada para calcular errores. Las Normas más utilizadas son la Norma-1, Norma-2 y Norma-infinito. max,, max,, Siendo det : radio espectral de la matriz A Algunas propiedades importantes para algunas demostraciones son: a 0 0. b,,,. c,,. d : Lema de Schwartz Con algunos conceptos importantes ya vistos, podemos resolver nuestro problema. Una buena forma de comenzar, es graficando,,., : 5 3 2, : ,. Graficar las funciones solo sirve para dar una idea de los puntos de intersección, por lo que no es recomendable hacerlo en una prueba.

3 El algoritmo de N-R generalizado es muy sensible a la elección del punto de inicio, pues esta elección hará converger al método a un punto de intersección más lejana o más cercana. Entonces, se tiene: Punto de inicio: = Vector: (, ) = (, ) = (, ) Jacobiano: (, ) = Diferencia entre iteraciones: = = Al reemplazar estos datos en la formula de N-R Generalizado bidimensional, es decir; Entonces se tiene;, =, = Para n=0 y = = = = = = 1 = 1 = El resultado servirá para seguir iterando. Para n=1 y = = 6 1 = = 1 = = 1 = = = =. =

4 El resultado de la segunda iteración indica que se empieza a estabilizar. Para n2 y El resultado de la tercera iteración varía muy poco con respecto a la segunda, se estabiliza aun más. Para n3 y El resultado de nuestra cuarta iteración nos lleva a pensar que el resultado final que nos dará el algoritmo después de n iteraciones será el punto de intersección, una explicación a esto es el punto de inicio elegido (, en el caso de otro punto, puede que el algoritmo converja con mayor o menor velocidad a, o a uno de los otro 3 puntos de intersección. Lo más probable es que si se elije un punto que toque alguna de las dos funciones y que esté cerca de la intersección entre estas, el algoritmo converja más rápidamente a esa intersección.

5 Ahora para calcular el error cometido, necesitamos encontrar la solución exacta al problema por medio de métodos numéricos, por lo que se debe reducir el problema de 2 a 1 dimensión. Se debe despejar una de las variables de una de las ecuaciones, y reemplazar ésta en la otra ecuación, es decir; Si tenemos 5 3 = 2 y Eligiendo la ecuación y despejando la variable y, se tiene; = Ahora esta variable la reemplazamos en la otra ecuación, quedando; / La derivada de esta función es Ahora aplicaremos N-R unidimensional, tomando como punto de inicio =0.4, que es un punto cercano al que se obtuvo después de la cuarta iteración por medio del algoritmo de N-R generalizado. En este caso lo natural era tomar como punto de inicio el =1 (según el enunciado del problema), pero si elegimos este punto, el algoritmo de N-R unidimensional convergerá al punto de intersección más cercano, es decir, a (aproximadamente = y , con =0.4 = Entonces la solución exacta es Por lo que el error cometido en norma-infinita es;

6 Sol: 2 Aplicar algoritmo de N-R N generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como vector de inicio x₀ (0.5 1) t, efectuando 5 iteraciones. Determine el error cometido en norma-infinito ( ) y norma-1 ( ₁). cos(x) + e y = x sen(5x) + xy = y El problema nos entrega los siguientes datos; Grafico de la ecuación f (xn, yn): cos (xn)+e y = xn y g (xn, yn): sen (5xn)+ xnyn = yn. En la imagen se muestran 2 puntos de intersección. F(xn,yn )= f(xn,yn ) g(xn,yn ) = cos (xn) + e y - xn sen (5xn)+ xnyn - yn (F(xn,yn ))= δf(xn,yn )/δx δf(xn,yn )/δy = -sen (xn)-1 e y δg(xn,yn )/δx δg(xn,yn )/δy 5cos (5xn)+ yn xn - 1 Entonces, se puede armar el algoritmo; -sen (xn)-1 e y xn = cos (xn) + e y - xn 5cos (5xn)+ yn xn - 1 yn sen (5xn)+ xnyn - yn Para n=0 y x₀= (x0 y0) t = (0.5 1) t -sen (xn)-1 5cos (5xn) + yn e y xn = cos (xn) + e y - xn xn - 1 yn sen (5xn) + xnyn - yn x0 = y

7 = = Para n=1 y =.. ( ) 1 5 cos5 1 = cos Para n=2 y = = = = = = = = cos5 1 = cos Para n=3 y = = = = = = = = cos5 1 = cos = = = = = = =

8 Para n=4 y = cos5 1 = cos = = = = = = = = La solución exacta se puede obtener de la misma forma que el ejercicio 1). Si tenemos cos) = 5) = Eligiendo la ecuación 5) = y despejando la variable y, se tiene; = ) Ahora esta variable la reemplazamos en la otra ecuación, quedando; cos) ) = ) = cos) ) = 0 La derivada de esta función es ) = ) ) ))) 1 ) Ahora aplicaremos N-R unidimensional = ) ), tomando como punto de inicio ) =0.5, que es un punto cercano al que se obtuvo después de la quinta iteración = =0.5 = = = = = = cos ) ) ) ) 5 cos5 ) 1 ) 5 ) 1 ) 1

9 = ( ) = = = Entonces una de las soluciones es = = El error cometido en norma-infinita es; ( ) = = ) = El error cometido en norma-1 es; = = ) = = = = = ) Aplicar algoritmo de N-R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como vector de inicio =, efectuando 2 iteraciones. Determine el error cometido en norma infinito ( ), si la solución exacta es =... Sol: ( ) = 0 = () El problema nos entrega los siguientes datos; (, ): ( ) = 0 (, ): = ( ). "n". (, ) = (, ) = ( ) (, ) ( )

10 , F(,,, 1, cos )) 1 cos )) Entonces, se puede armar el algoritmo; 1 cos 1 = cos Para n=0 y = = ( cos )) Para n=1 y =.. 1 = ) cos )) ) = = = 1 = = 1 = = = = = = = = = = = El error cometido en norma-infinita es; = = = 0 = 0 El resultado nos indica que es la solución del problema, este punto se encuentra en el segundo cuadrante

11 Obs: En ocasiones puede que el resultado no es el que se espera, pues en este ejercicio, la solución más cercana al punto de inicio se encuentra en el cuarto cuadrante y no en el segundo. Puede que el punto de inicio este muy cercano a la solución, pero cabe la posibilidad que haga converger al algoritmo a una solución distinta. Todo depende de la complejidad del problema. También la mala elección del punto de inicio, puede hacer que el algoritmo no converja. 4) Aplicar algoritmo de N-R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como vector de inicio x₀= ( ) t, efectuando 6 iteraciones. Determine el error cometido en norma infinito ( 1) si la solución exacta α₀= ( ) t. x 3-2 xy+ y = cos (x) x 5 + e y = sen (y). Sol: El problema nos entrega los siguientes datos; Grafico de la ecuación f (xn, yn): x 3 n - 2 xnyn+ yn = cos (xn) y g (xn, yn): x 5 n+ e y = sen (yn). En la imagen se muestran 4 puntos de intersección. F(xn,yn )= f(xn,yn ) = x 3 n - 2 xnyn+ yn - cos (xn) g(xn,yn ) x 5 n+ e y - sen (yn) (F(xn,yn ))= δf(xn,yn )/δ x δf(xn,yn )/δy = 3x 2 n - 2yn +sen (xn) -2xn +1 δg(xn,yn )/δx δg(xn,yn )/δy 5 x 4 n e y - cos (yn) Entonces, se puede armar el algoritmo; -sen (xn)-1 e y xn = cos (xn) + e y - xn 5cos (5xn)+ yn xn - 1 yn sen (5xn)+ xnyn - yn Entonces, se puede armar el algoritmo;

12 ( 2 cos ( ( Para n=0 y ( (.. Para n1 y.. 2 cos ( ( = 0.5 = = = ( (.. Para n2 y ( cos ( ( = = = ( = = = cos ( (......

13 Para n=3 y = Para n=4 y = ( ) Para n=5 y = ( ) El error cometido en norma-1 es;.. = = = = = = ( ).. = = = = = = = = ( ).. = = = 2 cos ) ) 2 cos ) ) 2 cos ) ) = = = = = = = = ) = = ( ) = = =

14 Sol: 5) Aplicar algoritmo de N-R generalizado al sistema de ecuaciones no lineales, tomando como vector de inicio =, efectuando 6 iteraciones. Determine el error cometido en normainfinito ( ) y norma-1( ), si una de las soluciones es = = 10 El problema nos entrega los siguientes datos; 9 2 = cos () (, ): 7 = 10 (, ): cos ( ). 2. = (, ) = (, ) (, ) = cos ( ) (, ) (, ) = (, ) (, ) 3 7 = 2 (, ) 9 2 ( ) Entonces, se puede armar el algoritmo; ( ) 7 3 = cos ( ) Para n=0 y = = = = = 1 = = 1

15 = = Para n=1 y = = = = = = = = Para n=2 y = El error cometido en norma-infinita es; = = = = = = = = = = ) = El error cometido en norma-1 es; = = ) = = = = =