Si elegimos muestras de 100 bombillas y calculamos su duración media... TIPIFICANDO

Transcripción

1 Contraste bilateral (1) En los folletos de propaganda, una empresa asegura que las bombillas que fabrica tienen una duracón media de 1600 horas. A fin de contrastar este dato, se toma una muestra aleatoria de 100 bombillas, obteniéndose una duración media de 1570 horas, con una desviación típica de 120 horas ( se considera que ésta es también la desviación típica de la producción total ). Con estos datos, puede aceptarse la información de los folletos con un nivel de confianza del 95%? Hipótesis nula H 0 : La información es cierta / : = 1600 h Hipótesis alternativa H 1 : La información es falsa / : 1600 h de la muestra de 100 bombillas, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que : = 1600 horas. Así, en nuestro ejemplo : : = 1600 h / F= 120 h. Todas las bombillas producidas. Duración media : = 1600 h Desviación típica F = 120 h Si elegimos muestras de 100 bombillas y calculamos su duración media... La duración media en las muestras: 0 Media aritmética : = 1600 h Desviación típica F = 12 h Como n = 100 $ 30 N( 1600 ; 12 ). p( Z # Z "/2 ) = 0,975 ( mirando en la tabla ) > Z "/2 = 1,96 En el 95% de las muestras, la duración media de las bombillas, 0, estará comprendida entre los valores A y B, es decir : p ( 1576,48 h # 0 # 1623,52 h ) = 0,95 > zona de aceptación ( 1576,48, 1623,52 ) horas Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 100 bombillas, hemos comprobado que su duración media es de 1570 horas. Como este valor no está en la zona de aceptación. Con un nivel de confianza del 95%, rechazamos la hipótesi nula / aceptamos la alternativa : es falsa la información que aparece en la propaganda.

2 Contraste unilateral (2) Según la normativa sobre contaminación atmosférica, los motores de los automóviles no deben emitir más de 5 ppm ( partes por millón ) de CO 2. Un fabricante, dentro de sus procesos de control de calidad, ha medido la emisión de CO 2 de 36 motores obteniendo una media de 5,5 ppm y una desviación típica de 0,6 ppm. Contrasta, con un nivel de significación de 0,05 ( un nivel de confianza del 95% ), la hipótesis de que los motores que fabrica cumplen la normativa sobre contaminación. Hipótesis nula H 0 : Los motores cumplen la normativa / : # 5 ppm Hipótesis alternativa H 1 : No la cumplen / : > 5 ppm de la muestra de los 36 motores, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que : # 5 ppm. Así, en nuestro ejemplo : : = 5 ppm / F = 0,6 ppm Todos los motores que fabrica. Emisión media de CO 2 : = 5 ppm Desviación típica F = 0,6 ppm Si elegimos muestras de 36 motores y calculamos la emisión media de CO 2 La emisión media en las muestras: 0 Media aritmética : = 5 ppm Desviación típica F = 0,1 ppm Como n = 36 $ 30 N( 5 ; 0,1 ). p( Z # Z " ) = 0,95 > ( 0,9495 > 1,64 ; 0,9505 > 1,65 ) > Z " = 1,645 En el 95% de las muestras, la emisión media de CO 2, 0, de los motores será inferior a B, es decir : p ( 0 # 5,1645 ) = 0,95 > zona de aceptación ( - 4, 5,1645 ) ppm de CO 2 Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 36 motores. Hemos calculado la emisión media de CO 2 en esos 36 motores: 5,5 ppm. Como este valor está fuera de la zona de aceptación. Con un nivel de confianza del 95%, rechazamos la hipótesi nula : no podemos aceptar que los motores cumplan la normativa sobre contaminación.

3 Contraste unilateral (3) La dirección de un Instituto ha establecido que la media de horas semanales dedicadas por el alumnado al estudio es superior a 15, con una desviación típica de 1 h. Durante el presente curso, el Dpto.de Matemática quiere demostrar que esta media ha disminuido. Para ello, elige una muestra aleatoria de 150 alumn@s, obteniendo un tiempo medio de estudio de 12,7 h/semana. Puede afirmarse, con un nivel de confianza del 90%, que ha disminuido el tiempo medio de l@s alumn@s? Hipótesis nula H 0 : Estudian más de 15h / : $ 15h/sem. Hipótesis alternativa H 1 : La media ha disminuido / : < 15 h/sem. de la muestra de los 150 alumn@s, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que : $ 15 horas/semana. Así, en nuestro ejemplo : : = 15 horas/semana / F = 1 hora/semana. Todos l@s alumn@s del instituto. Tiempo medio de estudio : = 15 h/sem. Desviación típica F = 1 h/sem. Si elegimos muestras de 150 alumn@s y calculamos la media de horas semanales de estudio... El tiempo medio en las muestras: 0 Media aritmética : = 15 h/sem. Desviación típica F = 0,082 ppm Como n = 150 $ 30 N( 15 ; 0,082 ). p( Z $ -k) = p( Z # Z " ) = 0,9 > Z " = 1,28 > k = 1,28 En el 90% de las muestras, el tiempo medio semanal de estudio, 0, será superior a A, es decir : p ( 0 $ 14,895 ) = 0,9 > zona de aceptación ( 14,895, + 4 ) horas de estudio a la semana. Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 150 alumn@s. Hemos calculado la media del tiempo semanal que dedican a estudiar : 12,7 horas. Como este valor está fuera de la zona de aceptación. Con un nivel de confianza del 90%, rechazamos la hipótesi nula : ha disminuido el tiempo dedicado al estudio.

4 Contraste bilateral / unilateral (4) En una ciudad hay una empresa. Una encuesta, realizada a 64 empleados, concluyó que el tiempo medio que dura un empleo en la fábrica es de 6,5 años, con una desviación típica de 4 años. Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica es menor o igual que 6 años? Hipótesis nula H 0 : Hipótesis alternativa H 1 : de la muestra compuesta por 60 emplead@s, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis nula : Así, en nuestro ejemplo : : = / F = Si elegimos muestras de... La duración media en las muestras: 0 Duración media : = Desviación típica F = Media aritmética : = Desviación típica F = Como.

5 Contraste de hipótesis para una proporción. Contraste bilateral / unilateral (3) Hace diez años, el 25% de los partos fueron de madre de más de 33 años. Actualmente se ha tomado una muestra de 120 partos de los cuales 34 fueron de madres de más de 33 años. Con una significación del 10%, se puede aceptar que la proporción de partos de madres de más de 33 años sigue siendo como mucho del 25%? Hipótesis nula H 0 : Hipótesis alternativa H 1 : o rechazar una hipótesis previamente emitida sobre el valor de un parámetro desconocido de esa Con el estudio de los 120 partos, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que, el porcentaje de mujeres de más de 33 años se mantiene p # 0,25. El TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que si en una población, la proporción en la que se presenta un determinado suceso es igual a PR, si elegimos muestras de tamaño n, las proporciones obtenidas en las muestras cumplen: Su media aritmética es igual a PR Si n $30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : p= / q = Población Si elegimos muestras de Las proporciones muestrales : pr PR = Media aritmética : = Desviación típica F = Como.

6 Contraste de hipótesis para una proporción. Contraste unilateral (2) En una determinada ciudad se afirma que, al menos el 30% de las familias tiene un ordenador. Se toma una muestra aleatoria y significativa compuesta por 200 familias de la ciudad y se observa que 50 de ellas tienen un ordenador en la casa. A un nivel de significación del 0,05, hay suficiente evidencia para refutar la afirmación? Hipótesis nula H 0 : Al menos el 30% de los hogares de la ciudad tienen ordenador / p $ 0,3 Hipótesis alternativa H 1 : p < 0,3 de los 200 hogares de la ciudad, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que, al menos, el 30% tiene ordenador: p $ 0,3. El TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que si en una población, la proporción en la que se presenta un determinado suceso es igual a PR, si elegimos muestras de tamaño n, las proporciones obtenidas en las muestras cumplen: Su media aritmética es igual a PR Si n $30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : p=0,3 / q=0,7 Población Todos los hogares de la ciudad. Porcentaje con ordenador PR = 0,3 Si elegimos muestras de 200 familias y les preguntamos si tienen ordenador en casa... Las proporciones muestrales : pr Media aritmética : = 0,3 Desviación típica F = 0,032 Como n = 200 $ 30 N( 0,3 ; 0,032 ). p( Z $ -k) = p( Z # Z " ) = 0,95 ( mirando en la tabla ) > Z " = 1,645 > k=1,645 En el 95% de las muestras, la proporción de familias que tienen un ordenador en la casa, pr, es superior a A : p ( pr $ 0,247 ) = 0,95 > zona de aceptación ( 0,247, + 4 ) > ( 24,7%, + 4 ) tienen ordenador. Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 200 de las familias de la ciudad. De ellas, sólo 50 dijeron tener ordenador en la casa : el porcentaje de la muestra es 50/200 = 0,25 : está dentro de la zona de aceptación. Con un nivel de confianza del 95%, aceptamos la hipótesi nula : aceptamos que, al menos, el 30% de las familias tienen ordenador.

7 Contraste de hipótesis para una proporción. Contraste bilateral (1) Una empresa farmacéutica afirma en su publicidad que uno de sus medicamentos reduce considerablemente los síntomas de la alergia primaveral en el 90% de la Una asociación de consumidores ha experimentado el fármaco con una muestra de 200 de sus socios, obteniendo el resultado indicado en 170 personas. Con esos datos, es estadísticamente correcta la afirmación de la empresa al nivel de significación de 0,05? Hipótesis nula H 0 : El fármaco reduce la alergia en el 90% de la población / p = 0,9 Hipótesis alternativa H 1 : p 0,9 de los efectos del fármaco en una muestra de 200 personas, tratamos de aceptar o rechazar la hipótesis de que p = 0,9. El TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE afirma que si en una población, la proporción en la que se presenta un determinado suceso es igual a PR, si elegimos muestras de tamaño n, las proporciones obtenidas en las muestras cumplen: Su media aritmética es igual a PR Si n $30, se aproxima mucho a una normal. Así, en nuestro ejemplo : p=0,9 / q=0,1 Población Todas las personas que toman el fármaco. Efectividad del fármaco PR = 0,9 Si elegimos muestras de 200 personas y les preguntamos si la medicina les ha reducido los síntomas de la alergia... Las proporciones muestrales : pr Media aritmética : = 0,9 Desviación típica F = 0,021 Como n = 200 $ 30 N( 0,9 ; 0,021 ). p( Z # Z "/2 ) = 0,975 ( mirando en la tabla ) > Z "/2 = 1,96 En el 95% de las muestras, la proporción de efectividad de la medicina, pr, estará comprendida entre los valores A y B, es decir : p ( 0,858 # pr # 0,942 ) = 0,95 > zona de aceptación ( 0,858, 0,942 ) > ( 85,8%, 94,2% ) de efectividad Hemos elegido una muestra aleatoria y significativa formada por 200 enfermos que toman la medicina. Como de los 200, 170 dijeron que sí notaron un alivio en la alergia, la proporción de efectividad en la muestra fue de 170/200 = 0,85 : fuera de la zona de aceptación. Con un nivel de confianza del 95%, rechazamos la hipótesi nula : no podemos avalar la información que proporciona la farmacéutica.