SOLUCIONARI Unitat 4

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitat 4 Comencem Quants nombres de tres ifres diferents podem escriure amb els deu dígits? Cal que tinguis en compte que els grups 00, 0, per eemple, no són nombres de tres ifres. Amb els 0 dígits es poden escriure agrupacions de ifres, de les quals n i a 9 8 que comencen per 0. Per tant, només es poden escriure nombres de ifres. Quants resultats diferents pots obtenir quan llances, de manera consecutiva, quatre monedes enlaire? Per a cada moneda i a dos resultats possibles. Per a les quatre monedes, els resultats possibles són: Eercicis. Forma totes les paraules possibles, tinguin o no sentit, amb les lletres de la paraula PERA. Quantes n i a? Hi a P 4 4! 4 paraules possibles. Són les següents: AEPR, AERP, APER, APRE, AREP, ARPE, EAPR, EARP, EPAR, EPRA, ERAP, ERPA, PAER, PARE, PEAR, PERA, PRAE, PREA, RAEP, RAPE, REAP, REPA, RPAE, RPEA.. Quantes apostes diferents es poden fer a la travessa jugant al ple al quinze? I si es fien empats i victòries de l equip local? Com que cal escriure resultats amb els tres símbols, X,, es tracta de variacions amb repetició: VR, Si es fien resultats ( empats i victòries), només queden caselles lliures, per tant: VR,. En una festa acudeien 0 joves i tots es donen la mà en saludar-se. Quantes encaiades de mans s i an produït? Cada encaiada de mà equival a la tria de persones entre 0, per tant: VR 0, 0 9 C 0, P! encaiades 4. Quants nombres diferents de nou ifres es poden escriure amb tres cinc, dos uns i quatre sisos. Quants comencen per cinc? Es tracta de nombres com ara Són permutacions amb repetició, per tant, de nombres de nou ifres que es puguin escriure amb tres cincs, dos uns i quatre sisos n i 9!,, a: P !! 4! Hi a 60 : 9 40 nombres que comencen per cadascuna de les nou ifres. Si els nombres tenen tres cincs, i aura nombres que començaran per.. Quantes diagonals té un eptàgon regular? De cadascun dels vèrtes surten 4 diagonals, però em de tenir en compte que la meitat són coincidents. Per tant, el nombre de diagonals que té un eptàgon regular és 4 4 diagonals. 6. Resol l equació següent: V, VR, 6 0 Recorda que només pot ser un nombre natural. V, VR, 6 0 ( ) ( ) Només és solució de l equació proposada.. Per fer l alineació d un equip de futbol necessitem jugadors i en tenim. Quantes alineacions es poden fer si cada jugador pot ocupar qualsevol posició? I si Matemàtiques. Batillerat

2 d ells només poden jugar de porter i 6 de defensa? C, 0 4 alineacions diferents Si vuit jugadors ja estan fiats ( porters i 6 defenses), en queden 4 dels quals cal triarne cinc: C 4, 00 alineacions diferents. 8. Quants nombres de quatre ifres es poden escriure amb les 9 ifres significatives, tenint en compte que an de ser diferents? I si es poden repetir ifres? Si les ifres són diferents: V 9, nombres Si les ifres es poden repetir: VR 9, nombres 9. Calcula els nombres combinatoris següents: , 0,,, ; ; ! 0!!! 8!! ! 6 4 8! 8! 0. Simplifica aquestes fraccions: 0! a)! 8! 0! 0 9 4! 8!! b)!!! 4 4!! 0! c)! 48! 0! 0 49! 48! 000! d )! 99! 000! ! 99! Compara els nombres combinatoris 00 i. Simplifica les fraccions corres- 9 ponents abans de realitzar-ne els càlculs ! !! ! 400. Són iguals. 9! 9!. Simplifica aquestes epressions fraccionàries: m! (n )! a) n! (m )! m! (n )! n! (m )! n (m ) (a )! (b )! b) a! (b )! (a )! (b )! a a! (b )! b (b ) (m )! a! c) (m )! (a )! (m )! a! m (m ) (m )! (a )! a! (b )! 8! d ) 9! b! 6!! (b )! 8! (b ) (b ) 9! b! 6! 9! 0! e)! 4!! 0!! 4! ,9 0 Matemàtiques. Batillerat

3 (m n )! (n )! f ) (n )! (m n)! (m n )! (n )! n (n ) (n )! (m n)! m n. Resol les equacions: 4 4 a) b) 4 8 c) 6 d ) 4 0, ja que a de ser un nombre natural. En els apartats b) i d) la solució també és. 4. Troba el valor de en aquestes igualtats: a) b) c) d ) S a aplicat la segona propietat dels nombres combinatoris a cada apartat.. Desenvolupa les potències següents: a) ( ) ( ) 4 () 0 () () () 4 () b) ( y) ( y) 6 ( ) 6 ( ) y ( ) 4 y ( ) y ( ) y 4 ( ) y y y 4 y 40 y y 4 8 y y 6 a b c) 4 a b 4 a a b 4 a b 4 a b 4 b 4 4 a 4 a b a b ab b Matemàtiques. Batillerat

4 d ) Calcula el quart terme del desenvolupament de: ( ) Quart terme:! 9 () !!. a) Determina el terme central en el des- envolupament 8. El terme central és el cinquè: 8 8 8! ! 4! b) Troba el coeficient de la potència en el desenvolupament anterior. 8 8 és el terme que ocupa el lloc. El producte de les potències: ! Coeficient: 6!! 8. Escriu l epressió de ( b). ( b) ( b) b b Acabem. Quants nombres de tres ifres diferents es poden formar amb els dígits,,, 4,? Quants són parells? Quants són senars? V, 4 60 nombres de ifres diferents seran imparells, és a dir, la ifra de les unitats serà, o. La resta: tindran o 4 com a ifra de les unitats.. De quantes maneres es poden escollir fites en un dòmino complet? Triar fites entre 8: V 8, C 8, P maneres diferents. Considerem un pla on i a 0 rectes de manera que dues qualssevol d aquestes rectes no són paral. leles i tres qualssevol no són concurrents. Quants punts d intersecció determinen? Cada dues rectes determinen un punt d intersecció: 0 9 C 0, 4 punts 4. Es disposa de 6 jugadors de futbol i se n an de seleccionar, però de manera que dos d ells no estiguin en el matei grup. De quantes maneres es pot fer? Si dos jugadors no poden estar en el matei grup és com si en descontéssim un dels set- 4 ze. Són C, C, grups diferents.. Llancem un dau 4 vegades. Quants resultats diferents podem obtenir? Es poden obtenir 6 resultats cada vegada. Són VR 6, Matemàtiques. Batillerat

5 6!! 0! 90! 6. Calcula:,,,. Simplifica 4!!! 88! prèviament les fraccions. 6! !! 4 0! 0!! 46 90! ! Cal tenir en compte que, a partir de 4!, a la calculadora científica els factorials apareien en forma de notació científica. 9. Quants nombres parells de quatre ifres i a que siguin més grans que el número 6? De a 9 999, i a 000 nombres parells. De 00 a 999, i a 0 nombres parells. De 6 a 699 i a 4 nombres parells. En total i a 9 nombres parells.. Simplifica les epressions següents: (n )! a) (n )! (n )! (n )! n (n ) (n )! b) (n )! (n )! n (n ) (n ) (n )! (n r )! c) (n r )! (n r )! (n r) (n r ) (n r )! 8. En una cursa i a participants de l equip A i 0 de l equip B. Si tots ells creuen la línia d arribada, determina de quantes maneres diferents o poden fer si: a) Els dos primers són de l equip A. Els dos de l equip A poden arribar primers de C, maneres diferents. Per a cadascuna d aquestes arribades, els restants i poden arribar de P! maneres diferents. En total:!,4 0, aproimadament. b) Dos dels tres primers són de l equip A. P 4 C, 4!,8 0, aproimadament. c) Com a mínim un dels tres primers és de l equip A. P 4 4! 6,0 0, aproimadament. 0. Escriu tots els nombres combinatoris d ordre. Calcula ls i suma ls. Comprova que la suma és. ; ; ; ; 0 4 ; ; 6 ; La suma: 8.. Amb els dígits,,, 4, i 6, quants nombres de quatre ifres diferents es poden formar? Calcula n la suma. V 6, nombres. Cada ifra ocupa 60 : 6 60 vegades un lloc determinat. La suma de les unitats és: 60 ( 4 6) 60 igual que la suma de les desenes, les centenes i les unitats de mil. La suma total és: Suposem ordenats en successió creient tots els nombres de quatre ifres diferents que es poden formar amb els dígits 6,, 8 i 9. Quin lloc ocupa en aquesta successió el número 896? Es poden formar P 4 4! 4 nombres. N i a 4 : 4 6 que comencen per 6. Dels mil n i a que tenen el 6 o el 8 a les centenes. Total: 6 0 nombres inferiors a 896 Matemàtiques. Batillerat

6 . En un campionat de bàsquet a doble volta es juguen un total de 90 partits. Quants equips i participen? Anomenem al nombre d equips: V, ( ) Només pot ser solució 0 equips. 4. Desenvolupa la potència ( y). ( y) ( ) ( ) 6 (y) 0 ( ) (y) ( ) 4 (y) ( ) (y) 4 ( ) (y) 4 (y) 6 (y) y 6 y 60 4 y 80 y 4 84 y 4 y 6 y. Calcula el coeficient de en el desenvolupament de ( ). El coeficient de és el terme del desenvolupament: Coeficient: Determina el coeficient de 4 en el desenvolupament de ( ) 0. De la mateia manera que a l eercici anterior: 0 ( ) 0 () Coeficient: () Resol les equacions: 4 a) ( ) ( ) ( ) : 4! ( )( )( )( 4) :! 4! 4! ( 4) 4 4 En simplificar s a tingut en compte que a de ser diferent de 0,,, i. b)!!( )!!!! ( )! ( )! ( ) ( ) ( )! 6( )! ( ) ( )! ( )! ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) 6 ( )( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) Troba els valors de, y i z sabent que el segon terme del desenvolupament de ( y) z és de, el tercer és 90 i el quart, 0. z Segon terme: z y Matemàtiques. Batillerat

7 z Tercer terme: z y 90 z Quart terme: z y 0 No es poden resoldre aquestes equacions. Però, tenint en compte que z a de ser un nombre natural i que els resultats són nombres naturals, es pot deduir en la primera equació que i, per tant, z i y, valors que confirmen les altres dues igualtats. 9. En el desenvolupament de, escriu el coeficient de. Un terme: ( ) Terme en ( ) Igualant eponents: ( ) Coeficient: () Calcula ( ) ( ). ( ) ( ) 0 0 ja que els termes que ocupen llocs parells són negatius. ( ) ( ) 0 0 Matemàtiques. Batillerat