Cap ıtulo 2 Rentas 27

Transcripción

1 Capítulo 2 Rentas 27

2 2.1 Rentas Una renta es un conjunto de prestaciones con vencimientos diversos, cada uno de los cuales se denomina cuota. En sentido restringido, es una sucesión de pagos (o cobros) con vencimiento en épocas equidistantes. Esto último no constituye una limitación para nuesto análisis, ya que si los pagos o cobros no fueran equidistantes, se agregarán los necesarios de valor, formando así una sucesión con intervalos regulares Algunas definiciones y componentes de una renta a) Duración de una renta: es el número de cuotas. b) Período: es el intervalo de tiempo que media entre dos pagos o cobros consecutivos. c) Eje del tiempo: Utilizaremos un eje horizontal, y a cada instante le asignaremos un número real t, de foma tal que al origen le asignamos t =. por ejemplo si definimos como origen el 31/12/4 y definimos como unidad de tiempo un año. 31/12/1 3 31/12/2 2 31/12/3 1 31/12/4 31/12/5 1 31/12/6 2 31/12/7 3 d) Valor de una renta: hace referencia a una expresión homogénea de la serie de prestaciones que la componen, es decir, una cantidad de unidades monetarias en un instante t equivalente, en términos financieros, al conjunto de cuotas que conforman la renta. e) Notación: C k es la k-ésima cuota. i tasa efectiva de interés del período. Durante el desarrollo de este capítulo consideraremos la ley de interés compuesto. Al primer pago o cobro de una renta discreta le asignamos t = 1, y definimos como unidad de tiempo al período por lo cual la cuota 2 estará en t = 2, la cuota k estará en t = k y la cuota n estará en t = n. En este contexto, t = está un período antes del pago o cobro de la primera cuota. C 1 C 2 C 3 C k... C n k... n... C k (t, i) es el valor de la cuota k-ésima en el instante t, o sea C k (t, i) = C k (1 + i) t k. Observe el lector que lo que se ha hecho para obtener el valor de la cuota k-ésima en el instante t es simplemente aplicar la ley del interés compuesto. Apreciese además que la fórmula vale si t > k, t = k o t < k. 28

3 f) Cálculo del valor de una renta discreta en el momento t: n n R(t, n, i) = C k (t, i) = C k (1 + i) t k k=1 t es el momento en el que se evalúa la renta (t R) n es el número de cuotas de la renta discreta (n N). i es la tasa efectiva en el período, se supone que es única, si hubiera más de una tasa se debe utilizar más de una renta. g) Una renta se dice vencida inmediata si las cuotas se pagan al final de cada período, mientras que se dice adelantada inmediata si se pagan al principio. En nuestro desarrollo posterior utilizaremos vencidas y adelantadas como equivalente de vencidas inmediatas y adelantadas inmediatas. h) El procedimento habitual para el cálculo del valor de una renta es Plantear un eje del tiempo que incluya los datos proporcionados (analizando si es necesario o no separar la renta en rentas auxiliares). Determinar en el eje el momento t = 1, correspondiente al primer pago. Determinar el momento t del tiempo en el que deseamos calcular el valor de la renta Ejemplos Ejemplo 23 Una persona obtiene un préstamo de $ 1. el 31/12/4 que cancelará en tres cuotas de la siguiente forma: $ 2. el 31/1/5, $ 3. el 28/2/5 y el saldo el 31/3/5. La tasa de interés pactada fue del 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales. a) Calcular el importe a pagar el 31/3/5. b) Si en lugar de pagar la tercera cuota el 31/3/5, lo hiciera recién el 31/5/5, determinar cuál sería su importe. a) Recordando que la cuota 1 se ubica en t = 1, y que la unidad de tiempo es el mes, el momento en que se efectúa el préstamo, 31/12/4, es t =. El valor del préstamo en t = es equivalente, financieramente, al conjunto de cuotas llevadas al momento t = con una tasa equivalente a una tasa 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales k=1 C 1 C C 3 j 6 =, 24 i m = j 6 6 =,24 6 =, 4 R (, 3,.4) = C 1 (, i) + C 2 (, i) + C 3 (, i) 1. = C 1 (1 + i) 1 + C 2 (1 + i) 2 + C 3 (1 + i) 3 1. = 2. 1, , C 3 1, 4 3 C 3 = , , 4 2 1, 4 3 = 5.965, 44 29

4 b) Ya que la cuota 1 se ubica en t = 1, que es 31/1/5, al hacer el último pago el 31/5/5, le corresponde t = 5, o sea, que podemos suponer que C 3 =, C 4 = y lo que se pide es el valor de la quinta cuota C 5. Ahora, el valor del préstamo en t = es equivalente, financieramente, al conjunto de cuotas llevadas al momento t = con una tasa efectiva mensual i m =, 4 C 1 C /4/5 C /5/5 R (, 5,.4) = C 1 (, i) + C 2 (, i) + C 3 (, i) + C 4 (, i) + C 5 (, i) 1. = C 1 (1 + i) 1 + C 2 (1 + i) 2 + C 3 (1 + i) 3 + C 4 (1 + i) 4 + C 5 (1 + i) 5 1. = 2. 1, , , , C 5 1, 4 5 C 5 = , , 4 2 1, 4 5 = 6.452, 22 Otra forma de pensarlo es, sobre la cuota calculada en la primera parte, C 3 en t = 3, calcular su valor equivalente en el momento t = 5, aplicando una tasa efectiva mensual i m =, 4: C 3 (5,.4) = C 3 (1 +, 4) 5 3 = 5.965, = 6.452, 22 Obteniéndose el mismo resultado Ejemplo 24 El Sr. Mc. Anadenabo abrió una cuenta en el Banco A que paga el 5% efectivo mensual y efectuó los siguientes depósitos: Fecha Depósito 31/1/4 1 29/2/ /3/4 89 3/4/4 1 31/5/4 13 Al 3/6/4 retiró el saldo y agregando $ 14,58 canceló un préstamo que había obtenido en el Banco B el 31/12/3 al 6% efectivo mensual. a) Determine el importe P del préstamo obtenido el 31/12/3. b) Calcule cuánto habría necesitado al 3/6/4 para cancelar su deuda si hubiera realizado los depósitos en el Banco B a cuenta del préstamo. c) Suponiendo que el Banco B recibe pagos a cuenta de la deuda, considera Ud. que la operación llevada a cabo por el Sr. Mc. Aradenabo es financieramente inteligente? 3

5 a) Banco A i m =, /1/ /2/ /3/ /4/ /5/4 5 R (6, 5,.5) = C 1 (6, i) + C 2 (6, i) + C 3 (6, i) + C 4 (6, i) + C 5 (6, i) R (6, 5,.5) = C 1 (1 + i) 5 + C 2 (1 + i) 4 + C 3 (1 + i) 3 + C 4 (1 + i) 2 + C 5 (1 + i) 1 Banco B i m =, 6 R (6, 5,.5) = 1 1, , , , , 5 R (6, 5,.5) = 479, 7 R(6, 1,.6) = 479, , , 65 = P 1, 6 6 P = 493, 65 1, 6 6 = 348, 3/6/3 1 31/1/ /2/ /3/ /4/ /5/4 5 b) R (6, 5,.6) = C 1 (6, i) + C 2 (6, i) + C 3 (6, i) + C 4 (6, i) + C 5 (6, i) R (6, 5,.6) = C 1 (1 + i) 5 + C 2 (1 + i) 4 + C 3 (1 + i) 3 + C 4 (1 + i) 2 + C 5 (1 + i) 1 R (6, 5,.6) = 1 1, , , , , 6 R (6, 5,.6) = No hubiera necesitado depositar nada más. c) No, está colocando el dinero a un 5% efectivo mensual cuando en el préstamo le están cobrando un 6% efectivo mensual. Dada la forma en que hace la operación está obligado a agregar una suma de dinero al final de sus depósitos ($14, 58), cuando, si hubiera optado por el otro mecanismo no hubiera necesitado agregar nada. No obstante todo esto es válido si el Banco B acepta depósitos a cuenta de la cancelación de la deuda 31

6 2.1.3 Rentas de cuotas constantes Supongamos que estamos ante una renta de n cuotas iguales, esto es C k = C, k = 1, 2,, n, estamos interesados en calcular el valor de esta renta: R (t, n, i) = n C k (1 + i) t k = k=1 n C (1 + i) t k = C k=1 n (1 + i) t k k=1 Definimos el factor de valuación: V (t, n, i) = n (1 + i) t k k=1 Haciendo el desarrollo de la suma obtenemos: (2.1) V (t, n, i) = (1 + i) t 1 + (1 + i) t (1 + i) t n Si ahora multiplicamos ambos miembros por (1 + i) obtenemos: (2.2) (1 + i) V (t, n, i) = (1 + i) t + (1 + i) t (1 + i) t n+1 Si restamos miembro a miembro (2.2) y (2.1): En consecuencia llegamos a que: i V (t, n, i) = (1 + i) t (1 + i) t n = (1 + i) t [ 1 (1 + i) n] [ 1 (1 + i) n ] V (t, n, i) = (1 + i) t i Por lo cual llegamos a que el valor de una renta de cuota constante es: [ 1 (1 + i) n ] R (t, n, i) = C V (t, n, i) = C (1 + i) t i Ejemplo 25 El Sr. Campo Mar vende un campo de 15 hectáreas en 48 cuotas mensuales, iguales y consecutivas de $ 95.85, pagadera la primera al mes de compra del terreno. El vendedor aplica un interés del 6% efectivo mensual. Se pide: Calcular el valor del campo al momento de realizarse la venta. C 1 C 2 C n = 48 C = $ i m =, 6 C k... k... C [ 1 (1 + i) n ] R (, 48,.6) = C V (t, n, i) = C (1 + i) t = i 32

7 [ ] R (, 48,.6) = V (, 48,.6) = (1 +.6) 48.6 (1 +.6) = [ ] R (, 48,.6) = (1 +.6) 48.6 = , 65 = $ , 5 Ejemplo 26 Un electrodoméstico puede adquirirse pagando U$S 5 al contado y 12 cuotas mensuales vencidas y consecutivas de U$S cada una. Si la tasa de interés es del 24% nominal anual capitalizable mensualmente, calcular el precio contado del electrodoméstico. Renta Auxiliar j j 12 =, =, 2 = i 12 m [ ] P C = R(1, 13,.2) = 5+R 1 (1 +, 2) 12 (, 12,.2) = 5+ = 5+19, 36 = 24, 36, 2 Como se observa hemos separado la renta original en dos, una primera con un importe único de U$S5 y la segunda una renta de cuota constante. Ejemplo 27 Una casa fue adquirida con la siguiente financiación: una entrega inicial de U$S 3. efectuada un mes antes de recibir las llaves, un pago de U$S 1.346,5 el día de recibirlas, y pagos mensuales, consecutivos durante 15 años de U$S 1. cada uno, venciendo el primero dos meses después de la entrega inicial. Se pide: Determinar el precio contado de la casa (el valor al recibirla) si la tasa aplicada fue del 6% anual nominal capitalizable mensualmente , Renta auxiliar j 12 =, 6 j =, 5 = i m P C = R(2, 2,.5) = 3. (1 +, 5) , 5 + R (,,.5) = 33

8 [ ] 1 (1 +, 5) P C = , =, 5 P C = , , 5 = 15. Ejemplo 28 El Sr. Juan deposita todos los días 3 de cada mes U$S 1. en el banco Galicia que le otorga un interés del 1% efectivo mensual. Se sabe además que el primer depósito lo hizo el 3/6/9. Determine el importe que tenía en su cuenta el 3/12/9, luego de efectuado el depósito de ese mes /6/ /12/9 ( ) 1 1, 1 7 Saldo 31/12/9 = R(7, 7,, 1) = 1. (1, 1 7 ) = 1. 7, = 7.213, 54, 1 Ejemplo 29 La Sra. Muype Lada decidió el 31/12/8 comprar un TV. El precio contado del TV fue de $ 2., y la casa Malavisión SRL le ofreció pagarlo en 12 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, venciendo la primera el 31/1/9. a) Determinar el importe de las cuotas si la tasa de interés que le cobran por la financiación es el 5, 5% efectivo mensual. b) Si Malavisión SRL depositara las 12 cuotas el mismo día que las cobra en un Banco que le abona el 69, 59% efectivo anual de interés, calcular el monto que tendría en su cuenta al 31/1/1. c) Suponiendo un plazo de 14 meses, determinar la tasa de interés efectiva mensual de la financiación, con el importe de la cuota hallada en primera parte. d) Si el valor de la cuota hubiera sido de $ 4, 35; hallar el plazo de financiación suponiendo, nuevamente, una tasa del 5, 5% efectivo mensual. a) 1 1, = R(, 12, 55) = C = C 8, 65, 55 C = 2. = 232, 6 8, 65 b) i a =, 6959 i m =, 45 ( ) 1 1, Saldo 31/1/1 = R(13, 12,, 45) = 232, 6 1, =, , 6 16, = 3.75, 7 34

9 c) 2. = 232, 6 1 (1 + i) 14 i 8, 6467 = , 6 1 (1 + i) 14 i = 1 (1 + i) 14 i i 1 (1+i) 14 i, 55 9, , 7 8, , 75 8, , 72 8, , 725 8, , , 69225, , 6465 El sentido de las flechas se refiere a la acción que debemos tomar sobre el valor de 1 (1+i) 14 i, que es inversa a la acción que debemos tomar sobre i. Se sugiere, que utilizando alguna planilla electrónica en una PC, halle alguna función que le permita resolver el cálculo planteado. d) 2. = 4, , 55 n, 55 2., 55 1 = 1, 55 n 4, 35, = 1, 55 n ln(, ) = ln ( 1, 55 n) = n ln(1, 55) ln(, ) ln(1, 55) = n n = 6 Ejemplo 3 Anacleta quiere comprarse un pantalón cuyo precio de vidriera es $ 48 y se le presentan las siguientes opciones: a) pagarlo al contado. b) comprarlo con una tarjeta de crédito cuyo próximo vencimiento de pago es exactamente un mes después de la compra. En este caso tiene a su vez las siguientes opciones: (i) efectuar un único pago de $ 48 al mes de la compra. (ii) pagar 2 cuotas mensuales consecutivas de $ 253, 4 cada una (pagando la primera el día del próximo vencimiento de la tarjeta). 35

10 Se pide: (iii) pagar 3 cuotas mensuales consecutivas de $ 176, 3 cada una (pagando la primera el día del próximo vencimiento de la tarjeta). a) Calcular las tasas efectivas mensuales y las anuales equivalentes que pagaría en las opciones con tarjeta de crédito si el precio contado es el precio de vidriera. b) Calcular las tasas efectivas mensuales y las anuales equivalentes que pagaría en las opciones con tarjeta de crédito, suponiendo ahora que el precio contado es un 1% inferior al de vidriera. c) Suponiendo además una tasa de inflación anual del 4%, calcular las tasas reales anuales equivalentes a cada uno de estos tres casos. a) (a) i m = ia = (b) i m =, i a =, (c) i m =, 51 i a =, 7979 b) (a) i m =, 1111 i a = 2, 547 (b) i m =, i a = 2, (c) i m =, i a = 2, 4236 c) (a) r a = 2, 445 (b) r a = 2, 4897 (c) r a = 2,

11 2.2 Saldos y Amortización de una deuda Saldos El saldo de una deuda es lo que queda por pagar. Si tenemos una renta de n cuotas y queremos saber el saldo inmediatamente antes de pagar la k-ésima cuota, se puede calcular de dos formas: a) Prospectivamente: mirando lo que queda por pagar, o sea S A k = R (1, n (k 1), i) b) Retrospectivamente: mirando lo que ya se ha pagado (veremos la correspondiente fórmula más adelante) La relación entre el saldo inmediatamente antes e inmediatamente después de pagar una cuota es la siguiente: S A k C k = S D k Si al saldo inmediatamente antes de pagar la cuota k se le resta la cuota k, al no mediar tiempo, no se generan intereses y se obtiene el saldo inmediatamente después de la cuota k La relación entre el saldo inmediatamente después de pagar la cuota k y el saldo inmediatamente antes de pagar la cuota k + 1 es S A k+1 = S D k (1 + i) pues transcurrió un período, por lo tanto hay que considerar los intereses generados en él. Otra forma de notar los saldos es: S (t, n k), donde t es el momento de valuación del saldo y n k el número de cuotas impagas. Se puede demostrar que S (t, n k) = R (t k, n k, i), de esta forma no solo se hace referencia a la cuota paga o por pagar, sino también al momento del tiempo en que se hace el cálculo. Si bien esta notación es más general, también puede llevar a una mayor complicación en la notación Amortización de deudas Amortizar una deuda significa reducirla y/o cancelarla, liquidarla por completo. Todo pago destinado a satisfacer una deuda puede ser desglosado en dos componentes claramente diferenciables: en primer lugar el pago se destinará a cancelar los intereses generados, determinando así la parte de interés si existe remanente positivo, este será aplicado a reducir la deuda, si el remanente es cero, la deuda se mantendrá en el nivel anterior, y si el remanente es negativo la deuda se verá incrementada, en cualquiera de estos casos el remanente (sea positivo, negativo o cero) se denominará parte amortizante Al pagar la cuota C k, tenemos que donde: C k = I k + A k 37

12 I k : son los intereses generados por el saldo inmediatamente después de pagar la cuota k 1, o sea I k = S D k 1 i A k : es lo que se reduce la deuda entre el momento inmediatamente después de pagar la cuota k 1 y el momento inmediatamente después de pagar la cuota k, o sea A k = S D k 1 S D k Ya que la igualdad C k = I k + A k se cumple para todo k, resulta que: y desde la definición de A k resulta que: j+h j+h j+h j+h C k = (I k + A k ) = I k + k=j k=j k=j k=j A k j+h j+h ( ) ( A k = S D k 1 Sk D = S D j 1 Sj D k=j k=j por otro lado podemos despejar ) ( ) ( ) + S D j Sj+1 D + + S D j+h 1 Sj+h D = S D j 1 Sj+h D j+h j+h j+h I k = C k k=j k=j Retomemos un punto pendiente, el cálculo del saldo por el método retrospectivo (mirando lo que ya se ha pagado), entonces ( ) k 1 k Sk A = D A j (1 + i) Sk D = D j=1 Ejemplo 31 Dada una deuda que se paga en 2 mensualidades de $ 1, a la tasa del 4% efectivo mensual, determine: a) El saldo inmediatamente antes y después de pagar la quinta cuota. b) Partes de amortización e interés que integran la sexta cuota. c) Sumas de amortización y de interés incluidas en las cuotas sexta a décima. n = 2, C = 1, i m =, 4 k=j A k j=1 A j a) ( ) S5 A 1 (1 +, 4) 16 = R (1, 16,.4) = 1 (1 +, 4) = 1 11, , 4 = 1.211, 83, 4 S D 5 = S A 5 C 5 = 1.211, 83 1 = 1.111, 83 38

13 b) c) I 6 = S5 D i = 1.111, 83, 4 = 44, 47 A 6 = C 6 I 6 = 1 44, 47 = 55, 53 1 k=6 A k = S D 5 S D 1 ( ) S1 D 1 (1 +, 4) 1 = R (, 1,.4) = 1 = 1 8, 119 = 811, 9, k=6 A k = 1.111, , 9 = 3, I k = C k A k = 5 3, 74 = 199, 26 k=6 k=6 k= Cuadro de Amortización e Interés Esta es una herramienta muy útil para el cálculo de amortizaciones e intereses: Período Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final 1 S D C 1 C 1 S D i S D i S D A 1 = S1 D 2 S1 D C 2 C 2 S1 D i S1 D i S1 D A 2 = S2 D 3 S2 D C 3 C 3 S2 D i S2 D i S2 D A 2 = S3 D n Sn 1 D C n C n Sn 1 D i Sn 1 D i Sn 1 D A n = Sn D = Ck Ak = S D Ik Ejemplo 32 Una persona obtiene un préstamo de $ 1. el 31/12/4 que cancelará en tres cuotas de la siguiente forma: $ 2. el 31/1/5, $ 3. el 28/2/5 y el saldo el 31/3/5. La tasa de interés pactada fue del 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales. Calcular el importe a pagar el 31/3/5. Período Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final , , , ,44 39

14 Matemática Financiera - 2 Ejemplo 33 El Sr. Endeudati contrajo el una deuda de $ 3.5, que debía abonar en 8 cuotas trimestrales, vencidas, iguales y consecutivas, durante dos años. Las tasas aplicadas fueron las siguientes: 34,56% efectivo semestral para el primer año y 13, % nominal trimestral capitalizable mensualmente para el segundo año. En el momento de abonar la última cuota, sólo pudo abonar $ 94,12, refinanciando el saldo en cuatro cuotas mensuales, iguales y consecutivas, pagándose la primera de ellas un mes después de refinanciar. En esta refinanciación se utiliza una tasa del 112,99624% efectivo anual. a) Calcule el importe de las cuotas trimestrales. b) Calcule el importe de las cuotas mensuales de la refinanciación. c) Desarrolle el cuadro de amortización e interés de la deuda refinanciada 1/1/ i t=,16 i t=,14 a) b) 3.5 = R (, 4,.16) + R (, 4,.14) (1 +, 16) = C V (, 4,.16) + C V (, 4,.14) (1 +, 16) = C [V (, 4,.16) + V (, 4,.14) (1 +, 16) 4] 3.5 C = V (, 4,.16) + V (, 4,.14) (1 +, 16) C = 1 1, ,14 4 1, 16 = 3.5,16,14 4 2, , 914, 552 C = 35 4, 47 = 794, 12 Saldo 1/1/2 = 794, 12 94, 12 = 7 i m =, 65 C = 7 = R (, 4,.65) = C V (, 4,.65) 7 V (, 4,.65) = 7 1 1,65 4,65 = 7 = 24, 33 3, 4258 c) Cuadro de amortización e interés Período Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final 1 7, 24,33 158,83 45,5 541, ,17 24,33 169,15 35, 372, ,2 24,33,15 24, 191, ,87 24,33 191,87 12,47, 817,32 7, 117,33 4

15 2.2.4 Deudas pagaderas con cuotas de amortización constante Existe una forma de pago en cuotas en que lo que se mantiene constante a lo largo del tiempo es la parte de amortización de cada cuota, en este caso es muy apropiado el uso del cuadro de amortización e intereses. En la práctica, consideramos la deuda, y ya que en cada cuota se cancelará la misma parte de esta, la dividimos entre la cantidad de cuotas y ello será igual a la amortización constante. Ejemplo 34 El Sr. P. Lado solicitó un préstamo por U$S 7 en el Banco de La Capital. El Banco se lo financia en cuatro cuotas mensuales de amortización constante, pagadera la primera al mes de contraído el préstamo, cobrándole una tasa del 12,68253% efectivo anual. Desarrolle el cuadro de amortización e intereses. i a =, i m =, 1 A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A A = 7 4 = 175 Período Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final , , , , , ,75-717,5 7 17,5 Ejemplo 35 El Sr. S. Implata pide un préstamo que cancelará pagando 6 cuotas mensuales vencidas de $ 2. cada una y luego 4 cuotas bimestrales de $ 3., venciendo la primera de esta segunda serie un mes después de pagada la sexta cuota mensual. Las tasas de interés pactadas son: 79,58563% efectivo anual durante los primeros 7 meses, y a partir de allí 58,68743% efectivo anual. a) Calcule el importe del préstamo. b) El día que se vence la segunda cuota bimestral, se presenta ante su acreedor, pidiéndole una refinanciación de su deuda, ya que no puede abonar nada ese día. Se le concede que pague su saldo en 5 cuotas mensuales consecutivas de amortización constante, pagando la primera a los dos meses. La tasa de la refinanciación aplicada es el 4% efectivo mensual. Elabore el cuadro de amortización e intereses para la refinanciación, indicando los importes de las cuotas. 6 cuotas mensuales, vencidas de $2. 4 cuotas bimestrales de $2., la primera vence al mes de última mensual i a =, i m =, 5 i a =, i b =, 8 a) P C = R (, 6,.5) + R (1, 4,.8) (1 +, 5) 7 41

16 P C = 2. V (, 6,.5) + 3. V (1, 4,.8) (1 +, 5) 7 ( ) ( ) 1 1, , 8 4 P C = (1, 8) (1, 5) 7, 5, 8 P C = 1.151, , 53 = , 91 b) 5 cuotas mensuales de amortización constante, la primera a los dos meses i m =, 4 ( ) 1 1, 8 D = S2 A 3 bim = R (1, 3,.8) = 3. V (1, 3,.8) = 3. (1, 8) = 8.349, 79, 8 A = D 5 = 8.349, 79 5 = 1.669, 96 I 1 = D [(1 +, 4) 2 1 ] = 8.349, 79, 816 = 681, 34 C 1 = Período Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final , , ,96 681, , , , ,96 267,19 5.9, , , ,96 2, , , , ,96 133, , , , ,96 66, , ,8 1349,33 Ejemplo 36 Parte A Una automotora financia un vehículo cuyo valor contado es de U$S 15., en 4 cuotas trimestrales consecutivas venciendo la primera un trimestre después de la compra. Las dos primeras son de U$S 3.9 cada una, mientras que el saldo se financia en otras 2 cuotas de amortización constante. La tasa de interés en dólares vigente durante el primer semestre es del 8,243216% efectivo anual, y durante el segundo es equivalente al 1,786647% nominal trimestral con capitalizaciones quincenales. a) Calcule los importes que deberá pagar el interesado al final del tercer y cuarto trimestre respectivamente. b) Realice el cuadro de amortización e intereses. Parte B Se ofrece al comprador un plan alternativo de financiamiento en moneda nacional consistente en pagar el auto mediante 3 cuotas en pesos uruguayos iguales, consecutivas, bimestrales, venciendo la primera en el momento de efectuar la adquisición. Otros datos: La tasa de devaluación esperada por la automotora es equivalente al,5% efectivo semestral. El tipo de cambio al momento de realizar la transacción es U$S 1 = $

17 Las tasas en moneda nacional son equivalentes a las tasas en moneda extranjera de la Parte A. Determine el valor de las cuotas del plan de financiación en pesos. Parte A V C = U $S15., pagadero en 4 cuotas trimestrales, consecutivas, vencidas, las dos primeras de U$S3.9 cada una, y las otras dos de amortizción constante. Tasa del primer semestre es i a =, i t =, 2 Tasa del segundo semestre es, nominal trimestral con capitalizaciones trimestrales, i t =, a) S2 D = 15. 1, 2 2 R (2, 2,.2) S2 D = 15. 1, V (2, 2,.2) ( ) 1 1, 2 S2 D = 15. 1, (1, 2) 2, 2 S2 D = = A = = I 3 = 7.728, = 139, 14 C 3 = 43, 14 I 4 = 3.864, = 69, 552 C 4 = 3933, 552 b) Cuadro de amortización e interés Período Saldo Inicial Cuota Amortización Interés Saldo Final 1 15., 3.9, 3.6, 3, 11.4, , 3.9, 3.672, 228, 7.728, , 4.3, , 139, , , 3.933, , 69, , , 736,656 Parte B 3 cuotas en pesos, iguales, consecutivas, bimestrales, adelantadas dev s =, 5 dev b =, T C : U$S1 = $12 La tasa en $ aplicada es equivalente a la aplicada en la financiación en U$S o sea i U$S t =, 2 i U$S i U$S b =, 1328 i $ b b =, 1328 = 1, , =, V C = =. 43

18 ( ) 1 1, = R (1, 3, i b ) = C V (1, 3, i b ) = C (1, 14975), = C 2, C =. 2, =

19 2.3 Rentas Especiales Rentas Perpetuas de Cuotas Constantes En esta sección analizaremos rentas en que su duración será considerada infinita, o sea que el número de cuotas que la componen son infinitas, es así que, como habíamos visto [ 1 (1 + i) n ] R(t, n, i) = C V (t, n, i) = C (1 + i) t i haciendo un abuso de la notación podemos decir que {}}{ 1 (1 + i) n R(t,, i) = C V (t,, i) = C lim n i (1 + i)t = C i (1 + i) t Por lo tanto tenemos que R(t,, i) = C i (1 + i) t, y en el caso particular que t =, nos queda R(,, i) = C V (,, i) = C i. Ejemplo 37 Si consideramos una renta de n cuotas anuales, constantes de valor $1, y una tasa efectiva anual de 1%. Al ir cambiando n el valor de la renta crece, pero a partir de cierto momento comienza a estabilizarse. Podemos observar su comportamiento en el siguiente gráfico: 45

20 Ejemplo 38 Una persona que ganó el 5 de Oro deja en su testamento el 31/12/14 que parte de sus bienes sean invertidos de forma tal que el Hospital Pereira Rossell reciba a perpetuidad U $5. por año a partir del 31/12/15. Sabiendo que la tasa de inters es del 5% efectiva anual, Calcular el valor de la donación al 31/12/14. [ ] 1 1, 5 n R(,,, 5) = 5. lim n, 5 = 5., 5 = 1.. Observación: Para t =, si hace una colocación de VP (um) a una tasa i > (sin hacer un supuesto adicional), podría cobrar indefinidamente (y hasta infinito) V P i por concepto de intereses, por período. Sin embargo, debemos tener en cuenta que si la inflación es positiva en cada uno de esos períodos, el poder adquisitivo de dicho importe por período se deterioraría a medida que fuera transcurriendo el tiempo. Qué supuesto adicional habría que plantear para evitar el deterioro de los importes que se percibirían año a año? Rentas Continuas Cuando estudiamos, en el capítulo 1, las tasas de interés nominales, vimos el caso particular de las tasas nominales de capitalización instantánea, allí, habíamos llegado a una equivalencia entre una tasa efectiva anual y una tasa nominal anual de capitalización instantánea: (1 + i a ) = e δa De esta forma podemos considerar una renta, pero en lugar de considerar cuotas, cuando la prestación se va generando en el trascurso del tiempo y no en instantes precisos, lo haremos como una función f cuya variable independiente será el tiempo. Ahora deseamos obtener una expresión para el valor de una renta en el momento t, algo equivalente, para el caso discreto, de R(t, n, i) = n C k (1 + i) t k k=1 Así, cambiando C k por f( ), la sumatoria por la integral y la tasa efectiva por la tasa nominal de capitalización instantánea, tenemos que R(t, n, δ) = n n f(x) e δ(t x) dx = e δt f(x)e δx dx Es importante hacer una presición acerca de las convenciones que habíamos hecho al comienzo del estudio de rentas, cuando decíamos que la primer cuota debe conincidir con el instante 1 en el tiempo, ahora, en las rentas continuas, vamos a acordar que la prestación tiene como momento de inicio el instante. 46

21 Si la prestación fuera constante en el trascurso del tiempo, esto es f(x) = C x [, n], la última expresión se puede simplificar Ejemplo 39 n [ e R(t, n, δ) = Ce δt e δx dx = Ce δt δx δ ] n ( ) 1 e = Ce δt δn δ Una empresa de generación hidroeléctrica, ha contratado el suministro de energía a un país vecino durante un año. El suministro será de 6 megavatios/hora por mes. Se ha pactado un precio de U$S1. por megavatio/hora por mes y una tasa de interés del 5% efectivo mensual. Se efectuarán 12 pagos a intervalos mensuales, siendo el primero a los 45 días del comienzo del suministro. Cuál es el importe de los pagos mensuales? En primer lugar calcularemos el valor al instante del suministro, que podríamos identificarlo con su precio contado. El importe del suministro mensual es de 6 1. = 6.. Debemos calcular la tasa nominal mensual de capitalización instantánea; entonces: e δ = 1 + i m δ = L(1, 5) =, 4879 ( ) 1 e, R(, 12,, 4879) = 6. = , 55, 4879 Ahora bien, este suministro se paga en 12 cuotas mensuales, la primera de las cuales vence a los 45 días, o sea que las 12 cuotas mensuales constituyen una renta: ( ) 1 1, , 55 = R(, 5, 12,, 5) = C 1, 5,5, 5 Operando tenemos que C = Otra forma de calcular el valor de las cuotas mensuales, sería asociar a cada cuota el suministro de energía de un mes. En consecuencia como cada cuota se paga 45 días después de comenzado el correspondiente suministro mensual, se puede obtener el importe de la cuota calculando el valor del suministro de un mes a los 45 días de comenzado, es decir en el momento t = 1, 5 ( ) 1 e,4879 R(1, 5, 1,, 4879) = 6. e,4879 1,5 = 63.63, Rentas y tasa real Sea D una deuda que se cancela mediante el pago de n cuotas C k, venciendo la primera una unidad de tiempo después de contraída la deuda: D C 1 C 2 C 3 C k k... C n n 47

22 La tasa efectiva i aplicada en la operación es aquella tal que: D = C 1 (1 + i) + C 2 (1 + i) C n (1 + i) n Si nos interesa calcular la tasa efectiva real de la operación, expresaremos los términos a precios constantes, deflactándolos por el IPC: D = D C 1 C1 = (IP C 1 /IP C ) C2 C 2 = (IP C 2 /IP C ). Cn C n = (IP C n /IP C ) La tasa efectiva real aplicada en la operacin ser aquella tal que: Siendo lo mismo: D = D = C 1 (1 + r) + C 2 (1 + r) C n (1 + r) n C 1 (IP C 1 /IP C )(1 + r) + C 2 (IP C 2 /IP C )(1 + r) + + C n 2 (IP C n /IP C )(1 + r) n En el caso particular de que la tasa de inflación sea constante en cada subperíodo considerado, tendremos: D = C 1 (1 + r)(1 + h) + C 2 (1 + r) 2 (1 + h) C n (1 + r) n (1 + h) n 48