CINÉTICA DE PARTÍCULAS

Transcripción

1 UNIERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA CINÉTICA DE PARTÍCULAS Integrantes: Sánchez Heder Izarra Roque ela Jeigly Mérida, Noviembre 005

2 (1-16) BEER. El bloque A tiene una masa de 40 kg y el bloque B tiene una masa de 8 kg los coeficientes de fricción entre todas las superficies de contacto son μ s = 0,0 y μ k = 0,15 Si P = 40New Determine: a) La aceleración del bloque B b) La tensión en la cuerda Datos: m A = 40 Kg m B = 8 Kg μ s = 0,0 ; μ k = 0,15 P = 40 New a) a B =? b) T =? Los bloques se mueven debido la fuerza ejercida D.C.L. del Bloque B X T Y N B a B mov. B 5º W B F rb 5º B +Σ Fx = m B.a B T fr B WSen 5º = m B. a B Ecuación # 1 T μ k N B m B gsen 5º = m B. a B +ΣFy = m B. a B = 0 N B W Cos 5º = 0 N B = m B gcos 5º = 8 (9,81) Cos 5º N B = 71,13 New Sustituimos en 1: T (0,15) (71,13) (8) (9,81) Sen 5º = 8 a B

3 Ecuacion # Y T 43, 84 = 8 a B T N B D.C.L. del bloque A. T T A N A F rb 5º 5º P= 40 New +ΣFx = m A a A P Cos 5º + T - T- T- fr B - fr A + W A Sen 5º = m A a A 40 Cos 5º - T - fr B - μ k N A + m A g Sen 5º = m A a A W A f ra 5º X Donde: Fr B = μ k N B = (0,15) (71,13) = 10,67 New. Entonces: 40 Cos5º - T- 10,67 (0,15) N A + (40) (9,81) Sen 5º = 40 a A Ecuación #3 -T + 191,4-0,15N A =40a A +ΣFy = m A (a Ay) = 0 N A - N b - W A Cos 5º + P Sen 5º = 0 N A = 71,13 + (40) (9,81) Cos5º - 40 Sen 5º N A = 409,86 New Sustituimos en la Ec. 3. -T + 191,4-0,15N A =40a A - T + 191,4 0,15 (409,86) = 40 a A Ecuación # 4. - T + 19, 94 = 40a A

4 Relación de Cinemática (Longitud de la Cuerda) S A + (S B - S A ) = L ( ctte) S A + S B = L Derivamos veces para obtener aceleración a A + a B = 0 a A = - a B //a A // = // - a B // a A = a B Sustituimos en la Ec T + 19, 94 = 40a A Resolvemos el Sistema compuesto por la ecuación 4 y -T + 19,94 = 40a B +T + 43,84 =8a B 86, 1 = 48a B a B = 1,794 m/ seg Sustituimos en T 43, 84 = 8 a B T = 43, (1,794) T = 58,19 New (1-90) BEER. Un collarín de 3lb puede deslizarse sobre una varilla horizontal que es libre de rotar alrededor de la flecha vertical. El collarín es sostenido inicialmente en A por un cordón sujeta a la flecha. Un resorte de constante lb/ft se sujeta al collarín y a la flecha y no esta deformado cuando el collarín esta en A. Cuando la varilla rota a una razón θ =16 rad/seg, el cordón es cortado y el collarín se mueve hacia fuera sobre la varilla. Despreciando la fricción y la masa de la varilla determine: a) Las componentes radial y transversal de la aceleración del collarín A b) La aceleración del collarín relativa a la varilla en A c) La componente transversal de la velocidad del collarín en B

5 Z Transversal N F. resorte X (radial) radio 6 plg radial 6 plg W ista Frontal ista Superior No hay movimiento en dirección del eje radial en el momento antes de cortar el cordon Entonces: En A: a) a r =?? aθ =?? Cuando el cordón se corta, necesita un impulso para comenzar el movimiento en dirección del eje radial. La única fuerza que actúa es la fuerza del resorte = +ΣFr = m a r - Fres = m a r - Kδ = m a r pero el resorte no está deformado en A a r = 0 ya que δ = 0 porque no se a deformado el resorte Como no hay fuerzas en la dirección del eje transversal +ΣFθ = 0 aθ = 0 entonces: a r = aθ =0 Resp. b) a collarin/a = r =? a r = r - r θ = 0 r = r θ a r = (6) (16) r = 1536 pulg/ seg Resp. r es el impulso que necesita el collarín para empezar a moverse en A, en la dirección del eje radial

6 c) B =? La partícula se mueve bajo la acción de una fuerza central (el resorte ). Por lo tanto se conserva la cantidad de movimiento angular entonces: (H 0 ) A = (H 0 ) B r A.m. A Sen φ A = r B.m. B Sen φ B (φ es el ángulo que forma r con A ) Como r y A son perpendicular φ A = φ B = 90º Sen 90º = 1 Tenemos: r A. A = r B. B ra.a B = rb A = r A θ A = (6) (16) = 96 Pulg/seg B : (6)(96) 18 = 3Pu lg/ seg Resp. (.5) RAMON PUELLO. Un pequeño cuerpo, de masa m, desliza desde el punto mas alto de una esfera de radio r. Encontrar el ángulo θ para el cual se cumple que la fuerza normal sobre el cuerpo es igual a la mitad de su peso.

7 Datos. Masa = m Radio = r Hallar: θ =? Para que N = ½ W D.C.L. En B. Y N Normal θ O W X Tangente Por componentes tang y normal +ΣFn = ma n = m ρ W W Cosθ - N = m ; N = ½ W ; W = mg m= r g W W Cosθ - ½ W = g r Ecuacion # 1 Cosθ - ½ = g.r dv + ΣFt = ma t = m dt W Sen θ = W g dv dt Ecuacion # g sen θ = S = r θ ds = r d θ dv dt vdv = ds

8 Sustit. En. g Sen θ = dv r dθ g r Sen θ dθ = dv Integrando Para t=0. θ 0 = 0 0 = 0 Asumimos que parte del reposo θ gr Sen θ dθ = 0 - gr Cos θ θ 0 = 0 d gr Cos (θ - 1) = Ecuacion # 3 v Cos (θ - 1) = gr Igualaremos 1 y 3 Cos θ - ½ = - cos (θ- 1) Cos θ - ½ = - Cos (θ + ) 3 cos θ = 5 Cosθ = 5 6 θ = Arc Cos ( 5/6) θ = 33,56º. rpta

9 (-3) RAMON PUELLO. El movimiento del bloque B sobre una mesa horizontal lisa, esta controlado por la barra que rota alrededor de un eje vertical en 0. En la posición mostrada B tiene los valores de velocidad Y aceleración respecto a la barra, así como los de θ` y θ, Si el bloque B pesa 50 Newtons, que momento ejerce alrededor del punto 0 y la fuerza en la dirección radial. Datos: W B = 50 New Hallar: Mo =? Fr =? Fr = m.a r Fr = w ( r rθ ) g Fr= 50 (0,15 0,1(3) ) = 3,83 New. 9,8 solución Fθ= ma.θ W 50 Fθ = ( rθ `+ rθ ) = (0,1( 1) + (0,5)(3)) g 9,8 Fθ = 7,14 New M0 = b.fθ = (0,1) (7,14) = 0,714 New / m. (-47) PUELLO Un objeto se deja caer sin velocidad inicial en un medio cuya resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad, con constante de proporcionalidad igual a la décima parte de la masa del cuerpo. Encontrar el tiempo necesario para alcanzar la mitad de la velocidad límite. Tome g = 10 m/ seg

10 Datos. o = 0 Fres = k m W K= = con g = 10 m/seg 10 10g Encontrar: t = para alcanzar la mitad de la velocidad limite (1/ lim) movimiento t =? F. resorte ½. Límite W = m x g F = m.a como no conozco la masa haga m = g w Podemos decir que a = W K = w g dv dt dv, encontramos dt W dv 10dv dt= = 10g - 10g g 10g g = 10 m/ seg 10dv dt = 10

11 Integrado t= 0 ^ Yo = 0 t 0 v dv dx dt = 10 ; 10 a X 0 = a ln a a 1 + x x 10 + t = ln ; elevando ambos lados de la ecuación a la e nos queda 10 e t = + e t (10 ) = e t e t = e t 10 = (1+e t ) = t 10e 10 ; pero la lim ocurre cuando t t 1+ e Entonces : t 10e 10 Lim 10e lim = lim = L H = t t 1+ e t e t Por lo tanto lim = 10 Nos piden calcular t=? Cuando = ½ lim = ½ * 10 = 5 Sustituyendo en la ecuación 1 obtenemos lo siguiente t= ½. ln = ln (3) = 0,55 seg 10 5

12 (13-81) HIBBELER. Si la bicicleta y la ciclista tienen un peso total de 180lb, determine la fuerza normal resultante que actúa sobre la bicicleta cuando pasa por el punto A mientras desciende libremente a v A = 6 pies/ s. Calcule también el incremento en la rapidez de la bicicleta en este punto. Desprecie la resistencia debido al viento y el tamaño de la bicicleta y la ciclista. Datos: W = 180 lb Determine: N A =?? Donde A = 6 pies /seg At =?? Incremento de la rapidez en A. Solución: D.C.L. en A C + θ θ O W θ N + Normal θ tangencial Por componente tangencial y normal + ΣFn= m.a n = m ρ W Cos α - N = g W ρ Ecuacion # 1 N = W (cos α - ) gρ

13 Calcular. De α La Pendiente de la tangente a la curva en A esta dada por: m = tg α= dy dx A Π Π Tg α = 0 (- Sen X (5, Y ) pies A 0 0 Π Tg α = Sen X (5, y) A 0 5Π Tg α = - Π Sen 0 Tg α = - Π Sen (Π/4) = - Π α = Arc tg α = 65, 76º Π calcular De ρ Cuando la curva está dada de la forma y = f (x), ρ = 1 + ( y y 1 ) 3 / Donde: ΠX y = 0 Cos 0 Πx Y` = - Π Sen 0 A =. Π π ΠX π. Y ``= -. Cos =

14 Sustituimos. [ ] ρ 1+ ( π / ) π 40 3 / = 41,43 Pulgadas Sustituyendo en (41,43) N = 180 ( Cos (65.76.) N = 69,04 lb) Rpta + Σtg = m a t w W Sen α = at g a t = g Sen α = (3.) Sen (65.76 º ) a t = 9.36 pies / seg ) Rpta.