Índice general. Introducción

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1 Índice general Introducción IX. Integral de Riemann.. Resumen teórico Particiones de un intervalo Sumas inferiores y superiores Funciones integrables. Integral definida de Riemann Propiedades de la integral definida Función integral. Función primitiva Primer Teorema Fundamental del Cálculo Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Promedio integral. Teorema del valor medio Integral indefinida Sumatorios Cuestiones Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos con DERIVE Ejercicios propuestos Métodos de Integración 75.. Resumen teórico Método de integración por partes Integración de funciones racionales Método de sustitución o cambio de variable Integración de funciones trigonométricas Integración de algunos tipos de funciones irracionales Cuestiones Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos con DERIVE Ejercicios propuestos vii

2 viii Indíce 3. Aplicaciones del Cálculo Integral Resumen teórico Cálculo de áreas Longitud de un arco de curva Superficies de revolución Volumen de un sólido de revolución Aplicaciones económicas Movimiento rectilíneo Cuestiones Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos con DERIVE Ejercicios propuestos Integrales Impropias Resumen teórico Concepto de integral impropia Integrales impropias de a especie Integrales impropias de a especie Integrales eulerianas Cuestiones Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos con DERIVE Ejercicios propuestos Integrales Dobles Resumen teórico Particiones de un rectángulo. Sumas inferiores y superiores Funciones integrables. Integral Doble. Propiedades Integrales iteradas. Teorema de Fubbini Integrales dobles sobre recintos no rectangulares Cambios de variables en integrales dobles Algunas aplicaciones de las integrales dobles Cuestiones Ejercicios resueltos Ejercicios resueltos con DERIVE Ejercicios propuestos A. Sistemas de cálculo algebraico. DERIVE 93 A.. Introducción a los sistemas de cálculo algebraico A.. Manejo básico del programa de cálculo simbólico DERIVE Bibliografía 3

3 INTRODUCCIÓN La integral definida es el instrumento matemático adecuado para resolver el problema clásico de la medida de magnitudes geométricas. Los orígenes del cálculo integral pueden situarse en la antigua Grecia. Arquímides, interesado en problemas sobre cuadraturas ideó el denominado método de exhaución para determinar el área de un recinto plano. Este método consiste en inscribir y circunscribir en el recinto regiones poligonales cada vez más próximas a él y con áreas sencillas de calcular. El desarrollo del Cálculo y de la Geometría Analítica hicieron posible transformar los problemas de cálculo de áreas de figuras planas en operaciones ligadas a curvas representadas por ecuaciones, dándose el paso definitivo hacia el cálculo integral tal como se conoce en la actualidad. Hoy en día, el cálculo integral se utiliza para resolver a nivel matemático numerosos problemas de la vida real resultando imprescindible tanto en las Ciencias en general como en la Ingenierías. La aparición de los ordenadores en la segunda mitad del siglo XX ha provocado una auténtica revolución tecnológica en numerosos aspectos de nuestra cultura. La enseñanza de las Matemáticas no ha quedado ajena a su influencia, prueba de ello son los numerosos programas informáticos que se han venido utilizando para mejorar tanto los procesos de enseñanza y aprendizaje como la investigación en esta área de conocimiento. Desde los primeros paquetes informáticos utilizados en los grandes ordenadores, pasando por los tutoriales, los juegos de ordenador y los lenguajes de programación [Kaput, 99], el uso de estas nuevas tecnologías ha tenido como objetivo fundamental aprovechar las ventajas que ofrece el medio computacional para facilitar la exploración, el cálculo, la experimentación, la resolución de problemas y la modelización matemática. Aunque algunos matemáticos han considerado que el uso de los ordenadores en la enseñanza de las Matemáticas es claramente nocivo, sin embargo, para otros la utilización de estos recursos informáticos puede ser muy beneficiosa para la enseñanza si se tienen en cuenta los peligros y ventajas que se derivan de la utilización de estas herramientas tecnológicas [Guzmán, 99], [Ortega, 00a]. Los programas más utilizados en la actualidad para la enseñanza de las Matemáticas se encuadran dentro de un grupo de programas denominados sistemas de cálculo algebraico (en inglés Computer Algebra System, CAS). Las posibilidades simbólicas, numéricas y gráficas que ofrecen este tipo de programas están provocando numerosos cambios en la enseñanza y aprendizaje de esta disciplina. Estos

4 x Problemas de cálculo integral cambios giran en torno a dos aspectos básicos de la enseñanza de las Matemáticas: qué destrezas básicas se deberían enseñar en el aula? y cuál sería la forma más adecuada de enseñarlas? Incorporar un CAS en el aula de Matemáticas requiere un diseño metodológico que evite los peligros asociados al uso de este tipo de sistemas y facilite un aprendizaje experimental que ayude al alumno a progresar en niveles superiores del pensamiento formal, evitando numerosos cálculos rutinarios inútiles [Guzmán, 99], [Ortega, 00b]. En este contexto tecnológico, hemos elaborado una colección de cuestiones y ejercicios basados en un curso elemental de cálculo integral. Teniendo en cuenta las posibilidades que ofrecen los sistemas de cálculo algebraico en la resolución de problemas de cálculo integral, sobre todo desde el punto de vista gráfico, y sin olvidar la importancia de la resolución con lápiz y papel de este tipo de problemas, hemos recopilado una colección de problemas y ejercicios utilizados en los últimos años en la asignatura Matemáticas I de las Licenciaturas de Economía y Administración y Dirección de Empresas de la Universidad Autónoma de Madrid. A esta colección de cuestiones y ejercicios le hemos añadido una colección de ejercicios para resolver con el CAS DERIVE. Hemos seleccionado dicho sistema porque es el que se ha venido utilizando a lo largo de los últimos años en diversos cursos y clases prácticas impartidas en esta asignatura y por la enorme aceptación que ha tenido entre los estudiantes. Los contenidos de Problemas de Cálculo Integral están dirigidos a alumnos de primeros cursos de Grados en los que se imparte un curso básico de cálculo integral. El libro consta de cinco capítulos y un apéndice. La estructura de cada uno de los capítulos es idéntica y se compone de las siguientes partes:. Resumen teórico En donde se incluyen ordenadamente algunas definiciones, teoremas y resultados teóricos básicos e imprescindibles para obtener un rendimiento adecuado en la parte práctica de cada capítulo.. Cuestiónes teóricas En esta sección se incluye una colección de 0 cuestiones teóricas de tipo test, mediante las cuales el lector puede autoevaluar el nivel de conocimientos teóricos que tiene en cada bloque temático. Asimismo sirve para resaltar las relaciones que existen entre los principales conceptos del cálculo integral. Cada cuestión teórica contiene tres o cuatro respuestas de las cuales al menos una es correcta en sus contenidos y en sus razonamientos. Después de cada enunciado se incluye la solución correcta y el razonamiento sobre la verdad o falsedad de cada uno de los ítems propuestos como solución.

5 Introducción xi 3. Ejercicios resueltos. En este bloque de ejercicios se proponen diversos problemas que permiten practicar y profundizar en las técnicas y procedimientos básicos de cálculo propios del cálculo integral. Se proponen ejercicios para resolver de forma clásica con lápiz y papel, y por este motivo se han elegido de forma que los cálculos rutinarios no sean excesivamente complicados para su ejecución. En ocasiones se han presentado ejercicios de tipo teórico para resaltar o aclarar los resultados que presentan los diferentes teoremas básicos del cálculo integral. 4. Ejercicios resueltos con DERIVE. En este apartado se presentan varios ejercicios para resolver utilizando las técnicas del programa de cálculo simbólico DERIVE. En este tipo de ejercicios, los cálculos rutinarios se dejan para el sistema, así, el alumno puede centrar sus esfuerzos en los procedimientos y resultados fundamentales. Todos los pasos para la resolución de dichos ejercicios se han detallado para facilitar su comprensión. Debemos señalar que existen tres tipos de textos dentro de la solución de estos ejercicios: ) textos entrecomillados y en letra románica (contienen la secuencia literal de caracteres que el usuario debe introducir en el programa), ) textos o palabras en mayúsculas (indican los comandos o secuencias de comandos que debemos aplicar y 3) textos en itálica en línea aparte y precedidos por # y un número (contienen el resultado que obtenemos al introducir un texto o simplificar una expresión). Los comandos y funciones específicas del programa se explican de forma detallada. 5. Ejercicios propuestos. Finalmente, al terminar cada capítulo, se proponen un conjunto de ejercicios propuestos de una naturaleza similar a los ejercicios resueltos y ejercicios resueltos con DERIVE. La solución de todos los problemas propuestos se puede encontrar en la página web asociada a esta publicación por la editorial. Los capítulos del libro se han elegido de tal forma que constituyen un curso básico de cálculo integral. El primer capítulo introduce los conceptos fundamentales de la integral de Riemman. Se definen las particiones de un intevalo, las sumas superiores e inferiores. Se calculan, utilizando la definición, algunas integrales definidas; se analiza la integrabilidad de funciones y se presentan los teoremas clásicos del cálculo integral. En el segundo capítulo nos centramos en las técnicas básicas del cálculo de primitivas, se describe detalladamente el método de integración por partes, la integración de funciones racionales y el método de integración por sustitución. El tercer capítulo se dedica a las aplicaciones básicas del cálculo integral dedicándole un especial interés al cálculo de áreas y a las aplicaciones económicas del cálculo integral. El cuarto capítulo está dedicado a las integrales denominadas impropias y a las Eule-

6 xii Problemas de cálculo integral rianas y finalmente en el Capítulo 5 se realiza un introducción a las integrales dobles. El libro, finaliza con un apéndice dividido en dos secciones. En la primera sección se presenta una pequeña introducción sobre los sistemas de cálculo algebraico y su evolución. La segunda sección contiene un manual básico para la utilización del programa DERIVE. Agradecemos a todos aquellos que, de alguna forma han contribuido a que este texto sea una realidad. En primer lugar, a nuestros compañeros de docencia del Departamento de Análisis Económico: Economía Cuantitativa de la Universidad Autónoma de Madrid, a nuestros alumnos, que son realmente los destinatarios de esta colección de problemas. Son ellos los que motivan nuestra labor docente y el trabajo diario en la facultad. Finalmente agradecer a nuestras familias, porque gran parte del tiempo que hemos invertido, ha sido en detrimento de su atención. Madrid, marzo de 00. Pedro Ortega Pulido Juan Fco. Serra Cuñat

7 Capítulo Integral de Riemann. Resumen teórico. Cuestiones.3 Ejercicios resueltos.4 Ejercicios resueltos con DERIVE.5 Ejercicios propuestos

8 Problemas de cálculo integral.. Resumen teórico... Particiones de un intervalo Dado un intervalo [a,b] de R, se llama partición de [a,b] a cualquier conjunto finito P = {x 0,x,...,x n } de puntos de [a,b], tal que a = x 0 < x < < x n = b. La partición P = {x 0,x,...,x n }, divide a [a,b] en n subintervalos [x i,x i ], con i =,...,n. Se denota por x i a la longitud del subintervalo i-ésimo, es decir, x i = x i x i. Se llama diámetro de la partición P a la mayor de las amplitudes x i, esto es, P = máx{ x,..., x n }. Dadas dos particiones P y Q de un intervalo [a,b], se dice que Q es más fina que P si P Q. Si P Q y Q P, se dice que no son comparables. Ejemplo. Los conjuntos P = {0, /, } y Q = {0, /6, /, /3, } son dos particiones del intervalo [0, ]. Además Q es más fina que P pues todos los puntos de P están contenidos en Q. Propiedades Sean P y Q dos particiones del intervalo [a, b], se verifican las siguientes propiedades:. Existen particiones de [a, b] más finas que P y Q simultáneamente (por ejemplo, la partición R = P Q).. Si Q es más fina que P entonces Q P. 3. Los puntos dados por la fórmula x i = a + i b a n, i =,...,n constituyen una partición de [a, b] que divide dicho intervalo en n subintervalos de la misma longitud, por tanto, x i = x i x i son iguales y el diámetro de la partición P = (b a)/n. En todos los demás casos P > (b a)/n. 4. Si el diámetro de una partición disminuye entonces el número de puntos de la partición aumenta, es decir, si P 0 entonces n. Sin embargo si n no implica que P 0.

9 Capítulo. Integral de Riemann 3... Sumas inferiores y superiores Sea f : [a,b] R una función acotada en [a,b]. Para cada partición P = {x 0,...,x n } de [a,b] y cada i =,...,n, existen los números: m i = inf{f(x) : x [x i,x i ]} M i = sup{f(x) : x [x i,x i ]} Se llama suma inferior de la función f correspondiente a la partición P, y se denotará por s(p,f), al número real: s(p,f) = m i (x i x i ). i= Se llama suma superior de la función f correspondiente a la partición P, y se denotará por S(P,f), al número real: S(P,f) = M i (x i x i ). i= Si f es continua en [a,b] entonces: Propiedades m i = mín{f(x) : x [x i,x i ]}; M i = máx{f(x) : x [x i,x i ]}. Las sumas inferiores y superiores que acabamos de definir verifican las siguientes propiedades:. s(p, f) S(P, f) para toda partición P de [a, b].. Para cualquier partición P = {x 0,x,...,x n } de [a,b], se verifica que: m(b a) s(p,f) S(P,f) M(b a) donde m y M son el ínfimo (mínimo si f es continua en [a,b]) y el supremo (máximo si f es continua en [a,b]) de f en [a,b]. 3. Si P y Q son dos particiones de [a,b] de modo que Q es más fina que P, entonces: s(p,f) s(q,f) y S(Q,f) S(P,f). 4. Para todo par de particiones P y Q de [a,b], se verifica que: s(p,f) S(Q,f).

10 4 Problemas de cálculo integral..3. Funciones integrables. Integral definida de Riemann Condición de integrabilidad de Riemann. Una función acotada f : [a,b] R es integrable (Riemann) en [a,b] si y solo si para cada ǫ > 0 existe una partición P ǫ de [a,b] tal que S(P ǫ,f) s(p ǫ,f) < ǫ. Es decir, la diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores se hace tan pequeña como queramos, con tal de elegir las particiones adecuadas. Integral inferior e integral superior. Sea f : [a,b] R una función acotada en el intervalo [a,b]. Las sumas inferiores s(p,f) y las sumas superiores S(P,f) de f, correspondientes a todas las particiones P de [a,b], forman dos conjuntos acotados. Se llama: Integral inferior de f en [a, b] = Integral superior de f en [a, b] = b a f b a f = sup{s(p) : P es partición de [a, b]} = inf{s(p) : P es partición de [a, b]} Una función f : [a,b] R acotada en [a,b] es integrable en el sentido de Riemann, si son iguales sus integrales inferior y superior en [a,b]. Se dice entonces que este número real es la integral definida de f en [a,b] y se representa por: b a f o b a f(x)dx La integral como límite de sumas. Sea f : [a,b] R una función acotada en el intervalo [a,b]. La función f es integrable en [a,b] si y solo si, existe alguna sucesión P,P,...,P n,..., de particiones de [a,b] tal que: lím s(p n,f) = lím S(P n,f). n + n + Si f es integrable en [a,b] entonces: b a f = lím n + s(p n,f) = lím n + S(P n,f). Con frecuencia las sumas superiores e inferiores son difíciles de calcular y se reemplazan por otras sumas, denominadas sumas de Riemann en las que se sustituyen los valores m i, M i por un valor cualquiera que toma la función en cada uno de los subintervalos de la partición.

11 Capítulo. Integral de Riemann 5 La integral como límite de las sumas de Riemann. Sea f : [a,b] R una función acotada en el intervalo [a,b] y sea x i un punto cualquiera del subintervalo i-ésimo [x i,x i ] de una partición P de [a,b]. Se define la suma de Riemann de f correspondiente a la partición P como: Si existe a S R (P,f) = lím P 0 f(x i )(x i x i ). i= f(x i )(x i x i ) i= decimos que f es integrable en [a,b]. En tal caso la integral definida de f entre a y b vale: b f = lím f(x i )(x i x i ) = lím f(x P 0 n + i )(x i x i ). i= Teoremas de integrabilidad. Sea f : [a,b] R una función acotada en [a,b].. Si f : [a,b] R es una función monótona en el intervalo [a,b], entonces f es integrable en [a,b].. Si f : [a,b] R es una función continua en el intervalo [a,b], entonces f es integrable en [a,b]. 3. Si f : [a, b] R es continua en [a, b] F, con F un conjunto finito de puntos de [a,b], entonces f es integrable en [a,b]...4. Propiedades de la integral definida Sean f y g dos funciones integrables en [a,b], entonces se verifica que: i=. a a f(x)dx = 0 y b a f(x)dx = a b f(x)dx. Linealidad b a b a k f(x)dx = k b a [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx para todo k R b a f(x)dx + b a g(x)dx.

12 6 Problemas de cálculo integral 3. b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx, c (a,b). 4. Invarianza frente a traslaciones. b a f(x)dx = b+c a+c f(x c)dx, para todo c R. Propiedades de comparación:. Si f(x) g(x) para todo x [a, b] entonces: b a f(x)dx b a g(x)dx.. La función f (x) = f(x) es integrable en [a,b] y se verifica: b b f(x)dx f(x) dx. a a 3. Sea f una función continua en [a,b], si m y M son el mínimo y el máximo valor respectivamente de f en [a,b], se verifica: m(b a) b a f(x)dx M(b a)...5. Función integral. Función primitiva Función integral. Sea f : [a,b] R una función integrable en el intervalo [a,b]. Se denomina función integral de f en [a, b] a la función F : [a, b] R definida por: Función primitiva. F(x) = x a f(t)dt. Sea f una función definida en [a,b] con valores en R. Se dice que una función F es una primitiva de f en [a,b] si y solo si para todo x [a,b] se verifica que: F (x) = f(x). Si F es una primitiva de f en [a,b] entonces G(x) = F(x) + C, C R también lo es. Por tanto, si f admite una primitiva entonces admite infinitas primitivas.

13 Capítulo. Integral de Riemann Primer Teorema Fundamental del Cálculo Sea f una función integrable en [a,b] y sea F : [a,b] R su función integral: Entonces: F(x) = x a f(t)dt.. F(x) es continua para todo x [a,b].. Si f es continua en un punto x 0 de [a,b] entonces F es derivable en x 0 y se verifica F (x 0 ) = f(x 0 ). Si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y F (x) = f(x) para todo x [a,b]. En este caso se puede afirmar que f tiene primitivas en [a,b], siendo la función integral una de ellas...7. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Sea f : [a,b] R una función integrable en el intervalo [a,b] y sea G : [a,b] R una función primitiva de f en [a,b], entonces se verifica que: b a f(x)dx = G(b) G(a). Este teorema es conocido también como regla de Barrow...8. Promedio integral. Teorema del valor medio Sea f : [a,b] R integrable, se llama promedio integral o promedio de f en [a,b] al número real µ = b f(x)dx b a Este valor se puede considerar como el límite de la media aritmética de los valores de las ordenadas en los puntos a = x < x <... < x n = b del intervalo [a,b] equidistantes entre sí cuando el número de puntos crece indefinidamente. f(x ) + f(x ) + f(x n ) lím = lím n + n n + = b a lím n + i= a f(x i ) x = b a b a f(x i ) x i= n x f(x) dx. =

14 8 Problemas de cálculo integral El siguiente teorema asegura que si f es continua entonces alcanza su promedio en un punto del intervalo. Teorema del valor medio Sea f : [a,b] R una función continua en [a,b], entonces existe un punto c [a,b] tal que b f(x)dx = f(c). b a a..9. Integral indefinida Al conjunto de todas las primitivas de una función f, {F(x) + C, C R} se le denomina integral indefinida de f y se representa por: f(x)dx = F(x) + C. Propiedades de la integral indefinida. Linealidad [f(x) + g(x)]dx = af(x)dx = a f(x)dx + f(x)dx, a R. g(x)dx. ( d dx ) f(x)dx = f(x). 3. Si f es una función derivable, se tiene: f (x)dx = f(x) + C.

15 Capítulo. Integral de Riemann 9 Integrales indefinidas de uso frecuente ) f (x)[f(x)] n dx = [f(x)]n+ + C, n + n. ) f (x) [f(x)] dx = f(x) + C 3) f (x) e f(x) dx = e f(x) + C 4) 5) 6) 7) 8) 9) 0) ) ) 3) f (x)a f(x) dx = af(x) ln(a) + C f (x) f(x) dx = ln[f(x)] + C f (x) cos[f(x)]dx = sen[f(x)] + C f (x) sen[f(x)]dx = cos[f(x)] + C f (x) cos [f(x)] dx f (x) sen [f(x)] dx f (x) [f(x)] f (x) [f(x)] = tg[f(x)] + C = cotg[f(x)] + C = arc sen[f(x)] + C = arc cos[f(x)] + C f (x) + [f(x)] dx = arc tg[f(x)] + C f (x) + [f(x)] dx = arccotg[f(x)] + C.

16 0 Problemas de cálculo integral..0. Sumatorios Para expresar la suma de un conjunto de sumandos de una forma compacta se utiliza la expresión algebraica denominada sumatorio: Propiedades:.. ca i = c i= a i. i= (a i ± b i ) = i= a i ± i= a i = a + a + + a n. i= b i. i= Fórmulas de algunas sumas especiales c = nc. i= i = n = i= n(n + ) i = n = i= n(n + )(n + ) 6 [ n(n + ) i 3 = n 3 = i= i= i 4 = n 4 = n(n + )(n + )(3n + 3n ). 30 ]

17 Capítulo. Integral de Riemann.. Cuestiones. La función f(x) = es integrable en el intervalo [0,]. { si 0 x x si < x a) Verdadero, pues la función f(x) es acotada en [0,] y toda función acotada es integrable. b) Falso, pues f(x) no es continua en el intervalo [0,] y las funciones discontinuas no tienen primitivas, por lo que no son integrables. c) Verdadero, ya que f(x) está acotada en [0,] y es continua en todos los puntos del intervalo [0,] excepto en el punto x = y todas las funciones acotadas y discontinuas en un número finito de puntos son integrables. d) Falso, pues f(x) es negativa en el intervalo [0,] y solo las funciones positivas son integrables. Respuesta correcta: c). La respuesta a) es incorrecta, la acotación es una condición necesaria pero no suficiente para la integrabilidad de una función. La respuesta b) es incorrecta, es cierto que si una función no es continua en un intervalo entonces no tiene primitiva en dicho intervalo, pero eso no implica que la función no sea integrable en dicho intervalo. La respuesta c) es correcta, se cumple una condición suficiente de integrabilidad para las funciones acotadas en un intervalo: ser discontinua en un número finito de puntos. La respuesta d) es incorrecta pues el signo de una función no interviene en la integrabilidad de la misma.. Sea f una función acotada e integrable en el intervalo [,3]. Entonces se puede asegurar que la función F(x) = x f(t)dt es continua en [,3]. a) Verdadero, pues F(x) es la función integral de f(x) en dicho intervalo, y por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral se tiene que F(x) es continua en el intervalo [,3]. b) Falso, no tenemos información suficiente para garantizar que F(x) sea continua. c) Falso, pues la función f(x) = { 3 si x < si x 3

18 Problemas de cálculo integral es integrable en [,3] y sin embargo su función integral no es continua en [,3]. Respuesta correcta: a). La respuesta a) es correcta, pues la función integral de una función integrable F(x) = x f(t)dt siempre es continua. La respuesta b) es incorrecta como acabamos de ver en el apartado a). La respuesta c) es incorrecta pues la función integral de una función integrable siempre es continua, de hecho la función integral de f(x) es: { 3x 3 si x < F(x) = x si x 3 que es una función continua en [,3]. 3. Dadas las funciones f(x) = F(x) = si x < x e x + si x 3 { lnx si x < e x + x + ln e 4 si x 3 entonces F(x) es la función integral de f en el intervalo [,3]. a) Falso, pues f(x) no es continua en [,3] y por tanto f(x) no tiene función integral. b) Verdadero, pues F (x) = f(x) para todo x (,) (,3), F() = 0 y además F(x) es continua en [,3]. c) Falso, la función integral de f(x) en el intervalo [,3] es la función: { lnx + si x < G(x) = e x + x + ln e 3 si x 3 Respuesta correcta: b). La respuesta a) es incorrecta pues existen funciones discontinuas en un intervalo cerrado que son integrables y por tanto tienen función integral. La función f(x) por ejemplo es discontinua en x =, está acotada en el intervalo

19 Capítulo. Integral de Riemann 3 [,3], por lo tanto es integrable en dicho intervalo y en consecuencia tiene función integral. La respuesta b) es correcta pues F() = ln() = 0, F(x) es continua en [,3] y además F (x) = f(x) para todo x (,) (,3). La respuesta c) es incorrecta pues G() = y en consecuencia no puede ser la función integral de f(x) en el intervalo [,3]. 4. Sea F(x) = x 0 ecos t dt definida para todo R, entonces F es derivable en R y su derivada es F (x) = e cos x. a) Falso, sin conocer la primitiva de f(t) = e cos t no podemos saber si F es derivable y por tanto no podemos calcular su derivada. b) Falso, pues aunque F es derivable, su derivada es F (x) = x 0 ( e cos t ) dt = e cos t x 0 = ecos t e c) Verdadero, ya que como f(t) = e cos t es una función continua entonces F es derivable y por el Teorema Fundamental del Cálculo se tiene que F (x) = f(x). Respuesta correcta: c). La respuesta a) es incorrecta pues sin conocer la primitiva de f(t) el Teorema Fundamental del Cálculo nos da información sobre la derivabilidad de la función F. La b) es incorrecta pues para calcular la derivada de F primero hay que calcular la integral x 0 ecos t dt y después derivar respecto de x. La repuesta c) es correcta pues es cierto que e cos t es una función continua en R y por tanto, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, se tiene que F (x) = f(x) = e cos x. 5. Dadas las funciones: f(x) = { x x si x ln(x) si < x 3 F(x) = x 3 3 x x 3 si x si < x 3 Entonces se verifica que F(x) es una primitiva de f(x) en el intervalo [,3]. a) Falso, pues F(x) no es continua en el intervalo [,3] y por tanto no es derivable en [,3]. b) Falso, ya que F(x) no es derivable en [,3].

20 4 Problemas de cálculo integral c) Verdadero, ya que f(x) es una función continua en [,3], y como F(x) es su función integral, entonces F(x) es una de sus primitivas. Respuesta correcta: c). La respuesta a) es incorrecta pues F(x) sí es continua en [,3]. La respuesta b) es incorrecta pues F(x) sí es derivable en [,3] de hecho F (x) = f(x). La respuesta c) es correcta pues, efectivamente, aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo, como f(x) es continua en [,3] entonces una de sus primitivas es la función integral que coincide con F(x). 6. Sea f : R R una función continua en [a,b], (b a) y tal que f(x) > 0 para todo x [a, b] entonces b a f(x)dx > 0. a) Falso, ya que depende de a y b. Si a < 0 y b > 0, no se verifica. b) Falso, pues: b a f(x)dx = lím P 0 f(x i )(x i x i ) y aunque este límite existe por ser f integrable en [a,b] (ya que es continua en [a,b]), su valor puede ser un número negativo. c) Verdadero, pues por las propiedades de la integral de Riemann: i= 0 < m(b a) b a f(x)dx verificándose la primera desigualdad por ser m = mín{f(x) : x [a, b]} mayor que 0. Respuesta correcta: c). La respuesta a) es incorrecta, la función es integrable en [a,b] y el signo del valor de la integral no depende de los signos de a y b. La respuesta b) es incorrecta pues sí podemos conocer el signo del valor del límite sin calcularlo ya que f(x) > 0 para x [a,b] lo que obliga a que el valor de dicho límite sea un número real positivo. La respuesta c) es correcta, basta aplicar para comprobarlo las propiedades de la integral de Riemann y tener en cuenta que f(x) > 0 para todo x [a,b].

21 Capítulo. Integral de Riemann 5 7. Dadas las funciones { x si 0 x f(x) = e x si < x 3 x F(x) = e x e + si 0 x si < x 3 entonces se verifica que F(x) es la función integral de f en el intervalo [0,3]. a) Falso, pues f(x) no es continua en [0,3] y por tanto no tiene primitiva en dicho intervalo y mucho menos función integral. b) Falso, ya que su función integral es la función: x si 0 x G(x) = e x e si < x 3 c) Verdadero, pues F (x) = f(x) para todo x (0,) (,3), F(0) = 0 y además F(x) es continua en [,3]. Respuesta correcta: c). La respuesta a) es incorrecta pues f(x) es integrable en [0,3] ya que está acotada y discontinua en x =, por tanto, tiene función integral en dicho intervalo aunque no tenga primitiva. La respuesta (b) es incorrecta pues G(x) no es continua en [0,3] y para ser función integral de f(x) en [0,3] debe ser continua. La respuesta (c) es la correcta pues F(x) verifica todas las propiedades de la función integral. 8. Sean las funciones f(x) y F(x) definidas por { x x < f(x) = F(x) = 6 x x 3 x x < 6x x 7 x 3 Entonces, F(x) es una primitiva de f(x) en el intervalo [,3]. a) Falso, pues F(x) no es la función integral de f(x) en el intervalo [,3] ya que F() = /3 0.

22 6 Problemas de cálculo integral b) Verdadero, pues f(x) es continua, F(x) es su función integral en [,3] y por tanto por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, F(x) es una de sus primitivas en dicho intervalo. c) Verdadero, pues F(x) es continua y derivable en [,3] y F (x) = f(x) en el intervalo [,3]. Respuesta correcta: c). La respuesta a) es incorrecta, para ser función primitiva de una función en un intervalo no es necesario que dicha función sea su función integral. El apartado b) es incorrecto pues aunque f(x) es continua en [,3], sin embargo F(x) no es la función integral de f(x) en dicho intervalo. La afirmación del apartado c) es la correcta pues efectivamente F(x) es continua y derivable en [,3] y F (x) = f(x) en [,3]. 9. La función: x si x 0 f(x) = e x si 0 x < e x si x tiene primitiva en el intervalo [,] y una de sus primitivas es su función integral en dicho intervalo. a) Verdadero, pues como f(x) es continua en [, ] entonces es integrable y por el Teorema Fundamental del Cálculo integral se verifica que una de sus primitivas es su función integral. b) Falso, ya que f(x) no es continua en el intervalo [,]. c) Falso, aunque f(x) es integrable y tiene primitivas en [,] sin embargo su función integral x si x 0 F(x) = e x x 3 si 0 < x ex x si < x no es primitiva de f(x) ya que no es derivable en x = 0.

23 Capítulo. Integral de Riemann 7 Respuesta correcta: a). La respuesta a) es correcta, por el Teorema Fundamental del Cálculo, cuando una función es continua en un intervalo entonces una de sus primitivas es su función integral en dicho intervalo. La respuesta b) es incorrecta pues f(x) sí es continua en [, ]. La respuesta c) es incorrecta pues F(x) no es su función integral. 0. Dadas las funciones: f(x) = { si x < 0 e x + x si 0 x 3 F(x) = G(x) = x + si x < 0 e x + x si 0 x 3 x + 3 si x < 0 e x + x + si 0 x 3 Se verifica que F(x) y G(x) son primitivas de f(x) en el intervalo [,3]. a) Falso, pues F(x) no es derivable en x = 0. b) Verdadero, ya que f(x) es continua en [,3], y como F(x) es su función integral en [,3] y G(x) = F(x) +, entonces ambas son primitivas de f. c) Falso, F(x) es la función integral de f en [,3] por lo que es primitiva de f(x); pero G(x) no es primitiva de f(x) pues no es función integral de f(x) ya que G( ) = 0. Respuesta correcta b). La respuesta a) es incorrecta pues F(x) es derivable en x = 0, ya que F(x) es continua en x = 0 y F (0) = = F +(0). La respuesta b) es correcta, pues efectivamente, F(x) es la función integral de f(x) en el intervalo [,3] y como f(x) es continua por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral, su función integral es una de sus primitivas. Además como G(x) = F(x)+ y F(x) es una primitiva de f(x) en el intervalo [,3] entonces G(x) también es primitiva de f(x) en dicho intervalo. La respuesta c) es incorrecta pues para ser primitiva

24 8 Problemas de cálculo integral de f(x) en el intervalo [,3] no es necesario ser función integral de f(x) en [,3], de hecho la función integral de una función integrable es única.

25 Capítulo. Integral de Riemann 9.3. Ejercicios resueltos. Sea f(x) = 3x. Dada la partición del intervalo [0,], P = {0, 4, 3 8,, 3 4,} calcular: a) x, x, x 3, x 4, x 5. b) P. c) m, m, m 3, m 4, m 5, M, M, M 3, M 4, M 5. d) Suma inferior y suma superior de f respecto a P. a) x i = x i x i, i =,...,n. x = 4 0 = 4. x = = 8. x 3 = 3 8 = 8. x 4 = 3 4 = 4. x 5 = 3 4 = 4. b) P = máx{ x,..., x 5 } = 4. c) f es continua y acotada en [0,]. El Teorema de Weierstrass nos garantiza la existencia de m i, M i en cada uno de los subintervalos [x i,x i ] para i =,...,n. Por ser f creciente en [0,] se tiene que m i será la imagen del extremo inferior de cada subintervalo y M i será la imagen del extremo superior. Por tanto: m = 0, M = 3 4, m = 3 4, M = 9 8 m 3 = 9 8, M 3 = 3 m 4 = 3, M 4 = 9 4 m 5 = 9 4, M 5 = 3.

26 0 Problemas de cálculo integral d) s(p,f) = S(P,f) = 5 i= 5 i= m i x i = = M i x i = = Hallar la suma superior y la suma inferior de cada una de las siguientes funciones en el intervalo y para la partición indicada. a) f(x) = x, x [0,], P = {0, 4,, 3 4,}. b) g(x) = x, x [0,], Q = {0, 5, 4 5, 9 5, 6 5,}. a) f(x) es continua y acotada en [0,]. El Teorema de Weierstrass nos garantiza la existencia de m i y M i en cada uno de los subintervalos [x i,x i ], i =,...n. f es decreciente en [0,] ya que f (x) < 0 para x (0,] por tanto m i será la imagen del extremo superior de cada subintervalo y M i la imagen del extremo inferior. m = 5 6, M = m = 3 4, M = 5 6 m 3 = 7 6, M 3 = 3 4 m 4 = 0, M 4 = 7 6. s(p,f) = = S(P,f) = = b) g(x) es continua y acotada en [0,]. El Teorema de Weierstrass nos garantiza la existencia de m i y M i en cada uno de los subintervalos [x i,x i ], i =,...n. g es creciente en [0,] ya que g (x) > 0 para x (0,] por tanto m i será la imagen del extremo inferior de cada subintervalo y M i la imagen

27 Capítulo. Integral de Riemann del extremo superior. m = 0, M = 5 m = 5, M = 5 m 3 = 5, M 3 = 3 5 m 4 = 3 5, M 4 = 4 5 m 5 = 4 5, M 5 =. s(q,g) = 0 S(Q,g) = = = Dada la función f(x) = x + x y las particiones del intervalo [0,], P = {0,,, 3, } y Q = {0,,, 3, 7 4, }. Se pide: a) Comprobar que s(p,f) s(q,f) y que S(Q,f) S(P,f). b) Demostrar que dadas dos particiones R y M cualesquiera del intervalo [0,] se verifica que s(r,f) S(M,f). a) La función f(x) = x + x es continua en [0,], corta al eje de abscisas en los puntos x = 0 y x = y además por tratarse de una parábola cuyo vértice está situado en el punto (,) se deduce que es creciente en [0,) y decreciente en (,]. La partición P divide al intervalo [0,] en 4 subintervalos de longitud. Considerando el comportamiento de f en [0,] se tiene que: m = f(0) = 0, M = f( ) = 3 4 m = f( ) = 3 4, M = f() = m 3 = f( 3 ) = 3 4, M 3 = f() = m 4 = f() = 0, M 4 = f( 3 ) = 3 4. La partición Q divide al intervalo [0,] en 5 subintervalos de longitud para los 3 primeros y 4 para los dos últimos. Teniendo en cuenta el

28 Problemas de cálculo integral comportamiento de f en [0,] tenemos: m = f(0) = 0, M = f( ) = 3 4 m = f( ) = 3 4, M = f() = m 3 = f( 3 ) = 3 4, M 3 = f() = m 4 = f( 7 4 ) = 7 6, M 4 = f( 3 ) = 3 4 m 5 = f() = 0, M 5 = f( 7 4 ) = 7 6. s(p,f) = S(P,f) = s(q,f) = S(Q,f) = 4 i= 4 i= 5 i= 5 i= m i x i = = 6 8. M i x i = = m i i = = m i i = = Por tanto, se cumple que s(p,f) s(q,f) y que S(Q,f) S(P,f). b) La partición T = R M es más fina que R y M por la propiedad 3 de las sumas inferiores y superiores se tiene que: s(r, f) s(t,f) S(T,f) S(M,f). 4. Analizar si la función: f(x) = es integrable en el intervalo [,]. { x Q 3 x R Q f(x) presenta un número infinito de discontinuidades en [,]. La partición P n = {, + n, + 4 } (n ),, +, n n

29 Capítulo. Integral de Riemann 3 divide al intervalo [,] en n subintervalos de la misma longitud x i = n. Como en cada subintervalo hay números racionales e irracionales, el valor M i en cada subintervalo es 3 y el valor m i es. Las suma inferior y superior de Riemman de f asociadas a la partición P n son: Luego s(p n,f) = S(P n,f) = m i x i = i= M i x i = i= n = 4 n i= 3 n = 6 n i= = 4 n n = 4 i= = 6 n n = 6. i= lím [S(P n,f) s(p n,f)] = lím [6 4] = 0 n + n + por tanto, f no es integrable en [,]. 5. Calcular el área bajo la gráfica de las funciones dadas en el intervalo indicado utilizando el límite de las sumas de Riemann. a) f(x) = x, x [0,]. b) g(x) = x + x x [,]. Sea f una función continua y no negativa en [a,b]. Se define el área A bajo la gráfica en el intervalo [a,b] como A = lím P 0 f(x i ) x i. i= Donde x i es un punto cualquiera de cada subintervalo (incluidos los extremos). Para facilitar el cálculo de este límite es conveniente dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual longitud y tomar x i como la frontera derecha de cada subintervalo (también se podría tomar la frontera izquierda o el punto medio). a) f(x) es continua y no negativa en [0,]. Dividimos el intervalo [0,] en n subintervalos de igual longitud x i = 0 n = n, i =,...,n. Los subintervalos de la partición son de la forma [0 + n (i ), 0 + n i ], i =,...,n.

30 4 Problemas de cálculo integral Tomando x i como la frontera derecha de cada subintervalo tenemos: A = lím P 0 f i= ( 0 + n i ) n = lím n + f i= Ahora bien, f (0 + n ) i = 4 n i sustituyendo queda: ( 0 + n i ) n. lím n + i= ( ) 4 n i n = lím 8 n + n 3 i= i 8 + )(n + ) = lím n(n = 8 n + n b) g(x) es continua y no negativa en [,]. Dividimos el intervalo [,] en n subintervalos de igual longitud x i = n = n, i =,...,n. Los subintervalos de la partición son de la forma [ + n (i ), + n i ], i =,...,n. Tomando x i Como: como la frontera derecha de cada subintervalo tenemos: A = lím P 0 i= ( g + ) n i n = lím n + i= ( g + ) n i n. g ( + n ) ( i = + ) n i + ( + n ) i = n i + 4 n i + 3. Sustituyendo queda: lím n + i= ( n i + 4 ) n i + 3 n = lím n + = lím n + ( n 3 i + 4 n i= ( i= n 3i + i + 3 n i= i= ) = i= ) 4 n i + 3 = n ( n(n + )(n + ) lím + 4 n(n + ) + 3 ) n + n3 6 n n n = 6 3. i=

31 Capítulo. Integral de Riemann 5 6. Calcular xdx utilizando la definición de integral definida, tomando x i como el punto medio de cada subintervalo. f(x) = x es continua en [,] por tanto es integrable en [,]. xdx = lím P 0 i= f(x i ) x i = lím n + f(x i ) x i Dividimos el intervalo [,] en n subintervalos de igual longitud x i = ( ) n i= = 3 n, i =,...,n. Los subintervalos de la partición son de la forma [ + 3n (i ), + 3n i ], i =,...,n. El punto medio de cada subintervalo es: x i = ( + 3 n (i )) + ( + 3 n i) Luego: Como: 0 f sustituyendo queda: xdx = lím n + = lím n + xdx = lím n + f i= = n i 3 n + 3 n i ( + 3 n i 3 ) 3 n n. ( + 3 n i 3 ) ( = + 3 n n i 3 ) n i= ( 6 n ( + 3 n i 3 ) 3 n n = lím n n i 9 n i= i= i= ) = i= = + 3 n i 3 n ( 6 n + 9 n i 9 ) n = ( 6 = lím n + n n + 9 n(n + ) n 9 ) n n = = 3.

32 6 Problemas de cálculo integral 7. Analizar si la función f(x) = x lnx es integrable en [,] y demostrar que: 0 < x lnxdx < 3. La función f(x) = x ln(x) es continua en el intervalo [,] ya que es el producto de dos funciones continuas en [,], por tanto f es integrable en [,]. Como f (x) = xln(x)+x = x(ln(x)+) > 0 para x [,] la función es x creciente en [, ] (de donde también se podría haber deducido la integrabilidad de la función en [,]). Por ser creciente en [, ] se deduce que m = mín{f(x) : x [a, b]} y M = máx{f(x) : x [a,b]} se alcanzan en x = y x = respectivamente y valen m = f() = 0, M = f() = 4ln() 77. Por las propiedades de la integral definida sabemos que: m(b a) b a f(x)dx M(b a) luego en nuestro caso, como f es no negativa y creciente en [,] tenemos: 0 ( ) < x ln(x)dx 4ln() ( ) 0 < x ln(x)dx < Hallar el valor de la integral definida de las funciones cuyas gráficas se indican a continuación en los intervalos que se señalan: a) [0,3]

33 Capítulo. Integral de Riemann 7 b) [ 5,5] Calcularemos el valor de la integral definida de las funciones propuestas usando la interpretación geométrica de la integral definida en términos de áreas. a) 3 0 f(x)dx = A + A = = 9. ya que A es la suma del área de un rectángulo de base y altura y el área de un triángulo de base y altura. De igual forma A se puede calcular como la suma del área de un cuadrado de lado más la suma del área de un triángulo de base y altura.

34 8 Problemas de cálculo integral b) 5 5 f(x)dx = 5 0 f(x)dx + f(x)dx + 0 f(x)dx + 5 f(x)dx = = A + A A 3 + A 4 = = 3. ya que A es el área de un triángulo de base 3 y altura, A = A 3 y A 4 es el área de un triángulo de base 3 y altura. 9. Sean f y g dos funciones integrables tales que: [f(x) + g(x)]dx = 8 y [3f(x) g(x)]dx = 4. Calcular: f(x)dx y g(x)dx. Por las propiedades de linealidad de la integral definida, tenemos: [f(x) + g(x)]dx = [3f(x) g(x)]dx = 3 f(x)dx + g(x)dx = 8 f(x)dx g(x)dx = 4 si llamamos: f(x)dx = m y g(x)dx = n

35 Capítulo. Integral de Riemann 9 obtenemos el sistema: m + n = 8 3m n = 4 } cuya solución es m = 6 7 y n = 0 7 por tanto: f(x)dx = 6 7, g(x)dx = Sea f un función integrable tal que: 0 f(x)dx = 5, f(x)dx = 4, 4 f(x)dx =. Calcular utilizando las propiedades de la integral definida: a) b) c) f(x)dx f(x)dx. f(x)dx. a) b) c) f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx = 4 0 f(x)dx + 4 f(x)dx = 4 + = 5. 0 f(x)dx f(x)dx = 4 5 =. ( f(x)dx = f(x)dx ) f(x)dx = 0.

36 30 Problemas de cálculo integral. Calcular las siguientes integrales: ) (8x 3 + 5x )dx ) (x 3/5 x /4 )dx 3) 5x dx 4) 3 x x 3 dx 5) x + 3 x dx 6) 4 x 3 x 5 x 3 dx 7) e x dx 8) ex e 4x dx 9) (e x e 3x) dx 0) e x e x+4 dx ) x + 3 x dx ) + 3x 5 tg(πx) dx ) (8x 3 + 5x ) dx = 8 x 3 dx + 5 xdx dx = x x x + C. ) (x 3/5 x /4 )dx = x 3/5 dx x /4 dx = x x C = x x 5 + C. 5x 5 3) dx = xdx = 5 x / dx = 5 3 x3/ +C = 3 5 x 3 +C. 4) 3 x x 3 dx = x /3 x 3/ dx = x /6 dx = x C = = 6 x7/6 + C = 6 6 x C.

37 Capítulo. Integral de Riemann 3 5) x + 3 x dx = = x dx 3 dx + x 3 = x x /3 dx + x /3 dx = x x 5/3 dx + x /3 dx = 3 8 x8/3 + 3 x/3 + C = = x x + C. 6) 4 x 3 x 5 x 3 dx = x /4 x 3/ dx x 5/3 x 3/ dx = = x 5/4 dx x /6 dx = 7) e x dx = ex = 4x /4 7 x7/6 + C == x x C. e x e x dx = ln ex + C. 8) e 4x dx = 4 4e 4x dx = 4 e4x + C. 9) (e x e 3x) dx = e x dx+ 3 ( 3) e 3x dx = ex + 3 e 3x +C. 0) e x e x+4 dx = e x+x+4 dx = e x+4 dx = e x+4 + C. ) x + 3 x + 3x 5 dx = ln x + 3x 5 + C. ) tg(πx) dx = π π tg(πx) = π sen(πx) π dx cos(πx) = π ln cos(πx) + C.

38 3 Problemas de cálculo integral. Hallar: ( ) 3 ) 4 x5 5x 4 + x dx ) ( 5x + x ) dx 3) (x 5) dx 4) x x x 3 dx 5) (x 3x )dx 6) 5x 3x + dx 7) 4 x e x dx 8) 3 x dx 9) (e x e 3x) dx 0) cos( x) + x x dx ) cos xdx sen x + 3 ) dx x lnx ) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) ( ) 3 4 x5 5x 4 + x dx = 3 4 x 5 dx 5 x 4 dx + x dx = = 3 x x5 5 + x3 3 = x6 8 x5 + x3 3 + C. ( 5x + x ) dx = 5 x dx + x dx = 5 ln x x + C. (x 5) dx = (x 5) dx = x x x 3 dx = x dx (x 5)3 3 + C. x 5/ dx = x + 3 x 3 + C. (x 3x )dx = 6x(3x ) / dx = (3x ) 3/ + C / 5x 3x + dx = 5 6x 6 3x + dx = 5 6 ln 3x + + C. 4 e x dx = 4 x 3 x dx = x e x dx = 8e x + C. 3 x dx = 3x ln(3) + C.

39 Capítulo. Integral de Riemann 33 9) (e x e 3x) dx = e x dx+ 3 ( 3) e 3x dx = ex + 3 e 3x +C. 0) cos( x) + x x dx = cos( x) dx + x x x dx = ) ) cos xdx sen x + 3 = = xdx x cos( x) dx + = = sen( x) + 3 x 3 + C. dx /x x lnx = dx = ln lnx + C. lnx cos x sen x + 3 dx = ln sen x C. 3. Calcula las siguientes integrales tipo arco seno: a) x x 4 dx b) dx 7 5x a) x dx = x 4 xdx (x ) = xdx (x ) = arcsen(x ) + C. b) dx 7 5x dx = 7 7 5x 7 dx = = x dx = ( 5 7 x ) dx = 5 arcsen ( ) 5 + C Calcula las siguientes integrales tipo arco tangente: a) dx + xdx ) 0 dx 3 + 7x

40 34 Problemas de cálculo integral a) dx + x dx = +x dx = = + ( x + x dx = + ( x ) dx = arctg ( x ) dx = ) + C. b) 0 dx x = 0 3+7x 3 3 dx = dx = 3 x = 0 3 ( ) 3 dx = x ( ) = 0 7 arctg 3 x + C ( 7 3 x ) dx 5. Dada la función f(x) = (3x ), calcula la primitiva de f que verifica: a) Pasa por el origen de coordenadas. b) F( ) =. a) F(x) = (3x ) dx = 3 3 (3x ) dx = (3x )3 9 + C. F(x) = (3x )3 9 + C. La primitiva que buscamos pasa por el origen de coordenadas luego: Por tanto: F(0) = ( )3 9 F(x) = b) Del apartado anterior sabemos que: + C = 0 C = 9. (3x ) F(x) = (3x )3 9 + C.

41 Capítulo. Integral de Riemann 35 Buscamos la primitiva de f que verifica F( ) = luego: F( ) = 9 ( 4)3 + C = C = C = = 8 9. Por tanto F(x) = (x ) Hallar el valor de las siguientes integrales definidas: ) (x x 3 )dx ) π/ 0 sen(x) dx 3) 0 ( x 3 ) dx ) ) 3) π/ 0 0 (x x 3 )dx = x x4 4 = ( 4) ( ) ( ) = 4 ( ) ( )4 = 4 4 ( ) = 4 4 = 9 4. sen(x) dx = π/ cos(x) = [cos(π) cos(0)] =. 0 ( x ) 3 (x/3 ) 3 dx = 3 3 = (x/3 ) 3 0 = 0 ( ) 3 = 3 (0 ) 3 = = Hallar la función integral de f(x) = e x x en el intervalo [,5]. F(x) = x (e t t )dt = = ( ) e t t3 x 3 (e x x3 3 = ) ( e 0 3 ) = e x x3 3 3.

42 36 Problemas de cálculo integral 8. Dada la función f(x) = { x x x < x 3 Hallar la función integral en [,3] y estudiar su continuidad y derivabilidad. La función f es integrable en [,3] ya que es continua en [,3]. La función integral de f existe. Cálculo de la función integral de f en [,3]. Si x [,] Si x [,3] F(x) = x (t )dt = t t x = x x. x ( ) t F(x) = (t )dt + (t )dt = (t t) 3 x + 3 t = ( ) x = ( ) ( 3 ) + 3 x ( 8 3 ) = x3 3 x Luego x x x F(x) = x 3 3 x < x 3. F es continua en [,3] y como f es continua en [,3] por el teorema fundamental del cálculo F es derivable en [,3]. 9. Dada la función g(x) = e x+ x x + < x Calcular la función integral de g en [, ] y estudiar su continuidad y derivabilidad en [,]. La función g es integrable en [,] ya que es continua en [,] salvo en el punto x =. Por tanto, la función integral de g existe.

43 Capítulo. Integral de Riemann 37 Cálculo de la función integral de g en [,]. Si x [,] G(x) = Si x (,] x e t+ dt = et+ x = ex+ e = ( e x+ ). e G(x) = = e t+ dt + ( e3 e x ( ) t + dt = et+ ) + ( x + x 3) = x + x ( t + t) x = ( e 3 ). e Por tanto G(x) = ( e x+ ) e x + x 3 + ( e 3 ) e x < x. La función integral es siempre continua en el intervalo en el que está definida. La función integral G es derivable en todos aquellos puntos en los que la función g es continua. Por tanto, G es derivable en x [,] con x. En x = la función G no es derivable ya que: G ( ) = e + = e 3 G ( + ) = + =. 0. Dada la función: x + 0 x f(x) = x x e x < x 5 a) Calcular la función integral F de f en [0,5]. b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de F en [0,5]. c) Calcular F(0), F(), F(3), F(5).

44 38 Problemas de cálculo integral a) La función f es integrable en [0,5] ya que es continua en [0,5] salvo en los puntos x = y x =. Por tanto, la función integral de f en [0,5] existe. Cálculo de la función integral de f en [0,5]. Si x [0,] Si x (,] F(x) = S x (,5] F(x) = Por tanto F(x) = 0 x 0 ( t + )dt = ( t ) x + t ( t + )dt + x = + x3 3 3 = x = 0 ( t + )dt + ( t ) + t + t = x + x. t dt = ( t ) + t + t3 0 3 t dt + x (e t ) dt = + ( e t t) x = = e x x + e + = e x x + e F(x) = x + x 0 x x e x x + e < x < x 5. b) La función integral es siempre continua en el intervalo en el que está definida. La función integral F es derivable en todos aquellos puntos en los que la función f es continua. Por tanto, F es derivable en [0, ) (,) (,5]. En x = la función F no es derivable ya que: F ( ) = + = 0 F ( + ) = =. x =

45 Capítulo. Integral de Riemann 39 En x = la función F tampoco es derivable ya que F ( ) = = 4 F ( + ) = e. c) Sustituyendo en la expresión de F(x) se obtiene que: F(0) = 0; F() = ; F(3) = e 3 +e + 6 ; F(5) = e 5 +e 6.. Dadas las funciones: { e x + x 0 x G(x) = ln(x) + e x + < x a) Estudiar la continuidad de G y H. b) Estudiar la derivabilidad de G y H. ; H(x) = { e x + x 0 x ln(x) + e x < x c) Teniendo en cuenta los dos apartados anteriores, estudiar si G o H pueden ser la función integral de alguna función f. En caso afirmativo, calcular f. a) La función G(x) es continua para todo x [0,) ya que en este caso G(x) = e x + x es la suma de funciones continuas. Si x (,], G(x) = ln(x) + e x + y por la misma razón que antes, G(x) es continua en dicho intervalo. En x =, G(x) será continua si lím x G(x) = G() Como: lím x G(x) = e + = e y lím G(x) = ln() + x e + = e + + resulta que no existe el lím x G(x) y por tanto, G(x) no es continua en x =. Procediendo de la misma forma, se observa que H(x) es continua en [0,) y en (,]. En x =, H(x) será continua si lím x H(x) = H() Como: lím H(x) = x e + = e y lím x + H(x) = ln() + e = e existe lím x H(x) = e que coicide además con H() luego la función H(x) es continua en x = y por tanto en [0,].

46 40 Problemas de cálculo integral b) G(x) es derivable en [0,) (,]. En x = no es derivable ya que no es continua en dicho punto. La función H(x) es continua en todo el intervalo [0,] y es derivable en [0,) (,]. En x = será derivable si H ( ) = H ( + ). H ( ) = e + = e; H ( + ) = ln() + e = e por tanto, H es derivable en x = luego H es derivable en [0,]. c) G(x) no puede ser función integral de ninguna función f en el intervalo [0,] ya que no es continua en dicho intervalo. H(x) es continua en el intervalo [0,] y H(0) = 0 luego sí puede ser la función integral de alguna función f en [0,]. En concreto de: f(x) = e x + 0 x x + ex < x.. Dadas las funciones: { e x x 0 f(x) = e x e F(x) = x + 0 < x x x + e x 0 0 < x e x x 0 G(x) = x x + 0 < x Analizar si F y G son primitivas de f en [,]. f es continua en [,] por tanto admite primitivas en [,]. Para que F sea primitiva de f en [,], es necesario que sea continua y derivable en [,] y que F (x) = f(x) para todo x [,]. F(x) es una función exponencial cuando x [,0) y por tanto continua en [,0). Cuando x (,0], F(x) es también continua pues viene definida