Dibujo técnico º ransformaciones geométricas en el plano : Giros, traslación, simetrias, homotecia, e inversión. Definición : una transformación geométrica es una ley o razón mediante la cual se asocia a cada punto de una figura de partida otro punto de una segunda figura, llamada transformada u homologa de la original. Designación : R () =. Objetivo de las transformaciones : Facilitar la resolución de problemas gráficos que en su posición original resultan dificiles de solucionar. lasificación : Isométricas : onservan dimensiones y ángulos : Giros : G (,) Identidad : R, se la denomina I, o a veces 1. raslación : (v) ; (v) () =. xial : Notación S (e) Simetrías : entral : R : = -.Notación : S () Isomórficas o conformes : onservan ángulos y longitudes proporcionales : Homotecias : / =. ;Notación : H (,). namórficas : ambian de forma : Inversión : x =. ; Notación. I (,). Homología (según el tipo) Elementos característicos : Son aquellos que definen todas las correspondencias entre la figura original y la transformada. Elementos de una transformación : Elementos dobles : Son aquellos que se transforman en sí mismos en la transformación. roducto de transformaciones : uando se realizan varias transformaciones consecutivas sobre una figura, la figura final es el resulttado del producto de las razones ejercidas sobre la primera. Designación : R1 X R x R... ropiedades : No onmutativa, El producto de transformaciones no es conmutativo, R1 x R = R x R1. uando esto no se verifica, y resulta que R1 x R = R x R1, se habla de transformaciones permutables sociativo : El producto de más de dos transformaciones es asociativo. Es decir : (R x R) x R1 = R x (R x R1) Una transformación inversa es la que puede devolver un elemento ya transformado a su posición de partida. Y el producto de una -1 transformación por su inversa da una transformación idéntica. Designación R Giros : Definición : cuando a cada punto se le asocia otro punto de modo que y equidistan de un punto fijo, llamado centro de giro, cumpliendose que el ángulo de giro es constante, y se le llama amplitud de giro. lasificación : ransformación isométrica. Elementos de la transformación : entro, mplitud de giro (ángulo de giro ). Designación : Giro de centro, amplitud : G (, ) untos dobles : El centro de giro Giro identidad : el giro que produce puntos dobles = 6º ; se representa como : G (, ) ; siendo la constante del radio de giro para cada punto. Giro inverso : El giro G (, ), quedevuelve un punto, obtenido mediante un giro G (,), a suposición de origen ; se representa como : G (, - ). 9 9 r r Giro de un segmento Giro de una recta Giro de una circunferencia Giro de identidad : = 6º ; G (, ) Giro inverso Giro de amplitud es una simetria central = 18º ; G (, )
roducto de giros : -1- roducto de giros con el mismo centro : Si a un punto se le gira desde un ángulo, y luego se gira, con igual centro, un ángulo, las dos transformaciones sucesivas se consigue si se gira, desde, un ángulo de amplitud = +. ropiededad conmutativa : G (,) x G (,) = G (,) x G (,), puesto que + = +. -- roducto de giros con distinto centro : El producto de dos giros con diferente centro es otro giro, cuyo centro se encuentra en el punto de corte de las mediatrices de los puntos homólogos, ;,, y el ángulo = a la suma de los ángulos producto : + M M 1 - Ejercicio de aplicación : ag. 1.5 del libro : raslaciones : Definición : ransformación geométrica en la que dado V (vector guía), a un punto le corresponde otro de forma que = V lasificación : transformación isométrica. Elementos caracteristicos : untos. y V (vector guía) Designación : (v). ; plicación : (v) () =. untos dobles : Si V es nulo, =. raslación de identidad. ranslación inversa : Si aplicada una traslación a un punto lo situa en el lugar primitivo donde estaba,. (v ) ( ) =, entonces se llama transformación inversa y su representación simbólica es -1. V. V... V. roducto de traslaciones : - La aplicación sucesiva de traslaciones es otra traslación, cuyo vector definidor es la suma vectorial de,,... - ropiedad conmutativa : dado que (v ) x (v ) = (v ) x (v). - Ejercicios de aplicación : ag. 1. del libro :
Simetrías Existen dos tipos de simetrías : Las centrales y las axiales. Simetría central : Definición : Es una transformación geométrica en la que a cada punto se la asocia otro punto, tal que = -. Siendo el centro de la simetría. Representación : S (). Simetría de centro. ropiedades : - es punto doble. - Las rectas que pasan por son dobles sin serlo sus puntos. - ransforma rectas en rectas. - Los segmentos simétricos son paralelos e iguales, aunque el sentido de los segmentos sea contrario. - Se conserva el sentido de ordenación en el plano. Las figuras son simétricas directas. En la figura los triángulos y están ordenados igualmente a la izquierda. Sentido de ordenación en el plano roducto de simetría central : Es una traslación S () x S ( ) = (v) = (, ). Donde v = =. Simetría axial : Definición : Es una transformación geométrica en la que a cada punto se le asocia su homólogo, de modo que ambos puntos equidistan de una recta, fija en cada simetría,llamada eje de transformación o eje de simetría, siendo el segmento perpendicular a dicha recta. Representación : S (e). Simetría con eje de simetría e. ropiedades : - Se invierte el sentido del plano. En efecto, recorridos los vértices en orden, y, en el primer caso el sentido es a la izquierda y en el segundo a la derecha. - Los puntos del eje son dobles. - Las rectas perpendiculares al eje son dobles sin serlo sus puntos. - Los segmentos simétricos son iguales aunque no mantienen el paralelismo, salvo en el caso de paralelismo con el eje de simetría. - El eje es la mediatriz del segmento. D =D. Los puntos en el eje de simetría son dobles E E 9 9 Sentido de ordenación en el plano invertido.
roducto de simetrías axiales : Existen dos tipos de productos de simetrías axiales, de ejes paralelos, y con ejes que se cortan. roducto de simetrías de ejes paralelos : Es una traslación de valor guía v= d, siendo d la distancia entre ejes. E E 9 d d roducto de simetrías cuyos ejes se cortan : Es un giro de centro el punto común de los ejes (punto de intersección de los ejes) y amplitud angular x ee. E 9 E ee ee Ejemplos de aplicación de simetrías : ag. 1.6 y 1.7 Libro. Homotecia Definición : Es una transformación geométrica en la que a cada punto se le asocia otro punto estando ambos puntos alineados con uno fijo llamado centro de homotecia, cumpliendose que : Siendo el centro de homotecia,, y los puntos homotéticos = Y k la razón de homotecia. Razón simple de tres puntos alineados : ropiedades : -,, estan en linea recta. - Si (cero), los puntos y estan a un lado de. = Siendo un punto fijo, y, elementos variables. - Si (cero),,y estan a un lado y otro de. Sentido - Sentido + - = - - Si = -1 la homotecia es una simetría central, en que, y son simétricos respecto de. - = - 1
- Si = 1, la homotecia es una identidad. = 1 - Las rectas que pasan por son dobles, pero no sus puntos, excepto para =1. - Las que no pasan por son paralelas. En efecto las rectas y cumplen en la relación : = = - Los segmentos homólogos y, cumplen con la misma proporción : = = = de igual forma sucede con los segmentos ; y ;, por la misma razón. roducto de homotecias - Existen dos tipos de producto de homotecias, con un mismo centro y con distinto centro. roducto de homotecias con un mismo centro : Es otra homotecia de igual centro y razón el producto de las homotecias factores. = 1 X ara la demostración gráfica tomamos como referencia los puntos c. Siendo c la figura inicial, c la primera transformación, y c la segunda. La razón de la primera transformación, entre, y es : Sustituimos : = 1 = 1 1 1 La razón de la segunda transformación, entre y es : Sustituimos : = = La razón entre la figura inicial y la segunda transformada es : = 1 x = X = 1 Si consideramos las transformaciones como la relación proporcional entre las longitudes de los lados de los triángulos, como una relación de figuras semejantes, obtendremos el mismo resultado : El triángulo es del triángulo, siendo la razón entre ambos de El triángulo es del triángulo, siendo la razón de El triángulo es por tanto 1 del triángulo.
roducto de homotecias con diferente centro : Es otra homotecia de centro alineado con los otros,1 y razón : = 1x 1 - El producto de homotecias no es conmutativo, pues al intercambiar la aplicación de las homotecias, y 1, se altera el centro de la homotecia. 1 eorema de las tres homotecias : Sean dos homotecias de centros y razones respectivas, 1; 1 y, el producto de estas dos transformaciones es otra homotecia de centro, situado en la recta definida por los centros,1, y razón igual al producto de las razones 1 por. 1 Homotecia entre circunferencias : Dos circunferencias son siempre homotéticas directa o inversamente. - ara hallar una circunferencia homotética de otra : H 1 5 - Unimos el centro de la homotecia Hcon el cetro de la circunferencia - Desde el cetro de la homotecia trazamos una recta secante a la circunferencia. - Unimos con un segmento el centro de la circunferencia con un punto de intersección de la recta secante. - Establecemos la relación homotética, en este caso 5/. - La circunferencia transformada tiene un punto de intersección con la recta secante, homotético de. - or paralelismo se resuelve el trazado. - Observando la figura anterior podemos deducir que los radios de las circunferencias homotéticas mantienen la relación homotética, or lo que podemos resolver el trazado por la tangente común r. H R R R 1 1 R r 5 r 5 H R R = R Si la tangente común es exterior la razón es positiva : Si la tangente común es interior la razón es positiva : R = - -ambién se cumple la razón de homotecia entre los centros de las circunferencias y sus distancias respectivas al centro de homotecia h = h = - h Siendo positiva si los centros están en el mismo lado de h y negativa si están en el lado opuesto. h
Ejercicios - Homotecia - 1- razar por el punto circunferencias tangentes a los lados del ángulo. Enunciado gráfico : - razamos una circunferencia cualquiera tangente a los lados del ángulo. - Unimos el vértice del ángulo con. M N - Unimos con las intersecciones de la recta que pasa por con la circunferencia, auxiliar, obtenemos los puntos M,y N. - los segmentos M, y N, son los radios homotéticos de las circunferencias tangentes al ángulo y que pasan por el punto. 1 M N - Hallamos los centros de las circunferencias trazando por rectas paralelas a los segmentos M, y ON, obteniendo 1,y, centro de las circunferencias buscadas. Nota : En el libro pag.1.61,1.6. parece otra solución al problema utilizando el eje radical de dos circunferencias. - - Inscribir un cuadrado en un triángulo dado. ag.1.9 del libro. -- Dadas dos rectas r,s y un punto, se desea unir mediante una recta el punto con el de corte de r y s en el supuesto que ese corte se produzca fuera del papel. ag.1.9. Del libro. - - Dada la razón de homotecia = /, hallar la circunferencia homotética a la dada. entro de homotecia punto.
-5- Dada una circunferencia y un punto situado en su circulo interior, trazar por la cuerda que produzca dos puntos, tales que el segmento sea doble que. ag.1.5. Del libro. Enunciado gráfico : Figura de análisis : d d -, y son puntos homotéticos donde es el centro de la homotecia, y razón = 1 = - - omo, y estan relacionados con la circunferencia. Solución : 1 R R/ - hallamos la circunferencia homotética de la dada, aplicando la razón -1/. onociendo que : - La razón entre las distancias respectivas de los centros de las circunferencias al centro de homotecia es : 1 = - - Y que la razón de los radios es a su vez : R 1 = - R V d d V - plicando estas dos propiedades trazamos la circunferencia - ualquiera de los segmentos que pasando por corte a las circunferencias en v,v (puntos variables), mantiene la razón de homotecia : V 1 = - V - omo las cuerdas pedidas pertenecen a la circunferencia, consideramos los puntos de corte entre ambas circunferencias,,. Se obtienen dos resultados. 1-6 - Dibujar una recta que formen 6º. Situar un punto que diste cm. De un y cm. De otra. razar por el punto descrito una secante que corte a las rectas dadas en dos puntos y tales que =. Libro pag.1.6, ejercicio 8. Figura de análisis : 1 1,5 isectriz 9 M Medidas reducidas al 5% - 6 - Dibujar una recta que formen 6º. Situar un punto que diste cm. De un y cm. De otra. razar por el punto descrito una secante que corte a las rectas dadas en dos puntos y tales que =. 5 1 1 Medidas reducidas al 5%
Homotecia y semejanza - ag. 1.5 libro. La semejanza es un caso particular de homotecia cuando las figuras semejantes están alineadas con respecto a un punto (centro de homotecia). Figuras semejantes. Dibujo 1. = uando los vértices están alineados y los lados son paralelos es una homotecia = odemos deducir de las figuras del dibujo 1, que girando uno de los dos triángulos podríamos alinearlos con un punto. or lo que una semejanza es equivalente al producto de un giro por una homotecia. 1 Giramos el triángulo, con centro de giro en uno de sus vértices, hasta poner el lado correspondiente paralelo a. Después establecemos la relación de homotecia : =
Inversión Definición : La inversión es una transformación geométrica en la que a cada punto se le asocia otro, alineado con él y con un punto fijo, llamado centro de inversión, cumpliendose que el producto que las distancias del centro de inversión a los puntos correspondientes,,, adquiere un valor numérico constante llamado razón o potencia de inversión. X = La relación establecida entre los tres puntos es una potencia. X = x = Notación : I (,), siendo el centro de la inversión y la razón o constante de la inversión. Elementos dobles : -1º - Los puntos situados a una distancia =, son inversos de sí mismos, son dobles en la inversión. - º - La circunferencia de puntos dobles, cuyo radio es igual a. x = = x O = = = = = Los puntos a una distancia = son puntos dobles en la transformación inversa. = = ircunferencia de puntos dobles de radio =, los puntos de esta circunferencia son dobles en la transformación inversa. ropiedades de la inversión : -1º- ropiedad conmutativa : Si es inverso de, lo es de. X = x = - º- Rectas antiparalelas : Sean las rectas r, y s, se dice que las rectas u, y v, son antiparalelas respecto a r, y s cuando los angulos formados por r, y u ; y s, y v, son iguales. u r s v -º- La recta que une los puntos, y, forma con la recta, el mismo ángulo que la que une a sus homólogos,, con. Ángulos en la inversión - º - Ángulos en dos triángulos inversos : D D
- 5º- Inversión positiva y negativa : - Si es exterior la inversión es positiva :, y tienen igual sentido X = - Si esta entre, la inversión es negativa :, y tienen sentidos opuestos. X = - Inverso de un punto : unto en la circunferencia de puntos dobles. unto exterior a la circunferencia de puntos dobles unto en la circunferencia de puntos dobles. unto interior a la circunferencia de puntos dobles unto exterior a la circunferencia de puntos dobles Obtención gráfica de : Inverso de una circunferencia De una circunferencia que pasa por (centro de la circunferencia de puntos dobles). De una circunferencia que no pasa por (centro de la circunferencia de puntos dobles). Inversa de una recta De una recta que pasa por ( centro de la circunferencia de puntos dobles) De una recta que no pasa por ( centro de la circunferencia de puntos dobles) Inverso de un punto : unto en la circunferencia de puntos dobles : El punto es inverso de sí mismo. x = = unto en la circunferencia de puntos dobles. X = - unto exterior a la circunferencia de puntos dobles -1º- rocedimiento : Despejar. = x. - º- rocedimiento : razar una circunferencia 1,tangente a uno de los radios de la circunferencia de puntos dobles ( ), por ejemplo al radio y que pase por el punto, donde esta circunferencia corta al segmento, esta el punto inverso. 9 1 M es el centro de la potencia, respecto a la circunferencia 1.
-º- rocedimiento : Si observamos la figura de análisis vemos como si desde trazamos una tangente a la circunferencia de puntos dobles, la recta perpendicular al segmento, y que pasa por nos da el punto inverso. 9 1 Figura de análisis. - Demostración : or el teorema del cateto : = x. = Radio de la circunferencia de puntos dobles. = = Luego x = 9 9 -Esta es la construción más sencilla. 9 - Si < y el punto es exterior a la circunferencia de puntos dobles : Figura de análisis. 9 Si <, el inverso de, estará en el lado opuesto de (centro de inversión). 9 1 X = - - Si > y el punto es interior a la circunferencia de puntos dobles : 9 La construcción es igual al caso donde el punto es exterior pero al revés. hora el punto inverso de, es exterior a la circunferencia de puntos dobles. 1 M 9 X = - Si < y el punto es interior a la circunferencia de puntos dobles : 9 1 M Si <, el inverso de, estará en el lado opuesto de (centro de inversión). 9 X = -
Inversión entre circunferencias -1º aso general En dos circunferencias inversas se cumple que : x = - Si > - Si < 9 9 9 - º aso particular : La circunferencia pasa por, circunferencia de puntos dobles R =. 1 9 1 Si hallamos los inversos de tres puntos,1, ;, 1, obtenemos una recta r exterior a la circunferencia de puntos dobles ( ) inversa de la circunferencia que pasa por (centro de inversión). Del mismo modo la inversa de una recta que no pasa por (centro de inversión ), es una circunferencia que pasa por (centro de inversión). De esta forma podemos transformar circunferencias en rectas y rectas en circunferencias a partir de una razón de inversión r - º circunferencias ortogonales a la circunferencia de puntos dobles Si >, las circunferencias ortogonales a la de puntos dobles R =, son dobles pero no sus puntos, solo los puntos t son dobles. Si <, la inversa a una circunferencia ortogonal es otra circunferencia de igual radio 1 situada diametralmente opuesta a la primera 1 respecto al centro de inversión.
Inversa de una recta - 1º Inversa de una recta que pasa por, (centro de inversión). Si > r La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es la misma recta inversa de sí misma, pero no sus puntos. excepción del punto situado a una distancia = del centro de inversión siendo éste inverso de sí mismo. Si < r La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es la misma recta inversa de sí misma, pero no sus puntos. No existen puntos dobles. - º Inversa de una recta que no pasa por, (centro de inversión). Si > La inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión. 9 1 1 r Si < 9 1 1 r
Ejercicios de inversión - angencias : - 1º Dadas dos circunferencias secantes c, c1, y un punto, trazar las circunferencias tangentes a las circunferencias y que pasen por el punto. ransformación inversa - Mediante una inversión transformaremos las circunferencias en rectas para solucionar el problema,( encontrar los puntos de tangencia ) y una vez resuelto, volveremos a la figura original. 1 1-1º tomamos como centro de inversión un punto de corte de las circunferencias I. -º con centro en este punto i, trazamos una circunferencia de puntos dobles de R = siendo una magnitud cualquiera. -º Hallamos las rectas inversas de c,c1, y del punto.,c1 y. i 1 1 - º Solucionamos el problema de tangencias : ircunferencias tangentes a dos rectas y que pasan por un punto. ( método pag.1.6 del libro. ambién se puede solucionar por homotecia). Se obtienen dos soluciones : y y cuatro puntos de tangencia. Eje radical M s 1
1-5º Hallamos los inversos de los dos puntos. Y de los dos 1. - 6º Una vez hallados los puntos de tangencia y 1 en las circunferencias, trazamos las circunferencias y tangentes a las circunferencias, y 1 y que pasan por el punto. (El problema se reduce en este último paso a trazar las circunferencias que pasan por tres puntos,,. Y,1,1). 1 1 1 i 1 1 1 - º ircunferencia que pase por un punto y sea tangente a una circunferencia y recta dada. Libro pag. 1.6. R 1 1 ransformación inversa R - Mediante la transformación inversa transformaremos la recta R en una circunferencia, conservando a la circunferencia como tal. De esta forma reducimos el problema a una recta tangente a dos circunferencias. Siendo 1 el punto de tangencia de la recta R con la circunferencia solución (recta 1 inversa ), y el punto de tangencia entre la circunferencia y la circunferencia solución (recta 1 inversa ). Una vez hallados los puntos, Y 1 en la transformación inversa las devolveremos a su posición original, y 1 para trazar la circunferencia solución 1. - Desarrollaremos el procedimiento paso a paso :
R - 1º Escogemos el punto como centro de la inversión, y como radio de la circunferencia de puntos dobles el segmento tangente a la circunferencia, con el objetivo de que la circunferencia al ser ortogonal a la de puntos dobles sea inversa de sí misma en la inversión y así no varíe. R - º Hallamos la circunferencia inversa de la recta R, R. (Inversa de una recta que no pasa por, centro de inversión, es una circunferencia que pasa por ). R 1 - º Observamos que hemos transformado la recta R en una circunferencia conservando la circunferencia. sí el problema se reduce a trazar una recta 1 tangente a las dos circunferencias. Obtenemos los puntos de tangencia, y 1. 1 R 1 R 1 1 -º Obtendremos ahora los puntos inversos de, y 1. 1 será el punto de tangencia en la recta R de la circunferencia solución 1 será el punto de tangencia de la circunferencia solución 1 con la circunferencia. Observamos también que 1 es la circunferencia solución en posición inversa. ( la inversa de una recta que no pasa por es una circunferencia que pasa por ). R R - 5º Sólo nos queda trazar la circunferencia 1, que pasa por los puntos 1,y. 1 1 1 R
Ejercicios de inversión _- trazar la circunferencia tangente a las circunferencias dadas Enunciado gráfico i 1 i 1 1
Ejercicios de inversión _- trazar la circunferencia tangente a las circunferencias dadas Enunciado gráfico - Las tres circunferencias se cortan en un punto, este punto es el centro de la inversión. i 1 i 1
-Hallar los puntos Inversos de los vértices del triángulo que alineados formen un triángulo equilátero. 5 1ª - Figuras de análisis : Ángulos en dos triángulos inversos : i Ángulos en el triángulo : D D rco capaz de 5º i W X 5 i W 5 Z D D D W +X +Z = 18º W=18º - 5º+ - º + D +D = 6º W = 5º rco capaz de 5º para, +D = 6º ª i - Figuras de análisis : Valor de un ángulo exterior = ala semisuma de los centrales correspondientes. Y = X - Z Y i Y Z X 1 rco capaz del ángulo Y Z X 1 Se restan x - z y se divide entre dos para hallar Y. rco capaz del ángulo Y para,