TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS: Proyectividad y homografía. Homología y afinidad. Inversión.

Transcripción

1 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. TRNSFRINES GEÉTRIS: Proyectividad y homografía. Homología y afinidad. Inversión. L HLGÍ En el espacio, dos secciones planas de una pirámide o de un cono son homológicas entre sí, siendo el centro de transformación el vértice por el que pasan todas las generatrices del sólido y el plano de transformación un plano que contiene a la recta intersección de los dos planos secantes. Plano secante RL' ' ' RL RL' '= ' Plano ase N'=N ' Transformación de una homología del espacio al plano En una homología los puntos homológicos están alineados con el centro y las rectas homológicas se cortan en el plano de la transformación, en este caso, en la recta e, y recta intersección de los planos secantes. l proyectarse la homología en el espacio sobre un plano, tenemos una homología en dos dimensiones, también sucede esto si abatimos al plano horizontal donde se encuentra la base de la pirámide o del cono la sección producida. l punto por donde pasan todas las generatrices de la pirámide se le denomina polo de la homología. La recta intersección de los planos que contienen a la base y a la sección (plano p) se le llama. La recta límite de es L y la de es L os figuras homológicas en el plano deben cumplir las siguientes leyes: os puntos homólogos y están alineados con un punto fijo, que es el centro de transformación os rectas homólogas se cortan en una recta llamada de la homología. 30

2 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. FIGUR HÓGI La figura homológica de un polígono dado. e la homología se cono- cen el centro, el un par de puntos homológicos y. partir de los puntos homológicos conocidos y se determinan el resto de puntos. Para hallar se une con, hasta que corte al, su homólo- ' ' ' go pasará por y el punto esta en línea recta con el centro y la recta homóloga de. ELEENTS LES omo todos los pares de puntos homólogos están alineados con el centro, todas las rectas que pasan por dicho punto serán dobles, aunque sus puntos no lo sean. El centro es un punto doble pues es el punto de intersección de un haz de rectas dobles y estamos ante una aplicación de la proporcionalidad directa. omo todos los pares de rectas homólogas se cortan en el, éste será una recta doble de puntos dobles, pues cada uno de sus puntos pertenece a la vez a una recta y a su transformada. RETS PRLELS L EJE Las rectas paralelas al tendrán sus transformadas paralelas, pues se cortarán con el en su punto impropio, en el infinito. RETS LÍITE Es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son dos: RL y RL, paralelas al. adas dos rectas homólogas r y r', el centro y el e, hallar las rectas límites: Por el centro de homología se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta r (en K RL el punto K). Por K se traza la recta límite RL paralela al. r' RL' Por el centro de homología se traza la paralela a la recta r hasta cortar a la otra recta r en el punto. Por se traza la recta límite RL' paralela al. r 31

3 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. PRPIEES E LS RETS LÍITE Todas las rectas que se cortan en un mismo punto P de la recta límite tienen sus homólogas paralelas a P. La distancia de una de las rectas límite al centro de homología es la misma que hay desde la otra recta límite al de homología. Las rectas límite están siempre entre el centro y el e o bien fuera de ellos. S E EFINIR UN HLGÍ Una homología puede definirse de varias formas. amos a ver algunos mplos. Homología definida por su centro y sus rectas límite RL y RL Homología definida por el centro, una recta r su transformada r y un punto doble Q=Q Homología definida por dos figuras homólogas. HLGÍ E IRUNFERENIS La homología de una circunferencia es una curva cónica. Pensemos en la relación de homología que se da en el espacio entre las secciones de un cono de revolución y consideremos los distintos tipos de planos que pueden seccionarlo. Proyectando en el plano estas homologías encontramos tres casos en los que intervienen circunferencias. Si la circunferencia c no corta a la recta límite de su conjunto RL, su homóloga será una elipse. Si es tangente a la recta RL, su homóloga tendrá un punto en infinito y será una parábola. Si es secante a la recta RL, su homóloga tendrá dos puntos en el infinito y será una hipérbola... 32

4 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. TRNSFRIÓN HLÓGI E L IRUNFERENI EN ELIPSE Si trazamos una recta perpendicular a RL por el centro de la circunferencia obtenemos el punto P, es el punto de corte de las recta y son dos rectas conjugadas y sus homólogos serán un par de diámetros conjugados de la elipse, el homólogo de es el centro de la elipse. Las homólogas de las tangentes a la circunferencia desde P serán homólogas a elipse ( en una homología las relaciones de tangencia se conservan) y los homólogos de los puntos de tangencia son puntos de tangencia en la elipse. K P N RL T' 1 ' 4 ' P' ' 3 S' S 2 2' ' Q' Q 3' 1' T ='' 4' 4'' P de afin ' 1'' '' '' 2'' 3'' '' Una vez obtenidos los diámetros conjugados de la elipse son elementos suficientes para construir la elipse por métodos ya estudiados, nosotros hemos hallado los s mediante una afinidad en la elipse obtenida por sus diámetros conjugados y una circunferencia. 33

5 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. TRNSFRIÓN HLÓGI E L IRUNFERENI EN HIPÉRL Las rectas tangentes a la circunferencia en y N (puntos de corte de la Rl en la circunferencia) se cortan en P, y sus homólogos serán tangentes en el infinitos, es decir, las asíntotas de la hipérbola. ichas asíntotas se cortan en P, homólogo de P. Las bisectrices de las asíntotas son los s de la hipérbola. El homólogo del real que pasa por P, corta a la circunferencia en dos puntos y cuyos homólogos serán los vértices de la elipse. onocidos los s, vértices y asíntotas calculamos la posición de los focos para traza la hipérbola por puntos. F' ' P P' N RL síntota F 34

6 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. TRNSFRIÓN HLÓGI E L IRUNFERENI EN PRÁL La dirección del de la parábola será N, siendo N el punto de tangencia, por lo que la dirección del de la parábola será perpendicular obteniendo un punto sobre RL. La tangente desde a la circunferencia tendrá como homóloga una tangente a la parábola, siendo el homólogo del punto de tangencia el vértice de la parábola. onocido el y el vértice, podemos obtener el foco empleando una tangente auxiliar. Para ello no es preciso recordar cómo se traza un tangente a la parábola. Tan sólo es necesario trazar una tangente cualquiera r a la circunferencia cuya homóloga será tangente a la parábola. Esa tangente cortará a la tangente en el vértice Q. La perpendicular por Q a la tangente r determina el foco en su intersección con le de la parábola. La parábola la obtenemos por puntos. N r irectriz Q r' r' F 35

7 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. EJERIIS HLLR UN HLGÍ QUE TRNSFRE L URILÁTER,, EN UN UR Prolongando los lados y, y se obtienen dos puntos N que pertenecen a la recta límite, uniendo ambos puntos obtenemos RL, entre los puntos N estarán los lados del cuadrado que forman un ángulo recto luego trazamos el arco capaz de 90º de N donde se encontrará el polo, pero a su vez la diagonal y el lado forman un ángulo de 45º, trazaos el arco capaz de 45º del segmento E obteniendo en la intersección de ambos arcos el polo. Tomando un cualquiera tendremos un cuadrado de lado l, si queremos un lado de magnitud determinada aplicaremos una regla de tres entre las distancias del a la recta límite y lado del cuadrado, obteniendo la distancia que necesitados para obtener el cuadrado de lado pedido. RL Lado dado. l1 45 E ' N ' ' l1 l2 36

8 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. FINI La afinidad es una homología que tiene el centro en el infinito. Existe una relación de afinidad entre las secciones planas producidas por dos planos, de un cilindro o un prima, siendo la dirección de afinidad la definida por sus generatrices o aristas paralelas. Plano secante irección de afinidad ' ' '= Plano ase N'=N irección de afinidad '= ' Transformación de una afinidad del espacio al plano N'=N ' ependiendo de cómo sea la dirección de afinidad con respecto al tendremos dos tipos de afinidad, oblicua, cuando la dirección de afinidad es oblicua al de afinidad y ortogonal, cuando la dirección de afinidad es perpendicular al de afinidad. Una afinidad viene determinada por: Eje y un par de puntos afines. Tres pares de puntos afines. os pares de rectas afines. FIGUR FÍN E EF EL EJE Y EL FÍN EL PUNT e la afinidad se cono- F ce el y un par de puntos afines y. partir de los E puntos afines conocidos y se determinan el resto de pun- tos. Para hallar unimos con hasta que corte al, la recta afín de deberá pasar por, sobre esta recta estará que se obtiene trazando la paralela a ' ' ' E' (dirección de afinidad) por el punto en su intersección con la recta afín de estará, y así sucesivamente. F' 37

9 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. FIGUR FÍN E UN IRUNFERENI ada la circunferencia el y el punto y su afín, vamos a determinar la circunferencia por medio de dos diámetros conjugados. ediatriz de ' P Q ualquier par de diámetros conjugados de la circunferencia (es decir, diámetros perpendiculares) tendrán como afines un par de diámetros conjugados en la elipse afín. ' ' ' ' hora vamos a determinar la elipse obteniendo directamente los s, para ello necesitamos que los diámetros afines conjugados sean también perpendiculares para que sean sus s. Para la cual trazaremos la circunferencia que con centro en el de afinidad pase simultáneamente por y. Los puntos P y Q, unidos con y, dan la dirección de los diámetros 1 2 conjugados en la circunferencia 3 4 origen y en la elipse afín respectivamente. 1' 4' 3' ' ' ' ' 2' 38

10 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. INERSIÓN La inversión es una transformación que se rige por las siguientes leyes: 1. os puntos inversos y están alineados con un punto (centro de inversión), si cada uno de los puntos homólogos que constituyen un par, y, y, están en un mismo (o a distinto) lado de la inversión se denomina positiva o negativa cuando están a distinto lado. 2. En todo par de puntos inversos se verifica que el producto de sus distancias al centro es constante = = K. (K se llama constante de inversión). 3. os pares de puntos inversos que no estén alineados son NI- LIS, es decir pertenecen a una circunferencia. + - ' ' ELEENTS LES E UN INERSIÓN 1. Las rectas que pasan por, serán rectas inversas pero no de puntos dobles (los puntos inversos de las rectas se encuentran en la misma recta aunque no son ellos mismos) Las circunferencias de autoinversión, son las circunferencias de centro y radio SK. (En esta circunferencia cuando la potencia es positiva la misma es de puntos dobles, los puntos son inversos de si mismos). J cuando la potencia es negativa no es de puntos dobles. k T=T' ircunferencia de puntos dobles 3. Todas las circunferencias pasan por un par de puntos inversos. La potencia de inversión INIE siempre con la potencia del centro de inversión respecto de una circunferencia de puntos dobles. =' =' + =' = + k T =T' ' T - k=t ' T' ircunferencia de puntos dobles ircunferencia inversas de si mismas 39

11 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. TRZS GRÁFIS E PUNTS INERSS ados el centro de inversión,, dos puntos,, homólogos y otro punto,, hallar su inverso. ' ados el centro de inversión,, dos puntos,,, homólogos y otro punto, cuando está alineado con. - ' Puesto que la potencia de inversión, K, implica que: K = =, trazando una circunferencia cual- quiera por y una recta secante a ella que pase por, se verificará : = determinando, luego, la circunferencia que pasa por, resultará en su intersección con la recta, el punto, homólogo de, efectivamente: + ' ' = y = luego = = k. Es decir,, cumple la condición impuesta por la potencia de inversión dada, este procedimiento, es válido para toda inversión, positiva o negativa. INERSIÓN E UN RET r QUE N PS PR EL ENTR E La figura inversa de una recta r que no pasa por es una circunferencia que pasa por y que tiene el centro en la recta perpendicular a r trazada desde. Sean un centro de inversión positiva o negativa y una recta r, sobre la cual un punto, situado en la perpendicular por, tiene por inverso al punto. ' ' Todo punto de r y su inverso, deben cumplir: =. Para ello debe pertenecer al segmento, y además, a la perpendicular por a dicho segmento. En efecto los triángulos rectángulos que se forman son semejantes (poseen iguales los ángulos en ) y, por tanto, proporcionales, verificándose, + - r ' + - r ' ' = = = ' r r Pero el hecho de que el ángulo en deba ser recto, implica que todo punto (inverso de otro sobre r) debe pertenecer a la circunferencia de diámetro. 40

12 HLGÍ, FINI E INERSIÓN. INERSIÓN E UN IRUNFERENI c QUE PS PR EL ENTR La figura inversa de una circunferencia que pasa por es una recta que no pasa por y es perpendicular a la recta definida por el centro y el centro de la circunferencia dada. Éste es el recíproco del teorema anterior. INERSIÓN E UN IRUNFERENI QUE N PS PR EL ENTR E L TRNS- FRIÓN En toda homotecia (de razón positiva o negativa) entre dos circunferencias 1 y 2, si se permutan los puntos que pertenecen a una de ellas y a un mismo rayo de homotecia se tiene: = ; = ' = ' ' K Luego : os circunferencias son inversas con centro de inversión coincidentes con los de + ' homotecia. 1 2 T' La potencia de una circunferencia 1 que no T'' pasa por el centro de inversión es otra circunferencia c nomotética con ella respecto del mismo centro y con razón de homotecia siendo K la potencia de inversión. k K H =, Pt oc T'' ' T' 41