1 Monomios, polinomios y otras epresiones algebraicas Página 7 1. Cuáles de los siguientes monomios son semejantes a? 7,,, y,, y 7 y son semejantes a.. Di el grado de cada uno de estos polinomios: a) 6 + + 1 b) y 4 + y + y y c) 4 + d) 10 a) Grado. b) Grado 6 c) Grado 4. d) Grado.. La base de un ortoedro es un cuadrado de lado. Su altura es y. Epresa mediante un polinomio: a) El área de la base. b) El área de una cara lateral. c) El perímetro de la base. d) El volumen. a) A base b) A cara lat. y c) P base + + + 4 d) V ort. y y y 4. Epresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados: a) La suma de un número más su cubo. b) La suma de dos números naturales consecutivos. c) El perímetro de un triángulo isósceles (llama al lado desigual e y a los otros dos lados). d) El área total de un cilindro de 4 m de altura en función del radio de la base, r. e) El área total de un ortoedro cuya base es un cuadrado de lado l y cuya altura es m. a) + b) n + (n + 1) n + 1 c) + y d) πr 4 + πr πr (8 + r) e) l + 4 l l (l + 10). Calcula el valor numérico de la siguiente fracción para : + 1 + 10 7 + 1
Operaciones con monomios Página 7 1. Efectúa las siguientes sumas de monomios. Cuando el resultado no pueda simplificarse, déjalo indicado: a) 7 + 8 + 10 + b) 8 + + 7 c) + 7 + + d) 4y 9y + y + y e) 9 + y + 6y 1 + y a) 7 + 8 + 10 + 9 b) 8 + + 7 17 c) + 7 + + 11 + d) 4y 9y + y + y y e) 9 + y + 6y 1 + y 4 + 7y + y. Opera. a) ( ) (y) b) ` j ` yj c) (y) : ( ) d) ` j ( ) a) 1 y b) y c) 9 y d) 6. Siendo A, B 4 y C, calcula: a) A + C b) A + C c) A C d) (A B ) : C e) (A : C ) B f ) B : C a) b) 10 6 4 c) 4 + d) (0 ) : ( ) 10 e) 4 10 f) (16 ) : (4 4 ) 4
4. Reduce a una sola fracción, como en el ejemplo: 1 + 1 + + a) b) 1 + 1 c) 1 + d) 1 + + a) 9 4 6 6 6 b) 1 + 1 + 1 + 1 c) + 1 4 + 4 + d) 1 + + + + + +
Operaciones con polinomios Página 74 1. Quita paréntesis y reduce. a) ( 4 + + ) + (4 9 + 7 1) b) ( 4 ) ( + + 6 11) c) (7 9 + 1) ( 4) + ( 4 ) a) 4 + + + 4 9 + 7 1 4 + 6 4 + 4 1 b) 4 6 + 11 4 8 9 + 11 c) 7 9 + 1 + + 4 + 4 8 9 +. Efectúa. a) ( 4) b) ( ) c) ( + ) d) ( + 1) a) 6 8 b) + 1 c) + d) 4 +. Sean P 4 + + 9, Q + 11. Halla: a) P + Q b) P Q c) P Q a) 4 + + 9 + + 11 P + Q 4 + + 8 b) 4 + + 9 + 11 P Q 4 + + 0 c) P 6 4 + 10 + 18 Q 1 + 9 P Q 6 4 1 + + 1 4
4. Halla los productos siguientes: a) ( + y + 1) b) a (a + a 4 ) c) ab (a b ) d) ( + 7 + 11) e) y ( y + ) f ) 7 y ( + y) g) y ( + 1) h) a b (a b + 1) a) 6 + y + b) a + 6a c) a b ab d) 1 4 e) y y + y f) 1 y + 7 y g) y + 4 y y h) 9a b a b 4 + a b. Calcula el polinomio P en cada caso. a) P 6 4 8 + b) P c) 4 P 1 + 4 8 d) y P y + 4y + 6 y a) P 4 + 1 b) P c) P + d) P y y 4y 6 y + + + y + y y y
Página 7 6. Dados los polinomios P, Q 4 + 1, R +, calcula: a) P R b) Q R c) P Q a) ( ) ( + ) + 10 + 1 6 b) 4 + 1 c) + 8 + + 0 + 1 + 7. Opera y simplifica: a) ( 1) + 6 (4 ) b) ( )( + 1) ( + ) c) ( )( + ) 4 ( + 7) a) 6 + 4 18 6 + 1 18 b) + 4 4 + + c) + 6 1 4 8 4 + 9 1 8. Efectúa P() : Q() en cada caso y epresa el resultado así: P() Q() cociente + resto a) P() 11 + Q() + 6 b) P() 6 + + 18 + Q() + 1 c) P() 6 + + 18 + Q() d) P() + 11 4 Q() 4 + 1 + 1 4 0 + 4 0 + + 1 a) b) 11 + + 6 18 9 9 + + 9 + 174 179 6 + + 18 + + 1 6 + 6 0 + 18 + 18 6 11 + ( + 6)( 9) + 179 6 + + 18 + ( + 1)( + 6) 6
c) 6 + + 18 + 6 6 + + 18 0 + 6 + + 18 + (6 + + 18) + 0 + 18 18 0 + d) + 11 4 + + 1 1 4 1 + 6 6 + 11 4 ( ) c + 1 m+ 6 7
4 División de un polinomio por ( a) Página 76 1. Calcula el cociente y el resto en cada caso: a) ( 7 + 9 ) : ( ) b) ( + 7 + + 4) : ( + ) c) ( 4 + 6) : ( + ) d) (4 4 + 1) : ( 1) e) ( ) : ( ) a) 1 7 9 10 1 1 8 C () 1 R 8 b) 7 4 6 1 1 7 C () + 1 R 7 c) 1 6 8 6 6 1 4 0 C () 4 + R 0 d) 4 1 1 1 4 1 0 4 1 0 4 C () 4 + + R 4 e) 1 0 0 0 0 4 8 16 1 4 8 16 0 C () 4 + + 4 + 8 + 16 R 0 8
Página 77. Sea el polinomio M () 4 8 + 1 + 7 + 8. a) Calcula M (4) 4 4 8 4 +1 4 + 7 4 + 8. b) Divide, con la regla de Ruffini, M () : ( 4). c) Comprueba que el resultado del apartado a) coincide con el resto de la división que has realizado en b). a) M (4) 6 1 + 40 + 8 + 8 0 b) 1 8 1 7 8 4 4 16 4 1 1 4 1 0 c) El resto de dividir por ( 4) coincide con el valor del polinomio en 4.. El valor de un polinomio, A(), para 7 es 4. Qué puedes decir de la división A() : ( 7)? El resto de la división será 4. 4. Del polinomio H () sabemos: H() 18 H( ) 1 a) Cuál es el resto de la división H() : ( )? b) Y el de la división H() : ( + )? a) Sabemos entonces que R 18 b) R 1. Considera los polinomios siguientes: P () 9 + Q () 4 1 11 + 9 Calcula, utilizando la regla de Ruffini: a) P () b) P ( 1) c)0q () d) Q ( 1) a) b) 9 9 1 9 4 1 9 1 8 1 8 1 4 P () 1 P ( 1) 4 c) d) 1 0 1 11 9 9 9 60 1 0 1 Q () 1 Q ( 1) 9 1 0 1 11 9 1 1 1 11 0 1 1 11 0 9 9
6. Calcula, con ayuda de la regla de Ruffini, el valor del polinomio 7 17 +10 para: a) b) c) a) 7 17 10 4 10 11 0 P ( ) 0 b) 7 17 10 6 9 66 1 6 P ( ) 6 c) 7 17 10 10 1 10 0 P () 0 7. De un polinomio P (), sabemos que se anula para el valor 8, es decir, P (8) 0. Qué puedes decir de la división P () : ( 8)? El resto de la división P () : ( 8) será 0 y, por tanto, la división es eacta. 10
Raíces de un polinomio Página 79 1. Averigua si alguno de los valores 1,,, 7 es raíz del polinomio 4 4 + + 4. 1 1 4 4 1 1 1 4 1 1 4 0 1 sí es raíz del polinomio 7 1 4 4 00 1 1 7 40 196 no es raíz del polinomio. Cuáles son las raíces de P () ( )( + )( 6)? ; y 6 1 4 4 1 69 19 1 7 64 188 no es raíz del polinomio 1 4 4 7 7 77 86 1 11 79 48 8 7 no es raíz del polinomio. Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean, y. P () ( ) ( + ) ( ) 4. Calcula mentalmente alguna raíz de cada uno de estos polinomios: a) b) 1 c) 4 + a) 0 b) 1 c) 0 1 1. Busca una raíz entera de cada uno de estos polinomios. Si no la hay, justifica por qué. A () 4 + + + 7 B () + + + 1 C () 4 7 + D () + 4 + + + + 1 Las raíces enteras deben ser un divisor del término independiente. En este caso los únicos divisores de 7 son ±1 y ±7 y vemos cuáles son raíz: 4 7 1 4 6 11 4 6 11 18 4 7 1 4 7 4 7 0 1 es raíz de A () 4 7 7 8 10 1 0 4 0 1 1 1 4 7 7 8 18 1 09 4 6 187 1 0 En conclusión, solo tiene una raíz entera, 1. 11
B () no tiene ninguna raíz entera por la comprobación anterior, ya que deberían ser divisores de 1, luego las únicas posibilidades son 1 y 1, y vemos que ninguna es raíz. 1 1 1 1 6 1 6 7 1 1 1 1 1 1 1 1 es una raíz de C () ya que: 1 1 7 6 1 1 1 0 Ya solo podría tener como raíz ±1, pero ninguno hace que el polinomio resultante valga 0. Solo tiene una raíz entera,. 1 es una raíz de D () ya que: 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 Viendo que 1 no es raíz, concluimos que solo tiene una solución entera, 1. 6. El polinomio + 8 tiene tres raíces enteras. Calcúlalas por tanteo. Las raíces de + 8 son 0, y 4. 1
6 Factorización de polinomios Página 81 1. Descompón en factores sacando factor común y utilizando los productos notables. a) + 6 + 9 b) 4 + c) 4 1 d) 8 4 4 + 18 a) ( + 6 + 9) ( + ) b) ( + 1) ( 1) c) ( 4) ( + )( ) d) (4 1 + 9) ( ). Factoriza con ayuda de la regla de Ruffini. a) 6 + 11 6 b) + 6 0 c) + 7 + 14 + 8 d) + 4 + 6 a) 1 6 11 6 1 1 6 1 6 0 6 + 11 6 ( 1) ( ) ( ) + 6 0 ± 4 ± 1 b) Después de probar con todos los divisores de 0, deducimos que este polinomio no tiene raíces enteras. c) 1 7 14 8 1 1 6 8 1 6 8 0 + 7 + 14 + 8 ( + 1) ( + 4) ( + ) + 6 + 8 0 6± 6 6± d) Después de probar con todos los divisores de 6, deducimos que este polinomio no tiene raíces enteras. 4. Descompón en el máimo número de factores que sea posible. a) 4 1 + 10 b) + 10 4 + c) d) 4 8 + 18 9 e) + + + 1 f ) 6 + 1 8 a) ( 6 + ) ( )( 1) 6± 6 0 6± 4 b) ( + + ) No se puede seguir factorizando. + + 0 1 1± 1 40 4 No tiene solución. 1
c) ( ) ( + + 1) 1 1 1 1 1 1 0 + + 1 0 1± 1 4 No tiene solución. d) 4 8 + 18 9 ( 1) ( 9) ( 1) ( + ) ( ) 1 8 18 9 1 1 1 9 9 1 1 9 9 0 1 1 0 9 1 0 9 0 e) + + + 1 ( + 1) ( + + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) 1 1 1 1 1 1 1 0 f) 6 + 1 8 ( ) ( 4 + 4) ( ) ( ) ( ) 1 6 1 8 8 8 1 4 4 0 4. Simplifica. a) + 0 4+ 48 b) + 7 + 7 1 a) b) + 0 ( + 4) ( + 4) ( + 4) 4+ 48 ( 8 + 16) ( 4) ( 4) + 7 + 7 1 + 7 1 ( )( + 7) El polinomio de arriba no se puede factorizar. El polinomio del denominador quedará: 1 7 1 0 1 1 0 7 0 14
7 Preparación para ecuaciones Página 8 1. Simplifica las siguientes epresiones: a) ( 1) + ( ) 7 b) ( ) + 1 ( ) c) + (1 ) 1 ( ) d) 10( 1) + ( + 9) 4( + ) e) 1 ( + 1) 1 + ( + ) + a) + 10 7 1 b) 4 6 + 1 + c) + 1 + 10 1 d) 10 10 + + 18 8 1 0 e) 1 1 1 + + + +. Multiplica por el número indicado y simplifica. a) ( + ) 1 ( + 1) + 7 10 b) + + 4 + 1 por 4 4 c) + + 1 1+ 4 por 9 9 9 d) y ( + y ) + por 6 ( + 1) y e) 1 por 6 por 10 ( + ) ( ) a) 10 10 1 + 1 + 10 10 7 10 1( + ) + ( 1) 4( + 1) 7 1 + 0 + 4 4 7 1 1 b) 4 4 + + 4 4+ 4 1 ( ) ( + ) + 16 + ( 1) 4 4 6 + 16 + + c) 9 + 9 + 9 1 9 1 + 4 9 + + ( 1) (1 + 4) 9 9 9 + + 1 4 10 d) y 6 6 6 ( + y) + 6 y 1( + y) + 18 4 9y 1 1y + 18 8 1y + 18 e) 6 ( + 1) y 6 6 1 ( + 1) y 6 4 + 4 y 6 4 y 1
. Epresa algebraicamente y simplifica. a) La suma de un número más su tercera parte. b) La suma de las edades de Ana y Raquel, sabiendo que Ana tiene 8 años más que Raquel. c) Invertí una cantidad,, y ha aumentado un 1 %. Qué cantidad tengo ahora? d) Invertí una cantidad,, y he perdido el %. Qué cantidad tengo ahora? e) La suma de tres números consecutivos. f ) El triple de un número menos su cuarta parte. g) La suma de las edades de Alberto y su padre, sabiendo que este tiene 8 años más que aquel. h) Un ciclista va a una velocidad v. Otro ciclista viene 10 km/h más rápido. A qué velocidad se acerca el uno al otro? a) + 4 b) + ( + 8) + 8 c) 1,1 d) 0,9 e) + ( + 1) + ( + ) + f) 11 4 4 g) + ( + 8) + 8 h) v + (v + 10) v + 10 16
Página 8 4. Simplifica las siguientes epresiones: a) ( 1)( + 1) + ( ) b) ( + )( ) + c) ( + 1) ( + ) + 14 d) ( + 1) ( 1) + 6 a) 1 + + 4 4 4 b) + 6 + 9 c) + 1 + 4 + 14 + 1 d) + 1 + 1 + + 6 + 4 4. Multiplica por el número indicado y simplifica: a) ( + 1) ( 1 ) ( + ) ( + 1) por b) + 1 por 6 a) ( + 1) ( 1 ) 4 + 1 + 6 + 4 7 b) 6 ( + ) ( + 1 6 ) + 6 1 + 9 ( + 1 + ) + + 6. Epresa algebraicamente y simplifica. a) El producto de dos números naturales consecutivos. b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden y +. c) El área de un rectángulo cuyas dimensiones (largo y ancho) suman 11 dm. d) El área de un rectángulo de 00 m de perímetro. a) n (n + 1) n + n b) + ( + ) + 10 + c) (11 ) 11 d) (100 ) 100 7. La diferencia de dos números es 0. Si al menor lo llamamos : a) Cómo se designa al mayor? b) Cómo se designa su producto? c) Cómo se designa la suma de sus cuadrados? a) 0 + b) (0 + ) 0 + c) + (0 + ) + 0 + + 40 + 40 + 400 17
Ejercicios y problemas Página 84 Practica Monomios 1. Considera los siguientes monomios: a) b) c) 1 d) 4 e) 1 f ) Indica el grado y el coeficiente en cada caso. Calcula el valor numérico de cada uno para 1 y para 1/. a) b) Grado ; coeficiente Grado ; coeficiente 1 ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 c1 m 1 1 1 c 1 m 1 4 8 8 c) 1 d) 4 Grado ; coeficiente 1 Grado 1; coeficiente 4 1 1 ( 1) 1 1 4 ( 1) 4 1 1 c1 m 1 1 1 1 4 8 4 e) 1 f) Grado 1; coeficiente 1 Grado ; coeficiente 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 6 1 c1 m 1 8 8 18
. Opera y simplifica todo lo posible. a) + b) + c) 1 y 4 y + y d) 10 1 + e) ( ) ( ) f ) ( ) 4 g) 16 h) 7 a) + ( + 1 ) 4 b) + 1 + 8 c) 1 y y + y c1 + 1my c + 4 my y 4 4 4 4 4 4 d) 1 + c 1 + 1m c 4 1 + 10 m 1 10 10 10 10 10 10 e) 6 4 f) 4 ( 4) 6 6 g) h) 7. Epresa mediante un monomio estos enunciados: a) La mitad de un número más su tercera parte. b) El área de un círculo de radio r. c) El producto de un número por el triple de otro. d) El volumen de un ortoedro de dimensiones, y cm. e) El volumen de una pirámide de altura h cuya base es un cuadrado de lado l. a) 1 + 1 6 b) πr c) y y d) 10 e) l h Polinomios 4. Reduce e indica el grado de cada polinomio: a) 4 + 4 b) + c) d) + a) Grado 4 b) Grado c) Grado d) Grado 1 19
. Dados los polinomios P () 4 + 1 y Q () 6 + 7, calcula P + Q y P Q. P + Q ( 4 + 1) + (6 + 7) 4 + + + 8 P Q ( 4 + 1) (6 + 7) 4 + 1 6 + 7 6. Efectúa. 4 11 + + 6 a) ( + 1) b) 7 ( + ) c) ( 4 + ) d) ( + 4 6 + ) a) ( + 1) 6 1 + b) 7 ( + ) 14 6 + 1 14 c) ( 4 + ) + 1 d) ( + 4 6 + ) 4 4 + 6 7. Opera y simplifica. a) ( )( ) b) ( )( 1) c) ( )( + ) d) ( + 1)( + ) a) ( )( ) 1 10 6 + 4 10 + 19 6 b) ( )( 1) ( )( 1) 6 + 7 + c) ( )( + ) + 4 10 4 + 10 d) ( + 1)( + ) 6 9 4 + 1 + + 8. Calcula el cociente y el resto en estas divisiones: a) ( 7 + ) : ( + 1) b) (4 ) : ( + ) c ) ( + 8) : ( + ) a) b) 7 + + 1 8 8 + 8 + 8 4 + 4 6 + 4 6 6 + 9 8 8 1 1 Cociente 8 Resto Cociente + 4 Resto 1 0
c) + 8 + + + 8 + 10 10 4 4 Cociente + Resto 4 9. Las siguientes divisiones son eactas. Efectúalas y epresa el dividendo como producto de dos factores: a) ( + 4 + + ) : ( + ) b) ( + 7 + 7 + 4) : ( + 4) c) ( + 9 9) : ( 1) d) ( + 10 1) : ( ) a) + 4 + + + b) + 7 + 7 + 4 + 4 4 4 + 1 4 + + 1 + 0 + 7 4 + 4 4 0 + 4 + + ( + )( 4 + 1) + 7 + 7 + 4 ( + 4)( + + 1) c) + 9 9 1 d) + 10 1 + + 9 + + 9 9 9 + 9 0 10 1 10 + 1 0 + 9 9 ( 1)( + 9) + 10 1 ( )( + ) 10. Epresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados: a) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos. b) El área total de un ortoedro de dimensiones, y cm. c) La cantidad de leche envasada en botellas de 1, l y en y botellas de 1 l. d) El área de un triángulo rectángulo en el que un cateto mide cm más que el otro. a) + ( + 1) + + 1 + + + 1 b) + + 4 + 0 c) 1, + y ( + ) d) + 1
Factor común e identidades notables 11. Saca factor común en cada polinomio: a) 9 + 6 b) 6 + 4 c) 10 d) 4 + e) 410 60 + 10 f ) 7 4 64 g) 100 h) 0 6 7 4 4 a) 9 + 6 ( + 1) b) 6 + 4 ( + ) c) 10 ( 1) d) 4 + ( + 1) e) 410 60 + 10 10 (41 4 6 + 1) f) 7 4 64 8 (9 8) g) 100 (1 0 ) h) 0 6 7 4 4 1 ( 4 ) 1. Completa estas epresiones en tu cuaderno: a) ( ) + 9 b) ( + 1) 4 + + 1 c) ( + ) + + 16 d) ( ) + 4 a) ( ) 6 + 9 b) ( + 1) 4 + 4 + 1 c) ( + 4) + 8 + 16 d) ( ) 9 1 + 4 1. Epresa los polinomios siguientes como cuadrado de un binomio (hazlo en tu cuaderno): a) + 1 + 6 ( + ) b) 49 + 14 + ( + ) c) 4 0 + ( ) d) 1 + 4 + 4 ( + ) a) + 1 + 6 ( + 6) b) 49 + 14 + (7 + ) c) 4 0 + ( ) d) 1 + 4 + 4 (1 + )
Página 8 14. Epresa en cada caso como producto de dos binomios (hazlo en tu cuaderno): a) 16 ( + )( ) b) 1 c) 9 d) 4 1 e) 9 a) ( + 4)( 4) b) ( + 1)( 1) c) ( + )( ) d) ( 1)(1 + ) e) ( + )( ) Epresiones de primer grado 1. Opera y simplifica. a) 6( + ) ( ) b) ( + 1) + 7( ) 4 c) ( ) ( + 7) 8 d) 4(1 ) + 6 10 ( ) e) + ( 1) ( ) + f ) ( + ) ( + 1) 1 + ( 4) a) 6 + 18 + 10 4 + 8 b) 6 + + 7 1 4 9 18 c) 1 10 7 8 11 d) 4 4 + 6 10 + 1 + 9 e) + 6 + + 7 7 f) + 6 1 1 + 1 1 16 8 16. Multiplica por el número indicado en cada caso y simplifica: a) 1 1+ + 4 por 18 9 6 b) + 4 1 + + 1 por 40 10 8 4 c) + 1 1 9 6 por 6 a) 18c1 1 + + 4 m (1 ) 18 + ( + 4) 4 18 + + 1 4 9 6 b) 40c + 4 1 + + 1 m 8( + ) 4(4 1) + ( ) 10( + 1) 10 8 4 4 + 16 16 + 4 + 10 10 10 c) 6c + 1 1 9 m ( ) ( + 1) (1 9) 6 9 10 1 + 9 1
17. Multiplica en cada caso por el mínimo común múltiplo de los denominadores y simplifica la epresión resultante: a) + 1 + + 6 8 ( ) ( ) b) 1+ 1 4 1 1 + 4 1 8 c) 4 1 ( ) + + + 6 10 1 4 a) 10c + 1 + + 6 8 m ( + 1) + ( ) 0 + 60 ( 8) + + 6 0 + 60 + 16 1 + 7 61 ( + 1) ( 4) [ ( + 1) ( 1 )] b) 4 4 4 6+ 7 8 9 + 9 + 6+ 7 + 8 9 9+ 4 4 4 4 8+ 8 4 4+ 9 1 ( ) c) 60e 4 1 + + + o 10( ) 6(4 + 1) + 4 + 1 ( ) 6 10 1 4 0 0 4 6 + 8 + 0 90 6 108 Epresiones de segundo grado 18. Opera y simplifica. a) ( )( + ) + ( 4)( + 4) b) ( + 1)( ) + ( )( ) ( 1) c) ( + ) ( + ) + d) ( + 1) e) ( + 1) 1 ( 1)( + 1) f ) ( ) + ( + 4)( 4) ( ) a) 9 + 16 0 b) + + + 6 + + 1 4 + 4 c) + 6 6 10 + + 10 d) + + 1 e) 4 + 4 + 1 1 ( 1) 4 + 4 + 1 + 4 + 1 f) + 16 + 18 4
19. Multiplica por el número indicado y simplifica. a) ( + 1)( 1) + ( ) 1 + por b) + + 1 + 1 4 1 por 1 c) ( 1 )( + 1 ) 6 por 6 a) e ( ) ( + 1)( 1) + 1+ o ( + 1)( 1) + ( ) + 4 (9 1) + 4 + 4 + 4 18 + + 19 b) 1 e + + 1 + o 4( 4 1 + ) ( + 1) ( + ) 4 + 8 c) 6 e ( 1 )( + 1 ) o ( 1)( + 1) ( ) 6 (4 1) + 8 + 6 0. Multiplica por el mín.c.m. de los denominadores y simplifica. a) ( + 1 )( ) + 4 b) + + 1 + c) ( 1) ( + 1) + 4 4 1 a) 4 e ( + 1 )( ) + o ( + 1)( ) + 4 ( + )( ) + 4 6 + 6 + 6 b) 6c + + 1 + m 6 + ( + 1) ( ) 6 + 1 6 + 9 + + 4 6 + 1 6 + 1 + 19 ( ) ( ) c) 1e 1 + 1 + + 4o 4 ( 1) ( + 1) + + 4 4 1 4 4 + + 4 4 + 4
Regla de Ruffini 1. Divide aplicando la regla de Ruffini. a) ( + 1) : ( ) b) ( + + ) : ( + 1) c) ( 1 7) : ( ) d) ( 4 + + 1) : ( + ) a) 1 1 b) 6 1 1 1 1 4 9 1 4 9 7 C () C () 4 + 9 R R 7 c) 0 1 7 d) 6 18 9 6 1 1 6 0 1 0 1 C () + 6 + C () + 1 R R. Calcula el cociente y el resto de estas divisiones: a) ( + 1 + 4) : ( + ) b) ( 1 11) : ( ) c) ( + 8 6) : ( + 1) d) ( 4 16 7) : ( ) a) 1 4 b) 1 6 10 1 1 1 11 0 1 4 14 C () C () + 4 + 1 R 10 R 14 c) 8 6 d) 1 1 1 19 1 16 7 0 0 78 1 0 16 9 78 C () + 1 C () 16 9 R 19 R 78 6
. Calcula el valor numérico de cada polinomio para el valor de la incógnita que se indica: a) 4 + 4 para 1 b) 4 + 9 para c) 4 16 + 1 para d) 4 17 11 para 4 a) 4 4 b) 1 9 9 1 1 9 0 6 1 0 Valor numérico 1 Valor numérico 7 c) 4 16 1 d) 6 0 8 10 4 7 1 1 17 11 0 4 4 1 0 14 1 1 14 Valor numérico 7 Valor numérico 14 4. Busca el valor que debe tomar en cada polinomio el término independiente, m, para que la división sea eacta: a) (6 + m) : ( ) b) ( 4 + 9 m) : ( + 1) c) ( 9 10 + m) : ( 1) d ( 4 9 18 + m) : ( ) a) 6 m b) 1 14 6 7 m + 14 9 m 1 4 1 10 4 1 10 m 10 m + 14 0 m 14 m 10 0 m 10 c) 1 9 10 m d) 1 1 8 18 1 8 18 m 18 9 0 18 m 10 1 7 m + m 18 0 m 18 m + 0 m 7
Página 86. Observa y contesta. 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 a) Cuáles con las raíces del polinomio P ()? b) Factoriza P (). a) 1 b) P () ( 1)( + )( ) Aplica lo aprendido P () 1 + 1 6. Saca factor común y utiliza las identidades notables para factorizar los siguientes polinomios: a) 6 + 9 b) c) 4 4 81 d) + + e) 7 f ) + 0 + 7 a) ( 6 + 9) ( ) b) ( 1) ( 1)( + 1) c) (4 81) ( + 9)( 9) d) ( + + 1) ( + 1) e) ( 9) ( + )( ) f) ( + 10 + ) ( + ) 7. Factoriza los polinomios siguientes: a) 4 8 + 16 b) 4 c) 9 + 6 + d) 4 a) ( 8 + 16) ( 4) b) ( 4) ( + )( ) c) (9 + 6 + 1) ( + 1) d) ( + )( ) 8. Encuentra las raíces de estos polinomios y factorízalos: a) + b) 19 + 4 c) d) + 9 18 a) 1 1 1 1 1 0 + ( 1)( + 1)( + ) + + 0 ± 9 8 ± 1 1 8
b) 19 ± 61 16 19 + 4 0 19 ± 1 19 + 4 ( 17)( ) 17 c) 1 1 1 1 1 0 0 ± 4 + 1 ± 4 ( + 1)( )( + 1) ( + 1) ( ) d) 1 9 18 0 18 1 0 9 0 + 9 18 ( + )( 9) ( + )( + )( ) 9. Simplifica. a) c) a) b) + b) + 6 10 + 0 6+ 9 + + 6 10 + ( + ) ( + ) 1 ( + )( ) ( ) + d) + + 6 + 1 1 c) 0 0 ± 4+ 40 ± 44 No da raíces enteras. 40 40 0 6 + 9 0 ( ) d) ± 4+ 1 + 0 ± 4 Luego + ( 1)( + ) + 6 + 1 ( 1)( + )( + 4) 1 1 6 1 1 1 7 1 1 7 1 0 + 7 + 1 0 7± 49 48 7± 1 4 + + 6+ 1 ( 1)( + ) ( 1)( + )( + 4) 1 + 4 9
0. En cada caso, desarrolla A + B y simplifica: a) A 4( ) + y B ( + ) y 18 b) A + 4 y + 1 B 6 + y + 1 c) A d + 1 + y 1 n B 4 + y 1 d) A 6( + ) (y + 7) B + (y + 1) a) A + B 4( ) + y + ( + ) y 18 4 1 + y + + 9 y 18 7 1 b) A + B + 4 y + 1 + 6 + y + 1 + + 10 + 8 c) A + B c + 1 + y y y 1 m + + 1 + + + y 1 4 4 4( ) + ( ) + 1 + + 1 4 1 1 d) A + B 6( + ) (y + 7) + + (y + 1) 6 + 1 y 14 + + y + 7 1. Epresa algebraicamente. a) La edad de Alberto dentro de años, si hoy tiene años. b) La cantidad que se obtiene al invertir euros y ganar el 11 %. c) Por un ordenador y un reproductor de música se pagan 00. Si el ordenador cuesta euros, cuánto cuesta el reproductor de música? d) Se compra un artículo por euros y pierde el 1 % de su valor. Cuánto costaría ahora? e) El perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide cm, un cateto, los / de la hipotenusa, y el otro cateto, cm menos que esta. f ) Los lados iguales de un triángulo isósceles de 4 cm de perímetro, si el desigual mide cm. a) Edad actual de Alberto. Dentro de años tendrá +. b) Inversión Ganancia de un 11% 8 I.V. es 111, Cantidad obtenida 111, c) Ordenador Equipo de música 00 d) precio de compra 4 Pérdida del 1% 8 I.V. es 08, Precio final 08, e) Los lados son: Hipotenusa ; Catetos y Perímetro + + 1 f) longitud del lado desigual Por tanto: 4 medirá cada uno de los lados iguales. 0
. Epresa algebraicamente y simplifica cada epresión obtenida: a) El área de una lámina rectangular de bronce cuya base mide / de su altura. b) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 y 9. c) El área de un cuadrado de lado +. d) La diferencia de áreas de dos cuadrados de lados y +, respectivamente. e) La superficie de un jardín rectangular de base metros y perímetro 70 m. f ) El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles si un cateto mide cm, y el perímetro, 4 cm. g) El área de un rombo sabiendo que la longitud de una diagonal,, es el triple de la otra. a) Base Altura Área b) Cuadrado de la hipotenusa (9 ) + (16 ) 81 18 + + 6 + c) Área ( + ) + 6 + 9 d) 8 Área + 0 + 7 Diferencia de áreas ( + ) 8 Área ( + ) + 6 + 9 6 + 9 e) Perímetro 70 m Semiperímetro m Altura Área ( ) f) Sea h la hipotenusa del triángulo. Podemos epresar su cuadrado de dos formas distintas: h 1. Como el triángulo rectángulo h +. Además, como el perímetro es 4, h 4, luego: h (4 ) 76 + 4 96 g) Diagonal menor 4 8 Área Diagonal mayor. Epresa algebraicamente cada enunciado: a) El cuadrado de la diferencia de dos números. b) La suma de los cuadrados de dos números. c) La diagonal de un rectángulo de dimensiones e y. d) El coste de la mezcla de dos tipos de café, cuyos precios son 8 /kg y 10 /kg. e) El dinero que tengo si llevo monedas de y de 0 céntimos. a) ( y ) b) + y c) + y 8 + 10y d) + y e) + 0,0y 1
Página 87 Resuelve problemas 4. Epresa algebraicamente el área de esta corona circular: + A π( + ) π π( + 4 + 4 ) 4π( + 1). Epresa algebraicamente el perímetro y el área de este trapecio rectángulo: h 4 + Perímetro + + + + 4 + 1 ( + 6) A + + 4 ( + ) 4 + 6 6. Observa la figura y epresa algebraicamente: a) El área del triángulo. b) El radio de la semicircunferencia. c) El área de la zona coloreada. a) A triángulo ( + ) + b) El radio de la semicircunferencia es la mitad de la hipotenusa del triángulo rectángulo. r 1 ( ) 1 + + + 4 + 4 + + c) A zona coloreada A semicírculo A triángulo π 1 ( + + ) + πe + + o + 4 7. Dos números suman 40. Epresa algebraicamente la suma del menor más la raíz cuadrada del mayor. Si un número es, el otro es 40. Consideramos, por ejemplo: número mayor, Suma del menor más la raíz cuadrada del mayor 40 + 40 número menor +
8. El cateto de un triángulo rectángulo isósceles es longitud de la hipotenusa y simplifica. y 1 y 1 h e y 1 o y 1 y + e o e 1 o y y h e 1 o 1 y 1. Epresa algebraicamente la 9. Un grupo de estudiantes alquilan un piso por 700 al mes. Se apuntan más para alquilarlo. Epresa algebraicamente la diferencia de precio en ambos casos (con el grupo inicial y con más). estudiantes alquilan un piso por 700 al mes cada uno paga Si fueran + estudiantes, cada uno pagaría 700 + Diferencia de precio 700 700 700( + ) 700 + ( + ). 1400 ( + ) 700. 40. Un grupo de amigos queda para comprar un regalo por 7,60. Tres de ellos se presentan sin dinero. Epresa algebraicamente el sobrecoste que eso supone para los demás. amigos pagan por un regalo 7,60 cada uno pone Si fueran menos ( ), cada uno pondría Diferencia de precio 7, 60. 7, 60. 7, 60 7, 60 7, 60 7, 60( ) ( ) 6, 8 ( ) 41. En una parcela de lados e y se construye una casa en la zona que se indica en el dibujo. 0 m CASA 0 m y Epresa, en función de e y, el área de la zona no edificada. A casa ( 0)( y 0) A zona no edificada y ( 0)( y 0) 0y + 0 100
4. Completa las tablas en tu cuaderno y epresa algebraicamente, con una igualdad, cada enunciado: a) Dentro de dos años, mi padre tendrá el doble de mi edad. yo mi padre hoy y dentro de años b) Si te doy 4, entonces tendrás 1 más que yo. yo tú tenemos y te doy 4 a) y + ( + ) yo mi padre hoy y dentro de años + y + y + + 4 y + b) y + 4 ( 4) + 1 yo tú tenemos y te doy 4 4 y + 4 y 4 + 1 4 y 7 4
Curiosidades matemáticas Refleiona y eprésate utilizando el lenguaje algebraico Piensa en tres dígitos de forma que, al menos, dos de ellos sean distintos. Por ejemplo,, 8 y. El número mayor 8 El número menor 8 La diferencia 8 8 49 Forma con ellos el mayor número posible y z Forma con ellos el menor número posible z y Réstalos y z z y Comprueba que la diferencia es siempre múltiplo de 9 y de 11 y que sus cifras suman 18. Demuestra, utilizando el lenguaje algebraico, que las observaciones anteriores resultan ciertas para cualquier trío de cifras,, y, z, siendo > z. ayuda: Los números de tres cifras se codifican algebraicamente así: y z 100 + 10y + z z y 100z + 10y + y z z y (100 + 10y + z) (100z + 10y + ) 99 99z 99( z) La diferencia siempre es múltiplo de 99 y, por tanto, lo es de 9 y de 11.