Unidad 3 Polinomios 1

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1 Unidad Polinomios 1 PÁGINA 49 ACTIVIDADES INICIALES 1 Encuentra los valores numéricos de las siguientes epresiones para los valores que se indican: aa) ) - 4; - bb) ) y - 5; -1, y cc) ) ( - ) ; 5 dd) ) ; 5 Sustituimos la variable por su valor: aa) ) (-) bb) ) (-1) cc) ) (5 ) 9. dd) ) Un amigo me dijo: ÿpiensa un número. Añádele 15. Multiplica por tres el resultado. A lo que te dé, réstale 9. Divide por. Resta 8. œcuál es el número que obtienes?ÿ Yo le dije: ÿÿ. Mi amigo me respondió instantáneamente: ÿel número que pensaste fue 8Ÿ. œcómo consigue mi amigo averiguarlo tan deprisa? Sea el número pensado. Las instrucciones traducidas a lenguaje algebraico son: Añade 15 al número Multiplica por el resultado ( + 15) Resta nueve Divide por + 1. Resta Como el resultado final es siempre 4 más que el número, si te dan el resultado final ( en nuestro caso), basta restar 4 para saber el número elegido ( 4 8). PÁGINA 51 ACTIVIDAD para resolver 1 Asocia cada uno de los siguientes enunciados con su epresión algebraica correspondíente: 11.. El doble de la suma de dos números. aa) ) (a + b + c).. El duplo de un número menos 5. bb) ) (a + b).. La media aritmética de dos números. cc) ) n, n + 1

2 Unidad Polinomios 44. El duplo de la suma de dos números menos cuatro. dd) ) a (b + c) 55.. Un número es el triple de la suma de otros dos. ee) ) a + b 66.. Dos números enteros consecutivos. f) a Al doble de mi edad le suman seis. gg) ) (a+b)/ 88.. El cuadrado de la suma de tres números. hh) ) La suma de los cuadrados de dos números. i) (a + b) - 4 Los emparejamientos son : 1. b). f).g) 4. i) 5. d) 6. c) 7. h) 8. a) 9. e) Calcula los valores numéricos de las siguientes epresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican: aa) ) a +ab+b ; para a 1 y b bb) ) a + b ; para b 1 y c 5 aa) ) bb) ) PÁGINA 54 ACTIVIDAD para resolver 1 Escribe dos polinomios en cada uno de los siguientes apartados: aa) ) Trinomio de grado ordenado. bb) ) Polinomio completo y ordenado. cc) ) Binomio de grado. dd) ) Polinomio de grado 5 no ordenado y completo. aa) ) + 5. Tres términos ( trinomio) y el de mayor grado de tercer grado. bb) ) Grado 5, ordenado y todos los grados. cc) ) +5. Dos términos y el de mayor grado, de segundo grado dd) ) Seis término desde grardo 5 a grado 0 ( término independiente) pero sin orden.

3 Unidad Polinomios PÁGINA 55 ACTIVIDAD para resolver 1 Dados los polinomios A() , B() y C() , calcula: aa) ) A() - [B() + C()] bb) ) A() - B() + C() cc) ) A() - B() - C() aa) ) Hacemos primero sumas y restas colocando los términos en disposición vertical y haciendo coincidir los de igual grado: B() 4 + C() B() + C() 4-1 A() [B() + C()] A() [B() + C()] Ahora disponemos las operaciones en horizontal, reduciendo términos semejantes: A() [B() + C()] A() B() - C() ( ) ( 4 + ) ( ) ( ) + ( ) + ( + ) + ( - + ) + ( 1 + 1) bb) ) A() B() + C() ( 4 + ) cc) ) A() B() - C() ( 4 + )- ( ) PÁGINA 57 ACTIVIDAD para resolver 1 Realiza las potencias indicadas: aa) ) ( + ) bb) ) ( + 6) cc) ) ( 6) dd) ) ( + 6) ee) ) ( + ) f) ( 6) gg) ) ( ) hh) ) ( + 1) i) i) ( + 1)

4 Unidad Polinomios 4 aa) ) ( + ) ( + ) ( + ) {propiedad distributiva del producto respecto de la suma} ( + ) + ( + ) { reduciendo términos semejantes} bb) ) ( + 6) ( + 6) ( + 6) ( + 6) + 6( + 6) c) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) - 6( 6) dd) ) ( + 6) ( + 6) ( + 6) ( + 6) ( + 6) [ ( + 6) + 6( + 6)] ( + 6) [ ] ( ) + 6( ) ee) ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) [ ( + ) + ( + )] ( + ) [ ] ( + )[ ] ( ) + ( ) f) f) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) [ ( 6) 6( 6)] ( 6) [ ] ( 6) ( ) ( ) 6 ( ) gg) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( )-( )] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) - ( ) hh) ) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) + ( + 1) - ( + 1) i) i) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) ( ) ( ) + ( ) - ( ) Dados los polinomios A() + ; B() y C() 4 +, efectúa: aa) ) A() [B() + C()] bb) ) B() [A() + C()] cc) ) C() [A() + B()] dd) ) A() [B() C()] aa) ) bb) ) cc) ) dd) ) Dados los polinomios A() + 1; B() + 7 y C() aa) ) Calcula los valores numéricos de los polinomios cuando, es decir A(), B() y C().

5 Unidad Polinomios 5 bb) ) Calcula A() B(); A() C(); B() C(); A() B(); A() C() y B() C() y compara los resultados con A(), B() y C(). aa) ) Para hallar el valor numérico de un polinomio P() cuando a, que simbolizamos por P(a), se sustituye la variable por a y se realizan las operaciones, luego : A() B() C() bb) ) Hallamos primero los productos A() B() A() C() B() C() Ahora los valores numéricos de los productos sustituyendo por y comprobamos que el resultado es el mismo que al multiplicar los valores numéricos correspondientes: A() B() A() C() B() C() PÁGINA 59 1 Efectúa las siguientes operaciones utilizando las igualdades notables: aa) ) ( - ) bb) ) ( + ) ( - ) cc) ) ( + ) dd) ) ( + ) ee) ) ( - 6) f) f) ( + ) gg) ) ( + ) ( - ) hh) ) ( - ) i) i) ( + 6) Igualdades notables: Cuadrado de un binomio: (a +b) a + a b + b Suma por diferencia : ( a + b) (a b) a b Cubo de un binomio : ( a + b) a + a b + a b + b aa) ) ( ) + (-) + (-) bb) ) ( + ) ( ) 9. cc) ) ( + ) dd) ) ( +) () + () ee) ) ( 6 ) ( ) + ( ) (-6) + (-6)

6 Unidad Polinomios 6 f) ( + ) gg) ) ( + ) ( ) ( ) hh) ) ( ) () + () (-) + ( ) (-) + (-) i) ( + 6) ( ) + ( ) (6) + (6) ( ) Completa los huecos en las igualdades siguientes: aa) ) ( + ) bb) ) ( - 5) cc) ) 16 - (4 - ). ( + 5) dd) ) a (5a - ) - a aa) ) () ( + 4 ) bb) ) () () () ( 5) cc) ) 16 5 (4 5 ). (4 + 5) dd) ) a (5a - 1 ) 15a - a Factoriza las siguientes epresiones algebraicas: aa) ) bb) ) cc) ) 1a - 1a + a dd) ) 4-1 aa) ) {etraemos factores comunes} (5 ). bb) ) { a +ab +b (a + b) } ( + 5) cc) ) 1a - 1a + a a a + a { etrayendo factores comunes} a( + 1) { producto notable} a( 1) dd) ) 4 1 ( ) 1 {diferencia de cuadrados suma por diferencia} ( + 1) ( 1) { 1 vuelve a ser una diferencia de cuadrados } ( + 1) ( + 1)( 1). PÁGINA 60 ACTIVIDADES DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE 1 Epresa en lenguaje algebraico, las siguientes epresiones referidas a la base, b, y la altura a, de un rectángulo: aa) ) La base es doble que la altura. bb) ) La altura es a la base como 7 es a.

7 Unidad Polinomios 7 cc) ) La base y la altura difieren en 8 unidades. dd) ) La base es /5 de la altura. ee) ) La altura ecede en 7 unidades a la base. f) El área del rectángulo es 6 cm. Epresa, en cada uno de los casos, el perímetro del rectángulo. aa) ) Base Doble(altura), sustituyendo cada variable por su símbolo: b a. Altura 7 a 7 7 bb) ) a b a 7b. Base b cc) ) Base Altura 8; b a 8, b a + 8 y a b - 8. dd) ) Base Altura b a 5b a. 5 5 ee) ) Altura base + 7; a b f) Área b a; 6 ab b. a Como el perímetro es P a + b, tenemos en cada caso: aa) ) P a + b a + (a) a + 4a 6a, y en función de b: b P a + b + b b + b b 6 14a + 6a 0 bb) ) P a + b a + a a + a a P a + b b + b b + b b. cc) ) P a + b a + (a +8) a + a a (a + 4). P a + b (b 8) + b b 16 + b 4b 16 4( b 4). 6 10a + 6a 16 dd) ) P a + b a + a a + a a b + 6b 16 P a + b b + b b + b b.. ee) ) P a + b a + (a - 7) a + a a 14 (a 7). P a + b (b + 7) + b b b 4b + 14 (b + 7). 6 5 a f) f) + 5 P a + b a + a +. a a a 6 5 b + 5 P a + b + b + b. b b b Calcula los valores numéricos de las siguientes epresiones algebraicas para y 4: aa) ) ( +)/ bb) ) 4-5 cc) ) Se sustituye la variable para hallar los valores numéricos aa) ) P () ; P(4) 10.

8 Unidad Polinomios 8 bb) ) P() ; P(4) cc) ) P() ; P(4) Epresa en lenguaje algebraico o simbólico los siguientes enunciados: aa) ) Un hotel tiene doble número de habitaciones dobles que de sencillas. bb) ) El cuadrado de la suma de tres números consecutivos. cc) ) La suma de tres números naturales consecutivos. dd) ) El área de un triángulo es base por altura dividido por dos. ee) ) La diferencia de dos números dividida por 5. f) El doble del producto de dos números. aa) ) Sea y nº de habitaciones dobles y nº de habitaciones sencillas Como habitaciones dobles Doble( habitaciones sencillas), y. bb) ) Sea n número menor, el primero, el segundo será n +1 y el tercero (n +1) + 1 n + ya que son consecutivos. Como (primero + segundo + tercero) (n + n n + ) (n + ) (n +1) 9(n + n + 1 ) 9n + 18n + 9. cc) ) Es válida la nomenclatura del ejercicio anterior, luego la suma es n + n+ 1 + n + n + ( n + 1). y dd) ) Nominamos: Base y altura y, luego Área Base altura / y/. ee) ) Sea : el número menor, el mayor y, luego su diferencia dividida por 5es (y )/5. f) f) Doble del producto de dos números y. 4 Determina los valores numéricos de las epresiones siguientes para los valores de las variables que se indican: aa) ) a b ; a 1, b -1 bb) ) / + y + z ; - 4, y, z - cc) ) ( + y 1)/( +y); -1, y 4 dd) ) a + 4bc; a -1, b, c 18 Sustituimos las variables por sus valores: aa) ) 1 1 (-1) bb) ) ( ) cc) ) ( 1) + ( 1) 4 1 ( 1)

9 Unidad Polinomios 9 dd) ) Asocia cada epresión algebraica con su enunciado correspondiente: aa) ) y 11) ) El triple de la suma de un número más cuatro. bb) ) + 4 ) ) Suma de tres pares naturales consecutivos. cc) ) 10 + y ) ) La diferencia de los cuadrados de dos números. dd) ) + ( + ) + ( + 4) 44) ) Un número de dos cifras. ee) ) (- y) 55) ) La suma de tres impares naturales consecutivos. f) ( + 4) 66) ) El cuadrado de la diferencia de dos números. gg) ) (+ 1) + (+ ) + (+ 5) 77) ) El triple de un número más cuatro. 6 Escribe un monomio en la indeterminada que cumpla las condiciones que se epresan en cada uno de los siguientes casos: aa) ) De grado y coeficiente - 4. bb) ) De grado cero y coeficiente 1. cc) ) Semejante a 4 y de coeficiente. dd) ) De grado y coeficiente 1/. aa) ) 4 bb) ) cc) ) dd) ) 7 Efectúa las operaciones siguientes con los monomios dados: Suma Diferencia Producto Cociente A() B() A() + B() A() B() A() B() A() : B() (-7) +7 () (-7) (-1 ) (4 )

10 Unidad Polinomios 10 8 En el dibujo se muestra el Tangram Pitagórico. Encuentra los monomios que dan el área de cada una de las siete piezas de este tangram, sabiendo que el cuadrado que forman las mismas tiene de lado. Comprueba que la suma de estas áreas coincide con el área del citado cuadrado. Área l () 4. Monomio I Monomio II ( triángulo) Monomio VII basealtura Monomio IV. Monomio III Monomio V Mitad de los anteriores /4. Monomio VI Doble del II. 1 Suma Monomio I + Monomio II + Monomio III + Monomio IV + Monomio V + Monomio VI Monomio VII Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios, para los valores que se indican: aa) ) para 0, 1 y - bb) ) para 1, -1 y cc) ) para 0, y 4 dd) ) /4+ / para 1, y 1/ aa) ) P(0) P(1) P(-) (-) 4 (-) 1 (-) + (-) bb) ) P(1) P(-1) (-1) 1 (-1) + 41 (-1) P() cc) ) P(0) P() P(4) dd) ) P(1) P() P(1/) Opera y simplifica las siguientes epresiones: aa) ) ( ) ( 7) ( )

11 Unidad Polinomios 11 bb) ) ( ) + ( ) ( ) cc) ) aa) ) (4 1) + ( ) + (1 + 1 ) + ( ) bb) ) cc) ) Realiza las siguientes multiplicaciones: aa) ) ( - +1) (+4) bb) ) ( ) ( + + 1) cc) ) ( ). ( - ) aa) ) ( + 1) + ( + 1) bb) ) (5 4 + ) + (5 4 + ) + (5 4 + ) cc) ) ( 4 7 ) + ( 4 7 ) (-) Dados los polinomios A() y B() aa) ) Calcula la diferencia C() A() - B() bb) ) Comprueba que A() B() + C() cc) ) Calcula los valores numéricos de los polinomios cuando, A(), B() y C() y comprueba que C() A() - B() aa) ) C() A() B() 7 4 ( ) bb) ) B() + C() A(). cc) ) A()

12 Unidad Polinomios 1 B() C() C() A() B() Efectúa los siguientes productos: aa) ) ( + ) ( + ) bb) ) ( + ) ( - ) cc) ) ( - ) ( -) dd) ) (+) (-) (-) aa) ) ( + ) ( + ) ( + ) bb) ) ( + ) ( ) 9. cc) ) ( ) ( ) ( ) dd) ) ( + ) ( ) ( ) ( 9) ( ) Calcula el área de cada una de las siguientes figuras: Área del triángulo basealtura ( + )( 5) B + b ( + 4) + ( ) ( + ) Área del trapecio h ( ) ( ) ( + 1)( ) ( + 1)( ) + Área de la corona circular π ( R r ) π( R + r) (R r) π( ) ( ) π( + )( + 8) π( ) π( ) 1 5 Efectúa las siguientes operaciones utilizando las igualdades notables: aa) ) ( + ) bb) ) ( - 5) ( + 5) cc) ) ( - ) dd) ) f) f) ee) ) 1 +

13 Unidad Polinomios 1 aa) ) ( + ) () + () bb) ) ( 5) ( + 5) 5 5. cc) ) ( ) ( ) + ( ) (-) + (-) ) 1 ( ) dd) ( ) ee) ) f) Descompón en factores los polinomios siguientes: aa) ) -7 bb) ) cc) ) 7-8 dd) ) ee) ) f) f) gg) )16-4 hh) ) i) + + /4 j) j) 9 4/9 kk) ) + y + z + yz I) I) 6 + y - a - ay aa) ) 7 ( 7). bb) ) ( + 4), un producto notable. cc) ) 7 8 7( 4) 7 ( ) 7 ( + ) ( ), después de etraer factor común, queda una diferencia de cuadrados que es suma por diferencia. dd) ) ( ) (5 (5)() +() ) (5 ). ee) ) ( + + 1). f) () + () (-1) + ()(-1) + (-1) ( 1), aplicando, a la inversa la fórmula del cubo de un binomio. gg) ) ( ) ( 4 + )(4 ) ( + 4) ( ) ( + 4) ( + )( ), hemos utilizado dso veces la diferencia de cuadrados. hh) ) ( ) (( ) + ( )(-) + (-) ) ( ), cuadrado del binomio diferencia. i) i)

14 Unidad Polinomios 14 ) ( ) j) j kk) ) + y + z + yz ( + y) + z( + y) ( + y)( + z), que es una doble etracción de factores comunes. l) 6 + y - a ay ( + y) a( + y) ( + y) ( a). 1 7 Efectúa las siguientes operaciones con polinomios: aa) ) ( )( - 5) bb) ) ( - )( +1 ) (+) cc) ) ( - + )( - 1) +( + 5)( - ) dd) ) 4( - 1( + 1)[( + 1) - ( - 1) ] Señalamos en negrita la operación que realizamos en cada paso. aa) ) ( 5 + )( 5) ( ) ( ) bb) ) ( ) ( +1) ( + ) ( 4) ( + 1) ( 4) ( ) cc) ) ( + )( 1) + ( + 5) ( ) ( + + ) + ( + 5) ( ) ( ) dd) ) ( 1)( + 1) [ (+1) ( 1) ] 4( 9 1) [ ( ) - ( )] 6 4 ( ) (1) Como puedes leer en la introducción de esta unidad didáctica, el polinomio A() produce números primos para valores de desde 0 hasta 40 y el polinomio B() produce a su vez números primos para valores de desde 0 hasta 79. aa) ) Comprueba que A(0), A(40), B(0), B(79), A(15) y B(56) son primos. bb) ) œson primos o compuestos los números A(41) y B(80)?, compruébalo. cc) ) Calcula los cocientes: A(4) : 41; B(81) : 41 ( recordamos que para poder asegurar que un número es primo hay que ir dividiendo por los sucesivos números primos menores hasta obtener un cociente menor que el divisor, si no hemos obtenido un cociente eacto, podemos asegurar que el número es primo) aa) ) A(0) Comprobemos que el 41 es primo: no es par, tampoco divisible por ( la suma de sus cifras es 5 ), ni múltiplo de 5 pues no termina ni en 0 ni en 5, al dividir por 7 da de cociente 5, luego es primo.

15 Unidad Polinomios 15 A(40) Para comprobar si es primo vamos dividiendo por los sucesivos números primos: - No es par ( divisible por ). - No es múltiplo de ( la suma de sus cifras es 8 que no es múltiplo de ). - No es divisible por 5, pues no termina ni en 0 ni en 5. - No es divisible por 7 ( cociente 8, resto 5). - No es múltiplo de 11( , y no es múltiplo de 11). - No es divisible por 1( cociente 1, resto ). - No es divisible por 17( cociente 94, resto ). - No es divisible por 19( cociente 84, resto 5). - No es divisible por ( cociente 69, resto 14). - No es divisible por 9( cociente 55, resto 6). - No es divisible por 1( cociente 51, resto 0). - No es divisible por 7 ( cociente 4, resto 10). - No es divisible por 41( cociente 9, resto ). Luego podemos asegurar que A(40) es primo. B(0) y acabamos de comprobar que es primo. B(79) 79 79(79) , que ya sabemos que es primo. A(15) Para comprobar si es primo vamos dividiendo por los sucesivos números primos: - No es par ( divisible por ). - No es múltiplo de ( la suma de sus cifras es 8 que no es múltiplo de ). - No es divisible por 5, pues no termina ni en 0 ni en 5. - No es divisible por 7 ( cociente 5, resto 6). - No es múltiplo de 11( + 1, y 5 no es múltiplo de 11). - No es divisible por 1( cociente 19, resto 4). - No es divisible por 17( cociente 14, resto 1). Luego podemos asegurar que A(15) 51es primo. B(56) Para comprobar si es primo vamos dividiendo por los sucesivos números primos: - No es par ( divisible por ). - No es múltiplo de ( la suma de sus cifras es 7 que no es múltiplo de ). - No es divisible por 5, pues no termina ni en 0 ni en 5. - No es divisible por 7 ( cociente 44, resto 5). - No es múltiplo de 11( + 6, y no es múltiplo de 11). - No es divisible por 1( cociente 4, resto 1). - No es divisible por 17( cociente 18, resto 7). - No es divisible por 19( cociente 16, resto 9). Luego podemos asegurar que B(56) 1 es primo.

16 Unidad Polinomios 16 bb) ) cc) ) A(41) que no es primo pues divisible por 41 ( es 41 ). B(80) como hemos visto. A(4) , luego A(4) : : B(81) , luego B(81) : : 41 4 como el anterior. 1 9 Un problema antiguo. Nicolás Chuquet, considerado como el más brillante matemático del siglo v, nos legó este problema: Un comerciante salió de su casa a visitar tres ferias. En la primera duplicó el dinero que llevaba y se gastó 0 monedas. En la segunda triplicó el dinero que tenía y desgraciadamente perdió 54 monedas. En la tercera multiplicó todo el dinero que le quedaba por 4 y se gastó 7 monedas, con lo cual se quedó sin dinero. Escribe la epresión algebraica que nos da el dinero con el que sale de cada feria y calcula con cuántas monedas salió de su casa. Monedas que llevaba al salir de casa Primera feria Duplica el dinero y se gasta 0 0. Segunda feria Triplica el dinero que tenía y pierde 54 ( 0) Tercera feria Multiplica el dinero por 4 y gasta 7 monedas 4(6 144) 7. Como después de la tercera feria se queda sin dinero ha de ser 4(6 144) 7 0, ecuación que resolvemos: ; 4 648; 648/4 7 monedas tenía al principio. Primera feria Duplica el dinero y se gasta Segunda feria Triplica el dinero que tenía y pierde Tercera feria Multiplica el dinero por 4 y gasta 7 monedas Con lo que comprobamos la solución y decimos el dinero que tenía en cada feria. 0 Halla el valor de a para que sean ciertas cada una de las igualdades siguientes: aa) ) ( 5 )( + a) bb) ) P(1) 0 siendo P() a cc) ) ( -1) + a ( + 1) dd) ) - 5 y + 5y ( + a)( - y) aa) ) Multiplicamos y después comparamos los dos miembros de la igualdad. ( 5) ( + a) + a 15 5a , para que se cumpla la igualdad ha de ser a.

17 Unidad Polinomios 17 bb) ) P(1) a 0, a 0; a - 4. cc) ) ( 1) + a a 4 + (a ) ( + 1), luego igualando sumandos a y por tanto a 4. dd) ) ( + a)( y) y + a ay 5 y + 5y, luego a 5. 1 Demuestra las afirmaciones siguientes: aa) ) La suma de un número de cuatro cifras y del que resulta de invertir estas es siempre múltiplo de 11. Ejemplo: bb) ) La diferencia entre el cuadrado de un número de dos cifras y el cuadrado del número que resulta de invertir las cifras del dado es siempre múltiplo de 11. Ejemplo: aa) ) Sea el número de cuatro cifras yzt y + 10z + t, descompuesto en notación del sistema de numeración decimal. El número que resulta de invertir sus cifras es tzy 1000t + 100z + 10y +. Si sumamos los dos números tendremos: y + 10z + t t + 100z + 10y y +110z t 11( y + 10z + 91t) que al ser uno de los factores 11, es múltiplo de 11. bb) ) Número de dos cifras y 10 + y. Número invertido y 10y +, luego: (y) (y) (10 + y) (10y + ) y + y 100y 0y 99 99y 99( y ) 9 11 ( y ), en donde, como uno de los factores es 11, será múltiplo de 11. Toma un número de dos cifras, por ejemplo 59, multiplícalo por y obtienes œocurre esto con cualquier número de dos cifras? justifica la respuesta. Sea un número de dos cifras y, si lo multiplicamos por , tenemos: y y( ) y y y yyy