RESOLUCIÓN SEGUNDO PARCIAL Recursada 016 1) Explique cómo se halla el algoritmo de control discreto recursivo, u(k), para un controlador PID con la disposición de sus acciones como se indica en la Figura 1: r(k) e(k) u(k) y(k) Acción "I" Planta Acción "P" Acción "D" Figura 1 Suponer que los coeficientes a emplear en el desarrollo se obtienen de valores tabulados en función de ensayos tipificados para la planta a controlar. La frecuencia de muestreo es mucho mayor que la más alta frecuencia presente en los espectros de las señales a muestrear. Utilizar una aproximación trapezoidal para la integral. La expresión de la señal de control para un sistema continuo con la disposición mostrada sería la siguiente: 1 dy( t) u( t) K p. e( t) dt y( t) d. i dt Para el sistema discreto mostrado la expresión resultaría similar pero reemplazando la integral y la derivada por sus expresiones discretas. k e( i) e( i 1) dy() t y( k ) y( k 1) e( t) dt. i0 dt Entonces el algoritmo de control discreto resulta: k e( i) e( i 1) d u( k ) Kd y( k ) y( k ) y( k 1) i i0 Esta forma tiene el problema de saturación del término integral (wind up) entonces se utiliza la forma de velocidad en donde se calcula u(k) u(k1) e( k) ek 1 d u( k) u( k 1) Kd y( k) y( k 1) y( k) y( k 1) y( k ) i Agrupando los términos: Kd Kd d d d u( k) u( k 1) e( k) ek 1 Kd 1 y( k) Kd 1 y( k 1) Kd y( k ) i i Se puede reescribir el algoritmo haciendo que e(k)=r(k) y(k) y poniéndolo en función de r(k) e y(k).
) Dado el sistema realimentado de la Figura. R(s) e s1 e s. Figura C(s) N(s) G(s) = k 1 /s(sa). r(t) : entrada de referencia. n(t) : entrada de perturbación y(t) : salida odas las constantes son reales y positivas. Halle la matriz de transferencias del sistema. Empleando diagramas de Bode, explique cómo analizar la estabilidad del sistema indicado. Explique los efectos de 1 y sobre los márgenes de ganancia y fase. Resolución: Para calcular la matriz de transferencias, se aplica el principio de superposición. Entonces queda: s1 s( 1 ) C( s) G( s) e Cs () K G() s e G1 () s y G s( 1 ) () s R( s) 1 K G( s) s( 1 ) e N( s) 1 K G( s) e La salida se puede escribir como: C( s) G ( s) R( s) G ( s) N( s) G ( s) G ( s) Entonces, la matriz de transferencia queda: Rs () Ns () 1 1 G G() s e G ( s) K G() s e s1 s( 1 ) () s s( 1 ) s( 1 ) 1 KG( s) e 1 KG( s) e Para analizar la estabilidad por diagrama de Bode, se utiliza la transferencia de lazo abierto, GH(s). s( 1 ) KK 1 s( 1 ) En este caso: GH ( s) K G( s) e e s s a Se deben dibujar las curvas de amplitud y de fase. Para este caso en particular, aparece una expresión de retardo cuto valor es 1. Entonces se debe dibujar la curva del cociente y a esta sumarle la curva correspondiente al retardo. El retardo se debe expresar en módulo y fase cuando s=jel módulo de la exponencial es siempre igual a j ( 1 ) 1 y la fase es lineal con la frecuencia, por lo tanto la expresión se puede escribir como: 1. e Entonces el módulo de la transferencia GH, no se ve afectado por la presencia del retardo, pero si la fase. La fase total de la transferencia de lazo abierto se calcula en este caso como: 180º 90º arctg 1 a Como todos los polos están en el semiplano izquierdo, para que el sistema sea estable el margen de fase debe ser positivo. Esto quiere decir que a la frecuencia en la cual el módulo es igual a 1 (0dB), la fase debe ser superior a 180º. Como la fase del retardo no puede ser dibujada en forma asintótica, el grafico de fase resulta difícil de realizar. Entonces, el análisis de estabilidad se puede realizar de la siguiente forma: a) Se realiza la representación de módulo y fase de la transferencia si considerar el retardo. b) Se analiza el margen de fase en estas condiciones. 180º c) Para que el sistema total resulte estable se debe cumplir que: M SIN 0 1, donde REARDO 0 es la frecuencia de 0 db.
Si se cumple esta condición el margen de fase total seguirá siendo positivo. Se puede calcular el retardo máximo admisible como: 1 M MAX SIN REARDO 180º 0 Para este caso en particular, las gráficas de módulo y fase, sin retardo, quedan: =a 0dB 90º 0 K K /a 1 180º M Como el sistema sin retardo es de segundo orden, el margen de fase será siempre positivo. Sin embargo a medida que aumenta la frecuencia el margen es menor y la fase que aporta el retardo es mayor. Por lo tanto el sistema tiene mayor probabilidad de hacerse inestable cuanto mayor sea la ganancia. El efecto del retardo ( 1 ) es el de atrasar la fase, por lo tanto a medida que el retardo aumenta, el margen de fase y el margen de ganancia se achican al punto de poder hacer inestable al sistema. 3) El diagrama de la figura representa un sistema de control de lazo cerrado. La respuesta de amplitud y fase de G(s) se muestra en la Figura 3(Hoja adjunta). R(s) K G(s) C(s) a) Hallar la función de transferencia G(s). b) Determinar los valores de la ganancia K que hacen estable al sistema a lazo cerrado. c) Bosqueje en forma cualitativa el diagrama de Nyquist correspondiente y señale la zonas en las que deben encontrarse los puntos (/ 1) para que el sistema resulte estable. Resolución: Las singularidades se pueden extraer del diagrama de Bode, analizando el cambio de pendiente en el módulo y viendo la tendencia del cambio de fase. Como la pendiente inicial es 0 db/dec existe un polo en s=0. La primera transición de pendiente se produce en =1, la singularidad es un cero pero como la fase disminuye, corresponde al semiplano derecho por lo tanto hay un cero en s=1. La segunda transición de pendiente se produce en =10, la singularidad es un polo. En este caso la fase sigue disminuyendo por lo tanto, corresponde al semiplano izquierdo, entonces hay un polo en s=10. La tercer transición de pendiente se produce en =100, la singularidad es un polo. En este caso la fase sigue disminuyendo por lo tanto, corresponde al semiplano izquierdo, entonces hay un polo en s=100.
Finalmente, la última transición de pendiente se produce en =1000, la singularidad es un cero. En este caso la fase está aumentando y por lo tanto, corresponde al semiplano izquierdo, entonces hay un cero en s=1000. Para determinar el valor de ganancia se puede operar de la siguiente forma: se traza la proyección de la pendiente inicial (0 db/dec) hasta el cruce con 0 db. Esta proyección sería equivalente a graficar una K K transferencia G( j). Por lo tanto el cruce con 0 db =1 ocurre cuando G( j) 1. Por lo tanto se cumple que: K. En este caso se cumple que 500 K. s 5001s 1 1000 500s1 s1000 Finalmente la función de transferencia queda: Gs () s s ss 10s 100 s 1 1 10 100 Para determinar los valores de K para la estabilidad del sistema, primero se debe determinar en qué zonas el sistema puede ser estable. Para ello se va a usar el diagrama de Nyquist. El diagrama se puede representar, en forma cualitativa, a partir del diagrama de Bode, analizando la tendencia del módulo y representando la variación de fase. El diagrama queda: Im(GH) Zona1 Zona Zona3 Re(GH)
A partir de este gráfico se generan 3 zonas. De la transferencia puede verse que la transferencia de lazo abierto no tiene polos en el semiplano derecho (solo un cero que no cuenta). Por lo tanto P=0. Ahora se analiza los giros alrededor del punto 1j0. Y determinar el valor de N=ZP. En la zona 1 se cumple que N=0 y por lo tanto el sistema resultaría estable. En la zona se cumple que N= y por lo tanto el sistema resultaría inestable. La zona 3 corresponde a valores negativos de K, se cumple que N=1 y por lo tanto el sistema es inestable. En conclusión, el sistema es estable si en el punto donde la fase vale 180º el módulo es menor que 1 (está por debajo de 0 db). Del grafico de bode puede verse que en ese punto la ganancia vale aproximadamente 54dB lo que dá un valor de aproximadamente 500 veces. 1 En consecuencia este sistema resultará estable para valores de K 0.00. 500 4) La planta de un sistema de control discreto como el de la Figura 4, con un período de muestreo de 0.001 seg., puede ser representada mediante la siguiente función de transferencia: z z z z 1 z 0.990 z 0.998 z 0.368 0.00094 0.607 0.819 0.908 Gp() z R(z) Gp(s) C(s) Figura 4 Se desea compensar el sistema mediante un compensador D(z) de modo que el sistema resultante oscile con una frecuencia de 1.6 Hz para una constante de velocidad Kv1000 seg 1. Hallar la transferencia D(z). Dibuje aproximadamente el diagrama de Bode del sistema compensado ( sobre la gráfica de Gp(w)) Nota: Para diseñar el mencionado compensador se aplica a la transferencia dada la transformación z 1 w 000, dando como resultado la siguiente función de transferencia: z 1 5.84 10 w 199w 000w 41480 w 489.1 Gp( w) w w.00 w 10.5 w 94 Cuya respuesta en frecuencia se muestra en la hoja adjunta. Resolución: La condición a para que el sistema cumpla con las especificaciones es tener margen de fase y margen de ganancia cero a la frecuencia de oscilación. Esto se relaciona directamente con la situación en donde se tienen un par de polos imaginarios puros. La frecuencia de interés se debe expresar en rad/seg por lo tanto, 1.6 Hz 10 rad/seg Inicialmente se va a verificar la constante de velocidad Kv. osc
La constante de velocidad se puede extraer del diagrama de Bode, prolongando la pendiente inicial hasta el corte por 0dB. En este caso Kv=10000. O calculándola a partir de la transferencia que da como resultado 9494. Entonces, para cumplir con la ganancia especificada se debe atenuar 10 veces es decir que la curva debe bajas 0 db. El diagrama de bode con la ganancia corregida se muestra a continuación. Ahora se debe cumplir que la fase en 10 rad/seg sea igual a 180º. Para ello debo aumentar la fase aproximadamente 30º. Para ello uso una red de adelanto centrada en 10 rad/seg y que avance 30º. 0 10 rad/seg y MAX 30º. a 1 Además, senmax a 1, entonces a 3. Como 1 0, queda 17.3. a 3s 5.774 La red de adelanto tiene una transferencia: GC1 s 17.3 Ahora, la ganancia en 10 rad/seg aumentó 1.73 veces, aproximadamente 5 db. Entonces en a la frecuencia de oscilación la ganancia es de aproximadamente 30 db. Como no se puede cambiar la constante de velocidad se va a atenuar usando una red de atraso. 0log( a) 30dB entonces a 31.6 Ubico el cero de la red de atraso dos décadas por debajo de la frecuencia de oscilación, para que no modifique la fase en 10 r/s. Por lo tanto: C 0.1 rad/seg entonces el polo se ubica en C P 0.00316 rad/seg a 0.0316 s 0.1 La red de atraso resulta: GC s 0.00316 La curva del sistema compensado es:
Se ve que el sistema compensado tiene margen de fase y margen de ganancia cero en 10 rad/seg. El compensador total queda: 1 1 3s 5.774 0.0316 s 0.1 0.00948 s 5.774 s 0.1 GC GC1 GC 10 10 s 17.3 s 0.00316 s 17.3 s 0.00316 Ahora para hallar D(z) se debe aplicar la transformación BILINEAR : s 000 z 1 z 1 Reemplazando queda Dz ( ) 0.00946( z 0.994)( z 0.9999) ( z 0.988)( z1) Se ve que al ubicar la red de atraso a muy baja frecuencia prácticamente el compensador discreto cancela el polo de esta red con el cero perdiendo este efecto.