Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 21 Clase 21 Tema: Área lateral y área total de un cilindro Actividad 52 1 Lea la siguiente información. Un cilindro y un prisma tienen en común que ambos tienen dos bases congruentes en un par de planos paralelos. En este caso las bases son círculos congruentes. 7 Eje El segmento que une los centros de las bases se llama eje del cilindro. Si el eje es perpendicular a las bases, el cilindro es recto y la altura es la longitud de su eje. Un cilindro recto puede ser considerado como una figura que se forma al hacer que un rectángulo rote y de un giro completo alrededor de uno de sus lados. Radio Bases En las siguientes imágenes se observan varios objetos y una torre que tienen forma cilíndrica. Haga una lista de otros objetos de la vida real que tengan forma cilíndrica. 7 Generatríz 2 a) Tome una hoja de papel rectangular, mida cada uno de sus lados y trate de construir una figura cilíndrica. Es esto posible? b) Qué correspondencia hay entre las dimensiones del rectángulo y las medidas del cilindro construido? y c) Cuál es el valor del área de la superficie con la que se forma el cilindro? x 56 Aulas sin fronteras
Bimestre: III Número de clase: 21 Matemáticas 9 3 Lea la siguiente información. A partir de lo anterior, se puede deducir un procedimiento para determinar el valor del área lateral de un cilindro. Suponga que se tiene un cilindro recto hueco y sin bases de altura h y de radio r en la base. r Perímetro de la base h h h Si al cilindro se le hace un corte por la línea roja y luego se lleva la superficie del cilindro a un plano, se obtiene un rectángulo cuyas dimensiones son la altura y el perímetro de la base del cilindro. Por tanto el área lateral del cilindro se obtiene multiplicando las dimensiones del rectángulo. Área lateral: AL = (2πr)h = 2πrh Al considerar que el cilindro tiene dos bases circulares de área πr 2 cada una, se concluye que el área total del cilindro se obtiene sumando el área lateral más el área de las dos bases, esto es AT = AL + 2B siendo AL = 2πrh y B = πr 2. Base superior B Radio de la base Superficie lateral Al Altura del cilindro Base inferior Longitud de la circunferencia de la base B Área total: AT = 2πrh + 2πr 2 = 2πr(h + r) Aulas sin fronteras 57
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 22 Clase 22 Actividad 53 1 Cuánto metal se requiere para construir una lata como la que se muestra en la figura? 25 cm ATÚN 12 cm 2 En el cilindro recto de la figura, la altura es de 15 cm y el radio de la base es de 4 cm. Determine el área lateral y el área total del cilindro. 4 cm 15 cm 3 Cuál es área total o superficie total de la bobina de acero que se muestra a continuación, sabiendo que el diámetro externo es de 2 metros, el diámetro del espacio vacío es de 0,8 metros y el largo es de 1 metro? 1 m 0,8 m 2 m 58 Aulas sin fronteras
Bimestre: III Número de clase: 22 Matemáticas 9 Actividad 54 1 Un recipiente con forma de cilindro circular recto mide 45 cm de altura y 18 cm de diámetro. Encuentre el área lateral, el área total y el volumen. 8 El valor del volumen de un cilindro se calcula a partir del volumen de un prisma suponiendo que las bases del prisma son circulares. Volumen del prisma V = Bh, B es área de la base y h la altura, entonces B se convierte en πr 2 siendo r el radio de la base. r 8 h V = πr 2 h Cuál será la capacidad de un recipiente cilíndrico que tenga altura h y radio de la base r? 2 Halle el volumen de la bobina de acero del punto 3 de la actividad anterior. Aulas sin fronteras 59
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 22 3 Se desea construir un tambor con una lámina metálica y dos regiones circulares de cuero. La altura del tambor es de 0,5 metros y el radio de la base es 25 cm. Calcule la cantidad de metal y de cuero que debe utilizarse. 4 Calcule el volumen del papel higiénico que hay en el siguiente rollo. 12 cm 2,5 cm 9,5 cm 60 Aulas sin fronteras
Bimestre: III Número de clase: 23 Matemáticas 9 Clase 23 Esta clase tiene video Actividad 55 1 En una compañía de enlatados se utilizan recipientes con forma cilíndrica para empacar arvejas. A continuación se muestran dos tipos de estos recipientes. 6 cm 1 dm 12 cm 1 dm ARVEJAS 4 cm ARVEJAS 8 cm 1 dm Capacidad 1 L Volumen 1 dm 3 a) Cuál de los dos recipientes tiene mayor capacidad? b) Los recipientes son elaborados en hojalata. En cuál de los dos recipientes se utiliza mayor cantidad de superficie de hojalata para su elaboración? c) En cuál de las dos etiquetas se utiliza mayor cantidad de papel, si estas cubren toda la cara lateral del respectivo recipiente? Aulas sin fronteras 61
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 23 2 Una reconocida marca de bebidas refrescantes diseñó una nueva forma de envases para su producto estrella. La capacidad de los envases es 1 3 litro y 1 litro y, el diseño es el mismo para los dos, es 2 decir los envases son semejantes y tienen el mismo diámetro. a) Cuál es la altura de la lata grande si la de la pequeña es de 12 cm? b) Halle la superficie de la base de la lata pequeña si se sabe que la de la grande es de 75 cm 2 C = 1 3 L C = 1 2 L 3 Una empresa empaca pañuelos faciales en cajas de forma cilíndrica de diámetro 24 cm y altura 30 cm. Con el fin de disminuir los costos del empaque se cambiará su presentación y ahora se utilizarán cajas rectangulares de base cuadrada y de la misma altura al empaque anterior. Para que las dos cajas tengan la misma capacidad, cuál debe ser la longitud del lado de la base de la caja rectangular? 24 cm 30 cm 30 cm 62 Aulas sin fronteras
Bimestre: III Número de clase: 23 Matemáticas 9 Actividad 56 1 Si en el recipiente grande hay agua, cuántos recipientes pequeños llenos de agua se deben sacar del recipiente grande para que este quede totalmente vacío? 76 cm 80 cm 8 cm 16 cm 2 Un depósito cúbico de arista 5 metros se encuentra lleno de agua. Si se introduce un cilindro de altura 5 metros y radio de la base igual 2,5 metros, qué porcentaje queda de la cantidad de agua inicial? 5 m Aulas sin fronteras 63
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 24 Clase 24 Tema: Las pirámides Actividad 57 1 Lea la siguiente información Una pirámide es un poliedro en el cual todas sus caras excepto una tienen un vértice común, llamado vértice de la pirámide. La cara que no contiene al vértice es la base de la pirámide. 9 Vértice 9 La pirámide de Keops tiene como medidas aproximadas 230,3 metros de lado (base cuadrada) y 146,6 metros de altura. Las autoridades egipcias, preocupadas por el deterioro de las pirámides, decidieron aplicarles un impermeabilizante sobre las paredes. Arista lateral Altura de la pirámide Cara lateral Altura inclinada de la pirámide Lado de la base Base de la pirámide Apotema de la base Cómo podría determinar, aproximadamente, cuántos metros cuadros de impermeabilizante se requiere para proteger la pirámide? En las pirámides y en los prismas las caras que no son bases son caras laterales. Las aristas que no pertenecen a las bases se llaman aristas laterales. La altura de la piramide es la longitud del segmento perpendicular desde el vértice hasta la base de la pirámide. En las pirámides regulares las caras laterales son triángulos isósceles y la altura de cada una de ellas recibe el nombre de altura inclinada de la pirámide. Las piramides pueden ser regulares, irregulares, rectas u oblicuas. Regulares: si la base es un polígono regular y sus caras laterales son congruentes. Irregulares: si la base no es un polígono regular. Rectas: si todas sus caras laterales son triángulos isósceles y su altura cae en el centro de la base. Oblicuas: aquellas en las que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles. Las piramides tambien se pueden clasificar según la forma de su base. Si su base es un triángulo será triangular, si es un cuadrado será cuadrangular, si es un hexagono sera hexagonal, etc. 64 Aulas sin fronteras
Bimestre: III Número de clase: 24 Matemáticas 9 2 Escriba el nombre de cada pirámide de acuerdo con la clasificación. a) b) c) d) e) f) 3 Escriba las características, comunes y no comunes, que hay entre los dos poliedros que se muestran a continuación. Aulas sin fronteras 65
Matemáticas 9 Bimestre: III Número de clase: 25 Clase 25 Tema: Desarrollo de una pirámide Actividad 58 1 Lea la siguiente información El desarrollo plano de un poliedro consiste en determinar la unión de las superficies que lo limitan. Así el desarrollo de una pirámide de base cuadrada puede ser el siguiente. a) Describa cómo se podría determinar la medida de la superficie total que limita esta pirámide. b) Dibuje un posible desarrollo plano para la siguiente pirámide. 66 Aulas sin fronteras
Bimestre: III Número de clase: 25 Matemáticas 9 Actividad 59 Copie o calque sobre papel milimetrado los desarrollos planos y forme las pirámides dadas. Tenga en cuenta que en el papel milimetrado cada cuadrado negro es 1 cm 2. Aulas sin fronteras 67