UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES Departamento: Matemática Carrera: Analista en Computación ASIGNATURA: Geometría Código: 3327 Profesor Responsable: Prof. Silvia Colombo Equipo Docente: Prof. Silvia Colombo y Prof. Cecilia Elguero Año Académico: 2010 Régimen de la asignatura: cuatrimestral Régimen de regularidad: Para regularizar esta asignatura los alumnos deberán aprobar dos parciales, pudiendo recuperar una vez cada parcial. Asignación de horas semanales: 4 horas de clases teóricas y 4 horas de clases prácticas. Exámenes Parciales: Los exámenes parciales constarán de ejercicios y problemas a fin de evaluar los aspectos prácticos sobre temas de los contenidos de aprendizaje. Examen Final: Para aprobar esta asignatura los alumnos regulares deberán aprobar un examen final escrito que tratará sobre temas de los contenidos de aprendizaje. Objetivos Propuestos: Favorecer el manejo de conceptos básicos del Álgebra Lineal involucrados en los contenidos de este programa. Resignificar conceptos básicos mencionados en el objetivo anterior a través de su uso en Geometría del plano y del espacio. Establecer relaciones entre sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Promover la visualización de subespacios vectoriales de R 2 y de transfomaciones lineales de R 2 en R 2. Favorecer la articulación entre las diferentes representaciones de curvas: definiciones, representaciones algebraicas y representaciones gráficas. Contenidos de Aprendizaje: TEMA 1: Sistemas de ecuaciones lineales y matrices Ecuaciones lineales en n-variables: definición, ejemplos, conjunto solución. Sistemas de ecuaciones lineales: definición, ejemplos, sistemas consistentes e inconsistentes. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: determinación de soluciones posibles,
definición y tamaño de una matriz, matriz aumentada del sistema, método básico de resolución (por sistemas equivalentes), resolución por el método de eliminación de Gauss. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales: definición, ejemplos, determinación de soluciones posibles, determinación de soluciones de sistemas que tienen más ecuaciones que incógnitas. TEMA 2: Matrices y operaciones matriciales Matrices: matriz cuadrada de orden n, matriz nula, matriz identidad, igualdad, suma, resta y multiplicación de matrices, producto de un escalar por una matriz, ejemplos, propiedades. Aplicación de la multiplicación de matrices a los sistemas de ecuaciones lineales: relación entre sistemas y ecuaciones matriciales. Matriz inversible, propiedades. Método para encontrar la inversa de una matriz. Método para resolver sistemas lineales de n por n. Teorema que establece relaciones entre matrices cuadradas de orden n y sistemas de ecuaciones lineales de n por n. TEMA 3: Determinantes Determinantes: Definición de determinante de una matriz cuadrada. Matriz triangular. Evaluación de los determinantes por el método de reducción en las filas. Propiedades. Solución de sistemas lineales en términos de determinantes: regla de Cramer. TEMA 4: Espacio euclideano n-dimensional Espacio euclideano n-dimensional (R n ): Definición de n- upla ordenada. Interpretaciones geométricas de n- uplas ordenadas cuando n= 1,2,3. Definición de vector. Suma de vectores, producto de un escalar por un vector, propiedades de estas operaciones. Producto escalar de dos vectores. Propiedades. Norma de un vector, distancia entre dos puntos. Ejemplos, propiedades. Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Desigualdad triangular para norma. Definición de ángulo entre dos vectores. Ortogonalidad de vectores. Bases ortogonales y ortonormales: definición y ejemplos. TEMA 5: Espacios vectoriales generales Espacios vectoriales sobre R: definición, ejemplos. Subespacios de un espacio vectorial V: definición y ejemplos. Definición de combinación lineal de r vectores de V, ejemplos. Definición de conjunto de r vectores generador de un espacio vectorial V, ejemplos. Definición de subespacio generado por r vectores de V, ejemplos. Dependencia e Independencia lineal de r vectores de V: definición, ejemplos en general y ejemplos que dan una interpretación geométrica de la dependencia lineal en R 2 y R 3. Base y Dimensión: definición de base, ejemplos y propiedades. Espacios vectoriales de dimensión finita e infinita: ejemplos, propiedades. Teorema que establece relaciones entre matrices cuadradas de orden n, sistemas de ecuaciones lineales de n por n y espacios vectoriales.
TEMA 6: Transformaciones Lineales Transformaciones Lineales: definición, ejemplos, definiciones de núcleo y recorrido, ejemplos, propiedades, teorema de la dimensión. Transformaciones lineales de R n en R m : matriz canónica para una transformación, ejemplos, propiedades. Transformaciones lineales de R 2 en R 2 : rotaciones, reflexiones, simetría respecto al origen de coordenadas. Matrices de las transformaciones lineales de un espacio vectorial V en otro W. TEMA 7: Cónicas Parábola, elipse e hipérbola: definición geométrica, ecuación canónica, elementos y propiedades. Traslación de ejes coordenados, determimación de ecuaciones de parábolas con vértice en cualquier punto (h,k), elipses e hipérbolas con centro en cualquier punto (h,k) y ejes cualesquiera. Formas Metodológicas de Enseñanza y Aprendizaje: Se desarrollan clases teóricas y prácticas implementándose, en forma alternativa, una metodología interactiva y expositiva. Se interactúa con los alumnos en el desarrollo de las clases a partir del planteo de situaciones matemáticas. En las clases prácticas se trabaja en grupos e individualmente realizando cierre de actividades con puestas en común dirigidas por el docente. Trabajos Prácticos: Trabajo Práctico nº 1: Sistemas de ecuaciones lineales. nº 2: Matrices y Determinantes nº 3: Vectores en IR n nº 4: Espacios Vectoriales nº 5: Transformaciones lineales nº 6: Cónicas Bibliografía: - H. Anton. Introducción al Álgebra Lineal. Limusa Noriega Editores. - K. Hoffman., R. Kunze. Álgebra Lineal. Ed. Prentice/Hall International. - A. Rojo. Álgebra II. Ed. El Ateneo. - S. Lang. Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano. - A. Larrotonda. Álgebra Lineal y Geometría. EUDEBA. - S. Stein, A. Barcellos. Vol. 1 y 2.Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw Hill. - G. Fuller, D. Tarwarter. Geometría Analítica. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. - L. Bers. Vol 2.Cálculo Diferencial e Integral. Ed. Interamericana. - C. H. Lehmann. Geometría Analítica. Limusa Noriega Editores.
Vigencia del programa: 1er. cuatrimestre de 2010 Profesor responsable: Prof. Silvia Colombo