Capítulo 1 Extremos de varias variables Problema 1 Encontrar los extremos absolutos de la función fx, y) = xy en el conjunto A = x, y) IR : x + y 4, x 5/}. Solución: En primer lugar representamos el conjunto A. Para ello hallamos las intersecciones entre las dos curvas que lo definen x + y = 4 11 x = 5 = y = ±. Luego las curvas se intersecan en los puntos 5, ± 11 La curva x + y = 4 es una circunferencia de radio y centro, ) y la curva x = 5/ es una recta vértical. Nótese que f es una función continua es una función polinómica) y A es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto A: 5, ± 11 ii) Extremos libre de f en el interior de A: ). 5 ).
6 Índice general y - - -1 1 x - Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = y = = a, ), para toda a 5 ) y = yx =,. iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras. iii.1) Frontera descrita por la curva x = 5/. Como la función x es explícita podemos sustituir en la función. hy) = fx = 5/, y) = 5 y = h y) = 1 y = = y =. Luego el candidato a extremo en esta frontera es: 5, ). iii.) Frontera descrita por x + y = 4. Como ninguna de las variables es explícita tenemos que aplicar la regla de los multiplicadores de Lagrange para buscar los candidatos a extremos. La función de Lagrange es Lx, y) = xy + λx + y 4). La condición necesaria de extremo condicionado es: L = y + λx = L = yx + λy = y x + y = 4 = y = o λ = x Si λ = x, de la primera ecuación obtenemos que y = x y subtituyendo en la última x = ± e y = ± 6.
Índice general 7 Si y =. Sustituyendo en la condición tenemos que x = ±. Pero el punto, ) no es del dominio. Luego los candidatos a extremo son ± ) 6, ±,, ). Para finalizar basta valorar la función en los puntos obtenidos: x, y) fx, y) 5, ± 11 ) 55 7 a, ) 5, ) ) 6, ± 48 7 Máximo absoluto ) 6, ± 48 7 Mínimo absoluto, ) Problema Encontrar los extremos absolutos de la función fx, y) = x ) + y en el conjunto A = x, y) IR : y x 9, x 4y + 1, x + 4y + 1 }. Solución: En primer lugar representamos el conjunto A. Para ello hallamos las intersecciones entre las curvas que lo definen y x = 9 x 4y + 1 = =, ), 56/9, 5/).
8 Índice general y x = 9 x + 4y + 1 = =, ), 56/9, 5/). x 4y + 1 = x + 4y + 1 = = 4, ). La curva y x = 9 es una parábola y las otras dos curvas son rectas. y -8 x -4 - Nótese que f es una función continua es una función polinómica) y A es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto A: 56 ) 9, ±5 y 4, ). ii) Extremos libre de f en el interior de A: Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = x ) = =, ) / A. y = y = iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras. iii.1) Frontera descrita por la curva x 4y+1 =. Como la función y es explícita podemos sustituir en la función. hx) = fx, y = x 1 ) = x ) + 9 4 16 x 4) = h x) = x )+ 9 68 x 4) = = x = 8 5. Luego no hay candidato a extremo en esta frontera ya que x = 68 5 > 4.
Índice general 9 iii.) Frontera descrita por la curva x+4y+1 =. Como la función y es explícita podemos sustituir en la función. hx) = fx, y = x + 1 ) = x ) + 9 4 16 x+4) = h x) = x )+ 9 8 x+4) = = x = 4 5. Luego no hay candidato a extremo en esta frontera ya que x = 4 5 > 4. iii.) Frontera descrita por y x = 9. Como la función x es explícita podemos sustituir en la función. 1 ky) = fx = y 9, y) = y 11) +y = k y) = 4yy 11)+y = = y =, y = ±. 1 Si y = ±, entonces x =. Luego el único candidato a extremo en esta frontera es 9, ). Para finalizar basta valorar la función en los puntos obtenidos: x, y) fx, y) 56 ) 9, ±5 571 81 máximo absoluto 4, ) 4 mínimo absoluto 9, ) 49 Problema Encontrar los extremos absolutos de la función fx, y) = x + 1) + y en el conjunto A = x, y) IR : x + ) + y 16, y x + 14}. Solución: En primer lugar representamos el conjunto A. Para ello hallamos las intersecciones entre las dos curvas que lo definen x + ) + y = 16 y = x + 14 = x + ) + x + 14 = 16 = x + 8x + 7 = = x = 1 7 Luego las curvas se intersecan en los puntos 1, ± ), 7, ).
1 Índice general 5 y -8-4 4 x 8-5 La curva x + ) + y = 16 es una circunferencia de radio 4 y centro, ) y la curva y = x + 14 es una parábola con vértice en 7, ). Nótese que f es una función continua es una función polinómica) y A es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto A: 1, ± ), 7, ) ii) Extremos libre de f en el interior de A: Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = x + 1) = = 1, ) A. y = y = iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras. iii.1) Frontera descrita por la curva x = y / 7. Como la función x es explícita podemos sustituir en la función. hy) = fx = y / 7, y) = y / 6) + y = h y) = y / 6)y + y = = y = = 7, ) y 1 = = y = ± 1 =, ± 1) Luego los candidatos a extremo en esta frontera son:, ± 1). iii.) Frontera descrita por x + ) + y = 16. Como ninguna de las variables es explícita tenemos que aplicar la regla de los multiplicadores de Lagrange para buscar los candidatos a extremos. La función de Lagrange es Lx, y) = x + 1) + y + λx + ) + y 16).
Índice general 11 La condición necesaria de extremo condicionado es: L = x + 1) + λx + ) = L = y + λy = y x + ) + y = 16 = y = o λ = 1 Si λ = 1 llegamos a una contradicción en la primera ecuación de la izquierda. Por tanto, y =. Sustituyendo en la condición tenemos que x = 7 o x = 1. Luego el candidato a extremo es 1, ). Para finalizar basta valorar la función en los puntos obtenidos: x, y) fx, y) 7, ) 6 Máximo absoluto, ± 1) 11 1, ± ) 1 1, ) Mínimo absoluto 1, ) 4 Problema 4 Encontrar los extremos locales de la función implícita z = zx, y) definida por la ecuación fx, y, z) = x 4x + y y + 6z z = Solución: En primer lugar hallamos los valores de x, y, z) para los que se verifica que z = zx, y). Para ello aplicamos el Teorema de la Función Implícita a la ecuación fx, y, z) = x 4x + y y + 6z z =. i) Tenemos que considerar puntos x, y, z) IR tales que x 4x + y y + 6z z =, esto nos permitirá encontrar z cuando hallemos x e y. ii) Las parciales de la función f existen y son continuas = x 4, y = y, z = 6 z
1 Índice general iii) Debe verificarse que z = 6 z, Por tanto z = zx, y) para todo x, y, z) IR tales que x 4x + y y + 6z z = y z. Procedemos a calcular los extremos locales de la función z = zx, y) para los puntos anteriores, utilizando las derivadas de z que nos proporciona el Teorema de la Función Implícita: a) Condición necesaria de extremo: = z = = z y = z y z = x z = y 1 z = x, y) =, 1) = 5 T.F.I. 4 8+1 +6z z = = z = 1 Por tanto tenemos dos posibles funciones de z. Para z 1 = z 1 x, y) el punto estacionario es, 1) con z 1 = 5 y Para z = z x, y) el punto estacionario es, 1) con z 1 = 1. Para clasificar estos puntos debemos calcular las derivadas parciales de segundo orden, derivando implícitamente en las de primer orden. z = z x ) z z ) z y = x ) z y z ) z y = z y 1) z y z ) Con las derivadas parciales segundas construimos el Hessiano de z Hzx, y) = z z y z y z y que debemos valorar en los puntos estacionarios teniendo en cuenta que en estos puntos las parciales primeras de z son nulas C.N. de extremo). b) Condiciones suficientes de extremo: Para, 1, 5)
Índice general 1 1/ ) 1 = 1/ > Hz 1 = 1/ = = 1/4 > =, 1, 5) es un mínimo local de z 1. Para, 1, 1) 1/ ) 1 = 1/ < Hz = 1/ = = 1/4 > =, 1, 1) es un máximo local de z. Problema 5 Encontrar los extremos absolutos de la función fx, y) = x +y 1) en la región A = x, y) IR : y 1, y x 1, x y 1}. Solución: Determinamos en primer lugar como es el conjunto A donde debemos calcular los extremos. Para ello buscamos los puntos de corte de las diferentes curvas que definen el dominio. a) y = x 1 y = 1 = x =. Luego los puntos de corte son, 1) y, 1). b) y = 1 x y = 1 = x =. Luego los puntos de corte son los mismos que antes. c) y = x 1 x y = 1 = y + 1 y = 1 = y =, y = 1. Luego los puntos de corte son 1, ), 1, ),, 1) y, 1). Nótese que f es una función continua es una función polinómica) y A es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto A: 1, ), 1, ),, 1) y, 1). ii) Extremos libre de f en el interior de A:
14 Índice general y 1-1 -1 1 x Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = x = = y 1) = = x = y = 1 =, 1) A. y iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras. iii.1) Frontera descrita por la curva y = x 1 con x, 1) 1, ). Como la función es explícita podemos sustituir en la función. hx) = fx, y = x 1) = x +x ) = h x) = x+4x )x = = x =, x = ±. Como x = no pertenece al intervalo que estamos estudiando lo descartamos. Luego los candidatos a extremo en esta frontera son: ) ±, 1. iii.) Frontera descrita por x y = 1 con x, 1) 1, ). Como ninguna de las variables es explícita tenemos que aplicar la regla de los multiplicadores de Lagrange para buscar los candidatos a extremos. La función de Lagrange es Lx, y) = x + y 1) + λx y 1). La condición necesaria de extremo condicionado es: L = x + λx = L = y 1) λy = y x y = 1 = x = o λ = 1 Si x = llegamos a una contradicción en la tercera ecuación de la izquierda. Por tanto, λ = 1. Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos que y = 1/ y de la consición tenemos que
Índice general 15 5 x = ±. Luego los candidatos a extremo en esta frontera son: ) 5 ±, 1/ Para finalizar basta valorar la función en los puntos obtenidos: x, y) fx, y) ±1, ) Máximos absolutos ±, 1 ) ± ) 5, 1/ Máximos absolutos / ) ±, 1/ 5/4 Mínimo absoluto Problema 6 Hallar los extremos absolutos de fx, y) = x 1) + y sobre el conjunto T = x, y) IR : y x, y x, x ) + y 4}. Solución: Determinamos en primer lugar como es el conjunto T donde debemos calcular los extremos. Para ello buscamos los puntos de corte de las diferentes curvas que definen el dominio. a) y = x y = x = x = x = x =, x =. Luego los puntos de corte son, ) y, ). b) y = x x ) + y = 4 = x 4x = = x =, x =. Luego los puntos de corte son los mismos que antes. c) y = x x ) + y = 4 = x x = = x =, x =.
16 Índice general y x 4 - Luego los puntos de corte son, ),, ±). Nótese que f es una función continua es una función polinómica) y T es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto T :, ),, ) y, ). ii) Extremos libre de f en el interior de T : Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = x 1) = y = y = = y = x = 1 =, 1) T iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras. iii.1) Frontera descrita por la curva y = x con x, ). Como la función es explícita podemos sustituir en la función. hx) = fx, y = x) = x 1) + x = x x + 1 = h x) = 4x = = x = 1/. Luego el candidato a extremo en esta frontera es: 1/, 1/). iii.) Frontera descrita por la curva y = x con y, ). Como la función es explícita podemos sustituir en la función. ky) = fx = y /, y) = y 1) + y = k y) = y / 1)y + y = y = = y =. Luego el candidato a extremo en esta frontera es:, ), pero ya lo tenemos como vértice. iii.) Frontera descrita por x ) + y = 4 con x, 4). Como ninguna de las variables es explícita tenemos que aplicar la regla de los multiplicadores de Lagrange para buscar los candidatos a extremos. La condición necesaria de extremo condicionado es: = λ g x 1 = λx ) y = = x =, 4 y = λ g = y = λy = o y gx, y) = x ) + y x ) = 4 + y = 4 λ = 1 = no existen puntos
Índice general 17 Luego los candidatos a extremos en esta frontera son:, 4) y, ), pero el, ) ya lo hemos considerado. Para finalizar basta valorar la función en los puntos obtenidos: x, y) fx, y) 1, ) Mínimo absoluto 1/, 1/) 1/ 4, ) 9 Máximo absoluto, ) 1, ) 5, ) 5 Problema 7 Hallar los extremos absolutos de fx, y) = x y sobre el conjunto T = x, y) IR : y x 4, x y, x + y 1}. Solución: Determinamos en primer lugar como es el conjunto T donde debemos calcular los extremos. Para ello buscamos los puntos de corte de las diferentes curvas que definen el dominio. a) 4y = x x y = = y 4y + = = y = 1, y =. Luego los puntos de corte son ±, 1) y ±, ), pero en ±, ), x + y > 1 = ±, ) / T. b) 4y = x x + y = 1 = y + 4y 1 = = y =, y = 6. Luego los puntos de corte son ±, ). c) x y = x + y = 1 15 = x = 15 = x = ±.
18 Índice general 15 Luego los puntos de corte son ±, ± ), pero en ± T. 4 15, ), y > x 15 /4 = ±, ) / y -4 - - -1 1 x 4 - Nótese que f es una función continua -4es una función polinómica) y T es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto T : ±, 1), ±, ) y ± = x = y = 4y = 15, ). ii) Extremos libre de f en el interior de T : Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = y = x = =, ) / T iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras. iii.1) Frontera descrita por la curva y = x /4. Como la función es explícita sustituimos en la función. hx) = fx, y = x /4) = x x4 8 = h x) = x x = = x = / T, x = ±. Luego no hay candidatos a extremos en esta frontera ya que ±, 1) son vértices. iii.) Frontera descrita por la curva x + y = 1. Como ninguna de las variables es explícita tenemos que aplicar la regla de los multiplicadores de Lagrange para buscar los candidatos a extremos. La condición necesaria de extremo condicionado es: = λ g x = λx x = = y = ± 1 / T y = λ g = 4y = λy = o y gx, y) = x + y x = 1 + y = 1 λ = 1 = y =, x = ± 1 Luego el candidato a extremo en esta frontera es: ± 1, ).
Índice general 19 iii.) Frontera descrita por x y =. Procedemos como en el apartado anterior x = λx x = = y 4y = λy = o x y = λ = 1 = y =, x = ± Luego los candidatos a extremos en esta frontera son: ±, ). x, y) fx, y) ±, 1) ±, ) Mínimos absolutos 15 ±, ) 9/1 5 ± 1, ) 1 Máximos absolutos ±, ) Problema 8 Calcular la distancia mínima y máxima del punto 1, ) al conjunto A = x, y) IR : x ) + y 4, y 6 x, x }. Solución: La función que debemos optimizar es dx, y), 1, )) = x 1) + y ) 1/. Pero para simplificar los calculos podemos considerar fx, y) = x 1) + y, ya que los puntos extremos de ambas funciones son los mismos. Determinamos en primer lugar como es el conjunto A donde debemos calcular los extremos. Para ello buscamos los puntos de corte de las diferentes curvas que definen el dominio. a) x ) + y = 4 y = 6 x = x ) + 6 x) 4 = 4 = 5x 8x + 6 =.
Índice general Luego los puntos de corte son, ) y 18 5, 6 ). 5 b) x ) + y = 4 x = = y =. Luego los puntos de corte son, ) y, ). c) x = Luego el punto de corte es, ). y = 6 x. y x 4 - Notese que f es una función continua es una función polinómica) y A es un conjunto compacto. Por tanto el Teorema de Weierstrass asegura la existencia de extremos absolutos, que se encontrarán entre los puntos siguientes: i) Vértices del conjunto A: ii) Extremos libre de f en el interior de A:, ),, /) y, ) Como estamos bajo hipótesis de diferenciabilidad podemos aplicar la condición necesaria de extremo libre = x 1) = = 1, ) A. y = y = iii) Extremos condicionados en las distintas fronteras.
Índice general 1 iii.1) Frontera descrita por la curva x = con y [, /]. Como la función es explícita podemos sustituir en la función. hy) = f, y) = 4 + y = h y) = y = = y =. Luego el candidato a extrmo en esta frontera es:, ) iii.) Frontera descrita por la curva y = 6 x con x [, ]. De nueva podemos sustituir la condición en la función. kx) = x 1) + 6 x) 4 = k x) = x 1) 1 6 x) = = x =. Pero este punto es un vértice del conjunto y ya está considerado en i). iii.) Frontera descrita por x ) + y = 4 con x [, ]. Como ninguna de las variables es explícita tenemos que aplicar la regla de los multiplicadores de Lagrange para buscar los candidatos a extremos. La función de Lagrange es Lx, y) = x 1) + y + λx ) + y ). La condición necesaria de extremo condicionado es: L = x 1) + λx ) = L = y + λy = y x ) + y = 4 = y = o λ = 1 Si λ = 1 llegamos a una contradicción en la primera ecuación de la izquierda. Por tanto, y =. Sustituyendo en la condición tenemos que x = 4 o x =. Pero el punto 4, ) no está en la frontera que estamos considerando. Luego el candidato a extremo es, ). Para finalizar basta valorar la función en los puntos obtenidos: La distancia máxima es 7 y la mínima. Problema 9 Sea f : IR IR la función definida por: fx, y) = 4y x x y. i) Calcular los extremos de f en IR. ii) Calcular los extremos de f sobre el conjunto x, y) IR : 4y + x = }. Solución:
Índice general x, y) fx, y), ) 5, /) 6, 5, ) 7 Máximo absoluto 1, ) Mínimo absoluto, ) 4, ) 1 i) Como la función f es polinómica es diferenciable de cualquier orden y podemos aplicar las condiciones necesaria y suficiente para el cálculo de extremos libre. a) Condición necesaria: a) Condición suficiente: = xy = y = 4 x = =, 1 ),, 1 ). Hfx, y) = f f y f y f y y x = x Valoramos el hessiano en cada una de los candidatos a extremos. Hf, 1 ) 1 4 =. 4 Como el determinante es 16 <, el punto es un punto de silla de la función.
Índice general Hf, 1 ) = 1 4 4. Como el determinante es 16 <, el punto es un punto de silla de la función. ii) En este caso se trata de un problema de extremos condicionados, pero como la condición es explícita podemos sustituirla directamente en la función. hy) = fx = 4y, y) = 1y 16y = h y) = 1 48y = = y = ± 1. Para estudiar el carácter del punto estacionario calculamos la derivada segunda. ) 1 h y) = 96y = h = 48. Por tanto, el punto, 1 ) es un máximo relativo de f sobre la recta 4y + x =. h y) = 96y = h 1 ) = 48. Por tanto, el punto, 1 ) es un mínimo relativo de f sobre la recta 4y + x =.