Opción A Ejecicio A [ 5 puntos] Se sabe que la función f: R R definida po f ( - +b+ si ) =, es deiable. a -5+a si > Detemina los aloes de a y b Paa se deiable debe de se, pimeamente, función continua, después la deiada debe de se igual en el punto de discontinuidad. Continuidad lim f ( ) =a -5 +a=a-5 + -+b si f' ( ) = a-5 si > f = lim f =- +b +=-+b+=b f ( - ++ si ) = -5+4 si > f ( ) f = lim f = lim + f' = lim f' =-.+b=-+b f' ( ) = lim f' ( ) = lim f' b-=a-5 + lim f ( ) =a -5=a-5 + a-b=5 a-b=5 a=.-b= 4-b= b= a-b= -a+b=- [ 5 puntos] Calcula sen d b) [ 5 puntos] Sean las funciones f, g:r R ecinto limitado po sus gáficas Ejecicio A b=a-5, definidas po sen d=-.cos - -cos d=-.cos + cos d=-.cos +sen +K f = - y g =-. Calcula el áea del =u du=d sen d=d = sen d=-cos b) De Conchi Méida (IES Inca Gacilaso) Se dibujan peiamente las funciones y el ecinto limitado po ellas. f() = - + es una paábola eactamente igual que peo desplazada una unidad hacia aiba en odenadas OY. (- es eactamente igual que peo simética especto al eje de abscisas OX), po tanto su étice está en (0,), amas de la paábola hacia abajo y cota al eje OX en (-,0) y (,0). g() = es una ecta y con dos puntos es suficiente paa dibujala. Un esbozo de sus gáficas es Igualamos f() a g() paa e los puntos donde cotan
- + =, de donde + = 0. Resoliendo la ecuación nos esulta = y = -. Áea = - [(- + ) ( )]d = - (- + )d = [-/ / + ] - = (-/ / +) (8/ 4) = 9/ u.a. Ejecicio A +z= [ 5 puntos] Resuele el sistema de ecuaciones -+y+z=0 -+y+5z= b) [ 5 puntos] Calcula λ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del +y+z= apatado -+y+z= +y+λz=- ( + z= + z= + z= -+y+z=0 E +E y +z= y +z= -+y+5z= E +E y+6z=4 E +E 0=0 Como tengo un sistema de ecuaciones con incógnitas es un sistema compatible indeteminado. Tomo z = m nº eal y me queda = m e y = m. (,y,z) = ( m, m, m) con m nº eal. (b) +y+z= Sea A = - y A * = - la matiz ampliada del sistema -+y+z= λ λ +y+λz=- Paa que en pincipio este sistema tenga alguna solución común con el del sistema del apatado (, tiene que se compatible e indeteminado, es deci ango(a) = ango(a * ) =. En A paa que tenga ango su deteminante tiene que se ceo, es deci A = 0. A = - = λ 6 λ Si A = 0, tenemos λ 6 = 0, de donde λ =. Veamos si ango A * es. F +F 0 Adjuntos En A * = - como - = - pimea = (-)(-)(-4-6) 0, tenemos que el λ F +F 0 columna ango A * =, sea cual sea el alo de λ. Si λ =, el sistema es incompatible al tene distintos angos A y A *. Si λ, el sistema tiene solución única, que po Came seía: - - - λ - λ - = = (-5)/( λ ); y= = ( λ + 7)/( λ ); z= = (-5)/( λ ) λ-6 λ-6 λ-6 Paa que esta solución coincidiese con la del apatado ( tendía que eificase a la ez: (-5)/( λ ) = m; ( λ + 7)/( λ ) = m y (-5)/( λ ) = m. De (-5)/( λ ) = m, tenemos λ = 5/m = (m 5)/m De (-5)/( λ ) = m, tenemos -5 = λ 6 λm + m = λ( m ) 6 + m, luego λ = ( m)/( m) Si las λ fuesen iguales tendíamos ( m)/( m) = (m 5)/m, m m = ( m)(m 5) = 6m 0 m + 5m m = 6m 0 + 5m m =, con lo cual tenemos que λ = 5/() = -, y la solución común es ( (), (),()) = (,-,). Ejecicio 4A [ 5 puntos] Halla la ecuación de la ecta que pasa po el punto A(,, -), es paalela al plano de ecuación y + z = y cota al eje Z
El ecto fomado po el punto P y el punto del eje OZ, que es un ecto de la ecta, es pependicula al ecto diecto del plano, siendo su poducto escala nulo La ecuación ectoial del eje OZ es (,y,z) = (0,0, λ) con λ cualquie númeo eal y un ecto diecto genéico del eje OZ seía z = OZ = (0,0, λ) =A OZ= (,, -) -( 0, 0,λ) = (,, --λ),es deci, luego i =0 = (, -, ) (,,-- λ) (.-,) = 0, de donde λ = 0, po tanto λ = 0, luego λ = -. =+.µ=+µ =,, --(-) = (,, 0) y=+.µ=+µ z=-+0.µ=- Opción B Ejecicio B [ 5 puntos] Se sabe que la función f:r R definida po f ( ) =a +b +c+d, tiene etemos elatios en (0, 0) y (, ). Calcula a, b, c y d. f' =a +b+c f 0 =0 a.0 +b.0 +c.0+d=0 d=0 f = a. +b. +c.= 8a+4b+c= 4a+b= f ' 0 = 0 a 0 + b 0 + c = 0 c = 0 a+b=0 f ' = 0 a + b = 0 a + 4b = 0 4a+b= -a= a=-. - +b=0 b= -6a-b=0 f ( ) =- + Ejecicio B Las dos gáficas del dibujo coesponden a la función f : ( 0, + ) R definida po su deiada f' :( 0, + ) R (ln denota logaitmo nepeiano) f = +ln y a la de [0 5 puntos] Indica, azonando la espuesta, cuál es la gáfica de f y cuál la de f b) [ puntos] Calcula el áea de la egión sombeada
-. - f' ( ) =- + = = Estudiemos las funciónes po los puntos de cote con el eje OX y=0 +ln +ln =0 =0 +ln =0 / R Función gáfica a Etemo elatio en -=0 Deiada gáfica b. ( - ) =0. ( - ) =0 -=0 = b) d ln d=.ln -. =.ln - d=.ln -=. ( ln - ) +K d u=ln du= d=d = d=. ( -) A= +ln d- d= +ln d- - d= +ln - + d - - n d+ d=.. ( ln - ) +. -+ A= ln + d= l 4 4 A=.. ( ln -) -.( ln -) -. - =. ln --. ( 0-) - - =6.ln -6-. (-) + 4 4 8 8.ln -8 A=6.ln -6++ =6.ln -4+ =6.ln - = u Ejecicio B - - Considea las matices A= - - y X= y - - z [ punto] Calcula, si eiste, A - b) [ 5 puntos] Resuele el sistema AX = X e intepeta geométicamente el conjunto de sus soluciones - - A A 0 A = - - =4+4+4-+8+8=7 0 A A =. adj A A - - - t - - -6-6 -6-6 7 - - -6-6 -6-6 6 6 - - 7 7 7 - - 9 9 9 6 6 = - - 7 7 7 7 9 9 9 6 6 - - - - 7 7 7 9 9 9 t t - A = - - adj A = -6-6 A =. -6-6 - A =. - - b) - - --y+z --y+z= - -. y =. y -+y-z = y -+y-z=y - - z z -y-z z -y-z=z -5-y+z=0 5+y-z=0 --y-z=0 +y+z=0 Son tes planos Ecuación homogénea -y-5z=0 -y-5z=0 5 - Como =-5++++0+0=0 Sistema Compatible Indeteminado y el ango es. - -5 4
Como el sistema es compatible e indeteminado al tene ango es, paa esole el sistema sólo necesito dos ecuaciones, pues la ª ecuación es combinación de las anteioes, po tanto los tes planos se cotan en una ecta de ecuación (en foma implícit + y + z = 0 y 5z = 0. He tomado la ª y ª ecuación del sistema Ejecicio 4B +y=0 Sea la ecta definida po +z=0 [ punto] Detemina la ecuación del plano pependicula a que pasa po el punto P(,, ) b) [ 5 puntos] Halla los puntos de cuya distancia al oigen es de 4 unidades (El plano tendá como ecto diecto el de la ecta que es pependicula al ecto fomado po el punto P y el genéico G siendo su poducto escala nulo =-λ z= - y=- y=-, -, - (, -, -6 ) (-,, 6 ) y= λ z= 6λ P G.P G = 0 = = (-,, 6 ) P G = (, y, z ) - (,, ) = ( -, y-, z-) -,, 6. -, y-, z- = 0 -. - +. y- + 6. z- = 0 + y+ 6 z-7 = 0 - y-6 z+ 7 = 0 (b) O d = 4, d e d o n d e -λ-0 + λ-0 + 6λ-0 = 4. O p e a n d o y e le a n d o a l cu a d a d o te n e m o s 4 9λ = 6, lu e g o λ= ± 4 /7. R e su m ie n d o 4 8 = -. = - 7 7 4 4 8 4 λ= R y=. = R -,, 7 7 7 7 7 7 4 4 z= 6. = 7 7 7λ= ± 4 4 8 = -. - = 7 7 4 4 8 4 λ=- R y=. - = - R, -, - 7 7 7 7 7 7 4 4 z= 6. - = - 7 7 5