GUIA 1 Ecuaciones diferenciales, concepos básicos y aplicaciones Las ecuaciones diferenciales ordinarias son una herramiena básica en las ciencias y las ingenierías para el esudio de sisemas dinámicos (sisemas cuyos esados varían con el iempo). Ejemplos de sisemas dinámicos son el sisema solar, un sisema ecológico, una economía, un mecanismo arificial (reloj, vehículo, circuio, ec). En esa guía consideramos: Las ecuaciones diferenciales ordinarias como modelos maemáicos de sisemas dinámicos. El concepo de ecuación diferencial ordinaria y de solución. 1. Una ecuación diferencial como descripción de un sisema dinámico En esa guía se considerarán sisemas dinámicos cuyos esados se pueden describir mediane una canidad escalar que depende de una variable independiene, usualmene el iempo. 1.1. Modelo de Malhus (crecimieno exponencial) Como ilusración esudiaremos un modelo de crecimieno de poblaciones aisladas: Los organismos viven en grupos llamados poblaciones. Una caracerísica básica de ellas es su amaño (esado del sisema), medido por el número oal de individuos o por la densidad. En una población aislada, la variación del amaño es debida fundamenalmene a los procesos de nacimieno y muere. Para efecos de modelamieno se considerarán las siguienes variables: el amaño x = x() de la población en el iempo, la asa relaiva de crecimieno 1 x() de la población en el iempo. Los ecólogos han planeado disinos modelos para predecir la evolución del amaño de la población en el iempo. Esos modelos se basan en supuesos que esablecen relaciones enre la asa relaiva de crecimieno de la población y su amaño. Dichos supuesos se han verificado experimenalmene en algunas siuaciones concreas. Esudiaremos ahora uno de los modelos más conocidos, denominado modelo de Malhus en honor al economisa Thomas Rober Malhus (1766-1834), quien lo planeó por primera vez en su influyene rabajo Primer ensayo sobre población. 1
Ese modelo supone que la asa relaiva de crecimieno de la población es consane, es decir, que 1 x() = a, a consane, o equivalenemene que = a x(). (1) Escrio en esa forma el modelo de Malhus es un ejemplo de una ecuación diferencial. Es sencillo calcular expliciamene las soluciones de (1). En efeco, si x = x() es solución de (1) con x() 0 enonces 1 x() = a. Inegrando resula ln x() = a+c 1, para alguna consane c 1. Exponenciando ambos lados esa ulima ecuación se obiene x() = c e a, < <, con c = e c 1. (2) Recíprocamene se verifica que x() = c e a para < <, c consane real, es una familia de soluciones de (1). Finalmene, si x = x() saisface la condición x( 0 ) = x 0 para valores de 0 y x 0 especificados, enonces x 0 = c e a 0. Por lo ano c = x 0 e a 0, y se iene x() = x 0 e a( 0), < <. Observación. Cuando a > 0 se dice que (1) modela un crecimieno exponencial. Análogamene se habla de declinación exponencial cuando a < 0. 1.2. Movimieno recilíneo en un medio resisivo Ahora esudiaremos el problema de deerminar la velocidad de un cuerpo que cae cerca de la superficie erresre. Galileo Galilei (1546-1642) mosró experimenalmene que la aceleración de un cuerpo que cae en el vacío cerca de la superficie de la ierra es consane. Teniendo en cuena que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respeco al iempo, y considerando como posiiva la dirección hacia arriba, el descubrimieno de Galileo en noación moderna puede escribirse como: dv = g, (Ley de Galileo de caída libre), (3) donde v represena la velocidad del cuerpo y g es una consane, que en el sisema MKS oma el valor aproximado de g 9,8m/s 2. Si en el insane 0 la velocidad es 2
v 0, enonces mediane inegración se llega a la fórmula para la velocidad en el caso del movimieno uniformemene acelerado v() = v 0 g ( 0 ). Cuando un cuerpo cae en un medio diferene del vacío, al como aire o agua, ése ejerce una fuerza de fricción que afeca la velocidad de caída. Es conveniene planear el problema en érminos de la segunda ley de de Newon (Isaac Newon 1642-1727), de acuerdo con la cual el produco de la masa por la aceleración del cuerpo es igual a la suma de las fuerzas que acúan sobre ése: m dv = Σf, (Segunda ley de Newon). (4) Supongamos que sólo acúan la fuerza de la gravedad f W y la fuerza de fricción f R. Es decir Σf = f W + f R. En cuano a la fuerza de gravedad sabemos que cerca de la superficie erresre f W = m g, y en cuano a la fuerza de fricción, un modelo validado experimenalmene es f R (v) = γ v, γ una consane posiiva. De acuerdo a la segunda ley de Newon se iene que m dv = f W + f R = m g γ v, equivalenemene dv = g γ v. (5) m Esa úlima relación puede verse como una corrección de la ecuación de caida libre (3) que iene en cuena la resisencia del medio. En un medio no resisivo (γ = 0), la relación (5) se reduce a la ecuación de caida libre (3). La ecuación (5) relaciona a v con su derivada dv. Ese es un ejemplo de una ecuación diferencial de primer orden. Lo de primer orden se refiere a que sólo aparecen primeras derivadas de la función incógnia v = v(). Ahora deerminaremos la solución v = v() de (5). Observe que podemos reescribir (5) en la forma dv g + γ = 1. v() m Inegrando se iene que ln g + γ m v() γ = m + c 1, 3
donde c 1 es una consane cualquiera. Despejando v() enemos v() = c e γ m m g γ, (6) donde c = m ec 1 es una consane arbiraria. Si en el insane inicial γ 0 la velocidad inicial es v 0 podemos obener el valor de la consane c. En efeco: v 0 = c e γ m 0 m g γ. Despejando c y reemplazando en (6) enemos ( v() = v 0 + m g ) e γ m ( 0) m g γ γ. (7) 2. El concepo de solución La ley de Malhus para la evolución del amaño de una población y las leyes que gobiernan la velocidad de un cuerpo que cae en un medio resisivo son ejemplos de modelos que dan lugar a ecuaciones diferenciales ordinarias. Por una ecuación diferencial ordinaria de orden m para una función incógnia u = u(), que depende de una variable real, se eniende una condición expresada en la forma ( E,u, du ),..., dm u = 0, (8) m que relaciona los valores de la función u = u() con los de algunas de sus derivadas y posiblemene con los de la variable independiene. El orden de la ecuación es el orden m de la derivada más ala de u = u() que aparece en la ecuación. Definición 1. Una solución de la ecuación diferencial (8) en un inervalo I es una función u = u(), definida en I y con valores en R al que: u = u() es coninua y posee derivadas du,..., dm u m hasa el orden m en I. u = u() saisface (8) en I. Es decir, E (,u(), du(),..., dm u() ) = 0, para odo m I. El inervalo I se llama el inervalo de definición de la solución u(). En discusiones de carácer general, se hace necesario considerar ecuaciones en forma normal d m u du = f(,u, m,..., dm 1 u ), (9) m 1 es decir, resuela para la derivada de u de orden más alo m. Esudiaremos algunos ejemplos. 4
Ejemplo 1. Las funciones de la forma x() = c e 2 (c consane) son soluciones de = 2x en I = (, ). Ejemplo 2. Toda función de la forma θ() = a cos ω +b sen ω (a,b consanes) es solución de d 2 θ 2 + ω2 θ = 0, (ω > 0 consane), en I = (, ). Ejemplo 3. x() = 1 es solución de = x2 en (0, ) y ambién en (, 0). Ejemplo 4. De acuerdo con la definición que hemos presenado no son ecuaciones diferenciales ordinarias las siguienes: u = 2 u x 2 (ecuación del calor), para una función u = u(x,). 2 u x 2 + 2 u y 2 = 0 (ecuación de Laplace), para u = u(x,y). Esas son ecuaciones en derivadas parciales. 3. Teorema Fundamenal (una dimensión). Una ecuación diferencial ordinaria define una colección de funciones de una variable real. Cada una de esas funciones queda deerminada especificando condiciones adicionales, por ejemplo una condición inicial. El eorema de exisencia y unicidad de soluciones que formularemos en esa sección precisa esa idea. Teorema 1 (Teorema Fundamenal). (Exisencia y unicidad de soluciones). Sea = f(,x) (10) una ecuación diferencial al que la función f = f(,x) saisface C1) f(,x) es coninua para J y x Ω, donde Jy Ω son inervalos abieros en R. C2) La derivada parcial f (,x) exise y es función coninua de (,x) para en J y x x en Ω. Enonces para cada 0 J y x 0 Ω exisen un inervalo abiero I incluido en J y que coniene a 0, y una función x = x() definida en I, al que x = x() es la única solución de (10) definida en I que saisface la condición inicial x( 0 ) = x 0. 5
Sobre la demosración. Una demosración de ese eorema, por ejemplo la debida a É. Picard (1890), requiere de la uilización cuidadosa de méodos del cálculo avanzado. No se hará aquí, ver por ejemplo, G. Simmons, Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y noas hisóricas, McGraw-Hill, 1993. Presenaremos dos consecuencias imporanes del eorema. La primera es que la ecuación diferencial (10) iene infinias soluciones, exacamene una de ellas saisface la condición inicial x( 0 ) = x 0. La segunda, es que si x = x() y y = y() son dos soluciones de (10) en el mismo inervalo I, enonces los gráficos { (,x()) R 2 : I } {, (,y()) R 2 : I } o no se inercepan o son idénicos. Ejemplo 5. El Teorema Fundamenal es aplicable a la ecuación = x, con f(,x) = x, J = R y Ω = R. Igualmene es aplicable a = x2, con f(,x) = x 2, J = R y Ω = R. Ejemplo 6. El Teorema Fundamenal no es aplicable para garanizar la exisencia de una solución de = x que saisfaga la condición inicial x(0) = 0. En efeco, la ecuación en su forma normal es = x, cuyo lado derecho f(,x) = x no puede definirse en (x,) = (0, 0) de forma coninua. Obsérvese que x 1 () 0 y x 2 () = son dos soluciones disinas, definidas en < < y que saisfacen la condición inicial x(0) = 0. Ejemplo 7. El Teorema Fundamenal no permie garanizar la exisencia de una única solución de = 3x2/3 que saisfaga la condición inicial x(0) = 0. La función f(,x) = 3x 2/3 esá definida y es coninua para odo (,x) con en J = R y x en Ω = R. Sin embargo, f (,x) = x 2x 1/3, no esá definida en punos de la forma (, 0). Como ejercicio se propone verificar que las funciones x 1 () = 0 y x 2 () = 3 son dos soluciones disinas definidas en < < que saisfacen la condición inicial x(0) = 0. Ejemplo 8. La soluciones, cuya exisencia esé garanizada por el Teorema Fundamenal, no ienen por qué esar definidas para odo valor de en el inervalo J de definición de f = f(,x). Tal es el caso de la ecuación = x2, con f(,x) = x 2 definido para en J = R y x en Ω = R. Las condiciones C1) y C2) del Teorema Fundamenal se verifican sin dificulad. La única solución que saisface la condición inicial x(1) = 1 es x() = 1 definida en (0, ). 6
4. Campos de direcciones Teniendo presene la inerpreación de la derivada x () de una función diferenciable x como la pendiene de la reca angene al gráfico de x = x() en el puno (,x()), se presenará una inerpreación geomérica de las soluciones de la ecuación diferencial ordinaria (10). En la discusión se supondrá que (10) saisface las hipóesis del eorema Fundamenal. En aras de simplificar la discusión supondremos que J = R y Ω = R. La idea consise en asignar a cada puno (,x) del plano, un segmeno de reca de longiud fija que pasa por (,x) y que iene pendiene f(,x), al como se muesra en la figura 1. Nóese que la solución de la ecuación diferencial (10) cuyo gráfico pasa por (,x) es angene al segmeno consruido en (,x). Eso se ilusra en la figura 2. x x x θ an θ = f(,x) x Figura 1: Figura 2: Ahora bien, razando esos segmenos en cada puno del plano obenemos el llamado campo de direcciones de la ecuación diferencial. La figura 3 ilusra el campo de direcciones de la ecuación diferencial x = x Figura 3: Una solución y el campo de direcciones de = x En ese conexo las soluciones x = x() de la ecuación diferencial (10) son curvas diferenciables con gráficos en el plano y angenes al campo de direcciones en cada puno. En aquellos casos en que no se puede enconrar un solución general cerrada, la écnica del campo de direcciones es una fuene de valiosa información. 7
Observaciones sobre la noación. Dado que la moivación presenada en esa guía esá basada en modelos que dependen del iempo, resula naural emplear la lera para denoar la variable emporal independiene, y con ora lera, digamos x a la variable dependiene. Asi x() denoará por ejemplo la población o la posición de un cuerpo en el insane. Ahora bien, no hay nada de malo en denoar con leras disinas a las variable dependiene e independiene. De hecho, solo el conexo o la radición indican la mejor noación. Obsérvese que + x = cos, dy + y = cos x, dy + x = cosy son formas disinas de escribir la misma ecuación diferencial. Ejercicios 1. (Modelo de Malhus para la población mundial) Sea x() la población humana mundial en el iempo (en años). En = 1961 la población se esimó en 3060 millones. Suponga que la población mundial crece según una ley de Malhus con asa anual de crecimieno del 2 %. a) Escriba la ley de crecimieno y halle x() al que x(1961) = 3,06 10 9, b) halle el iempo T necesario según el modelo para que x() duplique su amaño cada T años (compare lo observado: la población mundial se ha esado duplicando cada 35 años), c) halle las poblaciones predichas por el modelo de Malhus para los años 2000, 2510, 2635 y 2670 (Compare con la superficie oal de la Tierra aproximadamene 1,86 10 15 m 2, bajo el supueso de que una persona ocupa 0,09 m 2 ). 2. Demuesre que cualquier solución v = v() de (5) que modela la caída de un cuerpo en un medio resisivo saisface lím v() = m g Cuál es la inerpreación γ de ese resulado? Cuál sería el límie si v = v() fuera solución de la ecuación diferencial resulane del modelo de caída libre de Galileo? 3. Verifique que x 1 () = e 2 2, x2 () = e 2 2 0 e s2 2 ds son soluciones de la ecuación diferencial x + x + x = 0 definidas en R. 4. Suponga que x = x() es solución de la ecuación diferencial d2 x 2 x = 2 y saisface las condiciones inicilaes x(0) = 1, y x (0) = 1. Calcule d3 x 3 =0. 5. En cada caso deermine si la función es solución de la ecuación dada en el inervalo indicado. 1. y() = ce a b a, R, (a,b,c consanes); dy 8 = ay + b.
2. x() = ln, 0 < < ; m d2 x + c + kx = 0, 2 (m,c,k consanes). 3. u() = an, π < < π, du = 1 + 2 2 u2. 4. y(x) = 1 cosh a x, x R ; d 2 y = a 1 ( dy 2, a ) (a consane). 2 6. Demuesre que x() = e λ (λ consane) definida en R es solución de d 2 x + a + bx = 0, (a,b consanes) (11) 2 si y sólo si λ 2 +a λ+b = 0. Verifique que si u 1 () y u 2 () son soluciones de la ecuación (11), enonces c 1 u 1 () + c 2 u 2 () es solución para odo par de reales c 1 y c 2. Uilice lo anerior para hallar una solución de la ecuación d 2 x 2 3x = 0, 2 que saisfaga las condiciones iniciales x(0) = 1, x (0) = 2. 7. Muesre que y 1 (x) = senx y y 2 (x) = 2 sen x son soluciones disinas de y + y = 0 que saisfacen la misma condición inicial y(0) = 0. Explique por qué no se conradice el Teorema Fundamenal. 8. De las curvas que aparecen en el gráfico siguiene Cuál es la que mejor bosqueja el gráfico de la solución x = x() de la ecuación diferencial d2 x + (1 + )x = 0 que 2 saisface x(0) = 1 y x (0) = 0? x() a b 1 c d 9. Para = x(1 x) verifique que el eorema fundamenal es aplicable con J = R, Ω = R 10. Halle las soluciones de la forma x() = k, R, de la ecuación diferencial 2 2 x + 3 x x = 0. 11. Muesre que exisen infinias soluciones de: = 2 + 1 + 1 x 2 + 1. Muesre además que cualquier solución es esricamene creciene. 9
12. Halle una ecuación diferencial de primer orden de la forma = f(x) que que enga como solución a la función x() = sen en un inervalo adecuado. 13. Esboce el campo de direcciones correspondiene a la ecuación diferencial = x. En paricular deermine un segmeno angene en el puno (0, 1). Compruebe que x() = e es una solución de la ecuación diferencial y que ese segmeno es angene a la gráfica de x = x() en el puno (0, 1). Respuesas a ejercicios seleccionados 1. (a) x() = 3,06 10 9 e 0,02( 1961). (b) T = 34,66 años. (c) La relación esá ilusrada en la siguiene abla. Año Población Superficie ocupada 2000 6,67531 10 9 6,007775 10 8 2510 1,79587 10 14 1,616283 10 13 2635 2,18782 10 15 1,969036 10 14 2670 4,40572 10 15 3,965150 10 14 4. d 3 x 3 =0 = 1. 6. x() = 3 4 e3 + 1 4 e. 8. c 10. k = 1 y k = 1 2. 12. f(x) = 1 x 2, 1 x 1. x = sen es solución en ( π 2, π 2 ). 10