Tema : Vectores matrices. Conceptos básicos 1. Definición Matlab está fundamentalmente orientado al trabajo el cálculo matricial. Veremos que las operaciones están definidas para el trabajo con este tipo de elementos. Antes de empear a manejar operar con ellas veamos cómo se definen. Como en casi todos los lenguajes de programación, en Matlab las matrices vectores son variables a las que se les puede dar nombres. Para definir una matri no hace falta establecer de antemano su tamaño (de hecho, se puede definir un tamaño cambiarlo posteriormente). Matlab determina el número de filas de columnas en función del número de elementos que se introducen (o se utilian). Las matrices se definen con los elementos entre corchetes por filas; los elementos de una misma fila están separados por blancos o comas, mientras que las filas están separadas por pulsaciones intro o por caracteres punto coma (;). Por ejemplo, el siguiente comando define una matri A de dimensión (): >> A[1 ; 4 6; 7 8 9] La respuesta del programa es: 1 4 6 7 8 9 Veamos en el Workspace como las almacena Matlab (figura 1): 9
Figura 1 A partir del momento en que tenemos definidas diversas matrices, se pueden operar. Matlab puede hacer esto por medio de operadores o por medio de funciones.. Operaciones elementales Operaciones básicas como suma, producto o trasposición de hacen como se muestra a continuación, permitiéndose algunas operaciones no definidas matemáticamente: Operador suma () Utiliado entre matrices de iguales dimensiones, obtiene la suma elemento a elemento. Utiliado entre una matri un escalar, suma el escalar a cada elemento de la matri. Operador resta (-) Idéntico a la suma en su utiliación. Operador producto (*) Utiliado entre matrices calcula el producto matricial. Las dimensiones de las matrices deben ser congruentes. Utiliado entre una matri un escalar, multiplica el escalar por cada elemento de la matri. Operador producto elemento a elemento (.*) Se utilia entre dos matrices de iguales dimensiones multiplica elemento a elemento, obteniendo otra matri de igual dimensión. Operador potenciación (^) 0
Si c es un entero A es una matri cuadrada, A^c calcula el producto A*A*A... *A, c veces. Operador potenciación elemento a elemento (.^) A.^B da como resultado una matri cuo elemento ij es a ij^b ij. A.^c da como resultado una matri cuo elemento ij es a ij^c. c.^a da como resultado una matri cuo elemento ij es c^a ij. Operador división (/) (\) En Matlab eiste el operador división a la derecha (/) división a la iquierda (\). La utiliación entre matrices es la siguiente: - \ división-iquierda: A\B Si A es cuadrada A\Binversa(A)*B. Si A no es cuadrada A\B es la solución en el sentido de mínimos cuadrados del sistema AXB. - / división-derecha: A/B Si B es cuadrada A/BA*inversa(B). Si B no es cuadrada, A/B es la solución del sistema XBA. Operador división elemento a elemento (./) (.\) A./B da como resultado una matri cuo elemento ij es a ij /b ij. A.\B da como resultado una matri cuo elemento ij es b ij /a ij. Operador traspuesta ( ) A da como resultado la matri transpuesta de A.. Operaciones por medio de funciones En menú de la auda: matlab\elmat - Elementar matrices and matri manipulation matlab\matfun - Matri functions - numerical linear algebra, se pueden encontrar las diversas funciones que se aplican a las matrices. Destacamos las más elementales como: inv(a) da como resultado la matri inversa de A. det(a) da como resultado el determinante de A. trace(a) da como resultado la traa de A. rank(a) da el rango de A Debe destacarse que la maoría de las funciones definidas en el programa se ejecutan sobre cualquier matri aplicándose elemento a elemento. Por ejemplo: >> Sin(A) 1
Ofrece como respuesta una matri del mismo tamaño que A cuos elementos son el seno del correspondiente elemento de A: 0.841 0.909 0.1411-0.768-0.989-0.794 0.670 0.9894 0.411 4. Otras formas de definir matrices Algunas veces, introducir matrices por el teclado no es práctico. Veremos otras formas más potentes de generar matrices que luego, tras modificaciones nos pueden llevar a definir la que nos interesa. Los comandos a utiliar se encuentren en matlab\elmat. Algunas de estas funciones son las siguientes: ee(n) forma la matri identidad de tamaño (nn) eros(m,n) forma una matri de ceros de tamaño (mn) eros(n) forma una matri de ceros de tamaño (nn) ones(n) forma una matri de unos de tamaño (nn) ones(m,n) forma una matri de unos de tamaño (mn) rand: este comando genera números pseudoaleatorios distribuidos uniformemente entre 0 1. Cada llamada proporciona un nuevo número. rand(n): genera una matri de números pseudoaleatorios entre 0 1, con distribución uniforme, de tamaño nn. rand(m,n): igual que en el caso anterior pero de tamaño mn.. Manipulación de matrices Con este programa es posible crear matrices a partir de una dada, etraer o cambiar elementos de una matri, en general, manipular de casi cualquier forma estos elementos. Veamos los diversos caminos para realiarlo: - Crear una nueva matri que reciba alguna característica o propiedad de la de partida - Componer una matri a partir de submatrices más pequeñas. - Mediante la manipulación de los elementos de la matri de partida. Características de una matri:
Destacamos algunos comandos que permiten trabajar con las características o elementos de una matri de partida: sie (A), length(a) nos dan información sobre las características de la matri A, en este caso dimensión de la matri o longitud del vector. eros (sie(a)) genera una matri de ceros del mismo tamaño que A. ones(sie(a)) lo mismo con matri de unos Adiag() devuelve una matri diagonal cuos elementos de la diagonal son los del vector. triu(a) tril(a) forman matrices triangulares superiores e inferiores a partir de la matri A. Composición de matrices Crear una matri a partir de submatrices es algo mu sencillo para el programa que sin embargo es de mucha utilidad por ejemplo a la hora de añadir datos o ampliar información. Si contamos con la submatrices A[1 ; 4] B[1,6], C[A; B] genera la matri: 1 4 1 6 Si tenemos con los vectores u[1 4] v[1 6], w[u v] devuelve: w[1 4 1 6] Manipulación de elementos Veremos como etraer, cambiar o eliminar elementos o líneas (filas o columnas de una matri). Dado un vector, la ejecución de (i) devuelve el elemento situado en la posición i de ese vector. En el caso matricial A(i,j) devuelve el elemento situado en la fila i columna j de la matri A. El operador (:) es de gran importancia en Matlab. Puede decirse que es un operador que respeta el rango. Veamos su utilidad con algunos ejemplos: >> 1:10 1 4 6 7 8 9 10 >> [0::10]
0 4 6 8 10 El primer número indica el valor inicial, el segundo el paso del incremento el tercero el elemento final. Como hemos visto si se omite el intermedio, por defecto se toma la unidad. Nota: En general, el operador genera vectores fila. Conocido este operador, podemos decir que con él es posible definir variables vectoriales: [p:q] general un vector de primer elemento p, último q los elementos intermedios se diferencian en una unidad [p:i:q] devuelve un vector de primer elemento p, último q los elementos intermedios se diferencian en i unidades. Destacar también el comando linspace: linspace(p,q,n) genera un vector de n elementos uniformemente espaciados desde p hasta q. A esto se le puede dar gran número de aplicaciones: Recordando que el vector es: [1 4 6 7 8 9 10]: >> (1:4) ans 1 4 >> A[1 ; 4; 6] A 1 4 6 >> A(1,:) ans 1 >> A(:,) ans 4 6 4
Práctica : Matrices vectores 1. Introducir los vectores (1 4 ) (6 7 8 9 10) asignándoles las variables u v respectivamente: a. Determinar u, uv, u-v. b. Construir un vector cuos elementos sean los de v incrementados unidades. c. Determinar un vector de elementos el resultado de multiplicar cada elemento de u por el correspondiente de v. d. Calcular un vector de elementos los de u elevados al cubo. e. Calcular un vector cuos elementos sean el resultado de elevar cada elemento de u al elemento de v correspondiente. 1 1 7. Introducir las matrices A 4, B 4 1 7 1 0 8 1 a. Calcular AB, AB, A 4 b. Determinar una matri cuos elementos sean el resultado de multiplicar cada elemento de A por el correspondiente de B. c. Determinar una matri cuos elementos sean el resultado de dividir cada elemento de A por el correspondiente de B.. Determinar si es posible: a. La inversa de A de B. Verificar que el producto de una matri por su inversa es la matri identidad. b. La traa de B. c. El determinante el rango de A. 4. Una empresa compra los siguientes artículos: Referencia artículo Cantidad de artículo Precio de la unidad (sin IVA) 100 00 190 101 10 4 10 00 69 10 49 98
a. Introducir la tabla en mediante tres vectores: referencia, cantidad coste. b. Determinar el coste total de cada producto. c. Construir una tabla con cada artículo su coste total. d. Calcular el coste total a pagar por la empresa incluendo un 16% de IVA. Introducir los vectores u(,,4) v(,-4,8). a. Determinar la suma el producto de todos los elementos de u. b. Calcular el máimo mínimo de los elementos de v, así como el lugar donde están situados. c. Calcular el producto escalar de u v. d. Determinar el módulo de los vectores. 6. Construir los vectores cuos elementos sean: a. Los números naturales comprendidos entre el 10 el 100. b. (-1, -0,8, -0.6,..., 1.6, 1.8, ). c. Desde el 1 hasta el igualmente espaciados con un total de 8 elementos. 7. Dados u(1,,), v(4,,6), a. Construir el vector (0,1,,) a partir de u. b. Construir el vector de elementos los de u v 8. Construir un vector w con los cuadrados de los 1 primeros números naturales. a. Etraer el cuadrado de 7. b. Etraer los cuadrados de los elementos que van desde el al 6 ambos inclusive. c. Etraer los cuadrados de los elementos que van desde el 7 al 1 ambos inclusive en sentido inverso d. Construir, a partir de w un vector con los cuadrados de 1,, 7,14. 8 1 4 9. Introducir la mati A 1 6 7 4 a. Etraer el elemento a. 4 9 0 b. Sustituir el elememto a por 100. c. Construir una submatri de A formada por las filas, 4 las columnas 1, de A. d. Etraer la fila de A. e. Etraer la columna 1 de A. 6
7 f. Construir una matri formada por las filas 1, de A. g. Construir una matri formada por las filas 1 4 de A. 10. Construir una matri A cuadrada aleatoria de orden. a. Obtener su inversa, su transpuesta su diagonal. b. Transformarla en una matri triangular inferior. c. Obtener la suma de los elementos de la primera fila, de la segunda columna de la diagonal. 11. Estudiar, según el teorema de Rouche-Frobenius, resolver el sistema: 4 6 1 19 8 6 1. Resolver el sistema 1 4 1 t t t t utiliando: a. La matri inversa de los coeficientes si eiste. b. El operador división iquierda.