PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

ANEXO PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Em este bloque hemos creído conveniente añadir las PAU (Pruebas de acceso a la Universidad) propuestas en la Comunidad Valenciana para el Bchillerato de Ciencias Humanas y Sociales desde el año 2002 hasta el año 2007. Al igual que en el resto del material, se incluye una resolución de todas las actividades. Al añadir este bloque pretendemos dos objeticos: Que tengas un material extra para trabajar. Que tengas una referencia de las posibles pruebas que te puedes encontrar si te presentas a dicha Prueba de Acceso. Observa que normalmente hay dos opciones para elegir, en las que a su vez hay dos opciones. Aunque te extrañe es la decisión más difícil. Si quieres tener acceso a las PAU mediante Internet, hay dos opciones: a) Modelos de exámenes de Matemáticas Aplicadas a las CCSS (Corregidos) http://www.figueraspacheco.com/ceed/ceed.html Departamentos Matemáticas Matemáticas Aplicadas a las CCSS II de 2º Bachillerato Rincón del estudiante b) Modelos de exámenes de todas las asignaturas http://www.ua.es/ Estudios y acceso Pruebas de acceso Pruebas de acceso a la Universidad (PAU). Años 2002 al 2007 Selectividad alumnos Bachillerato LOGSE CURRÍCULO DE LAS ASIGNATURAS Y EXÁMENES DE AÑOS ANTERIORES (Años 2001 al 2008)

Problema 1. 2002J BCHS Se considera la región factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: x + y < 5 x + 3y > 9 x 0, y 0 EJERCICIO A. Representar la región factible que determina el sistema de inecuaciones anterior y hallar de forma razonada el punto o puntos de la región factible donde las siguientes funciones alcanzan su máximo y su mínimo: a) f(x, y) = 2x + 3y, b) f(x, y) = y x. Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación del importe de sus billetes asciende a 2115. Calcular de forma razonada cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9, cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% es el doble del número de viajeros que ha pagado el billete entero. Problema 3. La velocidad (en m./seg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dada en función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión: Deducir de forma razonada: f(x) = 0'00055 x (x 300) a) Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? Cuál es ésta velocidad? b) Entre qué distancias su velocidad va aumentando? Y disminuyendo? c) A qué velocidad llega a la meta? En un aparato de radio hay presintonizadas tres emisoras A, B y C que emiten durante todo el día. La emisora A siempre ofrece música, mientras que la B y la C lo hacen la mitad del tiempo de emisión. Al encender la radio se sintoniza indistintamente cualquiera de las tres emisoras. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que al encender la radio escuchemos música. b) Si al poner la radio no escuchamos música, calcular de forma razonada cuál es la probabilidad de que esté sintonizada la emisora B. 1

Problema 1. EJERCICIO B. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los de tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 por cada paquete que venda de tipo A y 5 por cada uno que venda de tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximizar los beneficios y calcular éste. Los tres vértices de un triángulo son A = (0, l), B = (1,2) y C = (3,0). a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C. b) Hallar el punto de intersección de esta recta con la recta de ecuación x + 3y = 2. Problema 3. La función f(t) = 2'1 t 2 + 0'8 t 1, para 0 t 9 donde el tiempo, t, viene expresado en años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t = 0) y 2000 (t = 9). a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa en este periodo de tiempo. b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio en los dos últimos años. c) Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos periodos anteriores? Un alumno realiza un examen tipo test que consta de 4 preguntas. Cada una de las preguntas tiene tres posibles respuestas, de las que sólo una es correcta. Si un alumno aprueba contestando correctamente dos o más preguntas, obtener de forma razonada la probabilidad de que apruebe si escoge las respuestas de cada una de las preguntas completamente al azar. 2

RESOLUCIÓN Problema 1. La región factible determinada por el sistema de inecuaciones es: EJERCICIO A. Sabemos que si las funcion alcanzan un máximo o un mínimo, éstos deben estar en uno de los vértices de la región factible. Por tanto, construimos esta tabla: Vértice Función objetivo f(x, y) = 2x + 3y Función objetivo f(x, y) = y x A(0,3) 9 3 B(0,5) 15 5 C(2 5,2 5) 12 5 0 a) f(x, y) = 2x + 3y alcanza su máximo en el punto (0,5) y su mínimo en el punto (0,3). b) f(x, y) = y x alcanza su máximo en el punto (0,5) y su mínimo en el punto (2 5,2 5). 1. Codificamos las incógnitas: x: Nº de viajeros que pagan billete entero, y: Nº que pagan el 20 %, z: Nº que pagan el 50% 2. Codificamos la información mediante un sistema de ecuaciones: 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante el método matricial de Gauss: 3

Problema 3. Retocamos la función: f(x) = 0'00055 x 2 + 0 165x a) La velocidad máxima se alcanza cuando f (x) = 0, f (x) < 0. f (x) = 0 0 00110x + 0 165 = 0 x = 150. Como f (x) = 0 00110 < 0 En x = 150 metros la velocidad es máxima y es 12 375 m/s. b) La velocidad crece en el intervalo [0,150[ y decrece en el intervalo ]150,200]. c) Para saber a qué velocidad llega a la meta, basta con sustituir x = 200. Es f(200) = 11 m/s. Podemos enfocar este problema utilizando una tabla de contingencia: A: La emisora es A, B: La emisora es B, C: La emisora es M: Emite música, M : No emite música A B C Totales M 100 50 50 200 M 0 50 50 100 Totales 100 100 100 300 a) Nos piden P (M) = 200 / 300 = 66 66 %. b) Nos piden P (B / M ) = P(B M ) / P(M ) = 50 / 100 = 50 %. 4

Problema 1. 1. Identificamos las variables del problema. x: Nº de paquetes del tipo A y: Nº de paquetes del tipo B EJERCICIO B. 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 3x + 2y 120 3x + 4y 180 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 6x + 5y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 6x + 5y A(0,0) 0 B(0,4 ) 225 C(20,30) 270 D(40,0) 240 La solución óptima es: 20 paquetes del tipo A y 30 paquetes del tipo B. 5

a) Para encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela al lado AB que pasa por el punto C (Figura de la izquierda). V r = (1,1) m s = m r = 1 s: y = x + n Como la recta s pasa por el punto (3,0) 01 = 3 + n n = 3 La ecuación de la recta s es: y = x 3 b) Para calcular el punto de corte entre las rectas s y t (Figura de la derecha), resolvemos el sistema de ecuaciones Problema 3. a) T.V. [0,9] = x + 3 (x 3) = 2 4x 9 = 2 4x = 11 x = 11/4, y = 1/4. b) T.V. [7,9] = c) La conclusión es que en los dos últimos años, el benefico aumenta más rápidamente que en los primeros años, ya que el beneficio medio de todo el período (19,588...) es menor que el beneficio medio de los dos últimos años. Codificamos el suceso B: La respuesta es correcta. Por tanto, P(B) = 1/3. Además los sucesos B 1, B 2, B 3, B 4 son independientes. Si tenemos que cuenta que para aprobar hay que Contestar bien a dos o más preguntas, sería más interesante plantearnos la probabilidad del suceso contrario No contestar bien ninguna o centestar bien sólo una. P (No contestar bien ninguna o contestar bien sólo una) = P(B B B B ) + 4 P(B B B B ) = + 4 = 0 59... P (Aprobar) = 1 0 59 = 0 41 6

Problema 1. 2002S BCHS EJERCICIO A. Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha. con olivos de tipo A ni más de 10 ha. con olivos del tipo B. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m 3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m 3. Se dispone anualmente de 44 m 3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de 500 y cada una de tipo B, 225. Se dispone de 4500 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respectivamente, 500 y 300 litros anuales de aceite a) Obtener razonadamente las hectáreas de cada tipo de olivo que se deben plantar para maximizar la producción de aceite b) Obtener la producción máxima. Obtener de forma razonada la matriz X que verifica A*X = 2 B C, siendo:,, Problema 3. La relación entre la temperatura del aire T (en º F) y la altitud h (en metros sobre el nivel del mar) es lineal para 0 h 20000. Si la temperatura a nivel del mar es 60 ºF y por cada 5000 m. de altitud que se sube, la temperatura del aire baja 18 ºF, se pide: a) Expresar T en función de h. b) Calcular de forma razonada la temperatura del aire a una altitud de 15000 m. c) Calcular de forma razonada la altitud a la que la temperatura es 0 ºF. El 60% de los alumnos de Bachillerato de un instituto son chicas y el 40% chicos. La mitad de los chicos lee asiduamente la revista COMIC, mientras que sólo el 30 % de las chicas la lee. a) Obtener de forma razonada la probabilidad de que un alumno elegido al azar lea esta revista. b) Si un alumno elegido al azar nos dice que no lee la revista, obtener de forma razonada la probabilidad de que sea chica. 7

Problema 1. EJERCICIO B. Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan pasar por los talleres X e Y. En cada uno de los talleres se trabaja 100 horas a la semana. Cada aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del Y y cada aparato B, 1 y 2 horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 y cada aparato B, a 150. a) Obtener razonadamente cuántos aparatos de cada tipo han de producirse para que el ingreso por ventas sea máximo b) Cuál es el ingreso máximo? Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta paralela a y = 2x 3 que pasa por el punto de intersección de y = 3x 2 y 3x 2y = 1. Problema 3. Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x) = 2x 2 12x + 23, donde f(x) indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Halla de forma razonada: a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo. c) Dichos consumos. En una bolsa de caramelos surtidos hay 10 caramelos con sabor a naranja, 5 con sabor a limón y 3 con sabor a fresa. Todos tienen el mismo tamaño y hasta extraerlos de la bolsa no se sabe de qué sabor son. Se extraen tres caramelos al azar. a) Calcular de forma razonada la probabilidad de extraer primero uno con sabor a naranja, luego uno con sabor a fresa y, por último, uno con sabor a limón. b) Calcular de forma razonada la probabilidad que sean de tres sabores diferentes. 8

RESOLUCIÓN Problema 1. 1. Identificamos las variables del problema. x: Nº de ha del tipo A y: Nº de ha del tipo B EJERCICIO A. 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 x 8 y 10 4x + 3y 44 500x + 225y 4500 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 500x + 300y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 500x + 300y A(3 5,10) 4.750 B(4 5,10) 5.250 C(6,20/3) 5.000 La solución óptima es: 4 5 ha del tipo A y 10 ha del tipo B. La producción máxima es 5.250 litros. 9

Forma 1 Si despejamos X: X = A 1 (2B C) Como A 1 = Forma 2 Si no hemos trabajado con la matriz inversa: Llamamos X = = 2 = Problema 3. Tenemos una función lineal: T = m h + n m = ; n = T(0) = 60 a) T = 0,0036 h + 60 (1) b) T(15000) = 0,0036 15000 + 60 = 6. c) Si en la expresión (1), sustituimos T = 0 0 = 0,0036 h + 60 h = 16666,66.. metros. Vamos a construir una tabla de contingencia con los siguientes sucesos: M: Es chica, M : Es chico L: Lee la revista, L : No lee la revista M M Totales L 18 25 43 L 42 15 57 Totales 60 40 100 a) Nos piden P(L) = 43 / 100 = 42 %. b) Nos piden P(M / L ) = P(M L ) / P(L ) = 42 / 57 = 73 68 %. 10

Problema 1. 1. Identificamos las variables del problema. x: Nº de aparatos del modelo A y: Nº de aparatos del modelo B EJERCICIO B. 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 3x + y 100 x + 2y 100 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 100x + 150y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 100x + 150y A(0,0) 0 B(0,50) 7.500 C(20,40) 8.000 D(100/3,0) 3.333 33 La solución óptima es: 20 aparatos del tipo A y 40 aparatos del tipo B. El ingreso máximo es 8.000 euros. 11

En el dibujo de la izquierda tenemos la situación gráfica inicial en la que tenmos que encontrar el punto P, intersección de las rectas dadas: 3x 2 (3x 2) = 1 3x 6x + 4 = 1 3 = 3x x = 1, y = 1. En el dibujo de la derecha tenemos la recta, s, que nos piden. De dicha recta conocemos: Un punto P(1,1) y la pendiente m = 2 (Es paralela a r). Su ecuación será, por tanto: y = 2x 1 Problema 3. La gráfica de la función f(x) = 2x 2 12x + 23 es una parábola cóncava; por tanto tendrá un mínimo relativo, que será el vértice. a) Nos están pidiendo el mínimo relativo de la función. En el mínimo f (x) = 0 4x 12 = 0 x = 3. Si hay un mínimo, será para x = 3. Compruebo que en x = 3 hay un mínimo: f (x) = 4 > 0 Si x = 3, el consumo es mínimo, 5. b) Nos están pidiendo el máximo absoluto de la función en el intervalo [2000,5000]. Como f es decreciente en [2000,3000[ y es creciente en ]3000,5000], el máximo absoluto debe estar en uno de los extremos del intervalo: f(2) = 7, f(5) = 13 Si x = 5, el consumo es máximo, 13. Llamamos: N: Es de sabor a naranja, L: Es de sabor a limón, F: Es de sabor a fresa a) Nos piden: P(N F L). Hay que tener en cuenta que los sucesos son independientes. P(N F L) = P(N) P(F) P(L) = b) Nos piden P(N F L) P 3. P(N F L) P 3 = 0 03 6 = 0 18 12

2003J BCHS Problema 1. Dada la siguiente ecuación matricial: EJERCICIO A. obtener de forma razonada los valores de x, y, z. Una compañía fabrica y vende dos modelos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes y para el de máquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 para el modelo A y de 10 para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y calcular éste. Problema 3. Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros, x, viene dado por y = 50 x, donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x 10, determinar de forma razonada el precio x que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio obtenido. En una pequeña ciudad hay dos bibliotecas. En la primera, el 50% de los libros son novelas mientras que en la segunda lo son el 70%. Un lector elige al azar una biblioteca siguiendo un método que implica que la probabilidad de elegir la primera biblioteca es el triple que la de elegir la segunda. Una vez llega a la biblioteca seleccionada, elige al azar un libro, novela o no. a) Calcular razonadamente la probabilidad de que elija una novela. b) Sabiendo que el libro seleccionado es una novela, obtener razonadamente la probabilidad de que haya acudido a la primera biblioteca. 13

Problema 1. EJERCICIO B. El 75% de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60% de los que utilizan transporte y el 90% de los que acuden andando. Calcular de forma razonada: a) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido andando. b) Si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual. Debo tomar al menos 60 mg de vitamina A y al menos 90 mg de vitamina B diariamente. En la farmacia puedo adquirir dos pastillas de marcas diferentes X e Y. Cada pastilla de la marca X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de vitamina B y cada pastilla de la marca Y contiene 10 mg de cada vitamina. Además, no es conveniente tomar más de 8 pastillas diarias. Sabiendo que el precio de cada pastilla de la marca X es 50 céntimos de euro y que cada pastilla de marca Y cuesta 30 céntimos de euro, calcular de forma razonada: a) Cuántas pastillas diarias de cada marca debo tomar para que el coste sea mínimo. b) Cuál es el coste mínimo. Problema 3. Cinco amigos suelen tomar café juntos. El primer día tomaron 2 cafés, 2 cortados y un café con leche y debieron pagar 3. Al día siguiente tomaron un café, un cortado y tres cafés con leche, por lo que pagaron 3'25. El tercer día sólo acudieron cuatro de ellos y tomaron un café, dos cortados y un café con leche, ascendiendo la cuenta a 2'45. Calcular de forma razonada el precio del café, del cortado y del café con leche. Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo. 14

RESOLUCIÓN Problema 1. 1. Escribimos el sistema en forma habitual : EJERCICIO A. 2. Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante el método matricial de Gauss: 1. Identificamos las variables del problema. x: Nº de lámparas del modelo A y: Nº de lámparas del modelo B 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 20x + 30y 6000 2x + 3y 600 20x + 10y 4800 2x + y 480 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 15x + 10y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 15

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 15x + 10y A(0,0) 0 B(0,200) 2.000 C(210,60) 3.750 D(240,0) 3.600 La solución óptima es: 210 lámparas del modelo A y 60 del modelo B. El máximo beneficio que se obtiene son 3.750. Problema 3. La función que nos da el beneficio total será: B(x) = (50 x) (x 10) B(x) = x 2 + 60x 500 El coste será mínimo cuando B (x) = 0 2x + 60 = 0 x = 30. Si hay un beneficio máximo deberá producirse para x = 30. Vamos a comprobarlo con el criterio de la 2ª derivada. B (x) = 2 < 0 Si x = 30, el beneficio es máximo y es B(30) = 400 Vamos a construir una tabla de contingencia con los siguientes sucesos: A: El libro es de la biblioteca A, A : El libro es de la biblioteca B N: El libro es una novela, N : El libro no es una novela A A Totales N 15 7 22 N 15 3 18 Totales 30 10 40 Nota: En este caso hemos considerado más que probabilidades, personas; es decir, si en B hay 10 libros (por ejemplo), en A hay el triple, 30. a) Nos piden P(N) = 22 / 40 = 55 %. b) Nos piden P(A / N) = P(A N) / P(N) = 15 / 22 = 68 18 %. 16

Problema 1. Vamos a construir una tabla de contingencia con los siguientes sucesos: T: Utilizan transporte, T : No utilizan transporte P: Llega puntual, P : No llega puntual EJERCICIO B. T T Totales P 450 225 675 P 300 25 325 Totales 750 250 1000 Nota: Hemos tomado como total de la población 1.000 personas, ya que si tomamos 100, el 90% de los 25 que no utilizan transporte serían 22 5 personas. a) Nos piden P(T / P) = P(T P) / P(P) = 225 / 675 = 33,33 %. b) Nos piden P(P) = 675 / 1000 = 67 50 %. 1. Identificamos las variables del problema. x: Nº de pastillas de la marca A y: Nº de pastillas de la marca B 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 10x + 10y 60 15x + 10y 90 x + y 8 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. C(x, y) = 50x + 30y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 5. Para buscar la solución óptima e interpretar los resultados, construimos esta tabla: 17

Vértice Función objetivo B(x, y) = 50x + 30y A(0,8) 240 B(0,9) 270 C(2,6) 280 La solución óptima es: 8 pastillas del modelo B. El coste será de 240. Problema 3. 1. Codificamos las incógnitas: x: precio del café, y: precio del cortado, z: precio del café con leche 2. Codificamos la información mediante un sistema de ecuaciones: 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante el método matricial de Gauss: 1. Escribimos las dos variables o incógnitas: x: 1 er sumando, y: 2º sumando 2. Escribimos la función que queremos optimizar: F(x,y) = x 2 + 2 y 2 Como la función depende de dos variables, debemos buscar una relación entre ellas que nos permita escribir la función que queremos optimizar dependiendo de una sola variable. 3. Buscamos una relación entre ambas variables: x + y = 90 y = 90 x 4. Escribimos la función, pero dependiendo de una sola variable: F(x) = x 2 + 2 (90 x) 2 F(x) = x 2 + 2 (8100 180x + x 2 ) = x 2 + 16200 360x + 2x 2 F(x) = 3x 2 360x + 16200 Ya tenemos una función que podemos optimizar aplicando el cálculo diferencial. 5. Los extremos relativos habrán de cumplir: F (x) = 0 F (x) = 0 6x 360 = 0 x = 60. Si hay un extremo relativo, se producirá en x = 60. 6. Comprobamos si para x = 60 la función F presenta un mínimo siguiendo el criterio de la 2ª derivada. F (x) = 6 > 0 En x = 60, F presenta un mínimo relativo. Conclusión: Si descomponemos 90 en dos sumandos, 60 y 30, el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo es mínimo y es 5400. 18

Problema 1. 2003S BCHS EJERCICIO A. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un billete entre las poblaciones A y B se ha pagado 20 y por un billete entre las poblaciones A y C se ha pagado 32. Si la distancia de A a C es el doble de la distancia de A a B, calcular de forma razonada cuánto se tendrá que pagar por un billete a una población que dista de A la mitad que B. Una empresa dispone de un máximo de 16.000 unidades de un producto que puede vender en unidades sueltas o en lotes de cuatro unidades. Para empaquetar un lote de cuatro unidades se necesita el triple de material que para empaquetar una unidad suelta. Si se dispone de material para empaquetar 15.000 unidades sueltas, y si el beneficio que se obtiene por la venta de cada unidad suelta es de 2 y de cada lote de cuatro unidades es de 7, calcular de forma razonada el número de unidades sueltas y de lotes de cuatro unidades que hay que preparar para maximizar el beneficio y calcular éste. Problema 3. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por: C(x) = Definir la función que determina el coste medio por litro producido y determinar de forma razonada con qué producción dicho coste medio será mínimo. Cuál es el valor de dicho coste? Un ordenador personal tiene cargados dos programas antivirus. A l y A 2 que actúan simultánea e independientemente. Ante la presencia de un virus, el programa A l lo detecta con una probabilidad de 0 9 y el programa A 2 lo detecta con una probabilidad de 0 8. Calcular de forma razonada: a) La probabilidad de que un virus cualquiera sea detectado. b) La probabilidad de que un virus sea detectado por el programa A l y no por A 2. 19

EJERCICIO B. Problema 1. Dados los puntos del plano (1,1) y (3, 2), se pide: a) Encontrar de forma razonada la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos. b) Deducir si dicha recta es paralela o si corta a la recta de ecuación 3x + y = 5. c) En este último caso, calcular el punto de corte. Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La inversión en B ha de ser al menos de 3.000 y no se quiere invertir en A más del doble que en B. Se supone que A proporcionará un beneficio del 10% y B del 5%. Si se dispone de 12.000, calcular de forma razonada cuánto se debe invertir en cada producto para maximizar el beneficio y determinar éste. Problema 3. La concentración C de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad durante los 20 primeros días de un determinado mes se puede aproximar por la función C(x) = 90 + 15x 0 6x 2 donde x representa el tiempo transcurrido en días. a) Estudiar de forma razonada el crecimiento y decrecimiento de la concentración de ozono en relación con los días transcurridos. b) Cuál es la concentración máxima de ozono alcanzada durante esos 20 días? Justificar la respuesta. El 75% de los jóvenes que tienen vídeo consola ha recibido propaganda de un determinado vídeo juego y el 25% restante no. El 30% de los que recibieron la propaganda ha utilizado después dicho vídeo juego y también lo ha hecho el 5% de los que no la recibieron. Calcular de forma razonada: a) La probabilidad de que un joven con vídeo consola seleccionado al azar haya utilizado este vídeo juego. b) La probabilidad de que un joven con vídeo consola seleccionado al azar haya recibido propaganda y no haya utilizado el vídeo juego. 20

RESOLUCIÓN Problema 1. Con la información inicial, se nos está diciendo que tenemos una función lineal: P = m x + n P: precio, x: nº de Km. Tendríamos además: x: distancia de A hasta B 20 = m x + n 2x: distancia de A hasta C 32 = m 2x + n EJERCICIO A. : distancia de A hasta D P (desconocido) = m + n Si trabajamos en el sistema: Por tanto: P (desconocido) = 6 + 8 = 14 12 = mx n = 8 1. Identificamos las variables del problema. x: Nº de unidades sueltas y: Nº de lotes de cuatro unidades 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 x + 4y 16000 x + 3y 15000 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 2x + 7y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 21

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 2x + 7y A(0,0) 0 B(0,4000) 28.000 C(12000,1000) 29.000 D(15000,0) 30.000 Solución óptima: 15.000 unidades sueltas y ningún lote. El máximo beneficio es de 30.000. Problema 3. Teniendo en cuenta que para hallar el coste medio por litro producido debemos dividir el coste total, C(x), entre el número de litros, x, tendremos: C m = El coste será mínimo cuando = 0 = 0 x 2 = 1600 x = 40 (Sólo tiene sentido la solución positiva). Si hay un coste mínimo deberá producirse para x = 40. Vamos a comprobarlo con el criterio de la 2ª derivada. C = C (40) > 0 Si x = 40, el coste es mínimo y es C m (40) = 45 a) Nos piden P(A 1 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) P(A 1 A 2 ) = 0 9 + 0 8 0 9 0 8 = 1 7 0 72 = 0 98 b) Nos piden P(A 1 ) = P(A 1 ) P( ) = 0 9 0 2 = 0 18 22

Problema 1. a) Para encontrar de forma razonada la ecuación de la recta que pasa por ambos puntos: V d = (2, 3) m = 3/2 r: y = 1 5 x + n Como la recta pasa por el punto (1,1) 1 = 1 5 + n n = 2 5 La ecuación de la recta es: y = 1 5x + 2 5 b) La recta y = 3x + 5, tiene como pendiente 3. Por tanto, no son paralelas. c) Para calcular el punto de corte, resolvemos el sistema de ecuaciones 1 5x + 2 5 = 3x + 5 1 5x = 2 5 x = 5/3, y = 0 1. Identificamos las variables del problema. x: Cantidad invertida en A y: Cantidad invertida en B EJERCICIO B. 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 y 3000 x 2y x + y 12000 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 0 10x + 0 05y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 23

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 0 10x + 0 05y A(6000,3000) 750 B(8000,4000) 1.000 C(9000,3000) 1.050 La solución óptima es: 9.000 en A y 3.000 en B. El máximo beneficio será de 1.050. Problema 3. Vamos a comenzar buscando la concentración máxima: Será máxima cuando C (x) = 0 15 1 2 x = 0 x = 12 5. A nievel matemático, si hay una concentración máxima, se producirá a los 12 5 días. Para comprobarlo, vamos a utilizar el criterio de la 2ª derivada. C (x) = 1 2 < 0 A los 12 5 días alcanza la concentración máxima, que será 183 75 mg/m 3. Por tanto, la concentración crece en el intervalo [0,12 5[ y decrece en el intervalo ]12 5,20] Vamos a construir una tabla de contingencia con los siguientes sucesos: P: Reciben propaganda, P : No reciben propaganda V: Utilizan el vídeo juego, V : No utilizan el vídeo juego V V Totales P 2250 5250 7500 P 125 2375 2500 Totales 2375 7625 10000 Nota: Hemos tomado como total de la población 10.000 personas, ya que si tomamos 100, el 5% de los 25 que no recibieron la propaganda serían 1 25 personas. a) Nos piden P(V) = 2375 / 10000 = 23 75 %. b) Nos piden P(P V ) = 5250 / 10000 = 52 50 %. 24

2004J BCHS Problema 1. Dadas las matrices EJERCICIO A. A =, B =, C = Calcular la matriz X que verifica la ecuación A X B = 2C. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste. Problema 3. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función I(x) = 28x 2 + 36000x, mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G(x) = 44x 2 + 12000x+ 7000000, donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar: a) La función que define el beneficio anual en euros. b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo. c) El beneficio máximo. El 60% de las personas que visitaron un museo durante el mes de mayo eran españoles. De éstos, el 40% eran menores de 20 años. En cambio, de los que no eran españoles, tenían menos de 20 años el 30%. Calcular: a) La probabilidad de que un visitante elegido al azar tenga menos de 20 años. b) Si se escoge un visitante al azar, la probabilidad de que no sea español y tenga 20 años o más. 25

Problema 1. EJERCICIO B. Juan decide invertir una cantidad de 12.000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%, las de B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432 5. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferroviaria son de 540 por vagón de coches y 360 por vagón de motocicletas, calcular cómo se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio. Problema 3. La parte superior de una pared de 2 metros de base tiene una forma parabólica determinada por la expresión 0 5x 2 + x + 1, donde x mide la longitud en metros desde la parte izquierda de la pared. Calcular la superficie de dicha pared utilizando una integral. Las máquinas A y B producen 50 y 250 piezas por hora, con un porcentaje de fallos del 1% y del 10%, respectivamente. Tenemos mezcladas las piezas fabricadas en una hora y elegimos una pieza al azar. Calcular: a) La probabilidad de que sea una pieza no defectuosa fabricada en la máquina B. b) La probabilidad de que esté fabricada en la máquina A, si sabemos que es defectuosa. 26

RESOLUCIÓN Problema 1. Si despejamos la matriz X, tendremos: EJERCICIO A. X = A 1 2C B 1 = = 1. Identificamos las variables del problema. x: Cantidad invertida en préstamos de riesgo alto y: Cantidad invertida en préstamos de riesgo medio 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 y 4 x + y 18 5x 4y 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 0 14x + 0 07y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 27

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 0 14x + 0 07y A(0,4) 0 28 B(0,18) 1 26 C(8,10) 1 82 D(3 4,4) 0 756 La solución óptima es: 8 millones en x, 10 millones en y. El beneficio es 1 82 millones Problema 3. a) La función que nos da el beneficio es: B(x) = I(x) G(x) = 16x 2 + 24000x 7000000 b) Como la función que nos da el beneficio es de 2º grado, nos están pidiendo el vértice de la parábola convexa; es decir, el máximo. x V =, B(750) = 2000000 c) El beneficio máximo se dio en el apartado anterior. Vamos a construir una tabla de contingencia con los siguientes sucesos: E: Españoles, P : Extranjeros M: 20 años o más, M : Menores de 20 años a) Nos piden P(M ) = 24 / 100 = 24 %. b) Nos piden P(E M) = 28 / 100 = 28 %. E E Totales M 48 28 76 M 12 12 24 Totales 60 40 100 28

EJERCICIO B. Problema 1. 1. Codificamos las incógnitas: x: cantidad que invierte en A, y: cantidad que invierte en B, z: cantidad que invierte en C 2. Codificamos la información mediante un sistema de ecuaciones: 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante el método matricial de Gauss: 1. Identificamos las variables del problema. x: Número de vagones para coches, y: Número de vagones para motocicletas 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 x + y 27 x 12 y x 2y 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. B(x, y) = 540x + 360y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 29

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo B(x, y) = 540x + 360y A(12,6) 8640 B(12,15) 11880 C(18,9) 12960 La solución óptima es: 18 vagones para coches, 9 vagones para motos. El beneficio es 12960. Problema 3. La situación gráfica es: Nos piden el área de un recinto situacdo por enciam del eje OX, port tanto: S = = Vamos a construir una tabla de contingencia (total de 1000) con los siguientes sucesos: A: Máquina A, B: Máquina B D: Ser defectuosa, D : Ser defectuosa A B Totales D 5 250 255 D 495 2250 2745 Totales 500 2500 3000 a) Nos piden P(D B) = 2250/ 3000 = 24 %. a) Nos piden P(A/D) = 30

Problema 1. Obtener la matriz X que verifica: Siendo: 2004S BCHS AX B = 3X, EJERCICIO A. y Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 al día el funcionamiento del primer taller y 960 el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores respectivamente. Cuántos días debe trabajar cada taller para, cumpliendo el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento? Cuál es el valor de dicho coste? Quedaría algún excedente de algún producto en los talleres? En caso afirmativo, determina cuánto. Problema 3. Un restaurante abre a las 8 de la noche y cierra cuando todos los clientes se han ido. La función C(t) = 60t 10t 2 representa el número de clientes que hay en el restaurante en función del número de horas t que lleva abierto el establecimiento. Se pide: a) Determinar el número máximo de clientes que van a una determinada noche al restaurante. Justificar que es n máximo. b) Si deseamos ir al restaurante cuando haya al menos 50 personas y no más de 80, entre qué horas tendríamos que ir? Se ha realizado una encuesta a un grupo de estudiantes de informática. Entre sus conclusiones está que un 40% ha recibido algún curso de LINUX. Además el 20% de aquellos que recibieron algún curso de LINUX tiene ordenador en casa. Si un 10% de estudiantes de informática tiene ordenador en casa y no han recibido ningún curso de LINUX, calcular: a) La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa y haya recibido un curso de LINUX. b) La probabilidad de que un estudiante de informática tenga ordenador en casa. c) Si un estudiante de informática tiene ordenador n casa, la probabilidad de que haya recibido un curso de LINUX. 31

Problema 1. EJERCICIO B. Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 a su madre. Como no tiene suficiente dinero, cuentan con la ayuda de su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y, por cada 2 que paga el hermano menor, el mayor paga 3. Cuánto dinero ha de poner cada uno? Calcular los puntos de la región definida por: x + y 6 2x + y 15 3 x 6 2 y 5 donde la función z = 3x + 2y alcanza los valores máximo y mínimo. Calcula dichos valores. Problema 3. Se quiere imprimir un cartel anunciador rectangular que debe contener 18 cm 2 de texto impreso (también rectangular). Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm cada uno, mientras que los laterales deben ser de 1 cm. Calcular las dimensiones del cartel para que el gasto de papel sea mínimo y justificar que dicho gasto es realmente mínimo. En una población hay el doble de mujeres que de hombres. El 25% de las mujeres son rubias y el 10% de los hombres son también rubios. Calcular: a) Si se elige una persona al azar y resulta ser rubia, cuál es la probabilidad de que sea una mujer? b) Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea hombre y no sea rubio? 32

RESOLUCIÓN Problema 1. EJERCICIO A. Si X =, AX 3X = B = = 1. Identificamos las variables del problema. x: nº de días trabajados en el primer taller y: nº de días trabajados en el segundo taller 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 4x + 2y 12 2x + 2y 8 4x + 12y 24 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. C(x, y) = 720x + 960y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 33

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo C(x, y) = 720x + 960y A(0,6) 5760 B(2,2) 3360 C(3,1) 3120 D(6,0) 4320 La solución óptima es: 3 días en el primer y 1 día en el segundo. El mínimo coste será de 3120. Problema 3. a) La función C(t) es una función polinómica de 2º grado cuya gráfica es una parábola convexa; por tanto, su máximo será el vértice de la parábola: t V = horas, C(3) = 90 clientes b) Nos están pidiendo el valor de t para que: 50 C(t) 80 50 60t 10t 2 80 Podemos buscar la solución de las dos inecuaciones por diferentes caminos; en cualquier caso, deberemos ir: Entre las 9 y las 10 (entre 1 hora y 2 después de abrir). Entre las 12 de la noche y la 1 de la mañana (entre 1 hora y 2 después de abrir). Vamos a construir una tabla de contingencia con los siguientes sucesos: O: Tener ordenador, O : No tener ordenador L: Recibir el curso, L : No recibir el curso a) Nos piden P(O L) = 8/100 = 8 % b) Nos piden P(O) = 18/100 = 18 % O O Totales L 8 32 40 L 10 50 60 Totales 18 82 100 34

EJERCICIO B. Problema 1. 1. Codificamos las incógnitas: x: cantidad que pone el padre, y: cantidad que da el hijo mayor, z: cantidad que da el menor 2. Codificamos la información mediante un sistema de ecuaciones: 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante el método matricial de Gauss: 1. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 2. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo z = 3x + 2y A(3,3) 15 Mínimo B(3,5) 19 C(5,5) 25 Máximo D(6,3) 24 E(6,2) 22 F(4,2) 16 35

Problema 3. Una vez hecho un primer boceto del dibujo, nos encontramos con: x+2 y+4 a) Incógnitas que tenemos: x: anchura del texto impreso. y: largura del texto impreso. b) Función que hemos de optimizar: G = (x +2) (y+4) c) Relación entre las dos incógnitas: x y = 18 y = 18/x d) Función que hemos de optimizar con una sola incógnita: G = (x+2) (18/x + 4) = 18 + 4x + 36/x + 8 = 26 + 4x + 36/x En los extremos relativos. G = 0 4 36/x 2 = 0 x 2 = 9 x = 3 (dentro del contexto). Si hay un extremo relativo, se producirá en x = 3. Para comprobar si es un M.r. o un m.r., G = 72/x 3 G (3) > 0 para x = 3, el consumo es mínimo. Respuesta: Si la hoja tiene 5 cm de ancho y 10 de largo, el consumo de papel es mínimo y es de 50 cm 2. Vamos a construir una tabla de contingencia (total de 300, 200 mujeres y 100 hombres) con los siguientes sucesos: M: Ser mujer, M : Ser hombre R: Ser rubia, R : No ser rubia a) Nos piden P(M/R) = b) Nos piden P(M R ) = 90/300 = 30 % M M Totales R 50 10 60 R 150 90 240 Totales 200 100 300 36

Problema 1. 2005J BCHS EJERCICIO A. Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten, respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores. Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un mínimo de 36 mgr. de vitamina A, 28 mgr. de vitamina C y 34 mgr. de vitamina D. Estas necesidades se cubren tomando pastillas de la marca Energic y de la marca Vigor. Cada pastilla de la marca Energic cuesta 0,03 y proporciona 2 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 8 mgr. de vitamina D. Cada pastilla de la marca Vigor cuesta 0,04 y proporciona 3 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 2 mgr. de vitamina D. Cuántas pastillas de cada marca se han de tomar diariamente si se desean cubrir las necesidades vitamínicas básicas con el menor coste posible? Determinar dicho coste. Problema 3. Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles de euros, vienen dados por la función f(x) = 0,1x 2 + 2,5x 10, cuando se venden x toneladas de producto. Se pide: a) Calcular la cantidad de toneladas que se ha de vender para obtener el beneficio máximo y calcular éste. Justificar que es máximo. b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener pérdidas. c) Qué cantidad produce el máximo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máximo beneficio y justificar que es máximo. Sean A y B dos sucesos con P(A) = 0,5; P(B)=0,3 y P(A B)=0,1. Calcular las probabilidades siguientes: P(A B), P(A/B), P(A/ A B) y P(A/ A B). 37

Problema 1. EJERCICIO B. Sea la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y la matriz de sus términos independientes. Se pide: a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema. b) Obtener todas las soluciones del sistema. Un vendedor dispone de 350000 para invertir en dos tipos de microondas. El que dispone de más accesorios tiene un coste de 150 y reporta un beneficio de 15 por unidad vendida, mientras que el otro modelo sólo proporciona un beneficio de 11 por unidad vendida y tiene un coste de 100. Sabiendo que sólo se pueden almacenar 3000 microondas y que no se venderán más de 2000 del modelo más caro, determinar cuántos microondas de cada clase se deben comprar para maximizar el beneficio y calcular éste. Problema 3. Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de internet. Se ha realizado un estudio que determina que si la tarifa fuera de 36 podrían conseguirse 4800 contratos. Sin embargo, por cada equipo menos en la tarifa, el número de contratos previsto anteriormente se incrementaría en 150. Se pide: Expresar el ingreso total previsto como una función de una variable. Explicar el significado de la variable utilizada. Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el ingreso máximo? Cuál es éste y con cuántos abonados se conseguiría? Justificar que el ingreso obtenido realmente es máximo. Tenemos dos bolsas de caramelos, la primera contiene 15 caramelos de naranja y 10 de limón y la segunda 20 de naranja y 25 de limón. Elegimos una de las bolsas al azar y extraemos un caramelo. Calcular: a) La probabilidad de que el caramelo sea de naranja. b) Si el caramelo elegido es de limón, cuál es la probabilidad de que lo hayamos extraído de la segunda bolsa? 38

RESOLUCIÓN EJERCICIO A. Problema 1. 1. Codificamos las incógnitas: x: nº de hojas que reparte Elena, y: nº de hojas que reparte Pedro, z: nº de hojas... Juan 2. Codificamos la información mediante un sistema de ecuaciones: 3. Resolvemos el sistema de ecuaciones mediante el método matricial de Gauss: 1. Identificamos las variables del problema. x: nº de pastillas de la marca Energic, y: nº de pastillas de la marca Vigor 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 2x + 3y 36 (Vitamina A) 2x + 3y 36 2x + 2y 28 (Vitamina C) x + y 14 8x + 2y 34 (Vitamina D) 4x + y 17 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. C(x, y) = 0 03x + 0 04y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 39

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo C(x, y) = 0 03x + 0 04y A(0,17) 0 68 B(1,13) 0 55 C(6,8) 0 50 D(18,0) 0 54 La solución óptima es: 6 pastillas de Neregic y 8 de Vigor. El mínimo coste será de 0 50. Problema 3. La gráfica de la función es una parábola cóncava a) Nos están pidiendo el vértice de la parábola. Como la parábola es cóncava, coresponde a un máximo. V(2 5,5 625) b) Para no tener pérdidas ha de vender entre 5 y 20 toneladas (raíces del polinomio). c) La función que nos da el beneficio por tonelada vendida es: y = y = El máximo de esta función se produce cuando y = 0, y < 0 y = 0 0 1 + = 0 0 1x 2 + 10 = 0 x 2 + 100 = 0 x = 10, x = 10 y = y (10) < 0 para x = 10 se obtiene le máximo benficio por tonelada vendida (500 euros por tonelada) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = 0 5 + 0 3 0 1 = 0 7 P(A/B) = P(A/ A B) = 1 (Si se produce A B, ya se produce A) P(A/ A B) = 40

Problema 1. EJERCICIO B. a) El sistema de ecuaciones es: b) Para resolver el sistema vamos a emplear el método matricial de Gauss: El sistema es competible, pero indeterminado. Conjunto de soluciones: x = t, y = 0, z = 1 2t (t es un número real) 1. Identificamos las variables del problema. x: nº de microondas caros, y: nº de nº de microondas baratos 2. Expresamos las restricciones o limitaciones que da el problema, mediante un sistema de desigualdades: x 0 y 0 150x + 100y 350000 3x + 2y 7000 x + y 3000 x 2000 3. Establecemos la función objetivo lineal que deberemos maximizar o minimizar. C(x, y) = 15x + 11y 4. Realizamos una representación gráfica del sistema de desigualdades, determinando el denominado conjunto o región factible y los vértices de este conjunto. 41

5. Buscamos la solución óptima e interpretamos los resultados. Construimos esta tabla: Vértice Función objetivo C(x, y) = 15x + 11y A(0,3000) 33000 B(1000,2000) 37000 C(2000,500) 35500 D(2000,0) 30000 La solución óptima es: 1000 microondas caros y 2000 baratos. El máximo beneficio es 37000. Problema 3. La variable x va a ser el número de veces que sube le precio. Con este criterio, la función que nos da el ingreso total es: I(x) = (36 x) (4800 + 150x) I(x) = 172800 + 600 x 150x 2 La gráfica de la función es una parábola cóncava Nos están pidiendo el vértice de la parábola. Como la parábola es cóncava, coresponde a un máximo. Consideramos los sucesos: V(2,173400) A: Escojo la urna A, B: Escojo... B, L: El caramelo es de limón, N: El.. es de naranja a) P(N) = P(A) P(N/A) + P(B) P(N/B) = b) Nos piden P(B/L). P(B/L) = Necesitamos saber P(L) = 1 P(N) =, P(B L) = P(B/L) = = 42

Problema 1. 2005S BCHS EJERCICIO A. Dos hermanos deciden invertir 10000 cada uno en distintos productos financieros. El mayor invirtió una cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6%, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5% y el resto en un plazo fijo al 2% de interés. El hermano menor invirtió esas mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 y 7 %. Determinar las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del hermano mayor han sido 415 y las del pequeño 460. Representar la región factible dada por el sistema de inecuaciones: x + y 1 x 2 y 1 x 3y 1/2 y hallar los puntos de la región en los que la función f(x,y)=2x+3y alcanza los valores máximo y mínimo y obtener dichos valores. Problema 3. En unos almacenes se tienen 2000 Kg. de alimentos perecederos que se pueden vender a 3 e el Kg., pero si se venden más tarde, el precio aumenta en 0,1 el Kg. cada día. Calcular cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máximos ingresos si cada día que pasa se estropean 50 Kg. de ellos. Cuáles son estos ingresos máximos? Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justificar que es máximo. En un grupo de 2º de bachillerato el 15% estudia Matemáticas, el 30% estudia Economía y el 10% ambas materias. Se pide: a) Son independientes los sucesos Estudiar Matemáticas y Estudiar Economía? b) Si se escoge un estudiante del grupo al azar, calcular la probabilidad de que no estudie ni Matemáticas ni Economía. 43