ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS INVESTIGACION DE OPERACIONES MÓDULO EN

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR DIVISIÓN DE EDUCACIÓN ABIERTA Y A DISTANCIA MÓDULO INVESTIGACION DE OPERACIONES SANTIAGO VERGARA NAVARRO INGENIERO INDUSTRIAL PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS A DISTANCIA SINCELEJO SUCRE 2006

2 CONTENIDO Pág. INTRODUCCION 7 INSTRUCCIONES DE MANEJO 8 CONTEXTO TEORICO 9 PRIMERA UNIDAD 10 PRESENTACION 11 OBJETIVOS 12 ATREVETE A OPINAR 13 ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 14 1. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA 15 1.1 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA 17 1.1.1 Población de Clientes 19 1.1.2 Proceso de Llegada 19 1.1.3 Proceso de Línea o Cola 19 1.1.4 Proceso de Servicio 21 1.2 MODELOS DE SISTEMAS DE LINEAS DE ESPERA O COLAS 21 1.2.1 Modelo Población Infinita con un Servidor 22 1.2.1.1 Factor Ocupación 24 1.2.1.2 Probabilidad de Vacío 24 1.2.1.3 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema 25 1.2.1.4 Tiempo Promedio en el Sistema 28 1.2.1.5 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola 28 1.2.1.6 Número Promedio de Clientes en el Sistema 28 1.2.1.7 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola 28 1.2.2 Modelo Población Infinita con Varios Servidores 34

3 Pág. 1.2.2.1 Factor de Ocupación 34 1.2.2.2 Probabilidad de Vacío 35 1.2.2.3 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (Pn) Cuando n k 35 1.2.2.4 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (Pn) Cuando n > k 35 1.2.2.5 Tiempo Promedio en el Sistema 36 1.2.2.6 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola 37 1.2.2.7 Número Promedio de Clientes en el Sistema 37 1.2.2.8 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola 38 1.2.3 Modelo Población Finita con un Solo Servidor 39 1.2.3.1 Probabilidad de Vacío 40 1.2.3.2 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema 40 1.2.3.3 Tiempo Promedio en el Sistema 41 1.2.3.4 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola 41 1.2.3.5 Número Promedio de Clientes en el Sistema 41 1.2.3.6 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola 42 LECTURA COMPLEMENTARIA 43 RESUMEN 44 AUTO EVALUACION Nº 1 45 ESTUDIO DE CASO 47 SEGUNDA UNIDAD 48 PRESENTACION 49 OBJETIVOS 50 ATREVETE A OPINAR 51 ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 52 2. MODELOS DE INVENTARIOS 53 2.1 CARACTERISTICAS DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS 53 2.1.1 Demanda Determinística 54

4 Pág. 2.1.2 Demanda Probabilística 54 2.1.3 Déficit o Faltantes 54 2.1.4 Tiempo de Entrega 54 2.1.5 Políticas de Pedidos 55 2.2 COMPONENTES DE COSTOS DE UN SISTEMA DE INVENTARIOS 55 2.2.1 Costos de Pedidos 55 2.2.2 Costos de Compras 55 2.2.3 Costos de Mantenimiento 56 2.2.4 Costos de Déficit 56 2.3 MODELO DE INVENTARIOS DE CANTIDAD ÓPTIMA DE PEDIDOS 57 2.4 SISTEMA DE INVENTARIOS DE DEMANDA PROBABILISTICA 62 2.4.1 Modelo de Revisión Continua 63 2.4.2 Modelo de Revisión Periódica 67 LECTURA COMPLEMENTARIA 73 RESUMEN 74 AUTO EVALUACION Nº 2 75 ESTUDIO DE CASO 78 TERCERA UNIDAD 79 PRESENTACION 80 OBJETIVOS 81 ATREVETE A OPINAR 82 ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 83 3. REDES, PERT/CPM 84 3.1 LAS REDES 84 3.2 TECNICA PERT 85 3.3 TECNICA CPM 92

5 Pág. LECTURA COMPLEMENTARIA 101 RESUMEN 102 AUTO EVALUACION Nº 3 104 ESTUDIO DE CASO 106 GLOSARIO DE TERMINOS 107 BIBLIOGRAFIA 109 EL AUTOR 110

6 A Chaguy Alberto mi hijo y a Nayides, compañera y amiga, por permitirme disponer de este tiempo que bien les pertenecía.

7 INTRODUCCION En un mundo competitivo como el actual y tal vez más intenso para el futuro por la llegada del nuevo milenio, los Administradores de Empresas deben implementar las estrategias adecuadas para la mejor decisión a tomar y realizar los cambios correspondientes para afrontar todas las variables del entorno. Pero es ahí donde el Administrador debe utilizar todo su ingenio para seleccionar las variables óptimas que le van a servir para desarrollar su programa gerencial con base en la toma de decisiones. Es por ello que el conjunto de las actividades administrativas y gerenciales requiere de un proceso analítico, mental y de conocimiento, apoyándose en la visión de la empresa y de los objetivos, metas y políticas por alcanzar. Ahora bien, el arte de tomar decisiones apoyadas en herramientas estadísticas y matemáticas, es lo que se denomina INVESTIGACION DE OPERACIONES. Una característica especial es que la Investigación de Operaciones intenta encontrar una mejor solución, llamada solución óptima, para el problema bajo condición. Se dice una mejor solución y no la mejor solución, porque pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor. Por todo lo anterior, le corresponde al estudiante de Administrador de Empresas apoyarse en las herramientas necesarias para lograr manejar e interpretar los resultados de los modelos estudiados y analizarlos en Investigación de Operaciones, con el fin que cuando sea Administrador o Gerente de una empresa, tome las decisiones correctas para el buen desempeño de ésta.

8 INSTRUCCIONES DE MANEJO Para el estudio y comprensión del presente módulo, el estudiante debe seguir las siguientes pautas: La lectura debe hacerse en forma secuencial, siguiendo el orden de estructura de las unidades, analizando e interpretando los diferentes tópicos tratados, Una vez leída, estudiada y analizada cada unidad, seleccionar las fórmulas que serán utilizadas en la solución del taller evaluativo. Antes de empezar a solucionar los talleres evaluativos de cada unidad, cerciórese de comprender lo que se pregunta en cada problema. Interprete cada resultado de acuerdo con la contextualización. Confronte los resultados obtenidos individualmente con el grupo de estudio. Elabore una lista de dudas e inquietudes que se presenten para su aclaración en las tutorías.

9 CONTEXTO TEORICO El área de la Administración de Operaciones ha evolucionado en un período relativamente corto. Sus raíces se remontan a la Revolución Industrial, en la década de 1770, época en la que aparecen obras que ponen de manifiesto múltiples desarrollos administrativos. Hasta ese momento, las decisiones se tomaban basándose en la intuición y la experiencia, pero esto comenzó a desvanecerse durante la Segunda Guerra Mundial, cuando comenzó el uso de nuevos enfoques para la toma de decisiones. Estos fueron los orígenes de la Investigación de Operaciones tal como existe hoy día : TAHA, Hamdy. Investigación de operaciones. México: Alfaomega, 1991. En diferentes ocasiones de la vida, la mayoría de las personas que viven en la sociedad moderna han esperado en una fila para recibir algún tipo de servicio, pero las líneas de espera implican algo más que personas, pues en el proceso de una cola intervienen, además de personas, máquinas y equipos de los cuales depende el tiempo de espera : HILLIER, Frederick y LIEBERMAN, Gerald. Introducción a la investigación de operaciones. México: Iberoamérica, 1996. Los inventarios como recursos utilizables que se encuentran almacenados en algún punto determinado del tiempo, se asocian con empresas manufactureras y comerciales; sin embargo, el equipo, los materiales y el personal son inventarios integrales para las organizaciones en su normal funcionamiento y en logro de sus objetivos : EPPEN, G.D, GOULD, F.J. investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Preutice Hall Hispanoamericana. S. A, 1.984. Las redes, PERT y CPM, son métodos utilizados por las direcciones de las empresas modernas, para con los medios disponibles, planificar sus actividades a fin de lograr sus objetivos con éxito y el menor esfuerzo operativo : TAHA, Hamdy. Investigación de operaciones. México: Alfaomega, 1991.

10 MODELOS DE LINEAS DE ESPERA Unidad 1

11 PRESENTACION En diferentes ocasiones en la vida, la mayoría de las personas que viven en la sociedad moderna han esperado en una fila para poder recibir algún tipo de servicio. Esperar podría incluir situaciones como: Esperar en fila para pagar compras en la caja de un supermercado. Esperar en fila en una estación de gasolina para adquirir combustible. Esperar que el cajero del banco lleve a cabo alguna transacción financiera. Esperar en fila para comprar boletos para algún evento importante. Esperar en fila para cancelar algún servicio. En fin, esta lista podría ampliarse en forma indefinida y, aún así, no agotar todas las posibles situaciones en las que las personas esperan en una fila o cola para ser atendidos. Lo que tienen en común las anteriores situaciones es el fenómeno de espera. Sería más adecuado si se pudieran ofrecer estos servicios y otros similares, sin la molestia de tener que esperar. Pero nos guste o no, la espera es parte de nuestra vida diaria y todo lo que se debe esperar conseguir es reducir su incomodidad a niveles soportables. Esta es pues la temática a tratar en la presente unidad, ya que, la formación de líneas de espera es, por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede la capacidad actual de proporcionarlo. De allí que las líneas de espera implican algo más que personas. Aunque es probable que no se haya considerado esas colas, cuando una máquina se descompone y requiere mantenimiento, también debe esperar en una cola para que le atienda el personal de servicio. Por ello, puede decirse que una línea de espera o cola se forma cuando alguna unidad (persona, máquina, etc.) requiere servicios y éste no se proporciona en forma instantánea.

12 OBJETIVOS Distinguir cada uno de los modelos de líneas de espera o colas. Implementar técnicas matemáticas para desarrollar los problemas de teorías de líneas de espera. Establecer la relación de cada una de las formulas desarrolladas con el fenómeno presentado. Determinar los parámetros de tasa promedio de llegadas y tasa promedio de servicio para cada uno de los casos expuestos. Identificar el papel que cumplen las Distribuciones de Probabilidad en los modelos de líneas de espera.

13 ATREVETE A OPINAR 1. 2. 3. Qué entiendes por línea o cola? Qué entiendes por sistema? Por favor defínelo. Describe brevemente lo que entiendas por probabilidad

14 ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO Realice una visita a un establecimiento o lugar donde se presenten situaciones de filas o colas y anote las observaciones con respecto a las siguientes preguntas: 1. Describa brevemente el servicio que presta el establecimiento visitado. 2. Cómo se presentan las llegadas de los clientes a la(s) cola(s)? Es en forma aleatoria, o al azar, o es siguiendo algún patrón predeterminado? 3. Cuántas servidores o ventanillas de de servicios existen en el lugar? 4. Cómo es el comportamiento de los clientes en la(s) fila(s) o cola(s)? 5. Cuál es la regla para atender a los clientes? Los primeros en llegar son atendidos o los últimos en llegar? Ahora, seleccione una hora determinada y realice el siguiente ejercicio, durante tres veces por dos días: 1. Anote el número de clientes que llegan a la cola. 2. Con un reloj, mida y anote el tiempo que dura un cliente para recibir el servicio. 3. Determine, en promedio, cuántos clientes llegan a la cola en una hora. 4. Determine, cuántos clientes pueden ser atendidos en una hora.

15 UNID 1. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de espera que, es por supuesto, un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede la capacidad actual de proporcionarlo. Dado que las líneas de espera son tan frecuentes en la sociedad moderna, no resulta sorprendente que se haya desarrollado un campo del conocimiento a partir de su estudio; dicho campo, que comúnmente se denomina Teorías de Líneas de Espera, lo inició un Ingeniero Danés de teléfonos, A. K. Erlang, quien en 1910 realizó los primeros trabajos sobre problemas de filas. Erlang estaba interesado en los problemas que tenían las personas que llamaban a un conmutador telefónico. A diferencia de un modelo simple como el de Programación Lineal, la teoría de líneas de espera (o de colas) abarca un grupo muy grande de modelos, en donde cada uno se refiere a un tipo diferente de situación de líneas de espera. Sin embargo, todos estos modelos tienen algo en común. En primer lugar, no pretenden resolver problemas de líneas de espera; más bien describen el sistema de líneas de espera al calcular las características de operación de la línea. Estas incluyen elementos como el número promedio de unidades que esperan el servicio y el tiempo promedio que una unidad espera para ser atendida. Para calcular las características operativas, el usuario debe especificar ciertos parámetros del sistema de líneas de espera, tales como la forma en que las unidades llegan para ser atendidas y la forma en que se maneja el servicio real 1. El objetivo de los modelos de líneas de espera es más de descripción que de optimización y cualquier optimización que tenga lugar debe llevarla a cabo el usuario variando los parámetros del sistema para obtener diferentes conjuntos de 1. TAHA, Hamdy. Investigación de operaciones.

16 características de operación. El conjunto de características de operación que se ajusta en forma más estrecha a las necesidades del usuario, define la mejor estructura del sistema. Por esta razón, es común que los modelos de líneas de espera sean descriptivos más que normativos. Por lo anterior, el fenómeno de espera es el resultado directo de la aleatoriedad en la operación de instalaciones de servicio. En general, la llegada del cliente y su tiempo de servicio no se conocen con anticipación. Por otra parte, la operación de la instalación se podría programar en forma tal que eliminaría la espera por completo. Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Además, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en cierto momento. Las líneas des espera largas también son costosas, en cierto sentido, ya sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces, la meta final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio. El objetivo al estudiar la operación de una instalación de servicio en condiciones aleatorias es el de asegurar algunas características que midan el desempeño del sistema sometido a estudio. Por ejemplo, una medida lógica del desempeño es el tiempo que se calcula esperará un cliente antes de ser atendido. Otra medida es el porcentaje de tiempo que no se utiliza en la instalación de servicio. La primera medida vislumbra el sistema desde el punto de vista del cliente, por tanto menor es el porcentaje de tiempo que se mantendría ociosa la instalación y viceversa. Estas medidas de desempeño pueden utilizarse para seleccionar el nivel de servicio que produciría un equilibrio razonable entre las dos situaciones en conflicto. Ahora, dado que mucho de los parámetros de los modelos de líneas de espera no se conocen con certidumbre, estos modelos son más estocásticos que determinísticos. Por observarse, precisamente, una actitud científica al azar, los fenómenos de líneas de espera se deben relacionar con procesos estocásticos, que son modelos matemáticos en los cuales intervienen magnitudes aleatorias, es decir, magnitudes a cuyos valores se les puede anexar una probabilidad que varía con el tiempo. Los

17 parámetros como tasa de llegadas y tasa de servicios se describen a través de Distribuciones de Probabilidad. Por ello, en el modelo se utilizan valores esperados o promedio. Como ejemplos de este tipo de sistemas, se tienen los siguientes: Los clientes llegan a un banco, esperan en una fila para obtener un servicio de uno de los cajeros y después salen del banco. Después de hacer sus compras, los clientes eligen una fila en las cajas, esperan a que el cajero les cobre y luego salen del sistema. Las partes de un proceso de producción llegan a una estación de trabajo particular desde diferentes estaciones, esperan en un compartimiento para ser procesadas por una máquina y luego son enviadas a otra estación de trabajo. Para analizar un sistema de espera o colas, se deben utilizar técnicas matemáticas específicas que dependen de la clase de sistema al cual pertenece su problema de colas. 1.1 CARACTERISTICAS DE UN SISTEMA DE LINEAS DE ESPERA O COLAS En la figura 1.1 se pueden observar los componentes de un sistema de líneas de espera o colas. Todo sistema de líneas de espera o colas, se caracteriza por poseer, como mínimo, los siguientes componentes: Una población de clientes, que es el conjunto de todos los clientes posibles. Un proceso de llegadas, que es la forma en que llegan los clientes de esa población. Un proceso de colas, que está conformado por: a) la manera en que los clientes esperan para ser atendidos y b) la disciplina de colas, que es la forma en que los clientes son elegidos para proporcionarles el servicio. Un proceso de servicio, que es la forma y la rapidez con la que es atendido el cliente. Procesos de salida, que pueden ser de dos tipos: a) los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos, lo que

18 tiene como resultado un sistema de cola de un paso (como se observa en la figura 1.1 (a); y b) los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo, son trasladados a alguna otra para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas (como se observa en la figura 1.1 (b). El análisis de un sistema de líneas de espera o colas de un paso depende de las características de los primeros cuatro componentes que se analizarán detalladamente a continuación: FIGURA 1.1 POBLACION DE CLIENTES FIGURA 1.1(a) Componentes de un sistema de líneas de espera o colas. Proceso Llegadas CLIENTES ESPERANDO PROCESO DE COLA Sistema de cola de un paso. SISTEMA PROCESO DE SERVICIO 1 2 3 Proceso Salida FIGURA 1.1(b) Red de colas. B LLEGADA A D SALIDA C

19 1.1.1 Población de Clientes Al tomar en cuenta la base de clientes, la principal preocupación es el tamaño de la población. Para problemas como los de un banco o de un supermercado, en donde el número de clientes potenciales es bastante grande, el tamaño de la población se considera, para fines prácticos, como si fuera infinita. Al contrario, considere una fábrica que tiene cuatro máquinas que a menudo se descomponen y requieren servicio de reparación en un taller especializado. En este caso, las máquinas están en lugar de los clientes y el taller es el centro de servicio. El tamaño de la población de clientes, en este caso, es de solamente cuatro. El análisis es por consiguiente de una población finita. 1.1.2 Proceso de Llegada El proceso de llegada es la forma en que los clientes llegan a solicitar un servicio. La característica más importante del proceso de llegada es el tiempo entre llegada, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas; existen dos clases básicas de tiempos entre llegadas: determinísco y probabilístico. En el tiempo entre llegadas probabilístico, el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticas se describen mediante una Distribución de Probabilidad. Si se quiere determinar el tiempo entre llegadas probabilístico, se utiliza la Distribución Exponencial y si se requiere determinar el número de llegadas probabilístico, se utiliza la Distribución de Poisson. El proceso de llegadas a un sistema de líneas de espera o colas, se determina mediante el parámetro λ (la letra griega lamda ), que es el número promedio de llegadas por unidad de tiempo. 1.1.3 Proceso de Línea o Cola Parte del proceso de cola tiene que ver con la forma en que los clientes esperan para ser atendidos. Los clientes pueden esperar en una sola fila, como en un banco (ver figura 1.2), este es un sistema de colas de una sola línea. Al

20 contrario los clientes pueden elegir una de varias filas en la que deben esperar para ser atendidos, como en las cajas de pagos de un supermercado (ver figura 1.2 (a), este es un sistema de colas de líneas múltiples. Otra característica del proceso de colas es la disciplina de colas, es decir, la forma en que los clientes que esperan son seleccionados para ser atendidos. A continuación se esquematizan estos dos tipos de colas: FIGURA 1.2 Sistema de colas de una sola línea. Clientes que esperan 3 Servidores FIGURA 1.2 (a) Sistema de colas de líneas múltiples. 1 2 Clientes esperando Entre las disciplinas de de atención o selección usadas, podemos encontrar: 1 2 Primero en entrar, primero en ser atendido (PEPS): Los clientes son atendidos en el orden que van llegando a la fila. Último en entrar, primero en ser atendido (UEPS): El cliente que ha llegado más recientemente es el primero en ser atendido. Selección de prioridad: A cada cliente que llega se le da una prioridad y se le elige según ésta para brindarle el servicio. 3

21 En el presente módulo se analizará la selección PEPS, que es la disciplina de colas más comúnmente utilizada. 1.1.4 Proceso de Servicio El proceso de servicio define como son atendidos los clientes: Cada ventanilla, en el caso de un banco, y cada caja registradora, en el caso de supermercados, son estaciones que proporcionan el mismo servicio. Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuanto tiempo se requiere para llevar a cabo dicho servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Los tiempos de servicios pueden ser determinísticos y probabilísticas. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilístico se describe mediante una distribución de probabilidad. La distribución confiable y que se utiliza en la mayoría de las aplicaciones es la Distribución Exponencial, y de la cual depende el parámetro µ (la letra griega miu ), que es el número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo. Los modelos de los sistemas de líneas de espera o de colas, se analizarán así: 1.2 MODELOS DE SISTEMAS DE LINEAS DE ESPERA O COLAS Para aplicar las técnicas matemáticas, se debe identificar cada una de las características de un sistema de líneas de espera o colas, con el fin de establecer cada uno de los modelos: Población de clientes infinita, clientes esperan en una sola fila y existe un solo servidor (Población infinita, un solo servidor). Población de clientes infinita, clientes esperan en una sola fila y existen varios servidores (Población infinita, K servidores). Población de clientes finita, clientes esperan en una sola fila y existe un solo servidor (Población finita, un solo servidor).

22 Cada uno de los anteriores modelos utiliza técnicas matemáticas diferentes, pero el análisis e interpretación de los resultados se realiza con base en las medidas de desempeño. 1.2.1 Modelo Población Infinita, un Solo Servidor Para este modelo se utiliza un sistema como el descrito en la figura 1.3: FIGURA 1.3 Modelo población infinita con un solo servidor. LLEGADAS λ µ COLA SERVICIO Analizando el sistema de líneas de espera o el modelo de población infinita, un servidor, se pueden describir los parámetros de la siguiente manera: λ: Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo (clientes/hora o min.). µ: Tasa promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (clientes/hora o min.). 1 λ : Tiempo promedio de llegada de un cliente. 1 µ : Tiempo promedio invertido en atender un cliente. EJEMPLO 1.1 EJEMPLOS DE APLICACION Para usar el cajero automático del Banco XYZ, llegan clientes al azar a una tasa de 5/hora. El cajero atiende en promedio solicitudes en forma aleatoria a una tasa promedio de 10 clientes/hora. Identifique la tasa promedio de llegadas y de servicio. SOLUCION: λ: Tasa promedio de llegadas = 5 clientes/hora. µ: Tasa promedio de servicios = 10 clientes/hora.

23 EJEMPLO 1.2 Una secretaria transcribe hojas de vida en un tiempo promedio de 15 minutos. Las solicitudes llegan, en promedio, cada 30 minutos. Determine la tasa promedio de llegadas y servicios en una hora (60 minutos). SOLUCION: 1 Servicio 15 minutos X 60 minutos (1 hora) 1*60 X = = 4 clientes/hora 15 1 Llegada 30 minutos X 60 minutos 1*60 X = = 2 clientes/hora 30 Por consiguiente: λ: Tasa promedio de llegadas = 2 clientes/hora µ: Tasa promedio de servicios = 4 clientes/hora EJEMPLO 1.3 Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, determine el tiempo promedio de llegadas y el tiempo promedio de servicio. SOLUCION: 60 minutos 2 clientes X 1 cliente 1*60 X = = 30 minutos/cliente 2 Entonces, el tiempo promedio de llegadas es: 1 = 30 Minutos cada llegada λ 60 minutos 4 clientes X 1 cliente

24 1* 60 X = = 15 minutos/cliente 2 Luego el tiempo promedio de servicio es: 1 = µ 15 Minutos cada llegada Para poder aplicar las técnicas matemáticas al modelo de población infinita, un solo servidor, se debe cumplir la condición: La tasa promedio de llegadas debe ser menor que la tasa promedio de servicios (λ < µ). Si no fuera así, el promedio de llegadas (λ) sería superior al número promedio de unidades que se atienden (µ) y el número de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande con el tiempo. Aunque siempre es posible un regreso temporal a no tener clientes, las probabilidades de tener números grandes de clientes crece significativamente con el tiempo. 1.2.1.1 Factor de Ocupación (δ ) El factor de ocupación (δ ), es la fracción promedio de tiempo que el sistema está ocupado (ocupado se define como una o más unidades esperando y/o siendo atendidas). Entonces: δ = λ µ Observe que también puede considerarse que δ es el número promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. En términos de probabilidad: Pw = Probabilidad que el sistema esté ocupado = λ µ 1.2.1.2 Probabilidad de Vacío (P o ) La probabilidad de que el sistema esté vacío o no esté ocupado (P o ), mide los momentos en que no hay clientes en el sistema y los servidores están ociosos. Si

25 se tiene en cuenta que la probabilidad de que el sistema esté ocupado más la probabilidad de que esté vacío, es igual uno, entonces: Probabilidad Vacío (P o ) + Probabilidad Ocupado (Pw) = 1 P o + Pw = 1 Por tanto: (P o ) = 1 - λ µ 1.2.1.3 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (P n ) La probabilidad de encontrar n clientes en le sistema en un momento determinado, viene dada por: n (P n ) = (P o ) * δ EJEMPLOS DE APLICACIÓN EJEMPLO 1.4 A la ventanilla de préstamos de libros de la sala de biblioteca de CECAR llegan en promedio 5 estudiantes/hora. Si se ha determinado que la prestadora de servicio demora en atender, en promedio, 6 estudiantes/hora, determine: a) Cuál es la fracción de tiempo que permanece ocupada la ventanilla de préstamos de libros? b) Cuál es la probabilidad que el sistema esté vacío? c) Cuál es la probabilidad de encontrar 3 estudiantes en el sistema? SOLUCION: λ = 5 Estudiantes/hora µ = 6 Estudiantes/hora Verificando la condición, se observa que: λ < µ. a) δ = λ / µ; δ = 5/6 = 0.8333 Lo anterior significa que en promedio la ocupación del sistema es de 0.8333/hora, es decir, en una hora (60 minutos) el sistema está ocupado, en promedio, 50

26 minutos. Lo que es un resultado alto, ya que, el porcentaje de ocupación alcanza el 83.33%. b) (P o ) = 1 λ / µ; (P o ) = 1 5 / 6 = 0.1667 Este resultado indica que la probabilidad que el sistema esté vacío o desocupado o que no hayan estudiantes es de 0.1667. Es lógico porque si está ocupado el 0.8333 entonces la diferencia es la ocupación. Si se establece la hora (60 minutos) como referencia, se puede concluir que el sistema permanece vacío o desocupado cada 10 minutos /hora (60 * 0.16679), tiempo este en que permanece ocioso el servidor. c) P n = (P o ) * δ n ; P 3 = 0.1667 * (5/6) 3 = 0.0964 Lo anterior significa que la probabilidad de encontrar 3 estudiantes en el sistema, uno recibiendo servicio y dos en cola, es de 0.0964, o lo que equivale en términos porcentuales al 9.64%. De verdad que es una probabilidad pequeña, pero es razonable porque se debe tener en cuenta que en una hora, en promedio, llegan 5 estudiantes. EJEMPLO 1.5 A un banco llegan clientes cada 10 minutos para realizar consignaciones, de acuerdo a una distribución de Poisson. El banco labora 5 horas diarias y el cajero que recibe las consignaciones tarda 6 minutos por cliente. Determinar: a) Cuántos minutos permanece ocioso el cajero? b) Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y deba esperar? c) Cuál es la probabilidad de encontrar dos clientes en el sistema? SOLUCION: a) Para determinar el tiempo que permanece ocioso el cajero, se debe calcular inicialmente la probabilidad de que esté ocupado y luego se aplica una sencilla regla de tres, así: 1/λ = 10 minutos, significa que en una hora llegan en, promedio, 6 clientes (60 / 10 = 6 clientes/hora = λ).

27 1/µ = 6 minutos, significa que en una hora reciben servicio, en promedio, 10 clientes (60 / 6 = 10 clientes/hora = µ). Verificando la condición, se observa que: λ < µ. Pw = Probabilidad que el sistema esté ocupado = λ / µ. Pw = 6 / 10 = 0.6 Significa que el 0.4 (40%) está ocioso. Como el banco labora 5 horas que equivalen a 300 minutos, entonces el tiempo que permanece ocioso es de: 300 minutos 100% X 40% X = 120 minutos/día Es decir, que el cajero permanece ocioso 120 minutos (equivalentes a dos horas en la jornada laboral). b) La probabilidad que un cliente llegue y deba esperar, es porque el sistema está ocupado, viene dada por: Pw = λ / µ = 6 / 10 = 0.6 Entonces la probabilidad que un cliente llegue y deba esperar es de 0.6 o lo que es lo mismo en términos porcentuales, el 60%. c) P n = (P o ) * δ n ; P n = 0.4 * (6 / 10) 2 ; P n = 0.144 Lo anterior significa que la probabilidad de encontrar 2 clientes en el sistema, uno recibiendo servicio y otro en cola, es de 0.144 o lo que equivale en términos porcentuales al 14.4%. Para determinar cual es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido y el tiempo promedio que invierte en el sistema, incluyendo el tiempo de espera y servicio, se debe partir de la definición: Tiempo promedio en el sistema = Tiempo promedio de espera en fila + Tiempo promedio de servicio Sea: W s = Tiempo promedio en el sistema W q = Tiempo promedio de espera en fila o cola 1/µ = Tiempo promedio de servicio Entonces:

28 1.2.1.4 Tiempo Promedio en el Sistema Es el promedio de tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y de servicio y viene dado por: W s = W q + 1 / µ 1.2.1.5 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola Es el promedio de tiempo que debe esperar un cliente en la fila o cola para recibir el servicio, es decir antes de ser atendido y viene dado por: Igualmente para determinar cuantos clientes en promedio están esperando en la fila o en la cola para ser atendidos y cuantos clientes en promedio hay en el sistema entero, incluye en cola y recibiendo el servicio, se utiliza la expresión: Donde: L s = Nº promedio de clientes en el sistema L q = Nº promedio de clientes en espera o cola λ / µ = Nº promedio de clientes recibiendo servicio 1.2.1.6 Número Promedio de Clientes en el Sistema (L s ) Es el número promedio de clientes en el sistema entero, incluyendo el número en espera y recibiendo servicio. W q λ = µ *( µ λ) Nº promedio de clientes en el sistema = Nº promedio de clientes en espera + Nº promedio de clientes en servicio L s = L q + λ / µ 1.2.1.7 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola (L q ) Es el número promedio de clientes que deben esperar en la fila o cola para recibir el servicio, es decir antes de ser atendidos y viene dado por: L q 2 λ = µ *( µ λ)

29 EJEMPLOS DE APLICACIÓN EJEMPLO 1.6 Suponga que un Aeropuerto puede atender a los aviones en un promedio de diez por hora. Además, suponga que los aviones llegan al Aeropuerto a una tasa promedio de siete por hora. Se considera que las llegadas siguen la distribución de Poissón y el tiempo de servicio sigue la distribución Exponencial. Determine: a) Cuántos minutos permanece un avión en espera? b) Cuántos minutos debe programar el jefe de vuelo, para despegar nuevamente? c) Cuántos aviones estarán en cola? d) Cuántos aviones estarán en el sistema? SOLUCION: λ = 7 aviones/hora µ = 10 aviones/hora Verificando la condición λ < µ, se observa que esta se cumple, ya que, 7 < 10, luego: λ 7 a) W q= = = 0.233 horas. µ *( µ λ) 10*(10 7) Lo anterior significa que los aviones permanecen en espera en promedio 0.233 horas o aproximadamente 14 minutos en cola. b) W s = W q + 1 / µ = 0.233 + 1/10 = 0.333 horas. Lo anterior significa que el jefe de vuelos debe programar en promedio 0.333 horas o aproximadamente 20 minutos para despegar nuevamente, es decir, debe tener en cuenta el tiempo que debe esperar en cola un avión y el tiempo recibiendo el servicio. c) 2 2 λ 7 L q = = = 1.63 aviones. µ *( µ λ) 10*(10 7) Significa que en promedio 1.63 aviones estarán esperando en cola o fila.

30 d) L s = L q + λ / µ = 1.63 + 7/10 = 2.33 Lo anterior significa que 2.33 aviones estarán en el sistema esperando en cola y recibiendo servicio. Hay que tener en cuenta que los valores anteriores como 1.63 y 2.33, no se pueden aproximar a ningún valor entero como 2 y 3 porque se están analizando modelos estocásticos y por consiguiente, los parámetros de tasas de llegadas y de servicios se deben describir mediante distribución de probabilidad y es por esto que se utilizan valores esperados o promedio. EJEMPLO 1.7 Una tienda emplea a un dependiente para atender sus clientes. Los clientes llegan de acuerdo a una distribución de Poisson con una media de 12 clientes/hora. El dependiente tiene que cobrar y empacar los artículos comparados por los clientes. Cada uno de los procesos consume dos minutos con distribución Exponencial. Determine: a) Cuántos minutos debe esperar un cliente en el sistema? b) Cuántos clientes en promedio deberán esperar en cola? SOLUCION: λ = 12 clientes/hora 1/µ = 4 minutos µ = 60/4 = 15 clientes/hora Luego se cumple que: λ < µ, luego: a) W s = W q + 1/µ; se debe entonces calcular el tiempo promedio de espera en la fila o cola, así. λ 12 W q = = = 0.2667 horas µ *( µ λ) 15*(15 12) Entonces. W s = 0.2667 + 1/15 = 0.333 horas. Lo anterior significa que el cliente debe esperar en el sistema un promedio de 0.333 horas o 20 minutos aproximadamente.

31 b) 2 2 λ 12 L q = = = 3.2 clientes; es decir, que en promedio 3.2 µ *( µ λ) 15*(15 12) clientes deben esperar en la cola para ser atendidos. EJEMPLO 1.8 Todos los días, en horarios diferentes, los estudiantes de Investigación de Operaciones del VII semestre de Administración de Empresas de CECAR, anotaron el número de vehículos y motos que llegaban a la Estación de Servicio Móvil Auto centro, ubicada en la Troncal de Occidente vía a Sampués, por servicio de combustible. Igualmente, con la ayuda de un cronómetro anotaban el tiempo que duraba el servicio para cada uno de los vehículos y motos. La tabla de frecuencia (Tabla 1.1) obtenida muestra el número de llegadas en una hora (X) y las veces o frecuencia con que se presentaron dichas frecuencias [ F (x)], durante el tiempo que duró el estudio. Así por ejemplo, 21 llegadas se presentaron 7 veces, 29 llegadas se presentaron 6 veces, etc. La tabla 1.2 muestra los tiempos promedio de la duración del servicio. TABLA 1.1 Tabla de frecuencia en la llegada de vehículos y motos. Nº DE LLEGADAS (x) F (x) X * F(x) 21 7 147 22 5 110 23 4 92 24 7 168 25 3 75 26 10 260 27 6 162 28 9 252 29 6 174 30 6 180 31 2 62 32 2 64 33 1 33 34 1 34 F (x) = 69 X * F( x) = 1. 813

32 TABLA 1.2 Tiempo promedio de la duración del servicio. TIEMPO PROMEDIO DE LA DURACION DE SERVICIO 0.977 0.87368 0.984745 0.862188 0.87577 0.83846 1.864388 1.26027 1.00878 0.8603 1.813547 1.445917 1.004975 0.90296 1.60838 1.444208 0.981738 1.9192 1.774866 1.512818 0.88648 1.0029 1.044151 1.408224 1.1947 0.5931 1.183132 1.213175 0.9467 0.5533 0.632486 1.402103 0.9809 0.7006 0.4509 1.37395 0.931 0.747906 0.7828 1.328495 0.91814 0.978707 0.974431 1.2128 0.90794 0.980019 0.825266 1.390542 0.9466 0.92049 1.719 1.446433 0.91814 0.965578 0.872966 1.561347 1.423396 1.406618 1.31657 1.737275 1.340014 1.311472 1.698 1.695017 1.701125 0.9279 1.3142 0.7569 1.2568 Tenga presente que la jornada de trabajo es de 18 horas. SOLUCION: Para determinar la tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo, es decir λ, se debe utilizar la siguiente técnica matemática: λ = X * F( x) 1.813 = = 26.27 clientes/hora F( x) 69 Analizando los datos de la tabla 1.3, se suman todos los valores y se logra un promedio así: Promedio = 79.5259308/69 = 1.1559306, entonces se puede decir que: 1/ µ = 1.1559306 minutos, por lo tanto: µ = 52.05 clientes/hora Verificando, se observa que: λ < µ. a) El factor de utilización: δ = λ / µ = 26.27/52.05 = 0.5047 = 50.47% Lo anterior significa que la Estación de Servicio en sus 18 horas de funcionamiento, es utilizada o permanece ocupada 9.08 horas. Lo que es lo mismo, que permanece

33 desocupada un 50.47%. Preocupante situación porque este es un porcentaje bastante alto. b) La probabilidad de vacío: P o = 1 - λ / µ = 1 26.27/52.05 = 0.4953 Significa que la probabilidad que el sistema esté vacío es de 0.4953 o en términos porcentuales, el 49.53% del tiempo laboral. c) La probabilidad de encontrar n clientes en el sistema: P n = P o * δ n = 0.4953 * (0.5047) 3 = 0.06367 Significa que la probabilidad de encontrar tres clientes en el sistema es de 0.06367, lo que equivale en términos porcentuales al 6.367%. Resultado este bastante preocupante porque la probabilidad es pequeña para encontrar solamente tres clientes. d) El tiempo promedio de espera en fila es: λ 26.27 W q = = = 0.01958 horas µ *( µ λ) 52.05*(52.05 26.27) Lo cual significa que el tiempo que se demora un vehículo esperando en cola es 0.01957 horas, lo que equivale a 1.17 minutos. Tiempo este que es poco lo que deben esperar los vehículos en cola. e) El tiempo promedio en el sistema es: W s = W q + 1 / µ = 0.01958 + 1/52.05 = 0.03879 horas Significa que el tiempo promedio de un vehículo en el sistema es de 0.03879 horas, lo cual es equivalente a decir que el tiempo que demora un vehículo en cola y mientras recibe el servicio es de 2.327 minutos. f) El número de clientes esperando en cola es: 2 2 λ (26.27) L q = = = 0.5143 vehículos µ *( µ λ) 52.05*(52.05 26.27) Quiere decir que hay únicamente 0.5143 vehículos esperando para ser atendidos. g) El número de clientes en el sistema es: L s = L q + λ / µ = 0.5143 + 26.27/52.05 = 1.019 vehículos Es decir que existen 1.019 vehículos en el sistema, entre los que esperan para ser atendidos y los que están recibiendo servicio.

34 1.2.2 Modelo Población Infinita con Varios Servidores Para este modelo se utiliza un sistema como el descrito en la figura 1.4: FIGURA 1.4 Modelo de población infinita y varios servidores. λ µ Población Cola Sistema La descripción de los parámetros es como sigue: λ = Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo (clientes/hora o minutos) µ = Tasa promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo (clientes/hora) 1 / λ = Tiempo promedio de llegada de un cliente 1 / µ = Tiempo promedio invertido en atender un cliente K = Número de servidores En este tipo de sistema, también debe cumplirse la siguiente condición. La tasa promedio de llegadas debe ser menor que la tasa promedio de servicios (λ < k * µ). De no ser así, el promedio de llegadas (λ) sería superior al número promedio de unidades que se atienden (µ) y el número de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande con el tiempo, aunque siempre es posible un regreso temporal a no tener clientes, las probabilidades de tener números grandes de clientes crece significativamente con el tiempo. 1.2.2.1 Factor de Ocupación (δ) Es la fracción promedio de tiempo que el sistema está ocupado (ocupado se define como una o más unidades esperando y/o siendo atendidas). δ = λ / k*µ

35 Es de anotar que δ también puede considerarse como el número promedio de unidades que están siendo atendidas en cualquier momento. 1.2.2.2 Probabilidad de Vacío (P o ) Esta probabilidad mide los momentos en que no hay clientes en el sistema y los servidores están ociosos. P o = n= 0 1/ n!( λ / µ ) n 1 + 1/ K!*( λ / µ ) k * [ K / K ( λ / µ )] 1.2.2.3 Probabilidad de encontrar n clientes en el sistema (P n ) cuando n K Mide la probabilidad de encontrar n clientes en el sistema cuando ese número de clientes sea menor o igual al número de servidores y viene dada por: P n = P o * δ n / n! 1.2.2.4 Probabilidad de encontrar n clientes en el Sistema (P n ) Cuando n > K Determina la probabilidad de encontrar n clientes en el sistema cuando ese número de clientes es mayor que el número de servidores y está dada por: P n = P o * δ n / (K!) * K n-k EJEMPLO DE APLICACIÓN EJEMPLO 1.9 El Banco ABC usa dos cajeros para la atención de sus clientes. El tiempo entre llegadas y de servicios sigue una distribución Exponencial. Los clientes llegan a razón de 20 por hora y el tiempo de servicio es de 6 minutos en promedio. Los

36 clientes forman una sola fila y son atendidos por el primer cajero disponible. Determine: a) La probabilidad de que un cliente llegue y no deba esperar b) La probabilidad de encontrar al menos tres clientes SOLUCION: λ = 20 clientes/hora µ = 12 clientes/hora K = 2 servidores Primero que todo, se verifica que λ < K * µ, es decir: 20 < 2 * 12, luego: a) P o P o 1 0!(20 /12) 0 = n= 0 1/ n!( λ / µ ) 1 + 1!*(20 /12) P o = 1 1 + 1/ K!*( λ / µ ) 1 1 1 + 2!*(20 /12) 2 1 + 2!*(20 /12) 1 1+ 1.667 + 1.389 + 1.389* 6 P o = 0.0807 2 2 * 2 (20 /12) Lo anterior indica que la probabilidad de que el sistema esté vacío es de 0.0807 o es del 8.07%. b) P n = P o * δ / (K!) * K n-k (20 /12) = 0.0807 * 3 2 2!*2 n P n = 0.6949, luego la probabilidad de encontrar más de tres clientes en el sistema es de 69.49%. 2 k * [ K / K ( λ / µ )] 1.2.2.5 Tiempo Promedio en el Sistema (W s ) Para determinar cual es el tiempo promedio que un cliente tiene que esperar en la fila antes de ser atendido y el tiempo promedio que invierte en el sistema, incluyendo el tiempo de espera y servicio, se parte de la siguiente expresión:

37 Tiempo promedio en el sistema = Tiempo promedio de espera en fila + Tiempo promedio de servicio Donde: W s = Tiempo promedio en el sistema W q = Tiempo promedio de espera en fila o cola 1/µ = Tiempo promedio de servicio Entonces: W s = W q + 1 / µ 1.2.2.6 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola (W q ) Mide el tiempo promedio que debe esperar un cliente en la fila o cola para recibir el servicio, es decir, antes de ser atendido y viene dado por: Lq W q = λ 1.2.2.7 Número Promedio de Clientes en el Sistema (L s ) Para determinar cuantos clientes en promedio están esperando en la fila o en la cola para ser atendidos y cuantos clientes en promedio hay en el sistema entero, incluye en cola y recibiendo el servicio, se utiliza la siguiente expresión: Número promedio de clientes en el sistema = Número promedio de clientes en fila + Número promedio de clientes en servicio Donde: L s = Número promedio de clientes en el sistema L q = Número promedio de clientes en espera o en fila o cola λ / µ = Número promedio de clientes recibiendo el servicio Es decir: L s = δ + λ / µ

38 1.2.2.8 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola (L q ) Mide el número de clientes promedio que deben esperar en fila o en cola, es decir, antes de recibir el servicio y ser atendidos y viene dado por: L q = k + 1 ( δ ) 1 * ( k 1)! ( k δ ) 2 * P o EJEMPLO 1.10 EJEMPLO DE APLICACION Utilizando los datos del ejemplo anterior, determine: a) Cuántos clientes tendrían que esperar para recibir el servicio? b) Cuántos minutos en promedio debe esperar un cliente en cola? c) Cuántos minutos deberá esperar un cliente para obtener el servicio definitivo? SOLUCION: λ = 20 clientes/hora µ = 12 clientes/hora K = 2 servidores Se cumple que: λ < K * µ, o sea 20 < 12 * 2, entonces: a) L q = 2 (20 /12) (2 1)! + 1 * 1 [ 2 (20 /12)] 2 *0.0807 L q = 3.36 clientes, es decir que: en promedio hay 3.36 clientes esperando para ser atendidos. L q 3.36 b) W q = = = 0.168 horas = 10.08 minutos λ 20 Es decir que un cliente debe esperar, en promedio, 10.08 minutos en cola antes de ser atendido. c) W s = W q + 1 / µ = 0.168 + 1/12 = 0.251 horas = 15.06 minutos

39 Lo que quiere decir que, un cliente tarda en total 15.06 minutos para recibir el servicio definitivo, es decir, espera 10.08 minutos en cola y 4.98 cuando está siendo atendido. 1.2.3 Modelo Población Finita y un Solo Servidor Para este modelo se utiliza un sistema como el descrito en la figura 1.5: FIGURA 1.5 Modelo de población finita y con un solo servidor. Población Finita λ Llegadas µ Cola Sistema Servicio La población finita afecta el proceso de llegada. Con la población infinita la tasa de llegada permanece igual sin importar cuantos clientes hayan llegado. En términos generales, con un número finito de clientes, la tasa de llegada disminuye conforme aumenta el número de clientes en el sistema porque existen menos clientes que aún no llegan. A mayor número de clientes en el sistema, menor será la tasa de llegada de clientes. Los parámetros de este tipo de sistemas son: λ = Tasa promedio de llegadas por unidad de tiempo µ = Tasa promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo 1 / λ = Tiempo promedio de llegada de un cliente 1 / µ = Tiempo promedio invertido en atender un cliente M = Población total de clientes n = Número de clientes en el sistema M n = nueva llegada

40 1.2.3.1 Probabilidad de Vacío (P o ) La probabilidad de que el sistema esté vacío o no esté trabajando, mide los momentos en que no hay clientes en el sistema y el servidor está ocioso y viene dada por: P o = 1 n= 0 M! ( M n)!*( λ / µ ) n 1.2.3.2 Probabilidad de Encontrar n Clientes en el Sistema (P n ) Cuando n K Determina la probabilidad de encontrar n clientes en el sistema cuando ese número de clientes es menor o igual al número de servidores y está definida por: P n = EJEMPLO DE APLICACION EJEMPLO 1.11 Un operario atiende tres máquinas. Cuando las máquinas requieren atención él las detiene y hace las modificaciones necesarias. Estas modificaciones toman un tiempo medio de 10 minutos. El tiempo medio entre requerimientos para cualquier máquina es de 15 minutos. Determine: n ( M n)!* δ a) La probabilidad de que una máquina falle y sea reparad inmediatamente b) La probabilidad de encontrar dos máquinas en el sistema. M! * P o SOLUCION: 1 / λ = 15 minutos = 4 clientes/hora 1 / µ = 10 minutos = 6 clientes/hora M = 3 Máquinas

41 a) P o = 1 n= 0 M! ( M n)!*( λ / µ ) n P o = 3! (3 0)!*(4 / 6) 0 1 3! + (3 1)!*(4 / 6) 1 3! + (3 2)!*(4 / 6) 2 P o = 0.0525; significa que la probabilidad que una máquina presente falla y sea atendida de inmediato, es decir que el operario esté desocupado, es de 5.25%. b) P n = M! n ( M n)!* δ * P 3! P n = *0. 0525 = 0.7094; significa que la probabilidad de encontrar dos 2 (3 2)!*(4 / 6) máquinas en el sistema es de 70.94%. 1.2.3.3 Tiempo Promedio en el Sistema (W s ) o Es el promedio de tiempo que un cliente invierte en el sistema entero, incluyendo el tiempo de espera y de servicio y viene dado por: W s = W q + 1 / µ 1.2.3.4 Tiempo Promedio de Espera en Fila o Cola (W q ) Es el promedio de tiempo que debe esperar un cliente en la fila o cola para recibir el servicio, es decir, antes de ser atendido y está dado por: Lq W q = λ 1.2.3.5 Número Promedio de Clientes en el Sistema (L s ) Es el número promedio de clientes en el sistema entero, incluyendo el número de clientes en espera y los que están recibiendo el servicio y viene dado por:

42 Número promedio de clientes en el sistema = Número promedio de clientes en fila + Número promedio de clientes en servicio Ahora bien, si: L s = Número promedio de clientes en el sistema L q = Número promedio de clientes e espera o cola λ/µ = Número promedio de clientes recibiendo servicio Entonces: L s = M (µ / λ) * (1 P o ) 1.2.3.6 Número Promedio de Clientes en Fila o Cola (L q ) Es el número promedio de clientes que deben esperar en la fila o cola para recibir el servicio antes de ser atendidos y está dado por: EJEMPLO 1.12 EJEMPLO DE APLICACION Teniendo en cuenta los datos del ejemplo anterior, determinar: a) Cuántas máquinas habrá en la fila de espera para ser atendidas? b) Cuántos minutos deben esperar las máquinas para ser atendidas? SOLUCION: a) L q = M (λ - µ / λ) * (1 P o ) L q = 3 (4 6/4) * (1 0.0525) = 0.6321 clientes L q 0.6321 b) W q = = λ 4 L q = M (λ - µ / λ ) * (1 P o ) = 0.158 horas Las máquinas deberán esperar 0.158 horas o 9.48 minutos antes de ser reparadas.

43 LECTURA COMPLEMENTARIA CARACTERISTICAS CLAVES DE UN SISTEMA DE COLAS * Para analizar un sistema de colas, es mejor primero identificar las características importantes que se presentan y se aplican en el sistema, entre ellas tenemos: Una población de clientes, que es el conjunto de todos los clientes posibles de un sistema de colas. Un proceso de llegada, que es la forma en que llegan los clientes de esa población a solicitar un servicio (ver figura 1.1). Un proceso de colas, que está formado por: a) la manera en que los clientes esperan para ser atendidos y b) la disciplina de colas, que es la forma en que son elegidos para proporcionarles el servicio. Un proceso de servicio, que es la forma y la rapidez con la que son atendidos los clientes. Procesos de salida, que son de los siguientes dos tipos: a) Los elementos abandonan completamente el sistema después de ser atendidos en solo centro o estación de trabajo, lo que tiene como resultado un sistema de colas de un paso. Por ejemplo, los clientes de un banco esperan en una sola fila, son atendidos por uno de tres cajeros y después que son atendidos, abandonan el sistema (ver figura 1.1a). b) Los productos, ya que son procesados en una estación de trabajo, son trasladados a alguna otra para someterlos a otro tipo de proceso, lo que tiene como resultado una red de colas (ver figura 1.1b). Ahora bien, existen dos clases básicas de tiempos entre llegadas, a saber: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el caso de una línea de ensamblaje, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocidos como ciclos de tiempo). Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticas se describen mediante una distribución de probabilidad. * Tomado de KAMLESH, Mathur y SOLOW, Daniel. Investigación de Operaciones. El arte de la toma de decisiones.