TEMA 4: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES

TEMA 4: PROPORCIONALIDAD Y PORCENTAJES 4.1 Razones y proporciones Señala en cada caso la opción correcta D directamente proporcionales I inversamente proporcionales N no proporcionales 1. El precio de una sandia y su peso D 2. La velocidad de un coche y el tiempo que tarda en hacer determinado viaje I 3. El peso de una persona y el número de calzado que gasta N 4. El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito I 5. El tiempo que permanece encendida una bombilla el consumo eléctrico que ocasiona D 6. La altura que alcanza el agua de un depósito cilíndrico y el número de litros que contiene D 7. El tiempo que dura una película y el precio de la entrada N 8. La edad de una persona y la velocidad a la que corre N 9. La velocidad de un coche y la presión que lleva en las ruedas N 10. El número de obreros que descargan un camión y el tiempo que tardan en terminar el trabajo I 11. La velocidad de un coche y la distancia que recorre en un minuto D 12. El precio de un tebeo y el número de tebeos que puedo comprar con mi paga I Tareas 09-12-2014 2A: todas las actividades de la página 90 Tareas 10-12-2014 2B: todas las actividades de la página 90 4.2 Magnitudes directamente proporcionales 1. Completa. Atiempo que permanece abierto un grifo Blitros que vierte A (minutos) 1 2 3 4 5 8 10 15 20 B (litros) 15 A (minutos) 1 2 3 4 5 8 10 15 20 B (litros) 5 10 15 20 25 40 50 75 2. Completa, sabiendo que M y N son dos magnitudes directamente proporcionales. M 1 4 8 20 N 12 M 1 4 8 20 N 3 12 24 60 Tareas 09-12-2014 2A: todas las actividades de la página 91 Tareas 10-12-2014 2B: todas las actividades de la página 91 1. Francisco ha pagado 42.5 euros por cinco entradas para el circo. Cuánto pagará por tres entradas? 5 entradas cuestas 42.5 euros 1 entrada cuesta 42. 5 5 8. 5 euros 3 entradas cuestan 8. 5 3 25. 5 euros 1

2. Cuatro entradas para el cine han costado 28 euros. Cuánto costarán siete entradas? 4 entradas 28 euros 1 entrada 28 4 7 euros 7 entradas 7 7 49 euros 3. Una furgoneta que transporta tres televisores, lleva una carga de 120 kg. Cuál sería la carga si llevara cinco televisores? 3 televisores 120 kg 1 televisor 120 3 40 kg 5 televisores 40 5 200 kg 4. Tres kilos de naranjas cuestan 2.55 euros. Cuánto cuestan cinco kilos? 3 kg 2. 55 euros 1 kg 2. 55 3 0. 85 euros 5 kg 0. 85 5 4. 25 euros 5. María ha comprado cuatro bolsas que contenían 48 globos. Cuántos globos tendrá Enrique, que ha comprado cinco bolsas? Bolsas María 4 48 Enrique 5 x Globos proporcionalidad directa 4 5 48 x 4 x 5 48 x 5 4 48 60 globos 6. Por dos horas de aparcamiento he pagado 2.80 euros. Cuánto pagaré por tres horas? horas precio 2 2.80 3 x proporcionalidad directa 2 3 2. 8 x 2 x 3 2. 8 x 3 2 2. 8 4. 2 euros Tareas 10-12-2014 2A: todas las actividades de la página 93 Tareas 11-12-2014 2B: todas las actividades de la página 93 4.3 Magnitudes inversamente proporcionales 1. Completa Avelocidad de un coche BTiempo que tarda en ir al pueblo vecino A (km/h) 10 20 30 40 60 120 B (minutos) 9 A (km/h) 10 20 30 40 60 120 B (minutos) 36 18 12 9 6 3 2. Completa, sabiendo que M y N son dos magnitudes inversamente proporcionales. M 1 5 15 30 N 12 M 1 5 15 30 N 60 12 4 2 1. Seis obreros descargan un camión en tres horas. Cuánto tiempo tardarían nueve obreros? 2

6 obreros tardan 3 horas 1 obrero tardaría 3 6 18 horas 9 obreros tardarían 18 9 2 horas 2. Una acequia que lleva un caudal de 140 litros por minuto, llena un pilón de riego en 2 horas y 18 minutos. Cuánto tardaría en llenarse el pilón si el caudal fuera de 210 litro por minuto? Caudal (l/min) 140 138 Tiempo (min) 210 x 210 140 138 x 210 x 138 140 x 138 140 92 min 1h 32 min 210 3. Un coche, a 60 km/h, tarda 4 horas en hacer un viaje. Cuánto tardaría en hacer el mismo viaje a una velocidad de 80 km/h? Velocidad (km/h) 60 4 Tiempo (h) 80 x 80 60 4 x 80 x 4 60 x 60 80 4 3 h 4. Un grifo que tiene un caudal de 7 l/min, llena un depósito en tres horas. Cuánto tardaría si el caudal disminuyera a 4 l/min? Caudal (l/min) 7 180 Tiempo (min) 4 x 4 7 180 x 4 x 180 7 x 180 4 7 315 min 5 horas 15 min 5. Seis palas excavadoras hacen un desmonte en 16 horas. Cuánto tardarían cinco palas en hacer el mismo trabajo? palas (l/min) 6 16 Tiempo (h) 5 x 5 6 16 x 5 x 16 6 x 16 5 6 96 19. 2 h 19 h 12 min 5 6. Una taller de confección que trabaja 8 horas diarias, tiene previsto entregar un pedido en 15 días. Cuánto horas al día deberá trabajar si decide hacer la entrega en diez días? trabajo (h/día) 8 15 x 10 8 x 15 10 10 x 15 8 x 15 10 8 12 h/día Tiempo (días) 3

7. Un tren ha cubierto el recorrido entre dos ciudades en tres hora y media, con una velocidad de 99 km/h. Cuánto tarda en el mismo recorrido otro tren más rápido que viaja a 135 km/h? velocidad (km/h) 99 3.5 Tiempo (h) 135 x 135 99 3. x 5 135 x 3. 5 99 x 3. 5 99 2. 566 7 h 2 h 34 min 135 8. Julían y Tomasas van juntos de paseo. Los pasos de Julían son de 0.90 m y los de Tomasa, de 0.80 m. Cuántos pasos de Tomasa equivalen a 0 pasos de Julían? paso (m) Julían 0.90 0 nº de pasos Tomasa 0.80 x 0. 80 0. 90 0 x 0. 80 x 0 0. 90 x 0 0. 90 1125 pasos 0. 80 Tareas 12-12-2014 2A: todas las actividades de la página 95 Tareas 12-12-2014 2B: todas las actividades de la página 95 4.4 Problemas de proporcionalidad compuesta 1. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 h/día, ha construido 600 m 2 de pared en 18 días. Cuántos metros cuadrados construirán en 15 días, trabajando 8 h/día? trabajando 10 h/día durante 18 días construyen 600 m 2 trabajando 1 h/día durante 18 días construyen 600 60 m2 10 trabajando 1 h/día durante 1 días construyen 600 10 18 10 3 m2 trabajando 1 h/día durante 15 días construyen 600 15 50 m2 10 18 trabajando 8 h/día durante 15 días construyen 600 15 8 400 m 10 18 2 2. Una cuadrilla de albañiles, trabajando 10 h/día, ha construido 600 m 2 de pared en 18 días. Cuántos metros cuadrados construirán en 15 días, trabajando 8 h/día? h/dia días m 2 h/díaproporcionalidad directa m2 10 18 600 díasproporcionalidad directa m 2 8 15 x 10 8 18 15 600 x x 600 8 15 10 18 400 m 2 3. Una pala excavadora, trabajando 10 h/día, ha abierto 0 metros en 8 días. Cuánto tardaría en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12h/día? trabajando 10 h/día abre 0 m en 8 días trabajando 1 h/día abre 0 m en 8 10 80 días trabajando 1 h/día abre 1 m en 8 0 10 25 2 trabajando 1 h/día abre 600 m en 8 10 600 0 48 días trabajando 12 h/día abre 600 m en 8 10 600 0 12 4 días 4. Una pala excavadora, trabajando 10 h/día, ha abierto 0 metros en 8 días. Cuánto tardaría 4

en abrir una zanja de 600 metros, trabajando 12h/día? h/dia m días h/díadías 10 0 8 mproporcionalidad directadías 12 600 x 12 10 0 600 8 x x 600 8 10 4 días 0 12 Tareas 16-12-2014 2A: todas las actividades de la página 97 Tareas 18-12-2014 2B: todas las actividades de la página 97 4.5 Los porcentajes Calcula los siguientes porcentajes: 12% de 500 500 12 60 15% de 2480 2480 15 372 18% de 850 850 18 153 20% de 325 325 20 65 65% de 1760 1760 65 1144 6% de 150 150 6 9 8% de 475 475 8 38 7% de 1300 1300 7 91 3% de 800 800 3 24 10% de 490 490 10 49 10% de 58 58 10 29 5 5. 8 35% de 270 270 35 189 2 1. El 52% de las personas matriculadas en un curso de pintura son varones. Cuál es el porcentaje de mujeres? 52 48 48% 2. En un clase de 30 alumnos, el 60% son chicas. Cuántas chicas hay? 60% de 30 30 60 18 Hay 18 chicas 3. Un agricultor recoge 2500 kg de maiz y vende el 35%. Cuántos kilos le quedan? Si vende el 35%, no vende el 35 65 65% de 2500 2500 65 1625 kg le quedan 4. En un pueblo de 2800 habitantes, el 20% de la población se ha vacunado contra la gripe. Cuántas personas se han vacunado contra la gripe? 20% de 2800 0. 2 2800 560. 0 560 personas se han vacunado contra la gripe 5. Josefa ha gastado el 20% del dinero que llevaba en una entrada para el cine que le ha costado 6 euros. Cuánto dinero llevaba? 20 x 6 Parte x 20 6 x 20 6 30 5

Llevaba 30 euros 6. En un colegio hay 130 chicas, lo que supone el 52% del total. Cuántos chicos y chicas hay en el colegio? 52 Chicas x 130 x 52 130 x 130 52 250 Hay 250 chicos y chicas 7. Al comprar un jersey me han hecho una rebaja del 15%, con lo que he ahorrado 9 euros. Cuánto costaba el jersey sin rebajar? Precios 15 x 9 Rebaja x 15 9 x 15 9 Costaba 60 euros 8. En una población de 2000 habitantes hay 180 inmigrantes. Cuál es el porcentaje de inmigrantes? 2000 180 x Inmigrantes 2000 180 x x 60 180 2000 Es un 9% Tareas 12-01-2015 2B: todos los ejercicios de la página 99 Tareas 13-01-2015 2A: todos los ejercicios de la página 99 4.6 Problemas con porcentajes Elvira tenía ahorrados 850 euros y gasto el 30% en un viaje. Cuánto le costó el viaje? 30% de 850 30 850 255 El viaje le costó 255 euros. Elvira tenía ahorrados 850 euros y gastó 255 euros en un viaje. Qué tanto por ciento de sus ahorros gastó? Parte 850 255 x Gastó el 30% 850 255 x x 255 850 Elvira gastó en un viaje 255 euros, lo que supone el 30% del dinero que tenía ahorrado. Cuánto dinero tenía ahorrado? Parte x 255 30 Tenía ahorrado 850 euros. x 255 30 x 255 30 30 850 En un hotel de 175 habitaciones están ocupadas el 60%. Cuántas habitaciones están ocupadas? 175 x 60 Parte 175 60 x 105 habitaciones están ocupadas x 175 60 105 El 32% de los 25 alumnos de una clase participan en un torneo de ajedrez. Cuántos alumnos participan en el torneo? 9 6

25 x 32 Parte 25 32 x 8 alumnos participan en el torneo x 25 32 En un colegio de 750 alumnos han aprobado todas las materias 495. Qué tanto por ciento de alumnos ha aprobado todo? Parte 750 495 x Es el 66% 750 495 x x 8 495 750 En un restaurante han subido el menún del día un 8%. Cuál será el nuevo precio si costaba 7.5 euros? Precio inicial 7.5 x 108 Costará 8.1 euros Precio aumentado 66 7. 5 x 108 x 7. 5 108 8. 1 Tengo que pagar 352 euros por un mueble en el que incluyen el cobro de un 10% por transporte. Cuál será el precio del mueble prescindiendo del transporte? Precio inicial x 352 110 Cuesta 320 euros Precio aumentado x 352 110 x 352 110 320 Cuál será el precio de unos zapatos de 68 euros si nos hacen una descuento del 40%? Precio inicial 68 x 60 Será de 40.8 euros Precio rebajado 68 60 x x 60 68 204 5 40. 8 Qué descuento me han hecho en una factura de 1385.00 euros si he pagado 1135.70? Precio inicial 1385 1135.7 x Precio rebajado 1385 1135. 7 x x Me han rebajado un 18% ( 82 18 Tareas 14-01-2015 2B: todos los ejercicios de la página 103 Tareas 14-01-2015 2A: todos los ejercicios de la página 103 4.7 Interés bancario 1135. 7 1385 82. 0 1. En un banco, que ofrece un interés anual del 3%... euros, en un año, producen un beneficio de 3 euros euros, en 4 años, producen un beneficio de 4 3 12 euros 500 euros, en 1 año, producen un beneficio de 5 3 15 euros 500 euros, en 4 años, producen un beneficio de 5 12 4 15 60 euros 2. Un inversor coloca un capital de 20000 euros en un banco que paga un interés del 4% anual. Qué beneficio obtiene en un año? 4% de 20000 0. 04 20000 800 euros Qué beneficio obtiene en tres años? 7

3 800 2400 euros Otra forma de hacerlo Capital Tiempo Interés capitalproporcionalidad directainterés 1 4 tiempoproporcionalidad directainterés 20000 3 I 20000 1 3 4 I I 4 3 20000 2400 3. Qué beneficio producen 5000 euros, colocados al 3.5% durante 4 años? Capital Tiempo Interés capitalproporcionalidad directainterés 1 3.5 tiempoproporcionalidad directainterés 5000 4 I 5000 1 4 3. I 5 I 4 3. 5 5000 700. 0 euros 4. Ernesto depososita 8000 euros, durante dos años, en un banco que paga un interés del 2.7% anual. Cuánto dinero podrá retirar transcurrido ese periodo? Capital Tiempo Interés capitalproporcionalidad directainterés 1 2.7 tiempoproporcionalidad directainterés 8000 2 I 8000 1 2 2. I 7 I 2 2. 7 8000 432. 0 Puede retirar 8000 432 8432 euros 5. Qué intereses hay que pagar por un préstamo de 6000 euros, al 12%, que hay qué devolver en un solo pago al cabo de 4 años? Capital Tiempo Interés capitalproporcionalidad directainterés 1 12 tiempoproporcionalidad directainterés 6000 4 I 6000 1 4 12 I 4 12 6000 2880 I Se devolverán 2880 euros Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios de la página 104 Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios de la página 104 8

1. Escribe EJERCICIOS Y PROBLEMAS a. Tres pares de números cuya razón sea 2 2 3 3 3 2 2 2 4 6 4 y 6 2 3 3 2 5 5 10 10 y 15 2 15 3 3 2 10 10 20 20 y 30 30 Solución abierta Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 1 Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 1 2 Calcula x en las siguientes proporciones: a. 6 10 9 x 6 x 9 10 x 90 6 15 l 4 15 20 36 7 x 4 15 x 7 20 36 x 7 20 36 84 4 15 Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 2 Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 2 Tareas 15-01-2015 2B: 3 Tareas 16-01-2015 2A: 3 4 Completa en tu cuaderno estas tablas de proporcionalidad directa: a. 1 2 3 7 5 10 60 1 2 3 7 12 5 10 15 35 60 Se cumple que: 5 1 10 2 15 3 35 7 60 5 es la constante de proporcionalidad 12 Tareas 15-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 4 Tareas 16-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 4 5 Completa en tu cuaderno estas tablas de. a. 1 2 4 5 20 10 2 1 2 4 5 10 20 10 5 4 2 Se cumple que: 1 20 2 10 4 5 5 4 10 2 20 es la constante de proporcionalidad. Tareas 16-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas 19-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 5 Tareas 16-01-2015 2B: 6,7,8 Tareas 19-01-2015 2A: 6,7,8 9 Dos kilos y medio de patatas cuestan 1.75 euros. Cuánto cuestan tres kilos y medio? 9

patatas (kg) 2.5 1.75 precio (euros) patatasproporcionalidad directaprecio 3.5 x 2. 3. 5 1. 75 5 x x 3. 5 1. 75 2. 45 euros cuestan. 2. 5 10 Cuatro operarios tardan diez horas en limpiar un solar. Cuánto tardarían 5 operarios? operarios (nº) 4 10 tiempo (h) operariostiempo 5 x 5 4 10 x x 4 5 10 8 h 11 Una cuadrilla de soladores, trabajando 8h/dia, renuevan una acera en 15 días. Cuánto tardarán trabajando 10h/día? trabajo (h/día) 8 15 tiempo (día) trabajotiempo 10 x 10 8 15 x x 8 10 15 12 días 12 Un paquete de 500 folios pesa 1.8 kg. Cuánto pesará una pila de 850 folios? folios (nº) 500 1.8 peso (kg) foliosproporcionalidad directapeso 850 x 500 850 1. x 8 x 1. 8 850 3. 06 kg 500 Tareas 16-01-2015 2B: 13 20, ambos inclusive Tareas 19-01-2015 2A: 13 20, ambos inclusive 21 Un tren de mercancias, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el trayecto entre la ciudad A y la ciudad B en 7 horas. Cuál debería de ser la velocidad media para hacer el mismo trayecto en solo 6 horas? velocidad (km/h) 72 7 tiempo (h) velocidadtiempo x 6 72 x 7 6 x 72 6 7 84 km/h 22 Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distancia en la realidad. Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapa distan 13 cm? mapa (cm) 5 35 realidad (km) mapaproporcionalidad directarealidad 13 x 13 5 35 x x 35 13 91 km 5 Tareas 19-01-2015 2B: 23 27, ambos inclusive Tareas 20-01-2015 2A: 23 27, ambos inclusive 28 Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de entregar en 12 días, deber fabricar 2000 prendas cada día. Si por una avería en las máquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, cuántas prendas diarias debe fabricar para cumplir a tiempo el pedido? velocidad (prendas/día) 2000 12 x 10 tiempo (d) velocidadtiempo 10

x 2000 12 x 12 2000 2400 prendas diarias 10 10 29 Cincuenta terneros consumen 4200 kilos de alfalfa a la semana. a. Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día? 50 terneros consumen 4200 kg de alfalfa en 7 días 1 ternero consume 4200 84 kg de alfalfa en 7 días 50 1 ternero consume 84 12 kg de alfalfa en 1 día 7 b Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante 15 días? terneros (nº) días (nº) alfalfa (kg) díasproporcionalidad directaalfalfa 20 15 x ternerosproporcionalidad directaalfalfa 50 7 4200 20 50 15 7 x 4200 x 4200 15 20 3600 kg 50 7 c Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de 600 kilos de alfalfa? terneros (nº) alfalfa (kg) días (nº) díasproporcionalidad directaalfalfa 10 600 x ternerosdías 50 4200 7 50 10 600 4200 7 x x 600 50 7 5 días 4200 10 Tareas 19-01-2015 2B: 30 37, ambos inclusive Tareas 20-01-2015 2A: 30 37, ambos inclusive 38 Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes? a. 50% 50 1 2 Tareas 21-01-2015 2B: todos los ejercicios que faltan del 38 Tareas 21-01-2015 2A: todos los ejercicios que faltan del 38 Tareas 21-01-2015 2B: 39, 40, 41 Tareas 21-01-2015 2A: 39, 40, 41 42 El gráfico representa la relación entre la población autóctona y la inmigrante en un pueblo agrícola del sur de España. a. Qué fracción de la población es inmigrante? 1 8 b. Cuántas de cada 0 personas son inmigrantes? 11

1 8 de 0 1 0 125 personas son inmigrantes de 0 8 c. Cuántas de cada personas son inmigrantes? 1 8 de 1 25 12. 5 personas son inmigrantes de 8 2 d. Cuál es el porcentaje de inmigrantes? 12.5% 43 Un empleado gana 1700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipoteca de su vivienda. Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos? Para el resto de sus gastos tiene el 40 60% 60% de 1700 0. 6 1700 1020. 0 euros tiene para el resto de sus gastos 44 De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. Qué tanto por ciento ha faltado a la excursión? 28 de 28 35 80% ha ido a la excursión. 35 Ha faltado el 20% Tareas 21-01-2015 2B: 45,46,47,48 Tareas 21-01-2015 2A: 45,46,47,48 49 De 5475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar. Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar? 76 de 76 5475 304 1. 388 1% sabe planchar 5475 219 50 Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que ya ha solucionado más del 65%, pero menos del 70%. Cuántos problemas le quedan por resolver? Calculamos: 65% de 18 0. 65 18 11. 7 70% de 18 0. 70 18 12. 6 Esto nos dice que tiene resueltos 12 problemas, y le faltan por resolver 6. Tareas 21-01-2015 2B: 51,52,53,54 Tareas 21-01-2015 2A: 51,52,53,54 55 La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0.55 euros. Cuánto costaba antes de la subida? El precio actual de la barra, comparado con su precio anterior es del 10 110% Si llamamos x al precio anterior de la barra, se cumple que: 110% de x es 0.55 1. 10 x 0. 55 x 0. 55 1. 1 0. 5 La barra antes costaba 0.5 euros. 56 Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos de agua. Durante el estío, sus reservas han disminuido en un 68%. Cuáles son las reservas actuales ahora, al final del verano? Como han disminuido un 68%, nos quedan 68 32% 32% de 775 0. 32 775 248. 0 decámetros cúbicos quedan 12